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常微分方程__(填空题、选择题和解答题----比例是235)第1章初等积分法一.基本类型曲线的切线例1.曲线使其上每一点的切线斜率是该点的横坐标的m倍,且通过点分析
(1)这是一个具有基本应用型的一阶方程,它通过已知斜率与坐标之间的相关概念求解一阶方程
(2)它考核的知识点是一阶微分方程的概念、解的几何形式,它的求解,这又是重点解
(1)设所求曲线的任意点坐标是,依题意,积分有,
(2)该曲线过点,有从而有,故,所求曲线方程是+二.基本类型的求解
(1)可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程、全微分方程(一阶线性方程是重点)1.
(1)可分离变量方程分离变量有
(2)求解对称式由,得从而例2求解方程分析1)这是一个一阶可分离变量方程,通过积分可求未知函数yx的通解;2)它考核的是求解一阶可分离变量方程这一知识点解方程的通积分为即如arctany=arctanx+C
1.解出y得到通解y=tanarctanx+C1例3.求方程的通解.分析1)这是一个一阶可分离变量方程,通过积分可求未知函数yx的通解2)它考核的是求解一阶可分离变量方程这一知识点解分离变量,,积分,,2
(1)齐次方程令有,回代得,进而积分有其解是例4求解分析1)这是一个一阶可化为齐次方程,通过变量代换,分离变量后积分可求未知函数yx的通解且有常数解y=0;2)它考核的是求解一阶齐次方程这一知识点解将方程改写为,令y=ux代入上式化简有,u=0为一解,分离变量,积分有,u换为y/x可得,,且有常数解y=03一阶线性方程若qx=0线性方程化为齐次方程,有利用常数变易法设,回代方程,得解(p-q公式)例
5.求方程的通解.分析1)这是一个一阶线性非齐次方程的模型,它可通过先求对应的齐次方程的通解,再用常数变易法求非齐次方程的特解,最后由解的结构得其通解;也可以用公式法(P-Q公式)之解求解未知函数yx2)它考核的是求解一阶线性非齐次方程、常数变易法或P-Q公式这些知识点解法1,先求齐次方程的通解,,用常数变易法,设,求导,回代方程,积分,,+()*,法2,代公式=[注]Bernowlli方程令,有,方程为,则解为一般性掌握4全微分方程
(1)观察法(凑微分法)xdx+ydy=0有x2+y2=C,
(2)公式法(重点掌握)求解对称式方程Mxydx+Nxydy=0判别它是否全微分方程?由充要条件则全微分方程由求解公式例6求方程的解分析1)这是一个具有组合形式的一阶方程,它可通过先判断其是否为全微分方程,若是就采用求解公式直接积分;还可以用凑微分等方法求解2)它考核的是求解全微分方程的知识点解
(1)从而,原方程是全微分方程,
(2)由在全平面上可积,取,,有,从而例7.求解方程.分析1)这是具有对称式的一阶方程,通过观察有积分因子x2-1-1y2-1-1用起作用后再积分可求未知函数yx的通解且有常数解x=±1y=±1;也可视为一阶可分离变量方程,通过初等变型再积分可求未知函数yx的通解,且有常数解x=±1y=±12)它考核的是求解一阶对称式的方程这一知识点解易知,是方程的解分离变量有
(二)可降阶的高阶方程Fxykyk+1…yn=0令:z=yk,Fxzz’…zn-k=0则z=zxC1C2…Cn-1即,yk=zxC1C2…Cn-1积分k次可得其解.例8求解方程分析1)这是一个具有5阶形式的微分方程,它可通过先变量代换降阶化为一解方程,再通过求解可分离变量方程得原方程的通解2)它考核的知识点是利用降阶法求解高阶微分方程解它是一个5阶方程,令,有,通解为z=Cx从而y4=Cx积分4次第二章.基本定理
一、初值问题解的存在唯一性
二、定理1(解的存在唯一性)若方程的右端在区域满足条件1)在R上连续;2)在R上关于y满足Lip----条件,方程初值问题在区间上存在唯一解y=gxgx0=y
0.(一般了解)定理2(解的延拓性)定理3(解得可微性)重点、难点解的存在唯一性定理,毕卡尔----逐次逼近法.例1.方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是什么?分析1)这是一个一阶微分方程,它的右边函数fxy=3/2y1/3,通过对该函数求偏导来代替Lip----条件,可找到解的存在唯一的区域2)它考核的知识点是用更强的条件来代替Lip----条件,得到解的存在唯一的区域解由fxy=3/2y1/3知它是连续函数则,只要y≠0它为连续的,即满足解的存在唯一性定理条件的区域是上半平面或下半平面(不含x轴).例2.关于初值问题的毕卡尔逐次逼近法的迭代式是什么?分析1)这是关于初值问题的解在理论上保证解的存在重要问题,而它的主要方法是微分方程化为积分方程,通过毕卡尔逐次逼近法,构造序列使其收敛,最终得到其解2)它考核的知识点是微分方程化为积分方程,毕卡尔逐次逼近法解设,则关于初值问题的逐次逼近法的迭代式是=+练习设函数在闭区域上满足李谱茜斯条件,则存在常数b0,对R上的点有参考答案
一、第三章高阶方程的求解初值问题而称----非齐次方程----齐次方程它们必有解(由方程解的存在唯一性可知)解的性质--解有叠加性、线性相关(无关)性、基本解组、其判别方法等方程的通解的结构是非齐次方程的通解=齐次方程的通解+非齐次方程的特解常系数齐次方程解的具体形式(常数变易法)设:特征方程而r是其特征根有三种情形
(1)r是相异的实根;
(2)r是m重的实根;
(3)r是m重的复根求变系数齐次方程的特解和通解(已知一个特解)-------刘维尔公式应用常系数非齐次方程的特解的具体设置若时,通过常数变易法解的情形是设=若时,,不妨设,设重点方程解的性质、解的结构,高阶方程的特征根解法,非线性齐次微分方程的解法难点非线性齐次微分方程的特解的求法例1.求方程y”-5y’+6y=0的通解和满足条件y0=1y’0=2的特解.分析1)这是关于求二阶齐次方程通解的问题,它通过微分方程化为代数特征方程,且求其特征根,来解原方程的通阶,并在初值问题的条件y0=1y’0=2下求其特解2)它考核的知识点是微分方程化为特征方程,求特征根,二阶齐次方程通解解1)通解设y=erx,特征方程r2-5r+5=0,特征根r1=2r2=3,基本解组e2xe3x,通解是y=C1e2x+C2e3x2特解1=C1+C2,2=2C1+3C2所以,C1=1,C2=0,故特解为y=e2x例2.求方程y”-3y’=e5x的通解分析1)这是关于求二阶非齐次方程通解的问题,它通过先微分齐次方程的特征方程,且求特征根,来解齐次方程的通解,而后再求非齐次方程的特解,根据原方程右边的函数的具体形式fx=e5x,设出特解形式,回代原方程,通过比较系数方法,可得齐次方程特解,进一步由方程解的结构可写出通解2)它考核的知识点是非齐次方程右边的函数的具有fx=Ae5x形式的特解、非齐次方程通解解1齐次通解特征方程r2-3r=0,特征根r1=0r2=3,基本解组1e3x,通解是y=C1+C2e3x2)非齐次通解在fx=e5x中,a=5不是特征方程的根,不妨设y1=Ae5x求导回代方程有A=10-1,所以y1=10-1e5x,非齐次通解为y=C1+C2e3x+10-1e5x例3.求方程y”+y=2sinx的解分析1)这也是关于求二阶非齐次方程通解的问题,它通过先微分齐次方程的特征方程,且求特征根,来解齐次方程的通解,而后再求非齐次方程的特解,根据原方程右边的函数的具体形式fx=2sinx,设出特解形式,回代原方程,通过比较系数方法,可得齐特解,进一步由方程解的结构可写出通解2)它考核的知识点是非齐次方程右边的函数的具有fx=Acosx+Bsinx形式的特解、非齐次方程通解解1齐次通解特征方程r2+1=0特征根r1=ir2=-i基本解组cosxsinx通解是y=C1cosx+C2sinx.2)非齐次通解在fx=2sinx中,=0±i是特征方程的根,不妨设y1=xAcosx+Bsinx求导回代方程有A=-1B=0所以y1=-x*cosx,非齐次通解为y=C1cosx+C2sinx-x*cosx..拉普拉斯变换1)定义,2)性质例4.求函数ft=t的拉普拉斯变换.分析1)是关于求解积分变换的问题,可直接利用拉普拉斯变换定义和性质,计算它的函数值2)它考核的知识点是拉普拉斯变换定义和性质解L[t]====练习
一、填空题1.设函数组是则它的朗斯基行列式为
2、函数,则与是
3、若二阶微分方程是,且设,则特征方程是----,特征根是,二阶微分方程的解是
4、若函数是2阶线性齐次方程的2个线性无关的解,则它的朗斯基行列式是
5、若函数的拉普拉斯变换是,则,
二、选择题
1、二阶常系数齐次微分方程的通解是()(A)(B)(C)(D)
2、三阶微分方程的特征方程其根是,它的基本解组是,则该方程的通解是()(A)(B)(C)(D)
3、二阶微分方程所对应齐次方程的特征根是,而右端函数中是其特征根,则设二阶微分方程的特解是()(A)(B)(C)(D)参考答案
一、填空题
1、
2、线性相关
3、,,
4、
5、
二、选择题
1、(A)
2、C
3、B第4章线性方程组
(一)齐次方程组dY/dx=AxY+Fx
(二)齐次方程组dY/dx=AxY考虑常系数齐次方程组dY/dx=AY,可通过非齐异的线性变换Y=TZ使其为dZ/dx=T-1ATZ由代数知识,存在Ti使ATi=rTi从而(A-rE)Ti=0det(A-rE)=0
(1)若A有不同的单根,得T-1AT=rin*n(对角形)Yi=erx*Tii=12…n为基本解组;
(2)若A有不同的重根,得Yi=erx*Tii=12…n为基本解组;重点方程组矩阵表示,常系数线性方程组解法难点常数变易公式、基本解矩阵、常系数线性方程组解法例1求方程组的通解分析1)是关于求一阶线性齐次方程组的通解的问题,它通过先求齐次方程组的特征方程,且求特征根,利用代数知识来解齐次方程组的通解2)考核的知识点是求齐次方程组通解解1)特征值由系数矩阵A=从而=0,有=0,即,r1=-1r2=
5.2通解设所求解为满足=0,即=0,a+b=0令a=1b=-1有;同理,,所求方程的通解为例2求方程组的通解分析1)本题是关于求一阶线性非齐次方程组通解的问题,它通过先求对应齐次方程组的特征方程,且求其特征根,利用代数知识来解齐次方程组的通解,在利用常数变易法,可求出非齐次方程组的特解,最后由方程组解结构得出非齐次方程组的通解;也可用教材上的公式直接求解2)考核的知识点是求非齐次方程组通解解!)齐次通解,2齐次通解由常数变易法有=,现求导回代原方程有=,从而解之得=,=,所以特解为=,非齐次通解=+.练习
一、选择题将方程式化为一阶方程组是()(A)(B)(C)(D)
二、解答题
1、求解方程组
2、求解方程组参考答案
一、(B).
二、1.提示直接用公式求解,也可单个方程求解2.提示直接用公式求解,也可单个方程求解;若用单个方程求解,先对第二个方程求解,回代第一个方程再求解第5章定性与稳定性的概念
一、相图,轨线、奇点
二、初等奇点的分类,奇点附近的轨线分布x’=a11x+a12yy’=a21x+a22y其中矩阵A=aij2*2,而特征方程detA-rE=0由它们根的不同情况进行拓扑分类,奇点分为结点,鞍点,焦点,中心等
三、极限环与周期解(介绍)
四、系统解的稳定性概念
(1)解的稳定性、解的渐近稳定性概念;
(2)李雅谱诺夫方法---正定Vx函数及其应用重点李雅谱诺夫方法---正定Vx函数及其应用,运动稳定性概念及判定难点二维常系数方程孤立奇点分类,运动稳定性,周期解与极限环(一般了解)例1单摆的运动稳定性分析1本题是研究单摆部分运动规律的问题,它通过先把二阶方程化为一阶方程组,再用在整个区域上取正定Vx函数,通过求全导数,利用稳定性判别定理,可得系统的运动稳定性2)考核的知识点是系统解的稳定性概念解1)由数学建模(牛顿第二定律),列方程有:它可化为系统由此知它的平衡点(奇点)是,对应的摆锤处于最低点的位置;2)利用李雅谱诺夫方法作正定Vx函数有,求全导数得,由于它是负定函数,由稳定性判别定理知,在系统的平衡点(奇点)是稳定的例2.考虑一般的较抽象系统零解的稳定性分析1本题是研究一般的较抽象系统零解的稳定性问题,它通过在整个区域上取正定Vx函数,通过求全导数,利用阶的渐近稳定性判别定理,可得系统零解的渐近稳定性2)考核的知识点是系统解的渐近稳定性概念解作正定的函数=,它在(x1x2)上是正定的,它关于系统的对的全导数是==负定的,由渐近稳定性判别定理知,系统在零解(平衡点即奇点)是渐近稳定的练习
1、函数,则它在平面上是(B)函数(A)正定(B)负定(C)变号(D)不确定
2、求方程组的平衡点
3、研究二阶方程平衡点的稳定性参考答案1.(B)2.(0,0),(1,0)3.平衡点x=y=0是稳定性的提示在
2、中,令方程组右边为零在
3、中,令正定函数为,求导、由稳定性判定定理可得模拟试题
1.填空题20分(每小题2分)1.设方程是则.2.设方程是则.3.若一阶线性非齐次方程是则它的通解.4.若函数组是则它的朗斯基行列式是与对每5.函数是的两个解,则与是线性----关,且它们构成该方程的-------解组6.设二阶方程的特征方程是其特征根是------------------.7.若是n阶线性齐次方程n个线性无关的解,则它的朗斯基行列式Wx---------.8.若是n阶线性齐次方程n个线性无关的解,是非齐次线性方程的特解,则齐次方程的通解是-------------------,非齐次线性方程的通解是-----------------------------------9.设函数在闭区域上满足李普希兹条件,则存在常数L,对R上点有---------------.
10.函数ft的拉普拉斯变换是则:L
[1]=------------------.二选择题30分,每小题4分最后一小题2分
1.设函数连续可微则方程是全微分方程的充分必要条件-----.A.B.C.D.
2.设一阶方程,则它是----(A)线性非齐次方程(B)伯努利方程(C)黎卡堤方程D一般方程
3.二阶微分方程的通解是----.(A)(B)(C)D.
4.5阶方程,我们用代换可有,其通解是,问原方程的通解是------.A.B.C.D
5.若函数是方程得基本解组,方程的通解是----.A..B..C..D..
6.单摆的方程是其对应的一阶线性方程组为-------A.BC.D
7.三阶方程的特征方程的特征根为其基本解组是则该方程的通解是--------(A),BC,D
8.设函数时则它在xoy平面上是------函数.A.正定B.负定C.变号.D.不确定三.计算题50分(1--5每小题8分,6小题10分)
1.求方程的通解
2.求方程的通解
3.求的解
4.求方程的通解,且求该方程满足初始条件的特解
5.求二阶方程的通解
6.求一曲线使其上每一点的切线斜率是该点的横坐标的二倍加一,且通过点附常微分方程模拟试题(主要部分)解答二.
1、A;
2、C;
3、A;
4、A;
5、B;
6、B;
7、B;
8、A;三,
1、解对方程两端乘得,即
2、解分离变量有,,积分有,,得(x=0y=0仍是解)
3、解第一,由知则所求的方程是全微分方程第二,取通积分有,,
4、解令有齐次方程通解,代入初始条件,则解是
5、解令有又由于不是特征方程的根,设求导代回原式有从而通解是,
6、解设所求曲线上的任意点的坐标是(xy)依题意有由曲线过(3,4)点,则从而得C=-8,故曲线方程是。