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时间120分钟 满分150分
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.关于空间直角坐标系Oxyz中的一点P123有下列说法
①OP的中点坐标为;
②点P关于x轴对称的点的坐标为-1,-2,-3;
③点P关于坐标原点对称的点的坐标为12,-3;
④点P关于xOy平面对称的点的坐标为12,-3.其中正确说法的个数是 A.2 B.3C.4D.1解析选A
①显然正确;点P关于x轴对称的点的坐标为1,-2,-3,故
②错;点P关于坐标原点对称的点的坐标为-1,-2,-3,故
③错;
④显然正确.2.直线ax-y+2a=0与圆x2+y2=9的位置关系是 A.相离B.相切C.相交D.不确定解析选C 将直线ax-y+2a=0化为点斜式得y=ax+2,知该直线过定点-20.又-22+029,故该定点在圆x2+y2=9的内部,所以直线ax-y+2a=0与圆x2+y2=9必相交.故选C.3.过点M1,-2的直线与x轴,y轴分别交于P,Q两点,若M恰为线段PQ的中点,则直线PQ的方程为 A.2x+y=0B.2x-y-4=0C.x+2y+3=0D.x-2y-5=0解析选B 设Px00,Q0,y0.∵M1,-2为线段PQ的中点,∴x0=2,y0=-4,∴直线PQ的方程为+=1,即2x-y-4=
0.4.已知l,m表示两条不同的直线,α表示平面,则下列说__确的是 A.若l⊥α,m⊂α,则l⊥mB.若l⊥m,m⊂α,则l⊥αC.若l∥m,m⊂α,则l∥αD.若l∥α,m⊂α,则l∥m解析选A 对于A,若l⊥α,m⊂α,则根据直线与平面垂直的性质,知l⊥m,故A正确;对于B,若l⊥m,m⊂α,则l可能在α内,故B不正确;对于C,若l∥m,m⊂α,则l∥α或l⊂α,故C不正确;对于D,若l∥α,m⊂α,则l与m可能平行,也可能异面,故D不正确.故选A.5.半径长为6的圆与x轴相切,且与圆x2+y-32=1内切,则此圆的方程为 A.x-42+y-62=6B.x±42+y-62=6C.x-42+y-62=36D.x±42+y-62=36解析选D ∵半径长为6的圆与x轴相切,设圆心坐标为a,b,结合图形得b=
6.再由=5,可以解得a=±4,故所求圆的方程为x±42+y-62=
36.6.如图是一几何体的直观图、主视图和俯视图.在主视图右侧,按照画三视图的要求画出的该几何体的左视图是 解析选B 由直观图和主视图、俯视图可知,该几何体的左视图应为面PAD,且EC投影在面PAD上,E的投影点为PA的中点,EC为实线,故B正确.7.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形,则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为 A.1 B.2C.3D.4解析选D 由题意可知,几何体是三棱锥,其放置在长方体中形状如图所示图中ABCD,利用长方体模型可知,此三棱锥的四个面中,全部是直角三角形.故选D.8.过点P-24作圆C x-22+y-12=25的切线l,直线m ax-3y=0与切线l平行,则切线l与直线m间的距离为 A.4B.2C.D.解析选A 根据题意,知点P在圆C上,∴切线l的斜率k=-==,∴切线l的方程为y-4=x+2,即4x-3y+20=
0.又直线m与切线l平行,∴直线m的方程为4x-3y=
0.故切线l与直线m间的距离d==
4.9.已知三边长分别为
3、
4、5的△ABC的外接圆恰好是球O的一个大圆,P为球面上一点,若点P到△ABC的三个顶点的距离相等,则三棱锥PABC的体积为 A.5B.10C.20D.30解析选A 由题意得△ABC为直角三角形,其外接圆的直径2R=5,显然当且仅当OP⊥平面ABC时,满足点P到△ABC的三个顶点的距离相等,故所求的体积V=S△ABC·R=××=
5.10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.+πB.+πC.+2πD.+2π解析选A 由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组成的.由图中数据可得三棱锥的体积V1=××2×1×1=,半圆柱的体积V2=×π×12×2=π,∴V=+π.11.已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为 A.B.2C.D.3解析选C 如图所示,由球心作平面ABC的垂线,则垂足为BC的中点M.又AM=BC=,OM=AA1=6,所以球O的半径为R=OA==.12.已知点Px,y是直线kx+y+4=0k0上一动点,PA,PB是圆C x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的最小__是2,则k的值为 A.3B.C.2D.2解析选D 圆C x2+y2-2y=0的圆心为01,半径r=1,由圆的性质知S四边形PACB=2S△PBC,∵四边形PACB的最小__是2,∴S△PBC的最小值为1=rdd是切线长,∴d最小值=2,|PC|最小值==.∵圆心到直线的距离就是|PC|的最小值,∴|PC|最小值==,∵k0,∴k=2,故选D.
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上13.已知平面α,β和直线m,若α∥β,则满足下列条件中的________填序号能使m⊥β成立.
①m∥α;
②m⊥α;
③m⊂α.解析m⊥α,α∥β⇒m⊥β.答案
②14.若圆C的半径为1,其圆心与点10关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为________.解析因为点10关于直线y=x对称的点的坐标为01,所以所求圆的圆心为01,半径为1,于是圆C的标准方程为x2+y-12=
1.答案x2+y-12=115.已知l1,l2是分别经过点A11,B0,-1的两条平行直线,则当l1,l2间的距离最大时,直线l1的方程是________.解析当直线AB与l1,l2均垂直时,l1,l2间的距离最大.∵A11,B0,-1,∴kAB==2,∴kl1=-.∴直线l1的方程为y-1=-x-1,即x+2y-3=
0.答案x+2y-3=016.球O的球面上有四点S,A,B,C,其中O,A,B,C四点共面,△ABC是边长为2的正三角形,平面SAB⊥平面ABC,则三棱锥SABC的体积的最大值为________.解析记球O的半径为R,作SD⊥AB于D,连接OD,OS,易求R=,又SD⊥平面ABC,注意到SD==,因此要使SD最大,则需OD最小,而OD的最小值为×=,因此高SD的最大值是=1,又三棱锥SABC的体积为S△ABC·SD=××22×SD=SD,因此三棱锥SABC的体积的最大值是×1=.答案
三、解答题本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.本小题满分10分如图,AF,DE分别是⊙O,⊙O1的直径,AD与两圆所在的平面均垂直,|AD|=8,BC是⊙O的直径,|AB|=|AC|=6,OE∥AD,试建立适当的空间直角坐标系,求出点A,B,C,D,E,F的坐标.解因为AD与两圆所在的平面均垂直,OE∥AD,所以OE⊥平面ABC.又AF⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,所以OE⊥AF,OE⊥BC.又BC是圆O的直径,所以|OB|=|OC|.又|AB|=|AC|=6,所以OA⊥BC,|BC|=
6.所以|OA|=|OB|=|OC|=|OF|=
3.如图所示,以O为坐标原点,分别以OB,OF,OE所在的直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则A0,-3,0,B3,00,C-3,00,D0,-3,8,E008,F03,0.18.本小题满分12分已知直线m经过点P,被圆O x2+y2=25所截得的弦长为
8.1求此弦所在的直线方程;2求过点P的最短弦和最长弦所在直线的方程.解1当直线m的斜率存在时,设直线m的方程为y+=kx+3,即2kx-2y+6k-3=
0.由题意易知圆心O到直线m的距离为3,因此易求得k=-.此时直线m的方程为3x+4y+15=0,而直线的斜率不存在时,直线x=-3显然也符合题意,故直线m的方程为3x+4y+15=0或x=-
3.2过点P的最长弦所在直线为PO所在直线,方程为y=x.过点P的最短弦所在直线与PO垂直,方程为y+=-2x+3,即4x+2y+15=
0.
19.本小题满分12分如图,在五面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的对角线的交点,而△CDE是等边三角形,棱EF綊BC.1求证FO∥平面CDE;2设BC=CD,求证EO⊥平面CDF.证明1取CD的中点M,连接OM,在矩形ABCD中,OM綊BC,又EF綊BC,所以EF綊OM.连接EM,于是四边形EFOM为平行四边形,所以FO∥EM.因为FO⊄平面CDE,EM⊂平面CDE,所以FO∥平面CDE.2连接FM.由1知,在等边三角形CDE中,CM=DM.所以EM⊥CD,且EM=CD=BC=EF.因此▱EFOM为菱形,所以EO⊥FM.因为CD⊥OM,CD⊥EM,OM∩EM=M,所以CD⊥平面EOM.所以CD⊥EO.而FM∩CD=M,所以EO⊥平面CDF.20.本小题满分12分已知圆C经过P4,-2,Q-13两点,在y轴上截得的线段长为4,且半径小于
5.1求直线PQ与圆C的方程;2若直线l∥PQ,直线l与圆C交于A,B两点,且以线段AB为直径的圆经过坐标原点O,求直线l的方程.解1直线PQ的方程为x+y-2=
0.设圆心Ca,b,半径为r,由于线段PQ的垂直平分线的方程是y-=x-,即y=x-1,所以b=a-
1.
①又由圆C在y轴上截得的线段长为4,得r2=22+a2=12+a
2.又圆C过点Q,则a+12+b-32=12+a2,
②由
①②得a=1,b=0或a=5,b=
4.当a=1,b=0时,r2=13<25,满足题意,当a=5,b=4时,r2=37>25,不满足题意,故圆C的方程为x-12+y2=
13.2设直线l的方程为y=-x+mm≠2,Ax1,m-x1,Bx2,m-x2,由题意可知OA⊥OB,所以x1x2+m-x1m-x2=0,化简得2x1x2-mx1+x2+m2=
0.
③由得2x2-2m+1x+m2-12=0,所以x1+x2=m+1,x1x2=,代入
③式,整理得m2-m-12=0,所以m=4或m=-3,经检验都满足判别式Δ>0,所以直线l的方程为y=-x+4或y=-x-
3.21.本小题满分12分某几何体的三视图如图所示.1根据三视图,画出该几何体的直观图;2在直观图中,若G为PB的中点,
①证明PD∥平面A__;
②证明平面PBD⊥平面A__.解1该几何体的直观图如图1所示.2证明如图2,
①连接AC,BD交于点O,连接OG,因为G为PB的中点,O为BD的中点,所以OG∥PD.又OG⊂平面A__,PD⊄平面A__,所以PD∥平面A__.
②连接PO,由三视图,知PO⊥平面ABCD,所以AO⊥PO.又AO⊥BO,BO∩PO=O,所以AO⊥平面PBD.因为AO⊂平面A__,所以平面PBD⊥平面A__.22.本小题满分12分已知△ABC的三个顶点A-10,B10,C32,其外接圆为⊙H.1若直线l过点C,且被⊙H截得的弦长为2,求直线l的方程;2对于线段BH上的任意一点P,若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M,N,使得点M是线段PN的中点,求⊙C的半径r的取值范围.解1线段AB的垂直平分线方程为x=0,线段BC的垂直平分线方程为x+y-3=0,所以外接圆圆心H03,半径r==,⊙H的方程为x2+y-32=
10.设圆心H到直线l的距离为d,因为直线被⊙H截得的弦长为2,所以d==
3.当直线l垂直于x轴时,显然符合题意,即x=3为所求;当直线l不垂直于x轴时,设直线方程为y-2=kx-3,则=3,解得k=,∴直线方程为4x-3y-6=
0.综上,直线l的方程为x=3或4x-3y-6=
0.2直线BH的方程为3x+y-3=0,设Pm,n0≤m≤1,Nx,y,因为点M是线段PN的中点,所以M,又M,N都在半径为r的⊙C上,所以即因为关于x,y的方程组有解,即以32为圆心,r为半径的圆与以6-m4-n为圆心,2r为半径的圆有公共点,所以2r-r2≤3-6+m2+2-4+n2≤r+2r2,又3m+n-3=0,所以r2≤10m2-12m+10≤9r2对任意的m∈
[01]成立.而fm=10m2-12m+10在
[01]上的值域为,故r2≤且10≤9r
2.又线段BH与圆C无公共点,所以m-32+3-3m-22>r2对任意的m∈
[01]成立,即r2<,故⊙C的半径r的取值范围为.。