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12.4一阶线性微分方程
一、线性方程线性方程:方程叫做一阶线性微分方程.如果Qx0则方程称为齐次线性方程否则方程称为非齐次线性方程.方程叫做对应于非齐次线性方程的齐次线性方程.下列方程各是什么类型方程?1是齐次线性方程23x25x5y0y3x25x是非齐次线性方程3yycosxesinx是非齐次线性方程4不是线性方程5或不是线性方程齐次线性方程的解法:齐次线性方程是变量可分离方程.分离变量后得两边积分得或这就是齐次线性方程的通解(积分中不再加任意常数).例1求方程的通解.解这是齐次线性方程分离变量得两边积分得ln|y|ln|x2|lnC方程的通解为yCx
2.非齐次线性方程的解法:将齐次线性方程通解中的常数换成x的未知函数ux把设想成非齐次线性方程的通解.代入非齐次线性方程求得化简得于是非齐次线性方程的通解为或.非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和.例2求方程的通解.解这是一个非齐次线性方程.先求对应的齐次线性方程的通解.分离变量得两边积分得lny2lnx1lnC齐次线性方程的通解为yCx
12.用常数变易法.把C换成u即令yu×x12代入所给非齐次线性方程得两边积分得.再把上式代入yux12中即得所求方程的通解为.解:这里.因为所以通解为.例3有一个电路如图所示其中电源电动势为EEmsintEm、都是常数电阻R和电感L都是常量.求电流it.解由电学知道当电流变化时L上有感应电动势.由回路电压定律得出即.把EEmsint代入上式得.初始条件为i|t
00.方程为非齐次线性方程其中.由通解公式得.其中C为任意常数.将初始条件i|t00代入通解得因此所求函数it为.
二、伯努利方程伯努利方程:方程n01叫做伯努利方程.下列方程是什么类型方程?1是伯努利方程.2是伯努利方程.3是伯努利方程.4是线性方程不是伯努利方程.伯努利方程的解法:以yn除方程的两边得令zy1n得线性方程.例4求方程的通解.解以y2除方程的两端得即令zy1则上述方程成为.这是一个线性方程它的通解为.以y1代z得所求方程的通解为.经过变量代换某些方程可以化为变量可分离的方程或化为已知其求解方法的方程.例5解方程.解若把所给方程变形为即为一阶线性方程则按一阶线性方程的解法可求得通解.但这里用变量代换来解所给方程.令xyu则原方程化为即.分离变量得两端积分得uln|u1|xln|C|.以uxy代入上式得yln|xy1|ln|C|或x__yy1。