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专题复合函数的定义域第一步函数概念及其定义域函数的概念设是非空数集,如果按某个确定的对应关系,使对于__中的任意一个,在__中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为__到__的函数,记作其中叫自变量,的取值范围叫做函数的定义域;与的值相对应的的值叫做函数值.第二步复合函数的定义一般地若,又,且值域与定义域的交集不空,则函数叫的复合函数,其中叫外层函数,叫内层函数,简言之复合函数就是把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.例如:;复合函数即把里面的换成,问函数和函数所表示的定义域是否相同?___?(不相同;原因定义域是求的取值范围,这里和所属范围相同,导致它们定义域的范围就不同了)第三步介绍复合函数的定义域求法例
1.已知的定义域为,求函数的定义域;解由题意得所以函数的定义域为.练
1.已知的定义域为,求定义域解因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中,即即或故的定义域为例
2.若函数的定义域为,求函数的定义域解:由题意得所以函数的定义域为例
3.已知的定义域为,求的定义域解由的定义域为得,故即得定义域为,从而得到,所以故得函数的定义域为例
4.已知函数定义域为是,且求函数的定义域解:,,又要使函数的定义域为非空__,必须且只需,即,这时函数的定义域为第四步总结解题模板
1.已知的定义域,求复合函数的定义域由复合函数的定义我们可知,要构成复合函数,则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中,因此可得其方法为若的定义域为,求出中的解的范围,即为的定义域
2.已知复合函数的定义域,求的定义域方法是若的定义域为,则由确定的范围即为的定义域
3.已知复合函数的定义域,求的定义域结合以上
一、二两类定义域的求法,我们可以得到此类解法为可先由定义域求得的定义域,再由的定义域求得的定义域
4.已知的定义域,求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,其定义域为各基本函数定义域的交集,即先求出各个函数的定义域,再求交集浅析复合函数的定义域问题
一、复合函数的构成设是到的函数,是到上的函数,且,当取遍中的元素时,取遍,那么就是到上的函数此函数称为由外函数和内函数复合而成的复合函数说明⑴复合函数的定义域,就是复合函数中的取值范围⑵称为直接变量,称为中间变量,的取值范围即为的值域⑶与表示不同的复合函数例1.设函数,求.⑷若的定义域为,则复合函数中,.注意的值域.例2⑴若函数的定义域是[0,1],求的定义域;⑵若的定义域是[-1,1],求函数的定义域;⑶已知定义域是,求定义域.要点1解决复合函数问题,一般先将复合函数分解,即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的.解答⑴ 函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数.函数的定义域是[0,1],∴B=
[01],即函数的值域为[0,1].∴,∴,即,∴函数的定义域[0,].⑵ 函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数.的定义域是[-1,1],∴A=[-11],即-1,∴即的值域是[-3,1],∴的定义域是[-3,1].要点2若已知的定义域为,则的定义域就是不等式的的__;若已知的定义域为,则的定义域就是函数的值域⑶ 函数是由A到B上的函数与B到C上的函数复合而成的函数.的定义域是[-4,5∴A=[-45即,∴即的值域B=[-1,8)又是由到上的函数与B到C上的函数复合而成的函数,而从而的值域∴∴∴∴的定义域是[1,).例3已知函数定义域是(ab),求的定义域.解由题,,,当,即时,不表示函数;当,即时,表示函数,其定义域为.说明
① 已知的定义域为ab,求的定义域的方法已知的定义域为,求的定义域实际上是已知中间变量的的取值范围,即,通过解不等式求得的范围,即为的定义域
② 已知的定义域为ab,求的定义域的方法若已知的定义域为,求的定义域实际上是已知复合函数直接变量的取值范围,即先利用求得的范围,则的范围即是的定义域即使函数的解析式形式所要求定义域真包含的值域,也应以的值域做为所求的定义域,因为要确保所求外含数与已知条件下所要求的外含数是同一函数,否则所求外含数将失去解决问题的有效性换元法其实质就是求复合函数的外函数,如果外函数的定义域不等于内函数的值域,那么就确定不了的最值或值域例4已知函数求的值域分析令,;则有,复合函数是由与复合而成,而,的值域即的值域,但的本身定义域为其值域则不等于复合函数的值域了例5已知函数,求函数的解析式,定义域及奇偶性分析因为定义域为{或}令,;则,且所以,定义域不关于原点对称,故是非奇非偶函数然而只就解析式而言,定义域是关于原点对称的,且,所以是奇函数就本题而言就是外函数其定义域决定于内函数,的值域,而不是外函数其解析式本身决定的定义域了2.求有关复合函数的解析式,例6.
①已知求;
②已知,求.例7.
①已知,求;
②已知,求.要点3已知求复合函数的解析式,直接把中的换成即可已知求的常用方法有配凑法和换元法配凑法就是在中把关于变量的表达式先凑成整体的表达式,再直接把换成而得换元法就是先设,从中解出(即用表示),再把(关于的式子)直接代入中消去得到,最后把中的直接换成即得,这种代换遵循了同一函数的原则例8.
①已知是一次函数,满足,求;
②已知,求.要点4⑴当已知函数的类型求函数的解析式时,一般用待定系数法⑵若已知抽象的函数表达式,则常用解方程组、消参的思想方法求函数的解析式已知满足某个等式,这个等式除是未知量外,还出现其他未知量,如、等,必须根据已知等式再构造出其他等式组成方程组,通过解方程组求出
二、练习1.已知,求和.解令,设,令,设,.2.已知,求.分析是用替换中的而得到的,问题是用中的替换呢,还是用替换呢?所以要按、分类;注是用替换中的而得到的,问题是用替换中的呢,还是替换呢?所以要看还是,故按、分类Key:;注
三、总结1.复合函数的构成;设函数,,则我们称是由外函数和内函数复合而成的复合函数其中被称为直接变量,被称为中间变量复合函数中直接变量的取值范围叫做复合函数的定义域,中间变量的取值范围,即是的值域,是外函数的定义域2.有关复合函数的定义域求法及解析式求法⑴定义域求法求复合函数的定义域只要解中间变量的不等式(由解);求外函数的定义域只要求中间变量的值域范围(由求的值域)已知一个复合函数求另一个复合函数的定义域,必须先求出外函数的定义域特别强调,此时求出的外函数的定义域一定是前一个复合函数的内函数的值域,例2
(3)反映明显⑵解析式求法待定系数法、配凑法、换元法、解方程组消元法.四外函数解析式其本身决定定义域的主要依据有⑴当为整式或奇次根式时,R;⑵当为偶次根式时,被开方数不小于0(即≥0);⑶当为分式时,分母不为0;当分母是偶次根式时,被开方数大于0;⑷当为指数式时,对零指数幂或负整数指数幂,底不为0(如,中)⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的__,即求各部分定义域__的交集⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值__的并集⑺由实际问题建立的函数,除了要考虑使解析式有意义外,还要考虑实际意义对自变量的要求⑻对于含参数字母的函数,求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论,并要注意函数的定义域为非空__⑼对数函数的真数必须大于零,底数大于零且不等于1⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。