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文本内容:
__的含义及其表示
一、__1.__某些指定的对象集在一起成为__
(1)__中的对象称元素,若a是__A的元素,记作;若b不是__A的元素,记作;
(2)__中的元素必须满足确定性、互异性与无序性;确定性设A是一个给定的__,x是某一个具体对象,则或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立;互异性一个给定__中的元素,指属于这个__的互不相同的个体(对象),因此,同一__中不应重复出现同一元素;无序性__中不同的元素之间没有地位差异,__不同于元素的排列顺序无关;
(3)表示一个__可用列举法、描述法或图示法;列举法把__中的元素一一列举出来,写在大括号内;描述法把__中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内具体方法在大括号内先写上表示这个__元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个__中元素所具有的共同特征注意列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般__中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法
(4)常用数集及其记法非负整数集(或自然数集),记作N;正整数集,记作N*或N+;整数集,记作Z;有理数集,记作Q;实数集,记作R2.__的包含关系
(1)__A的任何一个元素都是__B的元素,则称A是B的子集(或B包含A),记作AB(或);__相等构成两个__的元素完全一样若AB且BA,则称A等于B,记作A=B;若AB且A≠B,则称A是B的真子集,记作AB;
(2)简单性质1)AA;2)A;
(3)若AB,BC,则AC;
(4)若__A是n个元素的__,则__A有2n个子集(其中2n-1个真子集); 3.全集与补集
(1)包含了我们所要研究的各个__的全部元素的__称为全集,记作U;
(2)若S是一个__,AS,则,=称S中子集A的补集;
(3)简单性质1)=A;2)S=,=S 4.交集与并集
(1)一般地,由属于__A且属于__B的元素所组成的__,叫做__A与B的交集交集
(2)一般地,由所有属于__A或属于__B的元素所组成的__,称为__A与B的并集 注意求__的并、交、补是__间的基本运算,运算结果仍然还是__,区分交集与并集的关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合Venn图或数轴进而用__语言表达,增强数形结合的思想方法 5.__的简单性质
(1)
(2)
(3)
(4);
(5)(A∩B)=(A)∪(B),(A∪B)=(A)∩(B)
二、函数 1.函数的概念设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于__A中的任意一个数x,在__B中都有唯一确定的数fx和它对应,那么就称f A→B为从__A到__B的一个函数记作y=fx,x∈A其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的__{fx|x∈A}叫做函数的值域 注意
(1)“y=fx”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=gx”;
(2)函数符号“y=fx”中的fx表示与x对应的函数值,一个数,而不是f乘x 2.构成函数的三要素定义域、对应关系和值域
(1)解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域,函数的定义域包含三种形式
①自然型指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围(如分式函数的分母不为零,偶次根式函数的被开方数为非负数,对数函数的真数为正数,等等);
②限制型指命题的条件或人为对自变量x的限制,这是函数学习中重点,往往也是难点,因为有时这种限制比较隐蔽,容易犯错误;
③实际型解决函数的综合问题与应用问题时,应认真考察自变量x的实际意义
(2)求函数的值域是比较困难的数学问题,中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题
①配方法(将函数转化为二次函数);
②判别式法(将函数转化为二次方程);
③不等式法(运用不等式的各种性质);
④函数法(运用基本函数性质,或抓住函数的单调性、函数图像等) 3.两个函数的相等函数的定义含有三个要素,即定义域A、值域C和对应法则f当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定因此,定义域和对应法则为函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数 4.区间
(1)区间的分类开区间、闭区间、半开半闭区间;
(2)无穷区间;
(3)区间的数轴表示 5.映射的概念一般地,设A、B是两个非空的__,如果按某一个确定的对应法则f,使对于__A中的任意一个元素x,在__B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f AB为从__A到__B的一个映射记作“f AB”函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空__”,按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系,这种的对应就叫映射 注意
(1)这两个__有先后顺序,A到B的射与B到A的映射是截然不同的.其中f表示具体的对应法则,可以用汉字叙述
(2)“都有唯一”什么意思?包含两层意思一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思 6.常用的函数表示法
(1)解析法就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式;
(2)列表法就是列出表格来表示两个变量的函数关系;
(3)图像法就是用函数图像表示两个变量之间的关系 7.分段函数 若一个函数的定义域分成了若干个子区间,而每个子区间的解析式不同,这种函数又称分段函数; 8.复合函数 若y=fu,u=gxxa,b,umn,那么y=f[gx]称为复合函数,u称为中间变量,它的取值范围是gx的值域
三、函数性质 1.奇偶性
(1)定义如果对于函数fx定义域内的任意x都有f-x=-fx,则称fx为奇函数;如果对于函数fx定义域内的任意x都有f-x=fx,则称fx为偶函数如果函数fx不具有上述性质,则fx不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则fx既是奇函数,又是偶函数注意函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)
(2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤
①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;
②确定f-x与fx的关系;
③作出相应结论若f-x=fx或f-x-fx=0,则fx是偶函数;若f-x=-fx或f-x+fx=0,则fx是奇函数
(3)简单性质
①图像的对称性质一个函数是奇函数的充要条件是它的图像关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图像关于y轴对称;
②设,的定义域分别是,那么在它们的公共定义域上奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇2.单调性
(1)定义一般地,设函数y=fx的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时,都有fx1fx2(fx1fx2),那么就说fx在区间D上是增函数(减函数);注意1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;
②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1x2时,总有fx1fx2
(2)如果函数y=fx在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=fx在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=fx的单调区间
(3)设复合函数y=f[gx],其中u=gxA是y=f[gx]定义域的某个区间,B是映射g:x→u=gx的象集
①若u=gx在A上是增(或减)函数,y=fu在B上也是增(或减)函数,则函数y=f[gx]在A上是增函数;
②若u=gx在A上是增(或减)函数,而y=fu在B上是减(或增)函数,则函数y=f[gx]在A上是减函数
(4)判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数fx在给定的区间D上的单调性的一般步骤
①任取x1,x2∈D,且x1x2;2作差fx1-fx2;3变形(通常是因式分解和配方);4定号(即判断差fx1-fx2的正负);
⑤下结论(即指出函数fx在给定的区间D上的单调性)
(5)简单性质
①奇函数在其对称区间上的单调性相同;
②偶函数在其对称区间上的单调性相反;
③在公共定义域内增函数增函数是增函数;减函数减函数是减函数;增函数减函数是增函数;减函数增函数是减函数3.最值
(1)定义最大值一般地,设函数y=fx的定义域为I,如果存在实数M满足
①对于任意的x∈I,都有fx≤M;
②存在x0∈I,使得fx0=M那么,称M是函数y=fx的最大值最小值一般地,设函数y=fx的定义域为I,如果存在实数M满足
①对于任意的x∈I,都有fx≥M;
②存在x0∈I,使得fx0=M那么,称M是函数y=fx的最大值注意1函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在x0∈I,使得fx0=M;
②函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的x∈I,都有fx≤M(fx≥M)
(2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法
①利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;2利用图象求函数的最大(小)值;
③利用函数单调性的判断函数的最大(小)值如果函数y=fx在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=fx在x=b处有最大值fb;如果函数y=fx在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=fx在x=b处有最小值fb;4.周期性
(1)定义如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意x,都有fx+T=fx,则称fx为周期函数;
(2)性质
①fx+T=fx常常写作若fx的周期中,存在一个最小的正数,则称它为fx的最小正周期;
②若周期函数fx的周期为T,则fωx(ω≠0)是周期函数,且周期为5.函数图象
(1)作图方法以解析式表示的函数作图象的方法有两种,即列表描点法和图象变换法,掌握这两种方法是本讲座的重点作函数图象的步骤
①确定函数的定义域;
②化简函数的解析式;
③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势);
④描点连线,画出函数的图象运用描点法作图象应避免描点前的盲目性,也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处,要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段,是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换,以及确定怎样的变换,这也是个难点
(2)三种图象变换平移变换、对称变换和伸缩变换等等;
①平移变换Ⅰ、水平平移函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右平移个单位即可得到;1)y=fxy=fx+h;2)y=fxy=fxh;Ⅱ、竖直平移函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下平移个单位即可得到;1)y=fxy=fx+h;2)y=fxy=fxh
②对称变换Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到;y=fxy=fxⅡ、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到;y=fxy=fxⅢ、函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到;y=fxy=fxⅣ、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到y=fxx=fyⅤ、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称即可得到;y=fxy=f2ax
③翻折变换Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像的轴__部分沿轴翻折到轴上方,去掉原轴__部分,并保留的轴上方部分即可得到;Ⅱ、函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到
④伸缩变换Ⅰ、函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长或压缩()为原来的倍得到;y=fxy=afxⅡ、函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或压缩()为原来的倍得到fxy=fxy=f
(3)识图分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面6.方程的根与函数的零点
(1)函数零点概念对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点函数零点的意义函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点二次函数的零点1)△>0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点;2)△=0,方程有两相等实根(二重根),二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点;3)△<0,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点零点存在性定理如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数在区间内有零点既存在,使得,这个也就是方程的根
7.二分法二分法及步骤对于在区间,上连续不断,且满足·的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.给定精度,用二分法求函数的零点近似值的步骤如下
(1)确定区间,,验证·,给定精度;
(2)求区间,的中点;
(3)计算
①若=,则就是函数的零点;
②若·,则令=(此时零点);
③若·,则令=(此时零点);
(4)判断是否达到精度;即若,则得到零点零点值(或);否则重复步骤2~4注函数零点的性质从“数”的角度看即是使的实数;从“形”的角度看即是函数的图象与轴交点的横坐标;若函数的图象在处与轴相切,则零点通常称为不变号零点;若函数的图象在处与轴相交,则零点通常称为变号零点注用二分法求函数的变号零点二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点8.二次函数的基本性质
(1)二次函数的三种表示法y=ax2+bx+c;y=ax-x1x-x2;y=ax-x02+n
(2)当a0,fx在区间[p,q]上的最大值M,最小值m,令x0=p+q若-p,则fp=m,fq=M;若p≤-x0,则f-=m,fq=M;若x0≤-q,则fp=M,f-=m;若-≥q,则fp=M,fq=m
(3)二次方程fx=ax2+bx+c=0的实根分布及条件
①方程fx=0的两根中一根比r大,另一根比r小a·fr0;
②二次方程fx=0的两根都大于r
③二次方程fx=0在区间p,q内有两根
④二次方程fx=0在区间p,q内只有一根fp·fq0,或fp=0检验或fq=0检验检验另一根若在p,q内成立
四、基本函数1.指数与对数运算
(1)根式的概念
①定义若一个数的次方等于,则这个数称的次方根即若,则称的次方根,1)当为奇数时,次方根记作;2)当为偶数时,负数没有次方根,而正数有两个次方根且互为相反数,记作
②性质1);2)当为奇数时,;3)当为偶数时,
(2)幂的有关概念
①规定1)N*;n个2);3)Q,4)、N*且
②性质1)、Q);2)、Q);3)Q)注上述性质对r、R均适用
(3)对数的概念
①定义如果的b次幂等于N,就是,那么数称以为底N的对数,记作其中称对数的底,N称真数1)以10为底的对数称常用对数,记作;2)以无理数为底的对数称自然对数,,记作;
②基本性质1)真数N为正数(负数和零无对数);2);3);4)对数恒等式
③运算性质如果则1);2);3)R)
④换底公式1);2)2.指数函数与对数函数
(1)指数函数
①定义函数称指数函数,1)函数的定义域为R;2)函数的值域为;3)当时函数为减函数,当时函数为增函数
②函数图像1)指数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在第
一、二象限;2)指数函数都以轴为渐近线(当时,图象向左无限接近轴,当时,图象向右无限接近轴);3)对于相同的,函数的图象关于轴对称
③函数值的变化特征
(2)对数函数
①定义函数称对数函数,1)函数的定义域为;2)函数的值域为R;3)当时函数为减函数,当时函数为增函数;4)对数函数与指数函数互为反函数
②函数图像1)对数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在第
一、四象限;2)对数函数都以轴为渐近线(当时,图象向上无限接近轴;当时,图象向下无限接近轴);3)对于相同的,函数的图象关于轴对称
③函数值的变化特征3.幂函数在第一象限的图象,可分为如图中的三类图在考查学生对幂函数性的掌握和运用函数的性质解决问题时,所涉及的幂函数中限于在__中取值幂函数有如下性质
(1)它的图象都过(1,1)点,都不过第四象限,且除原点外与坐标轴都不相交;
(2)定义域为R或的幂函数都具有奇偶性,定义域为的幂函数都不具有奇偶性;
(3)幂函数都是__函数;在第一象限中,当时为减函数,当时为增函数;
(4)任意两个幂函数的图象至少有一个公共点(1,1),至多有三个公共点;必修2知识点
一、立体几何初步
(一)几何体1.柱、锥、台、球的结构特征
(1)柱棱柱一般的,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱;棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面,简称为底;其余各面叫做棱柱的侧面;相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……圆柱以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱;旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线棱柱与圆柱统称为柱体;
(2)锥棱锥一般的有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥;这个多边形面叫做棱锥的底面或底;有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面;各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点;相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……圆锥以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥;旋转轴为圆锥的轴;垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面;斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面棱锥与圆锥统称为锥体
(3)台棱台用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫做棱台;原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面;棱台也有侧面、侧棱、顶点圆台用一个平行于底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分叫做圆台;原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面;圆台也有侧面、母线、轴圆台和棱台统称为台体
(4)球以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体,简称为球;半圆的圆心叫做球的球心,半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球的直径
(5)组合体由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体2.空间几何体的三视图三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体,画出的空间几何体的图形他具体包括
(1)正视图物体前后方向投影所得到的投影图;它能反映物体的高度和长度;
(2)侧视图物体左右方向投影所得到的投影图;它能反映物体的高度和宽度;
(3)俯视图物体上__向投影所得到的投影图;它能反映物体的长度和宽度;3.空间几何体的直观图
(1)斜二测画法
①建立直角坐标系,在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX,OY,建立直角坐标系;
②画出斜坐标系,在画直观图的纸上(平面上)画出对应的O’X’O’Y’使=450(或1350),它们确定的平面表示水平平面;
③画对应图形,在已知图形平行于X轴的线段,在直观图中画成平行于X‘轴,且长度保持不变;在已知图形平行于Y轴的线段,在直观图中画成平行于Y‘轴,且长度变为原来的一半;
④擦去辅助线,图画好后,要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线(虚线)
(2)平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的,中心投影的投影线相交于一点
(二)__与体积1.多面体的__和体积公式名称侧__S侧全__S全体积V棱柱棱柱直截面周长×lS侧+2S底S底·h=S直截面·h直棱柱chS底·h棱锥棱锥各侧__之和S侧+S底S底·h正棱锥ch′棱台棱台各侧面__之和S侧+S上底+S下底hS上底+S下底+正棱台c+c′h′表中S表示__,c′、c分别表示上、下底面周长,h表斜高,h′表示斜高,l表示侧棱长2.旋转体的__和体积公式名称圆柱圆锥圆台球S侧2πrlπrlπr1+r2lS全2πrl+rπrl+rπr1+r2l+πr21+r224πR2Vπr2h即πr2lπr2hπhr21+r1r2+r22πR3表中l、h分别表示母线、高,r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径,r
1、r2分别表示圆台上、下底面半径,R表示半径
(三)空间点线面1.平面概述
(1)平面的两个特征
①无限延展
②平的(没有厚度)
(2)平面的画法通常画平行四边形来表示平面
(3)平面的表示用一个小写的希腊字母、、等表示,如平面、平面;用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示,如平面AC2.三公理三推论:公理1若一条直线上有两个点在一个平面内,则该直线上所有的点都在这个平面内ABAB公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的__是一条过这个公共点的直线公理3经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面推论一经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面推论二经过两条相交直线有且只有一个平面推论三经过两条平行直线有且只有一个平面3.空间直线:
(1)空间两条直线的位置关系相交直线——有且仅有一个公共点;平行直线——在同__面内,没有公共点;异面直线——不同在任何一个平面内,没有公共点相交直线和平行直线也称为共面直线异面直线的画法常用的有下列三种
(2)平行直线在平面几何中,平行于同一条直线的两条直线互相平行,这个结论在空间也是成立的即公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行
(3)异面直线定理连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式与a是异面直线4.直线和平面的位置关系
(1)直线在平面内(无数个公共点);
(2)直线和平面相交(有且只有一个公共点);
(3)直线和平面平行(没有公共点)——用两分法进行两次分类它们的图形分别可表示为如下,符号分别可表示为,,线面平行的判定定理如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行推理模式.线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行推理模式.5.两个平面的位置关系有两种两平面相交(有一条公共直线)、两平面平行(没有公共点)
(1)两个平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面,那么这两个平面平行定理的模式推论如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,那么这两个平面互相平行推论模式
(2)两个平面平行的性质
(1)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平6.线线垂直判断线线垂直的方法所成的角是直角,两直线垂直;垂直于平行线中的一条,必垂直于另一条三垂线定理在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那麽它也和这条斜线的射影垂直推理模式注意⑴三垂线指PA,PO,AO都垂直α内的直线a其实质是斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a的位置,并注意两定理交替使用7.线面垂直定义如果一条直线l和一个平面α相交,并且和平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l和平面α互相垂直其中直线l叫做平面的垂线,平面α叫做直线l的垂面直线与平面的交点叫做垂足直线l与平面α垂直记作l⊥α直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面直线和平面垂直的性质定理如果两条直线同垂直于一个平面那么这两条直线平行8.面面垂直两个平面垂直的定义相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面两平面垂直的判定定理(线面垂直面面垂直)如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直两平面垂直的性质定理(面面垂直线面垂直)若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面
二、解析几何初步1.倾斜角一条直线L向上的方向与X轴的正方向所成的最小正角,叫做直线的倾斜角,范围为2.斜率当直线的倾斜角不是900时,则称其正切值为该直线的斜率,即k=tan;当直线的倾斜角等于900时,直线的斜率不存在3.过两点p1x1y1p2x2y2x1≠x2的直线的斜率公式:k=tan(若x1=x2,则直线p1p2的斜率不存在,此时直线的倾斜角为900)4.直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相__的条件确定直线方程的形式很多,但必须注意各种形式的直线方程的适用范围名称方程说明适用条件斜截式y=kx+bk——斜率b——纵截距倾斜角为90°的直线不能用此式点斜式y-y0=kx-x0x0,y0——直线上已知点,k——斜率倾斜角为90°的直线不能用此式两点式=x1,y1,x2,y2是直线上两个已知点与两坐标轴平行的直线不能用此式截距式+=1a——直线的横截距b——直线的纵截距过(0,0)及与两坐标轴平行的直线不能用此式一般式Ax+By+C=0,,分别为斜率、横截距和纵截距A、B不能同时为零直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在(垂直于x轴)的直线;两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线;截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线5.直线l1与直线l2的的平行与垂直
(1)若l1,l2均存在斜率且不重合
①l1//l2k1=k2;
②l1l2k1k2=-1
(2)若若A
1、A
2、B
1、B2都不为零
①l1//l2;
②l1l2A1A2+B1B2=0;
③l1与l2相交;
④l1与l2重合;注意若A2或B2中含有字母,应注意讨论字母=0与0的情况两条直线的交点:两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数6.距离
(1)两点间距离若,则特别地轴,则、轴,则
(2)平行线间距离若,则注意点x,y对应项系数应相等
(3)点到直线的距离,则P到l的距离为7.圆的方程圆心为,半径为r的圆的标准方程为特殊地,当时,圆心在原点的圆的方程为圆的一般方程,圆心为点,半径,其中二元二次方程,表示圆的方程的充要条件是
①、项项的系数相同且不为0,即;
②、没有xy项,即B=0;
③、 8.直线与圆的位置关系有三种
(1)若,;
(2);
(3)还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组求解,通过解的个数来判断
(1)当方程组有2个公共解时(直线与圆有2个交点),直线与圆相交;
(2)当方程组有且只有1个公共解时(直线与圆只有1个交点),直线与圆相切;
(3)当方程组没有公共解时(直线与圆没有交点),直线与圆相离;即将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,设它的判别式为Δ,圆心C到直线l的距离为d则直线与圆的位置关系满足以下关系相切d=rΔ=0;相交drΔ0;相离drΔ0 4.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,;;;;;外离外切相交内切内含 判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决
①,
②,
③①,
②,
③,
①,
②,
③.
①,
②,
③.。