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文本内容:
时间120分钟 满分150分
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.tan的值为 A. B.-C.D.-解析选D tan=tan=tan=-.2.下列函数中最值是,周期是6π的三角函数的解析式是 A.y=sinB.y=sinC.y=2sinD.y=sin解析选A 由题意得,A=,=6π,ω=,故选A.
3.设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则+++等于 A.B.2C.3D.4解析选D 依题意知,点M是线段AC的中点,也是线段BD的中点,所以+=2,+=2,所以+++=4,故选D.4.若点sinα,sin2α在第四象限,则角α在 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析选B ∵点sinα,sin2α在第四象限,∴∴即∴α在第二象限.5.已知平面向量a=12,b=-2,m,且a∥b,则2a+__等于 A.-5,-10B.-4,-8C.-3,-6D.-2,-4解析选B ∵a=12,b=-2,m,∴1×m-2×-2=0,∴m=-
4.∴2a+__=24+-6,-12=-4,-8.6.若α∈,且sinα=,则sin-cosπ-α的值为 A.B.-C.D.-解析选B sin-cosπ-α=sinα+cosα+cosα=sinα+cosα.∵sinα=,α∈,∴cosα=-.∴sinα+cosα=×-×=-.7.已知向量a=12,b=-2,-4,|c|=,若c-b·a=,则a与c的夹角为 A.30°B.60°C.120°D.150°解析选C a·b=-10,则c-b·a=c·a-b·a=c·a+10=,所以c·a=-,设a与c的夹角为θ,则cosθ===-,又0°θ180°,所以θ=120°.8.将函数y=sin的图象经怎样的平移后所得的图象关于点成中心对称 A.向左平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向右平移个单位长度解析选C 函数y=sin的对称中心为,其中离最近的对称中心为,故函数图象只需向右平移个单位长度即可.9.函数ƒx=Asinωx+φA>0,ω>0,x≥0的部分图象如图所示,则ƒ1+ƒ2+ƒ3+…+ƒ11的值等于 A.2B.2+C.2+2D.-2-2解析选C 由图象可知,函数的振幅为2,初相为0,周期为8,则A=2,φ=0,=8,从而ƒx=2sinx.∴ƒ1+ƒ2+ƒ3+…+ƒ11=ƒ1+ƒ2+ƒ3=2sin+2sin+2sin=2+
2.10.已知3a+4b+5c=0,且|a|=|b|=|c|=1,则a·b+c= A.0B.-C.D.-解析选B 由3a+4b+5c=0,得向量3a4b5c能组成三角形,又|a|=|b|=|c|=1,所以三角形的三边长分别是345,故三角形为直角三角形,且a⊥b,所以a·b+c=a·c=-.11.如图,在四边形ABCD中,||+||+||=4,||·||+||·||=4,·=·=0,则+·的值为 A.4 B.2C.4D.2解析选A ∵=++,·=·=0,∴+·=+·++=2+·+·+·+·+2=2+2·+
2.∵·=0,·=0,∴⊥,⊥,∴∥,∴·=||||,∴原式=||+||
2.设||+||=x,则||=4-x,||·x=4,∴x2-4x+4=0,∴x=2,∴原式=4,故选A.12.已知函数y=2sinωx+θω>00<θ<π为偶函数,其图象与直线y=2的交点的横坐标为x1,x2,若|x1-x2|的最小值为π,则 A.ω=2,θ=B.ω=,θ=C.ω=,θ=D.ω=2,θ=解析选A ∵函数y=2sinωx+θω>00<θ<π为偶函数,∴θ=,∴y=2cosωx,排除C、D;y=2cosωx∈[-22],结合题意可知T=π,∴=π,ω=2,排除B,选A.
二、填空题本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上13.在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ+μ=________.解析设=a,=b,则=a+b,=a+b,=a+b,代入条件得λ=μ=,∴λ+μ=.答案14.在平面直角坐标系xOy中,已知=-1,t,=22.若∠ABO=90°,则实数t的值为________.解析∵∠ABO=90°,∴⊥,∴·=
0.又=-=22--1,t=32-t,∴22·32-t=6+22-t=
0.∴t=
5.答案515.已知ƒx=sin,若cosα=,则ƒ=________.解析因为cosα=,所以sinα=;ƒ=sin=sin=sinα+cosα=.答案16.有下列四个命题
①若α,β均为第一象限角,且αβ,则sinαsinβ;
②若函数y=2cos的最小正周期是4π,则a=;
③函数y=是奇函数;
④函数y=sin在[0,π]上是增函数.其中正确命题的序号为________.解析α=390°30°=β,但sinα=sinβ,所以
①不正确;函数y=2cos的最小正周期为T==4π,所以|a|=,a=±,因此
②不正确;
③中函数定义域是,显然不关于原点对称,所以
③不正确;由于函数y=sin=-sin=-cosx,它在0,π上单调递增,因此
④正确.答案
④
三、解答题本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.本小题满分10分已知|a|=1,|b|=,a与b的夹角为θ.1若a∥b,求a·b;2若a-b与a垂直,求θ.解1∵a∥b,∴θ=0°或180°,∴a·b=|a||b|cosθ=±.2∵a-b与a垂直,∴a-b·a=0,即|a|2-a·b=1-cosθ=0,∴cosθ=.又0°≤θ≤180°,∴θ=45°.18.本小题满分12分已知tanα=,求的值.解原式=====,又∵tanα=,∴原式==-
3.19.本小题满分12分已知a=cos2α,sinα,b=12sinα-1,α∈,π,a·b=,求.解∵a·b=cos2α+sinα2sinα-1=cos2α+2sin2α-sinα=1-sinα=,∴sinα=.∵α∈,∴cosα=-,∴sin2α=2sinαcosα=-,∴===-
10.20.本小题满分12分已知函数ƒx=2cosx·sin-sin2x+sinxcosx.1当x∈时,求ƒx的值域;2用五点法在下图中作出y=ƒx在闭区间上的简图.解ƒx=2cosx·sin-sin2x+sinxcosx=2cosx-sin2x+sinxcosx=sin2x+cos2x=2sin.1∵x∈,∴≤2x+≤,∴-≤sin≤1,∴当x∈时,ƒx的值域为[-,2].2由T=,得T=π,列表x-2x+0π2π2sin020-20图象如图所示.21.本小题满分12分已知fx=sinx+2sin+·cos.1若fα=,α∈,求α的值;2若sin=,x∈,求fx的值.解fx=sinx+2sincos=sinx+sin=sinx+cosx=sin.1由fα=,得sin=,∴sin=.∵α∈,∴α+∈.∴α+=,∴α=-.2∵x∈,∴∈.又∵sin=,∴cos=.∴sinx=2sincos=,cosx=-=-.∴fx=sinx+cosx=-=.22.本小题满分12分已知函数ƒx=Asinωx+φω>00<φ<的部分图象如图所示.1求ƒx的解析式;2将函数y=ƒx的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的倍,再将所得函数图象向右平移个单位,得到函数y=gx的图象,求gx的单调递增区间;3当x∈时,求函数y=ƒ-ƒ的最值.解1由图得T=-==,∴T=2π,∴ω==
1.又ƒ=0,得Asin=0,∴+φ=2kπ,k∈Z,φ=2kπ-,k∈Z.∵0<φ<,∴当k=1时,φ=.又由ƒ0=2,得Asin=2,∴A=4,∴ƒx=4sin.2将ƒx=4sin的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变得到y=4sin,再将图象向右平移个单位得到gx=4sin=4sin,由2kπ-≤2x-≤2kπ+k∈Z得kπ-≤x≤kπ+k∈Z,∴gx的单调递增区间为k∈Z.3y=ƒ-ƒ=4sin-×4sin=4sin-4sin=4-4cosx=2sinx+2cosx-4cosx=2sinx-2cosx=4sin.∵x∈,x-∈,∴sin∈,∴函数的最小值为-4,最大值为
2.。