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空间中常微分方程解的存在唯一性定理魏婷婷天水师范学院数学与统计学院甘肃天水741000摘要:在空间中常微分方程解的存在唯一性定理中初值问题的解的变量在上变化把的变化范围扩大为为此给出变化范围后的空间中常微分方程解的存在唯一性定理并对定理给予明确的证明.关键词:存在唯一;常微分方程;数学归纳法;皮卡逐步逼近法;空间引言常微分方程解的存在唯一性定理明确地肯定了在一定条件__程的解的存在性和唯一性它是常微分方程理论中最基本且实用的定理有其重大的理论意义另一方面它也是近似求解法的前提和理论基础.对于人们熟知的空间中常微分方程解的存在唯一性定理解的存在区间较小只限制在一个小的球形邻域内球形邻域的半径若为还需满足且解只在以为中心以为半径的闭球存在唯一其中是空间因此在应用过程中受到了一定的限制.如今我们尝试扩大了解的存在范围从而使此重要的定理今后有更加广泛的应用.1预备定理我们给出空间中常微分方程解的存在唯一性定理如下设是空间是一个开集.上关于满足利普希茨条件即存在常数使得不等式对于所有都成立.取在内以为中心作一个半径为的闭球对所有的都成立且有取则存在唯一的曲线使得在上满足并有.2结果与证明笔者通过改进对的限制即仅取预备定理仍然成立从而使定理的应用进一步广泛.
2.1改进条件后的定理定理假设条件同上预备定理设初值为则存在唯一的曲线对任意的满足且使得.显然可有且.
2.2定理的证明证明证明过程中我们利用皮卡逐步逼近法.为了简单起见只就区间进行讨论对于区间的讨论完全一样.
2.
2.1定理证明的思想现在先简单叙述一下运用皮卡逐步逼近法证明的主要思想.首先证明条件等价于求积分方程.1再证明积分方程的解的存在唯一性.任取一个为连续函数将它代入方程1的右端可得到函数显然也为连续函数.若则可知就是方程1的解.若不然我们又把代入积分方程1的右端可得到函数.若则可知就是方程1的解.若不然我们如此下去可作连续函数.2这样就得到连续函数列若那么就是积分方程的解如果始终不发生这种情况我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数即存在因而对2式两边取极限时就得到即这就是说是积分方程的解.在定理的假设条件下以上的步骤是可以实现的.
2.
2.2定理证明的步骤下面我们分五个命题来证明定理.命题1设是的定义于区间上满足初值条件3的解则是积分方程定义于上的连续解反之亦然.证明因为是方程的解故有.对上式两边从到取定积分得到把3式代入上式即有.4因此是4的定义于上的连续解.反之如果是4的连续解.微分之得到.又把代入4式得到因此是方程的定义于区间且满足初值条件3的解.命题1证毕.现在取构造皮卡逐步逼近函数序列如下5命题2对于所有的5中函数在上有定义连续且满足不等式.证明用数学归纳法可以证明如下对于任意当时显然在上有定义连续且有.设当时有也即在上有定义连续且满足不等式这时.由假设命题2当时成立则可知在上有定义连续且有当时即命题2当时也成立从而得知命题2对于所有的均成立.命题2证毕.命题3函数序列在上是一致收敛的.证明我们考虑级数66式级数的部分和为因此要证明函数序列在上一致收敛我们仅证明级数6在上一致收敛.因此我们可进行如下计算由7及利用利普希茨条件及7式可知对于任意的为正整数不等式成立.则由利普希茨条件当时有为此由数学归纳法可知对于所有的正整数可有如下的式子成立.因此可有当88式右端为收敛的正项级数的一般项.由魏尔斯特拉斯判别法级数6在上是一致收敛的因此序列也在上一致收敛命题3证毕.现设为此也在上连续且由命题2又可知命题4是积分方程的定义在区间上的连续解.证明由利普希茨条件以及在上一致收敛于且函数列逐项连续即知序列在上一致收敛于.因而对5式两边取极限得到即这就是说是积分方程的定义于上的连续解.命题4证毕.命题5证明解的唯一性设是积分方程定义于上的另一个连续解则.证明现在我们证明也是序列的一致收敛极限函数.为此从可以进行如下的估计现在我们可以假设则有故由数学归纳法得知对于所有的正整数有下面的估计式于是我们可知在上有9是收敛级数的公项且当时.因而在上一致收敛于.根据极限的唯一性即可知.命题5证毕.综合命题1~5即得到空间中常微分方程解的存在唯一性定理的证明.例题求初值问题其中:的解的存在区间并求第二次近似解给出在解的存在区间的误差估计.解则利用本文的结果在上函数的利普希茨常数可取因为..在本文的估计式9中令则有误差估计式从而可得.利用本文结果初值问题解的存在区间为为此将代入上式可得解的存在区间为;第二次近似解为;在解的存在区间的误差估计为.结束语在空间中通过运用皮卡的逐步逼近法从证明解的存在性到解的唯一性采用严密的逻辑推理和理论证明得到扩大解的存在区间后空间中常微分方程解的存在唯一性定理从而使定理更加实用.当然展望未来我们还可以利用所得到的结果进一步作为探究其他问题的可靠性依据.____
[1]王高雄周之铭朱思铭王寿松编.常微分方程[M].北京高等教育出版社
2006.
[2]郭大均孙经先.抽象空间常微分方程[M].济南:山东科学技术出版社
2003.
[3]王兴涛编.常微分方程[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社
2004.
[4]邓海荣马兆丰.空间中常微分方程解的存在唯一性定理的注[J].扬州大学学报:自然科学版200710
(1):1~
3.
[5]房琦贵.关于常微分方程解的存在唯一问题的讨论[J].高校讲坛
2010.
[6]王声望郑伟行编.实变函数与泛函分析概要[M].北京高等教育出版社
2005.致谢在完成终稿的今天在敲完最后一个句号的时刻我的思想同周围凝固的热气一样停驻了不知道是慰藉还是悲伤大学四年的生活就这样结束了而眼前的路还很长虽然似乎有些迷茫但我必须整理心情背上行囊坚定的踏上新的征程……我要感谢非常感谢我的指导老师何老师.在___教学工作中挤出时间来审查修改我的论文循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪.他为人随和热情﹑治学严谨细心﹑广博的学识﹑深厚的学术素养在论文的写作和措辞等方面他也总会以专业标准严格要求从选题﹑定题﹑开始一直到论文的反复修改何老师始终认真负责地给予我深刻而细致地指导帮助我开拓研究思路精心点拨﹑热忱鼓励.正是何老师的无私帮助与热忱鼓励我的毕业论文才能够得以顺利完成谢谢何老师.再次我还要认真地谢谢我身边所有的朋友和同学你们对我的关心﹑帮助和支持是我不断前进的动力之一我的大学生活因为有你们而更加精彩.最后向在百忙中抽出时间对本文进行评审并提出宝贵意见的各位专家表示衷心地感谢!。