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文本内容:
三角恒等变换专题讲义李霞知识点1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1.两角和与差的余弦公式注
1.公式中两边的符号正好相反(一正一负)
2.式子右边同名三角函数相乘再加减,且余弦在前正弦在后
3.会逆用及其变形
2.两角和与差的正弦注
1.公式中两边的符号相同
2.式子右边异名三角函数相乘再加减
3.会逆用及其变形
3.两角和与差的正切公式tanα+β=tanα-β=注
1.两角和时,上加下减
2.两角差时,上减下加
3.会逆用及其变形考点1求值问题【例】求下列各式的值
(1)cos75°
(2)cos75°cos15°-sin255°sin15°3)sin47°-sin47°cos30cos17°
(4)1+tan75°1-tan75°
(5)tan20°+tan40°+tan20°tan40°考点2化简问题【例】化简下列各式1-sinx+cosx2sinx-cosx知识点2两倍角的正弦、余弦和正切公式
1.两倍角的正弦公式Sin2α=2sinαcosα
2.两倍角的余弦公式Cos2α=.cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α
3.两倍角的正切公式tan2α=注对以上三个公式会逆用及其变形考点求值问题【例1】已知sinα-cosα=,α,则sin2α=【例2】计算求值-知识点3简单的三角恒变形
1.半角公式
(1)
(2)
(3)
2.和差化积
(1)
(2)
(3)
(4)
3.积化和差
(1)
(2)
(3)
(4)
4.辅助角公式辅助角公式其中角所在的象限由ab的符号确定,角的值由确定在求最值、化简时起着重要作用考点1化简求值问题
(1)升幂化简【例1】若,化简【例2】化简【例3】α是第三象限角,化简【例4】化简
(2)降幂化简【例1】求函数的最小值【例2】函数最小正周期为【例3】函数的单调递增区间为___________
(3)切化弦【例1】求sin50°(1+tan10°)的值【例2】(tan10°-)
(4)巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如,,,,等)【例1】已知,,求的值【例2】已知,且,,求的值【例3】已知锐角α和β,满足sin(α-β)=,sinα=,求sinβ的值【例4】已知tan(α+)=,tan(β-)=,求tan(α+β)的值
(5)辅助角【例1】已知函数
(1)求函数的最小正周期及取得最大值时x的取值__
(2)求函数图像的对称轴方程【例2】已知函数,且,
(1)求的单调递减区间
(2)函数的图像经过怎样的平移才能使所得图像对应的函数成为奇函数【例3】已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1(x∈R)
(1)当函数y取得最大值时,求自变量x的__
(2)该函数的图像可由y=sinxx∈R的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到【例4】已知函数
(1)求的最小正周期;
(2)求函数的最大值,并求使取得最大值的x的__
(6)关于的关系的__应用(由于故知道,必可推出)【例】已知
(7)利用公式及“托底”方法求值【例1】已知tg=-3,求sincos-cos2的值【例2】已知tg=3,求的值考点2证明问题证三角恒等式时,先观察左右两边
①是否同名函数?如果不是同名函数,一般保留正弦和余弦,把其它的变为正弦和余弦(异名化同名)
②是否同角函数?如果不同角,就要考虑利用倍角、半角公式,(异角化同角);
③次数是否相同?如果两边不同次,就要注意是否有必要“升次”或“降次”;
④是繁还是简?一般从较繁的一边往较简的一边变(化繁为简),如果两边都繁,则变两边(左右归一),
⑤有时还需要用三角函数值来替换数字,根据角来对三角函数加以配凑和拆项
(1)异名化同名【例1】求证【例2】求证=【例3】求证【例4】求证:tanA+cotA=.【例5】求证
(2)异角化同角【例1】求证【例2】求证
(3)降次【例1】求证【例2】求证
(4)化繁为简【例1】求证【例2】求证
(5)角的配凑【例1求证【例2】求证cos20°cos40°cos80°=。