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教学内容三角形全等三角形 【重点、难点、考点】重点三角形的有关概念,三角形的三条主要线段、三角形的三角的关系、三角形的三边关系、全等三角形的概念、判定和性质难点综合运用三角形、全等三角形的知识进行有关的证明或计算考点运用全等三角形的判定和性质来证明有关的线段相等,角相等等 【经典范例引路】例1已知如图,点C为线段AB上一点,△ACM、△CBN是等边三角形,连结BM交CN于点F,连AN交CM于点E,交BM于点P,求证
(1)AN=BM;
(2)__=CF;
(3)∠__P+∠CFP=180°;
(4)求∠APB的度数证明
(1)∵△ACM、△CBN都是等边三角形∴AC=MC,CN=CB,∠ACM=∠BCN=60°∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠MCN,即∠ACN=∠MCB∴△ACN≌△MCB,∴AN=MB
(2)∵△CAN≌△MCB,∴∠1=∠2又∠3=180°-∠ACM-∠BCN=180°-60°-60°=60°=∠FCBCN=CB,∴△ECN≌△FCB,∴__=CF
(3)∵∠CFP是△BCF的一个外角,∴∠CFP=∠2+∠FCB又∠2=∠1,∠FCB=∠3,∴∠CFP=∠1+∠3∴∠__P+∠CFP=∠__P+∠1+∠3=180°
(4)在四边形PECF中,∴∠__P+∠CFP=180°,∴∠3+∠EPF=180°,而∠3=60°,∴∠EPE=∠APB=180°-60°=120° 【解题技巧点拨】本题是《几何》教材第二册P113第13题改编而成的,要使问题的四个结论获得解决,必须综合运用全等三角形的判定和性质,等边三角形的性质,以及三角形中的角的关系等知识同时,经过观察不难发现,图中的△MCB与△ACN、△MCF与△A__、△CBF与△CNE的图形变换关系,我们只要把每组中的第一个三角形按逆时针方向旋转60°即得第二个三角形,注意到了这一点,我们会对图形的本质认识得更深刻,对顺利解决相应的问题有一定的帮助例2已知如图,四边形ABCD中,∠A=60°AD+BC=DC=AB=1,求四边形ABCD的__解如图,延长AD到E,使DE=BC,连BD,BE∵AD+BC=AD+DE=AE=AB=1,∠A=60°∴△ABE是等边三角形,∴AB=AE=BE=DC=1又DE=BC,DB=BD,∴△EDB≌△___∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=S△ABD+S△BDE=S△ABE=【解题技巧点拨】本题中,延长AD到E,使DE=BC,构造等边三角形EAB和全等三角形△EDB与△___是解决问题的关键,然后利用全等三角形的判定和性质,将求四边形ABCD的__的问题,转化为求边长为1的等边△ABE的__问题,实现了由一般向特殊的转化,这一思路较好 【综合能力训练】
一、填空题1.在如图的“五角星”中,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E等于度2.不等边△ABC的三边长为整数a、b、c,且a2+b2-6a-4b+13=0,则c=3.如图,△ABC的三条高AD、BE、CF交于点H,则△ABH的三条高分别是,而这三条高所在直线相交于点4.(2001年黑龙江省中考题)已知三角形两边长分别为5和7,则第三边上的中线长x的取值范围是5.2001年北京市东城区中考题在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′,CD与C′D′分别为AB边和A′B′边的中线,再从以下三个条件,
①AB=A′B′
②AC=A′C′
③CD=C′D′中任取两个为题设,另一个为结论,则最多可以构成个正确的命题.6.如图,AD是△ABC的中线,∠ADC=45°,把△ADC沿AD对折,点C落在C′BC与BC′之间的数量关系是.(2001年山西省中考题) 7.(2001年吉林省中考题)如图,∠1=∠2,BC=EF,那么需要补充一个直接条件.(写出一个即可).才能使△ABC≌△DEF
二、选择题
8.下列的命题中,正确的命题是()A.有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等B.有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等C.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等D.有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等
9.三角形两边长分别为3和9,第三边上的高h的取值范围是()A.0<h<3B.0<h≤3C.3<h<9D.3≤h<
910.下面各题给出的三条线段,其中可以组成三角形的是()A.
3、
4、7B.a∶b∶c=1∶2∶4C.a2+1,a2,a2+3D.3a、5a、2a+1(a>1)
11.(2001年呼和浩特市中考题)如图的△BDC′是将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠得到的,图中(包括实线,虚线在内)共有全等三角形()A.2对B.3对C.4对D.5对
12.如图,△ABC的三条角平分线AD、BE、CF交于点G,则与∠E__互余的角是()A.∠CGDB.∠FAGC.∠ECGD.∠FBG
13.如图,已知点D在AC上,点B在AE上,△ABC≌△DBE,且∠BDA=∠A,若∠A∶∠C=5∶3,则∠DBC等于()A.3O°B.25°C.20°D.15°
三、解答下列各题14.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,__⊥AD,EF∥BC,求证EC平分∠FED
15.如图,已知△ABC的两条高BD、__交于点F,延长__到Q,使CQ=AB,在BD上截取BP=AC.求证
(1)AQ=AP;
(2)AQ⊥AP. 16.如图以△ABC的边AB、AC为边,向形外作等边△ABD和等边△A__,连BE、CD相交于点F求证
(1)△DAC≌△BAE;
(2)BE=DC;
(3)AF平分∠DFE. 17.如图点A、B、C、D、E把圆周五等分,连结AC、AD、BE、BD、__得到一个五角星,则图中与三角形有关的所有结论,有 18.(2001年临沂市中考题)在△ABC中,如果只给出条件∠A=60°,那么还不能判定△ABC是等边三角形,给出下面四种说法
①如果再加上条件“AB=AC”,那么△ABC是等边三角形;
②如果再加上条件“tanB=tanC”,那么△ABC是等边三角形;
③如果再加上条件“D是BC的中点,且AD⊥BC”,则△ABC是等边三角形;
④如果再加上条件“AB、AC边上的高相等”,则△ABC是等边三角形.其中正确的说法有(把你认为正确的序号全部填上).19.如图,∠ABC=90°,AB=BC,D为AC上一点,分别过C、A作BD的垂线,垂足为E、F,求证EF=__-AF. 20.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过C作CF⊥AE,垂足为F过B作BD⊥BC,交CF的延长线于D,
(1)求证AE=CD;
(2)若AC=12cm,求BD的长.
21.如图,△ABC中,D是BC的中点,∠EDF=90°,求证BE+CF>EF.
22.(2001年金华市中考题)如图,AB=AD,BC=CD,AC、BD相交于E,由这些条件你能推出哪些结论?(不再添加辅助线,不再标注其它字母,不写推理只要求写出四个你认为正确的结论.) 【创新思维训练】23.(2001年天门市中考题)已知如图点C为线段AB上一点,△ACM、△CBN是等边△,求证AN=BM.说明及要求本题是《几何》第二册P113第13题,现要求
(1)将△ACM绕C点按逆时针方向旋转180°,使A点落在CB上,请对照原题图在下图中画出符合要求的图形,(不写作法,保留作图痕迹);
(2)在
(1)所得到的图形中,结论“AN=BM”,是否还成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
(3)在
(1)得到的图形中,设__的延长线与BN相交于D点,请你判断△ABD与四边形MDNC的形状,并证明你的结论. 参考答案【综合能力训练】
一、
1.180°
2.
43.HF、AE、BD,C
4.1x
65.
16.BC=BC′
7.AC=DF或∠A=∠D或∠B=∠E
二、
8.D
9.B
10.D
11.C
12.B
13.C
三、
14.先证△AEH≌△ACH,再证△AED≌△ACD,
15.
(1)证△CAQ≌△BPA
(2)略
16.
(1)略
(2)、
(3)均由
(1)可得
17.(略)
18.
①②③④
19.证△ABF≌△B__
20.1由△A__≌△___得AE=CD
(2)BD=6cm
21.延长ED到G,使DG=ED,连结__、CF,证△BED≌△CGD
22.略
23.
(1)略
(2)“AN=BM”成立
(3)△ABD是等边三角形,四边形MDNC是平行四边形。