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文本内容:
1.
3.1函数的单调性与导数教学目标㈠知识与技能⒈理解利用导数判断函数单调性的原理;⒉掌握利用导数判断函数单调性的方法及步骤㈡过程与方法通过问题的探究,体会知识的类比迁移;以已知探求未知,从特殊到一般的数学思想方法㈢情感态度与价值观通过师生互动,生生互动的数学活动,形成学生的体验认识,并体验成功的喜悦提高学习数学的兴趣,形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度教学重点利用导数判断函数的单调性教学难点⒈探究函数的单调性与导数的关系⒉如何用导数判断函数的单调性教学方法实验,归纳探究式教学建议可使用多媒体课件、师生互动课时安排3课时教师活动学生活动设计意图Ⅰ、创设情境,引入新课问题1高台跳水(幻灯片1)已知起跳t秒后,运动员相对于水面的高度h(单位m)可用函数ht=-
4.9t2+
6.5t+10表示问你能确定该函数的单调区间吗?师说的非常具体因为二次函数的图像我们非常熟悉请同学们画出其图像,指出其单调区间,再想一下,有没有需要注意的地方?(师在黑板上画出函数图像)师赞同学生2的说法,强调定义域师还有其他方法吗?师的确,定义是解决问题的最根本方法,同学们不要瞧不起定义啊!并简略回顾其步骤,但定义法较繁琐问题2(幻灯片2)试确定函数fx=2x3-6x2+7的单调区间师你能画出该函数的图像吗?定义法又太繁,那该如何解决呢?揭示并板书课题函数的单调性与导数学生积极举手发言学生1画出该函数的图像,从图像上直观获知其单调区间学生2t∈
00.66ht单调递增t∈
0.
662.24ht单调递减要注意函数的定义域学生思考,并积极举手发言学生3利用函数的单调性定义学生陷入沉思???创设情境,引导学生复习回顾研究函数单调性的方法
①观察图像的变化趋势(图像必须能画出)
②利用单调性的定义(较繁琐)由问题2的提出发现这两种方法的局限性与缺点,产生认知冲突产生探究新方法的求知欲,引入新课Ⅱ、探究新知问题3仍以函数ht=-
4.9t2+
6.5t+10为例来考察单调性与导数有什么关系下面请结合函数的图像与导数来研究师生共同总结,教师板书t∈
00.66ht单调递增切线斜率大于0即h’t>0t∈
0.
662.24ht单调递减切线斜率小于0即h’t<0问题4这种规律是否具有一般性呢?我们可否再举一些函数看看?(幻灯片3)
1.先看函数y=xy=x2y=x3y=1/x的图像验证其是否具有这种规律.
2.让学生任意举一个函数学过的和没学过的验证结论是否成立.这里教师利用几何画板作图,一一验证师通过以上,你发现了什么现象?师生共同总结(幻灯片4)一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系在某个区间(ab)内如果f’x>0,那么函数y=fx在(ab)上单调递增;如果f’x<0,那么函数y=fx在(ab)上单调递减;(教师简要板书)问题5反思1上面的结论还可能有其他情况吗?同学们可讨论讨论师好!提出问题比解决问题更重要!数学正是在不断的提出问题,并解决问题中发展的!那下面谁能解决这个问题?教师给与表扬!并归纳板书注
①若fx在某个区间内恒有f”x=0,则fx为常数函数反思2从上述探究过程,我们是怎样解决问题的?教师归纳结论的探究思路或方法归纳推理从特殊到更多,从简单到复杂,但仍然是由有限的例子归纳出的结论,在数学上是不严谨的,有时也不可靠的,但确是一种重要的思维方式这里就不证明了(待后证)探究活动1学生根据函数的图像,探索研究单调性与导数的关系学生3回答(略)学生思维活跃,积极搜索已学函数例举各种函数.如y=sinx;y=lnx;y=x2+x3;y=x+1/x;y=ex-x学生状态兴奋,踊跃发言学生4函数的单调性与导数有着密切的关系学生再次陷入沉思,并讨论让学生代表发言学生5在(ab)内,若恒有f”x=0那fx的单调性如何呢?学生6fx在(ab)内是常数函数!学生7:从特殊中发现规律,再__到一般的思维方法⒈从旧知中探究发现新知⒉让学生体会,如何研究一个新问题并会在以后的学习中尝试运用体会数形结合思想的运用引导学生寻找实例支持从中不仅验证单调性与函数的关系,更培养学生如何发现规律体会从特殊到一般的研究问题的思想方法启发学生发现问题,并培养学生发现问题的意识及知道他的重要意义!养成反思的学习习惯,形成锲而不舍的钻研精神养成合作交流的科学态度!在这一系列发现问题并解决的过程中让学生获得一种成就感!从而更加喜爱数学!养成反思的习惯;反思探究过程,让学生体会并明确什么是归纳推理,知道归纳推理的意义,并在以后的学习中加以运用!Ⅲ.应用举例幻灯片5已知导函数f’x的下列信息当1<x<4时,f’x>0当x<1或x>4时,f’x<0当x=1或x=4时,f’x=0试画出函数fx的图像的大致形状教师投影若干学生的作业情况并和学生共同分析注“临界点”例2用导数研究高台跳水的函数ht=-
4.9t2+
6.5t+10的单调性注
①教师带领学生完成,并与前面图像法对比
②强调定义域;
③作出导函数h’t的图像与ht的图像作对比例3试确定函数fx=2x3-6x2+7的单调区间教师给与规范的板书(略)注强调步骤的完整性,最后要下结论问题6反思你有算法意识吗?你能归纳出用导数求函数单调区间的算法步骤吗?课堂练习课本P93判断下列函数的单调性,并求出单调区间fx=x2-2x+4;fx=ex-x学生思考,并在纸上画出函数图像fxfx学生跟随老师,学会如何用导数求函数单调区间学生尝试解决由学生归纳教师补充确定函数定义域求函数的导函数解不等式f’x>0,f’x<0下结论学生练习,并报出答案让学生通过此题加深理解导函数是如何影响原函数的这是今后利用导函数研究函数的必备技能这里让学生切实理解,为今后学习扫清障碍!学会如何用导数求单调区间,同时再次验证用导数求导与图像求导的结果的一致性!应用新知识解决之前不能解决的问题从中掌握如何具体的应用导数解决函数单调性问题从算法角度明确如何操作,更清晰,易掌握渗透算法思想,多题归一思想,提高学习效率培养解题后反思意识及时巩固所学,形成技能Ⅳ课堂小结与作业师谈谈本节课你的收获?
1.教师给与归纳
1.知识点总结
2.思想方法总结
2.思考结合函数的单调性定义,思考在某个区间上函数y=fx的平均变化率的几何意义与导数的正负的关系
3.作业《全品》P7课时
(五)
(六)预习
1.
3.2学生纷纷举手发言总结所学知识,并养成总结的学习习惯!课下思考,揭示导数___能反映函数单调性的本质(留待下节课)
1.
3.2函数的极值与导数[教学目标]知识与技能•了解函数极值的定义,会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系,增强学生的数形结合意识,提升思维水平;•掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法;•了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件过程与方法•培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力情感态度与价值观•体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性;•培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神;•激发学生的民族自豪感,培养学生的爱国主义精神[教学重点和教学难点]教学重点掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法教学难点函数在某点取得极值的必要条件和充分条件[教法学法分析]教法分析和教学用具本节课我将采用自主学习—成果展示—合作探究—教师点拨—巩固提高的教学环节并利用信息技术创设实际问题的情境发挥学生学习的主动性,使学生的学习过程成为在我引导下的“再创造”过程学法分析;通过用导数研究函数的极值,提高了学生的导数应用能力通过用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值,得到求极值的一般方法[课时安排]3课时教学过程教学内容设计意图
一、自主学习课前让学生预习,让学生明确学习目标,带着问题对课本进行预习,并解答这些问题,落实基础知识通过检查学案,了解学生自主学习的情况,设计导学思路与措施培养学生的自主学习能力,为学生的终身学习奠定基础
二、成果展示对自主学习的情况先在组内进行交流,对自主学习的问题组内达成共识以小组为单位进行汇报展示培养学生互相合作的精神,提高学生语言表达的能力,增强学生学习的自信心
三、合作探究对学生解决不了的问题,重点讲解思路与方法,引导学生最终去解决问题,以生成新目标、新知识、新能力分组讨论—小组汇报—教师点拨分组讨论—小组汇报—教师点拨学生展示展示北京___奖牌榜北京___中国跳水队获得全部8枚金牌中的7枚用高台跳水的例子研究1当ta时ht的单调性是___________2当ta时ht的单调性是___________3当t=_______时运动员距水面高度最大,ht在此点的导数是_______4导数的符号有什么变化规律?用几何画板制作动画演示在t=a附近
1、函数值的比较ht-ha的正负号;
2、动点切线斜率(即导数)的发展变化.如图,函数y=在abcdefgh等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?y=在这些点的导数值是________在这些点附近,y=的导数的符号有什么规律?定义在x=a附近,先减后增,先___后___,连续变化,于是有=0.比在点x=a附近其它点的函数值都小我们把点a叫做函数y=的__________叫做函数的___________.在x=b附近,先增后减,先___后___,连续变化,于是有=0.比在点x=b附近其它点的函数值都大我们把点b叫做函数y=的__________叫做函数的___________.极小值点和极大值点统称为_____________,极大值和极小值统称为_____________激发学生的民族自豪感,培养学生的爱国主义精神.引起学生兴趣,激起学生的求知欲用高台跳水的例子发展学生的数学应用意识,发挥学生的主体作用用信息技术辅助教学,突破难点再用两个例子使学生经历直观感知、观察发现、归纳类比的思维过程,引导学生创新与实践培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神根据探究,总结极小值点、极小值、极大值点、极大值、极值点、极值的定义培养学生的归纳能力
四、教师点拨
1、极值是函数的局部性质反映了函数值在某一点附近的大小变化情况;
2、极值点是自变量的某个值,极值指的是其函数值;
3、函数的极值与导数的关系1如果=0并且在附近的左侧0,右侧0那么f是极大值2如果=0并且在附近的左侧0,右侧0那么f是极小值通过教师的点拨,帮助学生构建知识体系,巩固、完善、深化对知识、规律内涵的认识体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性
五、巩固提高对学案中的例题和习题,先让学生做,并让尽可能多的学生板演,在学生相互点评的基础上,教师引导学生总结思路方法技巧,并进行变式训练予以拓展教师板演学生总结分组讨论自主完成例4求函数的极值解=x3-4x+4′=x2-4=x+2x-2令=0,解得x1=2,x2=-2下面分两种情况讨论当0,即x2或-2时;当0,即-2x2时当x变化时,,的变化情况如下表-2-222+0-0+单调递增↗单调递减↘单调递增↗∴当x=-2时,有极大值,并且及极大值为=当x=2时,有极小值并且及极小值为=-函数的图像如图所示解题方法总结求函数y=fx极值极大值、极小值的方法1求导;2求极值点;3讨论单调性;4列表;5写出极值.变式训练求出函数的极值拓展提高拓展
1、导数为0的点一定是函数的极值点吗?如若是极值,则=0反之,=0,不一定是极值y=fx在一点的导数为0是函数y=fx在这点取得极值的必要条件函数y=fx在点x0取极值的充分条件是
①函数在点x0处的导数值为0
②在点附近的左侧导数大于(小于)零,右侧小于(大于)零拓展
2、极大值一定比极小值大吗?不一定极值是函数的局部性概念拓展
3、下图是导函数的图象,试找出函数y=fx的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点当堂练习
1.求下列函数的极值
122.函数是否有极值通过典型例题巩固学生对新知识的理解通过对典型例题的板演,让学生明确求极值的方法,突出本节课的重点培养学生规范的表达能力,形成严谨的科学态度作图时先作出两个极值点,再根据单调性作图通过作图,使学生掌握数形结合思想及作图的一般步骤学生总结解题方法,培养归纳能力通过变式训练,进一步突出重点使学生从感性认识升华到理性认识通过拓展1,突出判断极值点的条件,从而突破难点通过拓展2帮助学生理解极值是函数的局部性质拓展3给的图像是导函数的图像,进一步让学生区分如何用导函数的图像判断函数的极大值与极小值从而突出重点、突破难点我分层设计练习题,让各层面学生都能学有所获,不断增强学习的信心
六、课外作业1.《全品》P8课时
(七)
2.预习
1.
3.
31.
3.3函数最大(小)值与导数教学目标知识与技能1.明了极值与最值的区别2.会利用导数求函数在[ab]上的最值过程与方法1.结合学生的知识,理解从特殊到一般的数学思想和归纳的数学方法;2.培养学生结合图形分析问题、总结问题的能力情感、态度与价值观通过教学活动,培养学生仔细观察、善于思考、勇于创新的科学素养教学重点利用导数求函数的最值教学难点含参函数最值的求解课时安排2课时教学环节教学内容设计意图师生互动复习回顾单调性与导数极值的判定极值的求解步骤回顾旧知,为最值的推导作准备生回答问题师屏幕展示问题探究观察上图定义在上的函数的图象,我们可以发现图中_____________是极小值,____________是极大值在区间上函数的最大值是__________最小值是__________通过观察与比较发现规律师引导学生观察图象,提出问题生回答问题师屏幕展示,引导学生寻找规律问题探究思考如果在没有给出函数的图象的情况下,我们如何判断出函数的最大值与最小值呢?总结用导数求函数最值的方法让学生体会从特殊到一般的过程,提高自身归总结的能力师指导学生观察总结生总结求函数最值的方法例题讲解例5求函数在上的最大值与最小值让学生掌握用导数函数求最值求解的一般过程生分析例5师板书例5练习
1、变式将区间改为
2、求函数的最大值与最小值进一步加强对导数求最值的步骤的掌握生板书解题过程师引导学生共同矫正练习的解题过程例题讲解已知函数
(1)求的单调减区间;
(2)若在区间上的最大值为,求函数在该区间上的最小值让学生掌握含参含数最值的求解生分析例题,回答问题师课件展示例题,及总结练习设为实数,函数
(1)求的极值;
(2)当在什么范围内取值时,曲线与轴总有交点及时巩固所学知识,并进行初步提高师引导学生完成练习生完成并回答师屏幕展示课堂小结
1、函数最值与极值的区别与__
2、求函数最值的步骤 通过总结,使学生明确这节课所学的知识课后作业
1.《全品》P12课时
(八)
2.预习
1.4加深知识的巩固与落实
0.
662.24yxht
010.
662.24yxht0yx14y140xyx
0.66ht0yxObacxydefOgijhyxOx1x2x3x4x5x6ba。