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文本内容:
东园中学数学组兴趣小组学习材料——圆
1、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；围绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的图形重合．
2、圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴.
3、顶点在圆心的角叫做圆心角．圆心到弦的距离叫做弦心距．
4、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等．在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．在同圆或等圆中，相等的弦心距所对的弦相等，所对的弧相等，所对的弦的圆心角相等．即在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
5、把整个圆周等分成360份，每一份弧是1°的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．
6、垂径定理——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 拓展——
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
（2）平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，并且平分弦所对的另一条弧即平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧７、圆的两条平行弦所夹的弧相等例
1.已知如图1，AB为⊙O的直径，弦CD∥AB，AE切⊙O于A，交CD的延长线于E 求证 证明连结BD， ∵AE切⊙O于A， ∴∠EAD＝∠ABD ∵AE⊥AB，又AB∥CD， ∴AE⊥CD ∵AB为⊙O的直径 ∴∠ADB＝90°图1 ∴∠E＝∠ADB＝90° ∴△ADE∽△BAD ∴ ∴ ∵CD∥AB （圆的两条平行弦所夹的弧相等）∴AD＝BC，∴８、1在一个圆中，同弧所对的圆周角相等，且都等于该弧所对的圆心角的一半. 2在一个圆中，等弧所对的圆周角相等，且都等于该弧所对的圆心角的一半.3在等圆中，等弧所对的圆周角相等，且都等于该弧所对的圆心角的一半. 4在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.5半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.6如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
9、一条弦（不是直径）所对的弧有两条，所对的圆心角只有一个；一条弧所对的圆周角有无数个.
10、弧的比等于弧所对的圆心角的比.
11、圆的内接四边形的对角互补或相等.
12、不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
13、切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角，且垂直平分两切点的连线注对于切线长定理，应明确
（1）若已知圆的两条切线相交，则交点到圆的切线长相等；
（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；
（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；
（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两条半径的夹角互补；
（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角
（6）切线长定理是证明线段相等、角相等、弧相等、线段成比例、垂直关系的重要依据知识联网
（1）直角三角形（6个）
（2）等腰三角形（2个）
（3）全等三角形（3对）
（4）相似三角形
（5）射影定理
（6）垂径定理例
2.如图2，正方形ABCD的边长为1，以BC为直径在正方形内作半圆O，过A作半圆切线，切点为F，交CD于E，求DE AE的值 解由切线长定理知AF＝AB＝1，EF＝__ 设__为x，在Rt△ADE中，由勾股定理 ∴，， 图
214、弦切角顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角已知如图，直线AB切⊙O于P求证∠APC＝∠D证明连结PO，并延长交⊙O于点E，连结__∵直线AB切⊙O于P ∴PE⊥AB于P即∠CPE+∠APC＝90°又 ∵PE是⊙O的直径 ∴∠P__＝90°即∠CPE+∠PEC＝90°∴∠APC＝∠PEC，又∵∠PEC＝∠D∴∠APC＝∠D拓展弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半已知如图，直线AB切⊙O于点A求证∠AOC＝2∠CAB证明过点O作于点E，交⊙O于点D∴∠AOE+∠OAE＝90°又∵直线AB与⊙O相切于A ∴OA⊥AB于点A即∠OAE+∠CAB＝90°∴∠AOE＝∠CAB，又∵OA＝OC，OD⊥AC∴∠AOE＝∠COE∴∠AOC＝2∠CAB推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等例
3.如图3，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D，
（1）求证；
（2）若AB＝BC＝2厘米，求__、CD的长图3 点悟要证，即要证△__D∽△CBE 证明
（1）连结BE
（2） 又∵， ∴厘米 点拨有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件
15、相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等定理图形已知结论证法相交弦定理⊙O中，AB、CD为弦，交于PPA·PB＝PC·PD连结AC、BD，证△APC∽△DPB相交弦定理的推论⊙O中，AB为直径，CD⊥AB于PPC2＝PA·PB用相交弦定理例
4.⊙O中的两条弦AB与CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么__＝_________cm 解由相交弦定理，得 AE·BE＝__·DE∵AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，， ∴， 即 ∴__＝3cm或__＝4cm 故应填3或4图4点拨相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍
16、切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项定理图形已知结论证法切割线定理⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于APT2＝PA·PB连结TA、TB，证△PTB∽△PAT例
5.已知PA是圆的切线，PCB是圆的割线，则________ 解∵∠P＝∠P，∠PAC＝∠B， ∴△PAC∽△PBA， ∴， ∴ 又∵PA是圆的切线，PCB是圆的割线，由切割线定理，得 ∴， 即 ， 故应填PC点拨利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论例
6.如图5，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，如果PA PB＝14，PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是___________cm 解∵PC是⊙O的切线，PAB是⊙O的割线，且PA PB＝14 ∴PB＝4PA 又∵PC＝12cm 由切割线定理，得 ∴图5 ∴， ∴ ∴PB＝4×6＝24（cm） ∴AB＝24－6＝18（cm） 设圆心O到AB距离为dcm， 由勾股定理，得
17、割线定理从圆外一点P引两条割线与圆分别交于点A、B、C、D，则有PA·PB＝PC·PD定理图形已知结论证法切割线定理推论PB、PD为⊙O的两条割线，交⊙O于A、CPA·PB＝PC·PD法一过P作PT切⊙O于T，用两次切割线定理法二连结AD，BC，证明△PBC∽△PAD例
7.如图6，PA、PC切⊙O于A、C，PDB为割线求证AD·BC＝CD·AB点悟由AD·BC＝CD·AB得，显然要证△PAD∽△PBA和△PCD∽△PBC 证明∵PA切⊙O于A， ∴∠PAD＝∠PBA 又∠APD＝∠BPA， ∴△PAD∽△PBA ∴ 同理可证△PCD∽△PBC ∴图6 ∵PA、PC分别切⊙O于A、C ∴PA＝PC ∴∴AD·BC＝DC·AB例
8.已知如图7，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，以AB边为直径作⊙O，交斜边BC于点D，过D点作⊙O的切线交AC于E 求证BC＝2OE 点悟由要证结论易想到应证OE是△ABC的中位线而OA＝OB，只须证AE＝__ 证明连结OD ∵AC⊥AB，AB为直径 ∴AC为⊙O的切线，又DE切⊙O于D ∴EA＝ED，OD⊥DE ∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB 在Rt△ABC中，∠C＝90°－∠B∵∠ODE＝90°图7 ∴ ∴∠C＝∠EDC ∴ED＝EC ∴AE＝EC ∴OE是△ABC的中位线 ∴BC＝2OE例
9.如图8，在正方形ABCD中，AB＝1，是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点当∠DEF＝45°时，求证点G为线段EF的中点； 解由∠DEF＝45°，得 ， ∴∠DFE＝∠DEF ∴DE＝DF 又∵AD＝DC ∴AE＝FC因为AB是圆B的半径，AD⊥AB，所以AD切圆B于点A；图8同理，CD切圆B于点C 又因为EF切圆B于点G，所以AE＝EG，FC＝FG因此EG＝FG，即点G为线段EF的中点
18、圆幂定理过一定点P向⊙O作任一直线，交⊙O于两点，则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理定理图形已知结论证法圆幂定理⊙O中，割线PB交⊙O于A，CD为弦PC·PD＝r2－OP2PA·PB＝OP2－r2r为⊙O的半径延长PO交⊙O于M，延长OP交⊙O于N，用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证例、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的直径AB交小圆于点C、D，大圆的弦EF与小圆相切于点C，ED交小圆于点G，设大圆的半径为，，求小圆的半径和EG的的长度解连结CG因为EF切小圆于C点，AB为大圆的直径所以，所以所以因为CD是小圆的直径所以，在和中因为，所以所以，即，
19、两圆的位置关系与圆心距、两圆的半径具有什么关系
（1）两圆外离；
（2）两圆外切；
（3）两圆相交；
（4）两圆内切；
（5）两圆内含；（同心圆d=0）
20、三角形的外接圆圆心是三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等；三角形的内切圆心是三角形三个内角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等
21、弧长公式扇形__的计算公式或
22、圆锥的侧__和表__圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长，圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径圆锥的侧__就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形__，而圆锥的全__就是它的侧__与它的底__的和EEBCD。
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