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文本内容:
《数学分析Ⅱ》课程教学大纲
一、《数学分析》课程说明
(一)课程代码08120002
(二)课程英文名称__the__tical____ysis
(三)开课对象数学专业本科学生
(四)课程性质数学分析是数学专业最重要的一门基础课,是许多后继课程如微分几何,微分方程,复变函数,实变函数与泛函分析,计算方法,概率论与数理统计等课程必备的基础,是数学系本科
一、二年级学生的必修课本课程总学时为324学时,其中讲授课与习题课课时之比约为21,共分四学期完成,分别为数学分析(I),数学分析(II),数学分析(III)数学分析(Ⅳ)
(五)教学目的本课程的教学目的是使学生获得极限论,一元函数微分学,无穷级数与多元函数微积分学等方面的系统知识为进一步学习复变函数论、微分方程、微分几何、概率论、实变分析与泛函分析等后继课程打下坚实的基础
(六)教学内容本课主要内容分为三个部分
(1)一元微积分(包括极限理论和实数完备性的一系列等价命题);
(2)多元微积分;
(3)无穷级数理论(包括广义积分和含参变数积分理论)其中前两部分主要讲述微积分的基本概念、方法和应用,包括一切相关数学原理的严格证明;第
(3)部分讲述线__分和极限理论在无穷级数、含参数广义积分理论中的深入应用极限和实数完备性理论、定积分理论以及极限理论的各种应用对学生抽象思维和逻辑推理的训练,对分析数学中必要的方法技巧的掌握都是至关重要的
(七)学时数、学分数及学时数具体分配教学时数90学时学分数5学分教学时数具体分配教学内容讲授实验/实践合计
六、微分中值定理及应用二1212
七、实数的完备性1212
八、不定积分1414
九、定积分1818
十、定积分的应用1212
十一、反常积分1010
十二、数项级数1212合计9090
(八)教学方式以课堂教学为主,充分利用现代化技术,结合计算机实习与多媒体辅助教学,提高教学效果
(九)考核方式和成绩记载说明考核方式为考试严格考核学生出勤情况,达到学籍管理规定的旷课量取消考试资格综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定,平时成绩占20%,期末成绩占80%
二、讲授大纲与各章的基本要求 第六章微分中值定理及其应用
(二)教学要点:使学生掌握费马定理、洛尔定理、拉格朗日中值及柯西中值定理及其应用,能判断函数的单调性、凸凹性、极值点及拐点,会作函数的图象教学时数:12学时教学内容:第三节泰勒公式(4学时)
一、带有皮亚诺型余项的泰勒公式
二、带有拉格朗日型余项的泰勒公式
三、带有皮亚诺型余项的马克劳林公式第四节函数的极值与最值(2学时)
一、极值判别的充分条件
二、最大值与最小值第五节函数的凸性与拐点(3学时)
一、凸性的定义及判别
二、拐点的定义及判别第六节函数图象的讨论(3学时)
一、函数在各区间上性质的确定
二、图象的描绘考核要求
1、带有皮亚诺型余项的泰勒公式带有拉格朗日型余项的泰勒公式应用
2、带有皮亚诺型余项的马克劳林公式带有拉格朗日型余项的马克劳林公式应用
3、函数的极值判别的充分条件应用
4、最大值与最小值应用
5、凸性的定义及判别识记
6、拐点的定义及判别识记
7、函数在各区间上性质的确定识记
8、图象的描绘应用第七章实数的完备性教学要点:使学生掌握实数的连续性定理,理解连续性定理的等价性,掌握连续性定理等价性证明的方法及连续性定理的应用教学时数:12学时教学内容:实数完备性的基本定理第一节实数集完备性的基本定理(6学时)
一、区间套定理与柯西收敛准则
二、聚点定理与有限覆盖定理第二节闭区间上连续函数性质的证明(6学时)
一、有界性定理和最值定理的证明
二、一致连续性定理的证明考核要求
1、叙述区间套定义识记
2、叙述聚点的定义及聚点的等价定义识记
3、闭区间套定理的条件和结论证明及证明识记
4、Weierstrass聚点原理的条件和结论识记
5、应用闭区间套定理证明聚点原理识记
7、应用Chauchy收敛准则证明聚点原理识记
8、应用聚点原理证明Chauchy准则识记
9、证明致密性定理识记
10、叙述一个__的覆盖定义识记
11、应用闭区间套定理证明有限覆盖定理识记
12、应用聚点原理证明有限覆盖定理识记
13、研究关于实数的几个定理的等价性应用
14、证明闭区间上的连续函数的有界性,几何解释该定理的证明识记
15、证明闭区间上的连续函数的最大最小值定理,几何解释该定理的证明识记
16、证明闭区间上的连续函数的介值定理,几何解释该定理的证明识记
17、证明闭区间上的连续函数的一致连续性,几何解释该定理的证明识记第八章不定积分教学要点:使学生掌握原函数的概念,掌握不定积分的基本公式,掌握换元法和分部积分法,能熟练地计算不定积分教学时数:14学时教学内容:第一节不定积分概念与基本积分公式(4学时)
一、原函数与不定积分
二、基本积分表第二节换元积分法与分部积分法(5学时)
一、换元积分法
二、分部积分法第三节有理函数和简单无理函数的不定积分(5学时)
一、有理函数的不定积分
二、三角函数有理式的不定积分
三、某些简单无理函数的不定积分考核要求
1、原函数的概念识记
2、不定积分的概念识记
3、运用凑微分法计算不定积分应用
4、几个基本积分变换的应用应用
5、分部积分法的应用应用
6、有理函数的不定积分计算的方法应用
7、综合运用上述方法求函数的不定积分应用第九章定积分教学要点:使学生掌握定积分的概念和性质,掌握可积准则及三类可积函数,掌握牛顿——莱布尼兹公式,并能熟练地计算定积分教学时数:18学时教学内容:第一节定积分概念(2学时)
一、定积分的定义
二、定积分的几何意义第二节可积条件(6学时)
一、可积的必要条件
二、可积的充要条件
三、可积函数类第三节定积分的性质(4学时)
一、定积分的基本性质
二、积分中值定理第四节微分学基本定理(4学时)
一、变上限积分与原函数的存在性定理
二、牛顿一莱布尼兹公式
三、换元法与分部积分法考核要求
1、理解曲边梯形的__计算这实际背景领会
2、定积分的定义识记
3、几何上说明定积分是一个和式的极限的意义领会
4、计算一个函数的和式的极限应用
5、定积分存在的达布方法应用
6、定积分存在的充要条件的几何意义应用
7、可积函数的类型应用
8、从Rie__nn函数的可积性理解定积分存在的第二充分必要条件应用
9、定积分性质应用
10、牛顿—莱布尼茨公式应用
11、定积分计算的各种技巧应用第十章定积分的应用教学要点:使学生掌握定积分在几何上的某些应用,能求平面图形的__、旋转体的体积、曲线的弧长等教学时数:12学时教学内容:第一节平面图形的__(3学时)
一、曲线是直角坐标方程时图形的__公式
二、曲线是极坐标方程时图形的__公式第二节由平行截__求体积(3学时)
一、由截__求体积的一般公式
二、旋转体体积公式第三节平面曲线的弧长(3学时)
一、弧长的定义
二、弧长公式第四节旋转曲面的__(3学时)
一、微元法
二、旋转曲面的__公式考核要求
1、平面图形的__应用
2、曲线弧长应用
3、体积和旋转曲面的__应用
4、在物理中的应用应用第十一章反常积分教学要点:使学生掌握反常积分收敛和发散的概念,能判别反常积分的敛散性,能计算收敛的反常积分教学时数:10学时教学内容:无穷积分和瑕积分收敛的判别法第一节反常积分的概念(2学时)
一、无穷积分的概念
二、瑕积分的概念第二节无穷积分的性质与收敛判别法(4学时)
一、无穷积分的性质
二、比较判别法,狄里克雷判别法,阿贝尔判别法第三节瑕积分的性质与收敛判别法(4学时)
一、瑕积分的性质
二、收敛判别法考核要求
1、无穷积分的概念识记
2、瑕积分的概念识记
3、无穷积分的性质识记
4、无穷积分的比较判别法,狄里克雷判别法,阿贝尔判别法应用
5、瑕积分的性质识记
6、瑕积分的收敛判别法应用第十二章数项级数教学要点:使学生掌握数项级数收敛发散的概念,掌握级数收敛的判别方法,能判别常见级数的敛散性教学时数:14学时教学内容:第一节级数的收敛性(4学时)
一、数项级数收敛的概念
二、柯西收敛准则第二节正项级数(5学时)
一、正项级数收敛性的一般判别原则
二、比式判别法和根式判别法
三、积分判别法第三节一般项级数(5学时)
一、交错级数
二、绝对收敛和条件收敛
三、阿贝尔判别法和狄里克雷判别法考核要求
1、级数收敛和级数发散的定义识记
2、级数收敛与数列的收敛做比较应用
3、项级数收敛的比较判别法识记
4、Cauchy判别法和比值判别法中的基本级数应用
5、正确运用上述判别法判别一个正项级数的收敛和发散应用
6、绝对收敛和条件收敛识记
7、Leibnizi判别法应用
8、Abel和Dirichlet判别法于一般项级数的收敛判别应用
三、推荐教材和参考书目
1、《数学分析》,华东师大数学系编,第三版高等教育出版社
20012、《数学分析》刘玉琏、傅沛仁编,第三版高等教育出版社
19943、《数学分析》陈纪修编,第二版高等教育出版社
20044、《数学分析》周民强编,第二版__科技出版社
20035、《数学分析中典型的问题及方法》裴文礼著,高等教育出版社19__
6、《数学分析习题集题解》费定晖第二版山东科学技术出版社
20017、《数学分析的方法与题解》赵显曾编,第一版陕西师大出版社
20058、《数学分析习题及其解答》邹应编,第一版武汉大学出版社
20029、《ProblemsandTheoremsin____ysisVol.1》Polya.G.SzegoSpringer-Verlang
1972.
10、《ProblemsandPropositionsin____ysis》Gabriel.KlambauerPrintedintheUnitedStatesofAmerica
1979.。