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0323二次根式一次方程组一元二次方程 一.选择题(共14小题)1.(2002•四川)如果最简根式和是同类二次根式,那么a、b的值可以是( ) A.a=0,b=2B.a=2,b=0C.a=﹣1,b=1D.a=1,b=﹣2 2.(2001•无锡)某商场根据市场信息,对商场中现有的两台不同型号的空调进行调价销售,其中一台空调调价后售出可获利10%(相对于进价),另一台空调调价后售出则要亏本10%,这两台空调调价后的售价恰好相同,那么商场把这两台空调调价后售出( ) A.既不获利也不赔本B.可获利1% C.要亏本2%D.要亏本1% 3.甲、乙两人分别从相距40千米的两地同时出发,若同向而行,则5小时后,快者追上慢者;若相向而行,则2小时后,两人相遇,那么快者速度和慢者速度(单位千米/小时)分别是( ) A.14和6B.24和16C.28和12D.30和10 4.如果,其中xyz≠0,那么x yz=( ) A.123B.234C.231D.321 5.把一块长与宽之比为21的铁皮的四角各剪去一个边长为10厘米的小正方形,折起四边,可以做成一个无盖的盒子,如果这个盒子的容积是1500立方厘米,设铁皮的宽为x厘米,则正确的方程是( ) A.(2x﹣20)(x﹣20)=1500B.10(2x﹣10)(x﹣10)=1500 C.10(2x﹣20)(x﹣20)=1500D.10(x﹣10)(x﹣20)=1500 6.满足(n2﹣n﹣1)n+2=1的整数n有几个( ) A.4个B.3个C.2个D.1个 7.已知m,n是方程x2﹣2x﹣1=0的两根,且(7m2﹣14m+a)(3n2﹣6n﹣7)=8,则a的值等于( ) A.﹣5B.5C.﹣9D.9 8.(2002•山西)如果关于x的方程x2+px+1=0的一个实数根的倒数恰是它本身,那么p的值是( ) A.1B.±1C.2D.±2 9.若关于x的方程有实数根,则k的取值范围为( ) A.k≥0B.k>0C.k≥D.k> 10.若关于x的方程x2﹣x(k﹣x)+3=0无实根,则k可取的最小整数为( ) A.﹣5B.﹣4C.﹣3D.﹣2 11.(2007•泰安)若x1,x2是方程x2﹣2x﹣4=0的两个不相等的实数根,则代数式2x12﹣2x1+x22+3的值是( ) A.19B.15C.11D.3 12.(2005•天津)若关于x的一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1=0的两个实数根x1,x2,且x1•x2>x1+x2﹣4,则实数m的取值范围是( ) A.m>B.m≤C.m<D.<m≤ 13.已知方程x2+px+q=0的两个根分别是2和﹣3,则x2﹣px+q可分解为( ) A.(x+2)(x+3)B.(x﹣2)(x﹣3)C.(x﹣2)(x+3)D.(x+2)(x﹣3) 14.(2011•锦江区模拟)若方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x
1、x2,则(x1+2)(x2+2)的值为( ) A.﹣4B.6C.8D.12 二.填空题(共13小题)15.(2003•山西)函数y=中的自变量x的取值范围是 _________ . 16.若,则a= _________ . 17.已知一次函数y=(m﹣2)x+3﹣m的图象经过第
一、
二、四象限,则化简+= _________ . 18.(1998•杭州)已知,则= _________ . 19.如果x2﹣3x+1=0,则的值是 _________ . 20.(1997•内江)已知1<x<2,,则的值是 _________ . 21.若方程组的解满足x+y=,则m= _________ . 22.如果以x,y为未知数的二元一次方程组的解满足4x﹣3y=8,那么m= _________ . 23.现有甲、乙、丙三种东西,若__甲3件、乙5件、丙1件共需32元;若__甲4件、乙7件、丙1件共需40元,则要__甲、乙、丙各1件共需 _________ 元. 24.方程2x+y=8的正整数解的个数是 _________ . 25.在一次聚会中,每两个参加聚会的人都相互握了一次手,一共握了45次手,则参加这次聚会的人是 _________ 人. 26.一个凸多边形共有9条对角线,则这个多边形的边数是 _________ . 27.如图,折叠直角梯形纸片的上底AD,点D落在底边BC上点F处,已知DC=8cm,FC=4cm,则EC长 _________ cm. 0323二次根式一次方程组一元二次方程参考答案与试题解析 一.选择题(共14小题)1.(2002•四川)如果最简根式和是同类二次根式,那么a、b的值可以是( ) A.a=0,b=2B.a=2,b=0C.a=﹣1,b=1D.a=1,b=﹣2考点同类二次根式.分析根据同类二次根式的定义,列方程组求解.解答解∵和是同类二次根式∴,解得,故选A.点评此题主要考查同类二次根式的定义化成最简二次根式后,被开方数相同,这样的二次根式叫做同类二次根式. 2.(2001•无锡)某商场根据市场信息,对商场中现有的两台不同型号的空调进行调价销售,其中一台空调调价后售出可获利10%(相对于进价),另一台空调调价后售出则要亏本10%,这两台空调调价后的售价恰好相同,那么商场把这两台空调调价后售出( ) A.既不获利也不赔本B.可获利1% C.要亏本2%D.要亏本1%考点二元一次方程组的应用.专题压轴题.分析要求这两台空调调价后售出的亏赚,就要先求出他们的售价.根据题意可知,本题中的等量关系是“调价后两台空调__相同”,依此列方程求解即可.解答解设这两台空调调价后的售价为x,两台空调进价分别为a、b.调价后两台空调__为x=a(1+10%);x=b(1﹣10%).则空调A进价为a=,空调B进价为b=,调价后售出利润为==
0.99﹣1=﹣
0.01=﹣1%,所以亏本1%.故选D.点评解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程组,再求解.利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系,准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键. 3.甲、乙两人分别从相距40千米的两地同时出发,若同向而行,则5小时后,快者追上慢者;若相向而行,则2小时后,两人相遇,那么快者速度和慢者速度(单位千米/小时)分别是( ) A.14和6B.24和16C.28和12D.30和10考点二元一次方程组的应用.分析根据题意可知,本题中的等量关系是“快者走过的路程减去慢者走过的路程为40千米”和“快者走过的路程加上慢者走过的路程为40千米”,列方程组求解即可.解答解设快者速度和慢者速度分别是x,y,则,解得,故选A.点评解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程组,再求解;利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系,准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键. 4.如果,其中xyz≠0,那么x yz=( ) A.123B.234C.231D.321考点解三元一次方程组.分析理解清楚题意,运用三元一次方程组的知识,把x,y用z表示出来,代入代数式求值.解答解已知,
①×2﹣
②得7y﹣21z=0,∴y=3z,代入
①得x=8z﹣6z=2z,∴x yz=2z3z z=231.故选C.点评本题的实质是解三元一次方程组,用加减法或代入法来解答. 5.把一块长与宽之比为21的铁皮的四角各剪去一个边长为10厘米的小正方形,折起四边,可以做成一个无盖的盒子,如果这个盒子的容积是1500立方厘米,设铁皮的宽为x厘米,则正确的方程是( ) A.(2x﹣20)(x﹣20)=1500B.10(2x﹣10)(x﹣10)=1500 C.10(2x﹣20)(x﹣20)=1500D.10(x﹣10)(x﹣20)=1500考点由实际问题抽象出一元二次方程.专题几何图形问题.分析如果设铁皮的宽为x厘米,那么铁皮的长为2x厘米,根据“这个盒子的容积是1500立方厘米”,可列出方程.解答解设铁皮的宽为x厘米,那么铁皮的长为2x厘米,依题意得10(2x﹣20)(x﹣20)=1500.故选C.点评本题中隐藏的条件是长方体盒子的高为10厘米,然后利用体积公式列出方程. 6.满足(n2﹣n﹣1)n+2=1的整数n有几个( ) A.4个B.3个C.2个D.1个考点一元二次方程的解;零指数幂.专题计算题.分析因为1的任何次幂为1,﹣1的偶次幂为1,非0数的0次幂为1,所以应分三种情况讨论n的值.解答解
(1)n2﹣n﹣1=1,解得n=2或n=﹣1;
(2),解得n=0;
(3),解得n=﹣2.故选A.点评本题比较复杂,解答此题时要注意1的任何次幂为1,﹣1的偶次幂为1,非0数的0次幂为1,三种情况,不要漏解. 7.已知m,n是方程x2﹣2x﹣1=0的两根,且(7m2﹣14m+a)(3n2﹣6n﹣7)=8,则a的值等于( ) A.﹣5B.5C.﹣9D.9考点一元二次方程的解.分析先分别把m,n代入方程得到关于m,n的等式,利用整体思想分别求出7m2﹣14m=7(m2﹣2m)=7,3n2﹣6n=3(n2﹣2n)=3,代入所求代数式即可求解.解答解∵m,n是方程x2﹣2x﹣1=0的两根∴m2﹣2m=1,n2﹣2n=1∴7m2﹣14m=7(m2﹣2m)=7,3n2﹣6n=3(n2﹣2n)=3∵(7m2﹣14m+a)(3n2﹣6n﹣7)=8∴(7+a)×(﹣4)=8∴a=﹣9.故选C.点评本题考查了一元二次方程根的意义.把方程的两个根分别代入原方程等式仍然成立,根据此得到需要的等量关系是常用的方法之一. 8.(2002•山西)如果关于x的方程x2+px+1=0的一个实数根的倒数恰是它本身,那么p的值是( ) A.1B.±1C.2D.±2考点一元二次方程的解;根与系数的关系.分析由根与系数的关系可得x1+x2=﹣p,x1•x2=1,又知个实数根的倒数恰是它本身,则该实根为1或﹣1,然后把±1分别代入两根之和的形式中就可以求出p的值.解答解由根与系数的关系可得x1+x2=﹣p,x1•x2=1,又知个实数根的倒数恰是它本身,则该实根为1或﹣1,若是1时,即1+x2=﹣p,而x2=1,解得p=﹣2;若是﹣1时,则p=2.故选D.点评本题考查了一元二次方程根与系数的关系.解此类题目要会把代数式变形为两根之积或两根之和的形式,代入数值计算即可. 9.若关于x的方程有实数根,则k的取值范围为( ) A.k≥0B.k>0C.k≥D.k>考点根的判别式;二次根式有意义的条件.分析若一元二次方程有两不等实数根,则根的判别式△=b2﹣4ac>0,建立关于k的不等式,求出k的取值范围.还要根据二次根式的意义可知k≥0,然后确定最后k的取值范围.解答解∵关于x的方程有实数根,∴△=b2﹣4ac=(﹣3)2+4=9k+4≥0,解得k≥,又∵方程中含有∴k≥0,故本题选A.点评本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.本题中需要注意的问题是k的值必须同时满足二次根式有意义和△≥0的条件,即要解不等式组,本题的易错点在于忽视了二次根式的条件而选取了C. 10.若关于x的方程x2﹣x(k﹣x)+3=0无实根,则k可取的最小整数为( ) A.﹣5B.﹣4C.﹣3D.﹣2考点根的判别式.分析由于方程无实数根,说明方程根的判别式△=b2﹣4ac<0,而原方程变形为一般形式2x2﹣kx+3=0,由此可以得到关于k的不等式,解不等式就可以求出k的取值范围.解答解∵方程无实数根,而a=2,b=﹣k,c=3,∴△=b2﹣4ac=(﹣k)2﹣4×2×3<0,解得﹣2<k<2,∴k可取的最小整数为﹣4.故选B.点评总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;
(3)△<0⇔方程没有实数根. 11.(2007•泰安)若x1,x2是方程x2﹣2x﹣4=0的两个不相等的实数根,则代数式2x12﹣2x1+x22+3的值是( ) A.19B.15C.11D.3考点根与系数的关系;一元二次方程的解.专题压轴题.分析欲求2x12﹣2x1+x22+3的值,先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式,代入数值计算即可.解答解∵x1,x2是方程x2﹣2x﹣4=0的两个不相等的实数根.∴x12﹣2x1=4,x1x2=﹣4,x1+x2=2.∴2x12﹣2x1+x22+3=x12﹣2x1+x12+x22+3=x12﹣2x1+(x1+x2)2﹣2x1x2+3=4+4+8+3=19.故选A.点评将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法. 12.(2005•天津)若关于x的一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1=0的两个实数根x1,x2,且x1•x2>x1+x2﹣4,则实数m的取值范围是( ) A.m>B.m≤C.m<D.<m≤考点根与系数的关系;根的判别式.专题压轴题.分析关于x的一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1=0的两个实数根x1,x2,根据根与系数的关系得到x1+x2==1,x1•x2==,然后将其代入x1•x2>x1+x2﹣4可得关于m的不等式,解不等式即可求出m的取值范围.同时一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1=0的有两个实数根,有△=b2﹣4ac≥0,也得到关于m的不等式,也可以得到一个m的取值范围.把两个范围结合起来即可求出m的取值范围.解答解依题意得x1+x2==1,x1•x2==,而x1•x2>x1+x2﹣4,∴>﹣3,得m>;又一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1=0的有两个实数根,∴△=b2﹣4ac≥0,即4﹣4×2×(3m﹣1)≥0,解可得m≤.∴<m≤.故选D.点评本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数关系即韦达定理,两根之和是,两根之积是. 13.已知方程x2+px+q=0的两个根分别是2和﹣3,则x2﹣px+q可分解为( ) A.(x+2)(x+3)B.(x﹣2)(x﹣3)C.(x﹣2)(x+3)D.(x+2)(x﹣3)考点根与系数的关系;因式分解-十字相乘法等.专题计算题.分析此题考查了二次三项式的因式分解法和根与系数的关系,由题意得2+(﹣3)=﹣1=﹣p,2×(﹣3)=﹣6=q,可知x2﹣px+q=x2﹣x﹣6,然后即可分解.解答解据题意得2+(﹣3)=﹣1=﹣p,2×(﹣3)=﹣6=q,即p=1,q=﹣6,可知x2﹣px+q=x2﹣x﹣6,∴x2﹣x﹣6=(x+2)(x﹣3).故选D.点评此题提高了学生的综合应用能力,解题的关键是熟练应用二次三项式的因式分解法和根与系数的关系. 14.(2011•锦江区模拟)若方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x
1、x2,则(x1+2)(x2+2)的值为( ) A.﹣4B.6C.8D.12考点根与系数的关系.分析根据(x1+2)(x2+2)=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2(x1+x2)+4,根据一元二次方程根与系数的关系,即两根的和与积,代入数值计算即可.解答解∵x
1、x2是方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根.∴x1+x2=3,x1•x2=﹣2.又∵(x1+2)(x2+2)=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2(x1+x2)+4.将x1+x2=
3、x1•x2=﹣2代入,得(x1+2)(x2+2)=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2(x1+x2)+4=(﹣2)+2×3+4=8.故选C点评将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法. 二.填空题(共13小题)15.(2003•山西)函数y=中的自变量x的取值范围是 x≥﹣3 .考点函数自变量的取值范围;分式有意义的条件;二次根式有意义的条件.分析根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于等于0,分母不等于0,列不等式组求解.解答解根据题意得解得x≥﹣3.点评函数自变量的范围一般从三个方面考虑
(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;
(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;
(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数. 16.若,则a= ±9 .考点二次根式的性质与化简.分析根据算术平方根的定义即可求解.解答解∵=|a|=9,∴a=±9.点评正确理解算术平方根的定义是解决本题的关键. 17.已知一次函数y=(m﹣2)x+3﹣m的图象经过第
一、
二、四象限,则化简+= 5﹣2m .考点一次函数的性质;二次根式的性质与化简.分析由一次函数y=(m﹣2)x+3﹣m的图象经过第
一、
二、四象限可以确定m的取值范围,然后再化简+.解答解∵一次函数y=(m﹣2)x+3﹣m的图象经过第
一、
二、四象限,∴m﹣2<0,3﹣m>0,∴+=|m﹣2|+|3﹣m|=5﹣2m.故填空答案5﹣2m.点评本题主要考查二次根式的化简方法与运用
①a>0时,=a;
②a<0时,=﹣a;
③a=0时,=0. 18.(1998•杭州)已知,则= 13 .考点二次根式的加减法.专题压轴题;换元法.分析用换元法代替两个带根号的式子,得出m、n的关系式,解方程组求m、n的值即可.解答解设m=,n=,那么m﹣n=2
①,m2+n2=34
②.由
①得,m=2+n
③,将
③带入
②得n2+2n﹣15=0,解得n=5(舍去)或n=3,因此可得出,m=5,n=3(m≥0,n≥0).所以=n+2m=13.点评本题通过观察,根号里面未知数的系数为相反数,可通过换元法求解. 19.如果x2﹣3x+1=0,则的值是 .考点二次根式的化简求值.分析将二次根式的被开方数和一元二次方程同时进行化简,最后都化成含x+的式子,然后再将二次根式进行化简.解答解方程x2﹣3x+1=0中,当x=0时,方程左边为0﹣0+1=1≠0,故x≠0;将方程两边同除以x,则有x﹣3+=0,即x+=3;∴原式====.点评本题的难点在于需将一元二次方程和二次根式的被开方数同时进行变形,形如a2+的式子转化,应该立刻联想到a2±2+=(a±)2的变形. 20.(1997•内江)已知1<x<2,,则的值是 ﹣2 .考点二次根式的化简求值.专题压轴题.分析由于()2=x﹣1﹣2+=x+﹣3,又∵,由此可以得到()2=4,又由于1<x<2,由此可以得到的值<0,最后即可得到的值.解答解∵()2=x﹣1﹣2+=x+﹣3,又∵,∴()2=4,又∵1<x<2,∴<0,∴=﹣2.故填﹣2.点评此题解题关键是把所求代数式两边平方,找到它和已知等式的__,然后利用__解题. 21.若方程组的解满足x+y=,则m= 0 .考点解三元一次方程组.分析
①+
②得到与x+y有关的等式,再由x+y=,建立关于m的方程,解出m的数值.解答解,
①+
②可得5x+5y=2m+1,由x+y=可得5x+5y=1,于是2m+1=1,∴m=0.故本题答案为0.点评解答此题时要将x+y看做一个整体,将三元一次方程组转化为二元一次方程组来解. 22.如果以x,y为未知数的二元一次方程组的解满足4x﹣3y=8,那么m= .考点解三元一次方程组.分析先用含m的代数式表示x,y,即解关于x,y的方程组,再代入4x﹣3y=8中解出m.解答解由题意得,
①+
②得x=
2.5m,代入
①得y=﹣2m,代入4x﹣3y=8得10m+6m=8,解得m=.故本题答案为.点评本题的实质是解三元一次方程组,理解清楚题意,运用三元一次方程组的知识,解出m的数值. 23.现有甲、乙、丙三种东西,若__甲3件、乙5件、丙1件共需32元;若__甲4件、乙7件、丙1件共需40元,则要__甲、乙、丙各1件共需 16 元.考点三元一次方程组的应用.分析设甲、乙、丙每件单价为x、y、z元,建立方程组,整体求得x+y+z的值.解答解设甲、乙、丙每件单价为x、y、z元,根据题意列方程组得,
②﹣
①得x+2y=8
③,
②+
①得7x+12y+2z=72
④,
④﹣
③×5得2x+2y+2z=32,∴x+y+z=16.故本题答案为16.点评未知数共有三个,方程只有两个,无法直接解答,通过加减,将x+y+z看做一个整体来解. 24.方程2x+y=8的正整数解的个数是 3 .考点解二元一次方程.分析首先用x表示y,再进一步根据x,y都是正整数进行分析求解解答解方程2x+y=8变形,得y=8﹣2x,∵x,y都是正整数∴解有3组,,.点评本题是求不定方程的正整数解,先将方程做适当变形,确定其中一个未知数的适合条件的所有正整数值,再求出另一个未知数的值. 25.在一次聚会中,每两个参加聚会的人都相互握了一次手,一共握了45次手,则参加这次聚会的人是 10 人.考点一元二次方程的应用.专题其他问题.分析设参加这次聚会的人是x人,第一个人和其他所有人握了(x﹣1)手,而其中甲与乙的握手与乙和甲的握手是同一次,因而共有x(x﹣1)次握手,据此即可列方程求解.解答解设参加这次聚会的人是x人,依题意得=45,∴x2﹣x﹣90=0,∴x=10或x=﹣9(负值舍去).答参加这次聚会的人是10人.点评此类题目贴近生活,有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力.解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程组,再求解. 26.一个凸多边形共有9条对角线,则这个多边形的边数是 6 .考点一元二次方程的应用;多边形的对角线.专题几何图形问题.分析考查多边形的性质.任意多边形一点,可画出n﹣3条对角线,n边形共有对角线.解答解设多边形有n条边,则=9,解得n1=6,n2=﹣3(舍去),故这个多边形的边数为6.点评这类根据多边形的对角线,求边数的问题一般都可以化为求一元二次方程的解的问题,求解中舍去不符合条件的解即可. 27.如图,折叠直角梯形纸片的上底AD,点D落在底边BC上点F处,已知DC=8cm,FC=4cm,则EC长 3 cm.考点翻折变换(折叠问题);一元二次方程的应用.分析本题可设EC长xcm,则DE长(8﹣x)cm,由折叠可知,EF=DE=(8﹣x)cm,而FC=4cm,利用勾股定理,即可列出方程,求出答案.解答解设EC长xcm,则DE长(8﹣x)cm,由折叠可知,EF=DE=(8﹣x)cm,而FC=4cm,利用勾股定理,可得方程x2+42=(8﹣x)2整理,得﹣16x+48=0,解之,得x=3.故EC长3cm.点评这类题目体现了数形结合的思想,需利用折叠的性质,结合勾股定理,利用方程来解决问题. 。