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文本内容:
【第7节课】【课题】一元二次方程根的判别式
(1)【课型】新课型【教学目标】
1、理解一元二次方程的根的判别式,并能用判别式判定根的情况;
2、通过根的判别式的学习培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力;
3、通过根的情况的研究过程,让学生深刻体会转化和分类的思想方法.【重点】会用判别式判定根的情况.【难点】一元二次方程根的三种情况的推导.【解决办法】
(1)求判别式时,应先将方程化为一般形式,确定a、b、c的值.
(2)利用判别式可以判定一元二次方程的存在性情况(共四种);方程有两个实数根,方程有两个不相等的实数根,方程有两个相等的实数根,方程没有实数根.【教学方法】学案导学法
(1)平方根的性质是什么?
(2)解下列方程
①;
②;
③.问题
(1)为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用.问题
(2)通过学生亲身__根的情况,对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用.
2、任何一个一元二次方程用配方法将其变形为,∵,∴,因此对于被开方数来说,只需研究的即可情况的方程的根.
(一)【探究点】一元二次方程根的判别式
(1)当时,方程有两个不相等的实数根.即,.
(2)当时,方程有两个相等的实数根,即.
(3)当时,方程没有实数根.教师通过引导之后,提问究竟谁决定了一元二次方程根的情况?
3、
①定义把叫做一元二次方程的根的判别式,通常用符号“”表示.
②一元二次方程.当时,有两个不相等的实数根;当时,有两个相等的实数根;当时,没有实数根.反之亦然.注意以下几个问题
(1)∵,∴,这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用,即对上式开平方,随后有下面三种情况.正确得出三种情况的结论,需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解,所以,在课前进行了铺垫.在这里应向学生渗透转化和分类的思想方法.
(2)当,说“方程没有实数根”比较好.有时,也说“方程无解”.这里的前提是“在实数范围内无解”,也就是方程无实数根的意思.通过提问,帮助学生__知识
1、根的判别式的含义在一元二次方程()的求根公式的推导过程中,我们已经知道,一元二次方程是否有实数根,关键由的值的符号来确定.我们把叫做一元二次方程根的判别式,且用符号“”表示,即=.
2、一元二次方程根的判别式
(1)当>0时,方程有两个不相等的实数根;
(2)当=0时,方程有两个相等的实数根;
(3)当<0时,方程没有实数根.反之也成立,即当方程有两个不相等的实数根时,>0;当方程有两个相等的实数根时,=0;当方程没有实数根时,<0.归纳整理
1、不解方程判别方程根的情况;
2、根据方程根的情况确定字母系数的取值范围;
3、求解与根有关的综合题;
4、讨论、解与一元二次方程有关根的存在问题.【例题精讲】例
1、不解方程,判别下列方程的根的情况
(1);
(2);
(3).解
(1)∵,∴原方程有两个不相等的实数根.
(2)原方程可变形为.∵,∴原方程有两个相等的实数根.
(3)原方程可变形为.∵,∴原方程没有实数根学生总结步骤,
(1)
(2);
(3)强调两点
(1)只要能判别值的符号就行,具体数值不必计算出.
(2)判别根据的情况,不必求出方程的根.练习不解方程,判别下列方程的情况
(1);
(2);
(3);
(4);例
2、不解方程,判别方程的根的情况.
(二)知识小结(引导学生进行知识小结)
1、判别式的意义及一元二次方程根的情况.
(1)定义把叫做一元二次方程的根的判别式,通常用符号“”表示.
(2)一元二次方程.当时,有两个不相等的实数根;当时,有两个相等的实数根;当时,没有实数根.反之亦然.
2、通过根的情况的研究过程,深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法.
三、训练学案
1、填空题
(1)一元二次方程的根的判别式的值是,它的根的情况是.
(2)一元二次方程的根的情况是.
(3)关于x的方程的根的判别式的值是9,则.
(4)若方程有两个相等的实数根,则.
(5)关于x的方程有两个实数根,则.
(6)方程没有实数根,则的取值范围是.
(7)若方程的根的判别式是18,则.
2、选择题
(1)下列方程中,有两个相等实数根的是();(A);(B);(C);(D).
(2)方程根的情况是()(A)有二正实根;(B)有二负实根;(C)有二等根;(D)无实根.
(3)下列关于的一元二次方程中没有实数根的是()(A);(B);(C);(D)(为任意实数).
(4)若关于x的方程没有实数根,则k的最小整数值是();(A);(B)1;(C)2;(D)不存在.
(5)下列命题中,正确的是();(A)方程只有一个实根(B)方程有两个相等的实数根(C)方程没有实数根(D),方程有两个不相等的实数根.
(6)一元二次方程的根的情况是().(A)有两个相等的实数根;(B)有两个不相等的实数根;(C)只有一个实数根(D)没有实数根.
(7)关于的方程有实数根,则的取值范围()(A);(B)且;(C)≥;(D)≥且.
四、课后作业当堂巩固性作业
1、填空题
(1)关于x的方程的根判别式,当时,此方程有两个相等的实数根.
(2)若,且关于的一元二次方程有两个相等的实根,则此方程的解为.
(3)当时,关于的方程有两不等实根.
2、选择题
(1)关于的方程无实根,那么的最小整数值是()(A)3;(B)4;(C)5;(D)6.
(2)若关于的方程有实数根,则满足条件的的非负整数值是()(A)0,1;(B)0,1,2;(C)1;(D)1,2,3.
3、不解方程,判断下x的方程的根的情况
(1);
(2)
(3);
(4);
(5).课后反思【第8节课】【课题】根的判别式
(2)【课型】新课型【教学目标】
1、使学生进一步熟练运用判别式判别一元二次方程极的情况.
2、学会运用判别式求符合题意的字母的取值范围和进行有关的证明.
3、培养学生思维的严密性,逻辑性和灵活性.
4、培养学生的推理论证能力.
5、通过例题教学,渗透分类的思想.【重点】运用判别式求出符合题意的字母的取值范围.【难点】“一元二次方程,当时,有两个不相等的实数根;当时,有两个相等的实数根;当时,没有实数根”可看作一个定理,“反过来也成立”,实际上是指它的逆命题也成立.对此的正确理解是本节课的难点.可以把这个逆命题作为逆定理.
(一)【探究点】一元二次方程根的判别式通过提问,帮助学生__知识
(1)>0方程有两个不相等的实数根;
(2)=0方程有两个相等的实数根;
(3)<0方程没有实数根.【例题精讲】例
1、已知关于的方程取什么值时
(1)方程有两个不相等的实数根;
(2)方程有两个相等的实数根;
(3)方程无实数根..练习
1、已知关于的方程,取什么值时,
(1)方程有两个不相等的实数根?
(2)方程有两个相等的实数根?
(3)方程没有实数根?练习
2、已知关于的一元二次方程有两个实数根,求的取值范围.例
2、求证方程没有实数根.分析将算出,论证即可得证证明∵不论m为任何实数,∴,即.∴方程没有实根.练习证明有两上不相等的实数根.
四、训练学案1.当方程有实数根时,求的正整数解2.证明方程恒有实数根.
3、已知关于x的方程有两个相等的实数根,求k的值,并求此时方程的根.
4、m为何值时,一元二次方程.
①有两个不相等的实数根;
②有两个相等的实数根;
③没有实数根?
5、为何值时,方程,
(1)有两相等实数根;
(2)如果方程有一根为1,求的值.
五、课后作业教材章末复习题第
2、
9、18题补充题
1、证明关于x的方程没有实数根
2、如果方程有两个不相等的实数根,证明方程也有两个不相等的实数根.
3、证明
(1)求证方程有两个不相等的实数根.
(2)已知、、是一个三角形的三条边长,求证一元二次方程没有实数根.课后反思【第9节课】【课题】根与系数的关系
(1)【课型】新课型【教学目标】
1、掌握一元二次方程根与系数的关系式,能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数;
2、通过根与系数的教学,进一步培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力;
3、通过本节课的教学,向学生渗透由特殊到一般,再由一般到特殊的认识事物的规律.【重点】根与系数的关系及其推导.【难点】正确理解根与系数的关系.教学疑点一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和,两根的积与系数的关系.解决办法;在实数范围内运用韦达定理,必须注意≥0这个前提条件,而应用判别式的前提条件是方程必须是一元二次方程,即二次项系数,因此,解题时,要根据题目分析题中有没有隐含条件≥0和复习提问
(1)写出一元二次方程的一般式和求根公式.
(2)解方程
①,
②.观察、思考两根和、两根积与系数的关系.
(一)【探究点】一元二次方程的根与系数的关系(即韦达定理)
1、推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系.设,是方程的两个根.∵,(≥0)∴==,=.由此得出,一元二次方程的根与系数的关系.(一元二次方程两根和与两根积与系数的关系)结论
1、如果的两个根是,那么,.用语言叙述为两根和之和等于一次项系数除以二次项系数所得商的相反数,两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.如果把方程变形为.我们就可把它写成的形式,其中.从而得出结论
2、如果方程的两个根是,那么.结论1具有一般形式,结论2有时给研究问题带来方便.用语言叙述为两根和之和等于一次项系数的相反数,两根之积等于常数项.这两个式子反映了一元二次方程根与系数之间的一种简单关系,被称之为韦达定理,应用这个定理及根的定义解决根与系数关系问题十分简单.不难发现以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是.练习1.(口答)下列方程中,两根的和与两根的积各是多少?
(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6)此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系.
2、一元二次方程根与系数关系的应用.
(1)验根.(口答)判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根.
①;
②;
③;
④;
⑤.验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用,应用时要注意三个问题
(1)要先把一元二次方程化成一般形式,
(2)不要漏除二次项系数,
(3)还要注意中的负号.
(2)已知方程一根,求另一根.【例题精讲】例
1、已知方程的根是2,求它的另一根及k的值.解法1设方程的另一根为,那么.∴又∵,∴答方程的另一根是,k的值是-7.此题的解法是依据一元二次方程根与系数的关系,设未知数列方程达到目的,还可以向学生展现下列方法,并且作比较.方法
(二)∵2是方程的根,∴,∴∴原方程可变为解此方程得.方法
(三)∵2是方程的根,∴,∴.∵,∴.答方程的另一根是,k的值是-7.学生进行比较,方法
(二)不如方法
(一)和
(三)简单,从而认识到根与系数关系的应用价值.例
2、如果,是方程的两个根,不解方程,求的值.解∵,是方程的两根,∴,,∵∴.例
3、不解方程,求作一个一元二次方程,使它的根比原方程各根的2倍大1.解设方程的两根是,.则,设所求的方程为,它的两根分别是和,则,∴所求作的方程是.说明题中没有明确,因此的值可能为正,也可能为负.
(二)知识小结(引导学生进行知识小结)
1、如果的两个根是,那么,.即两根和之和等于一次项系数除以二次项系数所得商的相反数,两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.特殊情况,如果方程的两个根是,那么,.即两根和之和等于一次项系数的相反数,两根之积等于常数项.
2、一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行.它强化了两根的和与积和系数之间的关系,是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具,必须熟记,为进一步使用打下基础.
3、以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导,展示了认识事物的一般规律,提倡积极思维,勇于探索的精神,借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力.
4、一元二次方程的根与系数的关系,在中考中多以填空,选择,解答题的形式出现,考查的频率较高,也常与几何、二次函数等问题结合考查,是考试的热点,它是方程理论的重要组成部分.
三、训练学案填空题
1、已知方程的两根是,则,.
2、已知关于x的方程,则,另一根是.
3、一元二次方程的一个根是非,则它的另一根是,.
4、是方程的两根,则;.
5、已知、是方程的两个实数根,则的值为.
6、若是方程的两根,且,则m=.
7、已知是方程的两个根,那么的值是.
8、已知关于x的方程的两个实数根的平方和等于3,则m=.选择题
1、下列方程中,两实数根的和是2的方程是()(A);(B);(C);(D).
2、有两个不相等的实根,且两根异号,其中正根绝对值大的方程是()(A);(B);(C);(D).
3、若方程的二根为,则代表式的值是()(A)6;(B)4;(C)2;(D).
4、已知是方程的两个根,则的值是()(A)1;(B);(C)±1;(D)0.
5、若是方程的两个根,则的值为()(A);(B);(C);(D).
6、以和为根的一元二次方程是()(A);(B);(C);(D).
7、已知和是方程的两个实数根,则的值是()(A);(B);(C);(D)7.解答题
1、设是方程的两根,不解方程,求下列各式的值
①;
②;
③.
2、求作一个一元二次方程,使它的两根分别是方程的两根的平方.
3、已知一元二次方程的两根分别是,求的值.
四、课后作业当堂巩固性作业
1、已知方程的两根之比为,求的值.
2、已知关于x的方程,根据下列条件,分别求出m的值
①两根互为相反数;
②两根互为倒数;
③有一根为零;
④有一根为1.
3、已知是关于x的方程的两个实根,且,求m的值.【第10节课】【课题】根与系数的关系
(2)【课型】新课型【教学目标】
1、熟练掌握一元二次方程根与系数的关系.
2、灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题.
3、提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力.
4、知识来源于实际,最后应用于实际.【重点】一元二次方程根与系数关系的应用.【难点】某些代数式的变形.【教学方法】学案导学法
(一)【探究点】根系数的关系如果的两个根是,那么,.如果方程的两个根是,那么,.
1、复习提问一元二次方程根与系数的关系及应用.
2、本节课将继续学习它的应用
(1)不解方程,求代数式的值.
(2)已知两个数,求作以这两个数为根的一元二次方程.【例题精讲】例
1、不解方程,求方程的两个根的
(1)平方和;
(2)倒数和.分析如果首先求出方程的两根,再求出两根的平方和、倒数和,问题可以解决,但此题要求不解方程,怎样做呢?如果设方程的两个根为,则两个根的平方和便可表示为,如果将此代数式用,表示,再用根与系数的关系,问题便可以解决.解设主门牌号珠两个根为,那么,
(1)∵∴.
(2).练习设是方程的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值
(1);
(2);
(3);
(4).例
2、求一个一元次次方程,使它的两个根是.解所求方程是即或.例
3、已知两个数的和等于8,积等于9,求这两个数.分析此题可以通过列方程求得.但学习了根与系数的关系,应启发引导学生用另外方法解决.设两个数分别为,则.又∵方程的两个根为.所以这两个数是方程的两个根.解此方程的两个根便是所求的两个数.解根据根与系数的关系可知,这两个数是方程的两个根.解这个方程,得因此这两个数是
三、训练学案填空题
1、以1和-3为两根的一元二次方程为________.
2、设方程的两极分别为,以为根的一元二次方程是.
3、两数和等于8,积等于6,这两数分别是和;
4、关于x的方程的两根之和与两根之积相等,则.
5、一元二次方程的两实根之差是3,则.
6、关于x的方程的两实根的平方和是11,则.
7、如果关于x的方程的两根分虽是,那么二次三项式分解因式的结果是_________.选择题
1、一元二次方程的两根为
3、4,那么二次三项式可分解为()(A);(B);(C);(D).
2、方程与所有根的乘积等于()(A);(B)18;(C);(D)3.
3、若方程的两个实数根为,则的值是()(A)2;(B);(C)6;(D).
4、如果是一元二次方程的一个根,是一元二次方程的一根,那么的值等于()(A)1或2;(B)0或;(C)或;(D)0或3.
5、已知方程有一个正根,一个负根,那么()(A);(B);(C);(D).解答题
1、已知是关于x的方程的两个实根,k取什么值时,.
2、当k为何值时,一元二次方程的两实根的绝对值相等,求出与k值相应的实数根.
3、已知关于x的方程有两个正实根,求k的取值范围.
四、课后作业【当堂巩固性作业】选择题
1、若一元二次方程无实数根,是一次函数过()(A)第一象限;(B)第二象限;(C)第三象限;(D)第四象限.
2、关于x的方程的两实根满足,则的值是()(A);(B)5;(C);(D).解答题;
1、若矩形的长和宽是方程的两根,求矩形的周长和__.
2、若方程的两根的绝对值相等,求的值及这个方程的根.
3、已知方程.
(1)求证方程必有相异实根
(2)取何值时,方程有两个正根
(3)取何值时,两根相异,并且负根的绝对值较大?
(4)取何值时,方程有一根为零?。