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文本内容:
题目http://www.xjktyg.com/wxc/第二章函数http://www.xjktyg.com/wxc/http://www.xjktyg.com/wxc/http://www.xjktyg.com/wxc/http://www.xjktyg.com/wxc/http://www.xjktyg.com/wxc/http://www.xjktyg.com/wxc/http://www.xjktyg.com/wxc/http://www.xjktyg.com/wxc/函数的奇偶性与周期性高考要求http://www.xjktyg.com/wxc/了解函数奇偶性的概念,掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法http://www.xjktyg.com/wxc/掌握函数的奇偶性的定义及图象特征,并能判断和证明函数的奇偶性,能利用函数的奇偶性解决问题http://www.xjktyg.com/wxc/了解周期函数的定义及定义域一定是无限集.会判断函数的周期性,能够出周期函数的最小正周期.课时3节难点函数的单调性和奇偶性,周期性等知识的综合运用
一、函数的奇偶性知识点归纳http://www.xjktyg.com/wxc/1http://www.xjktyg.com/wxc/函数的奇偶性的定义如果对于函数fx定义域内的任意一个x都有f-x=fx那么函数fx就叫偶函数.如果对于函数fx定义域内的任意一个x都有f-x=-fx那么函数fx就叫奇函数.2http://www.xjktyg.com/wxc/奇偶函数的性质
(1)定义域关于原点对称;
(2)偶函数的图象关于轴对称,奇函数的图象关于原点对称;3http://www.xjktyg.com/wxc/为偶函数;若奇函数的定义域包含,则http://www.xjktyg.com/wxc/“fx为奇函数”是f0=0的非充分非必要条件;4http://www.xjktyg.com/wxc/判断函数的奇偶性的方法1定义法若函数的定义域不是关于原点的对称区间,则立即判断该函数既不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域是关于原点的对称区间,再判断f-x=-fx或f-x=fx是否成立判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式,http://www.xjktyg.com/wxc/2图像法奇(偶)函数的充要条件是它的图像关于原点(或y轴)对称.5http://www.xjktyg.com/wxc/设,的定义域分别是,那么在它们的公共定义域上奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇http://www.xjktyg.com/wxc/应用举例
1、常见函数的奇偶性奇函数(为常数),,,为常数)偶函数(为常数),时既为奇函数又为偶函数(,(,(为常数),非奇非偶函数,,,,,既奇又偶函数
2、对奇偶性定义的理解例1下面四个结论
①偶函数的图象一定与y轴相交;
②奇函数的图象一定通过原点;
③偶函数的图象关于y轴对称;
④既是奇函数又是偶函数的函数一定是fx=0x∈R,其中正确命题的个数是A.1 B.2C.3 D.4分析偶函数的图象关于y轴对称,但不一定相交,因此
③正确,
①错误;奇函数的图象关于原点对称,但不一定经过原点,因此
②不正确;若y=fx既是奇函数,又是偶函数,由定义可得fx=0,但不一定x∈R,故
④错误,选A.练习
1、(2007全国Ⅰ),是定义在R上的函数,,则“,均为偶函数”是“为偶函数”的BA.充要条件 B.充分而不必要的条件C.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件解析:∵fx、gx均为偶函数∴f-x=fxg-x=gx.∴h-x=f-x+g-x=fx+gx=hx.∴hx为偶函数.但若h-x=hx即f-x+g-x=fx+gx不一定f-x=fxg-x=gx例fx=x2+xgx=-x.
2、(2007江苏)设f(x)=lg()是奇函数,则使f(x)<0的x的取值范围是AA.(-1,0)B.(0,1)C.(-∞,0)D.(-∞,0)∪(1,+∞)解析:∵fx为奇函数∴f0=
0.解之得a=-
1.∴fx=lg.令fx<0则0<<1∴x∈-
10.
3、已知函数解析式,判断或证明函数的奇偶性例2判断下列函数的奇偶性1fx=x3+x2fx=3x4+6x2+a3fx=3x+14fx=x2,x∈[-44,
(5)例3判断下列各函数的奇偶性
(1);
(2);解
(1)由,得定义域为,关于原点不对称,∴为非奇非偶函数http://www.xjktyg.com/wxc/
(2)由得定义域为,∴,∵∴为偶函数练习
1、判断函数fx=的奇偶性解由题∴函数的定义域为[-10∪01]此时fx=故fx是奇函数
4、抽象函数奇偶性的判定与证明例4http://www.xjktyg.com/wxc/(2007北京西城)已知函数对一切,都有,
(1)求证是奇函数;
(2)若,用表示http://www.xjktyg.com/wxc/解
(1)显然的定义域是,它关于原点对称.在中,令,得,令,得,∴,∴,即,∴是奇函数.
(2)由,及是奇函数,得.例5.2006年辽宁设是上的任意函数,下列叙述正确的是(C)A.是奇函数 B.是奇函数C.是偶函数 D.是偶函数解据奇偶函数性质易判定f(x)·f(-x)是偶函数,f(x)-f(-x)是奇函数f(x)·|f(-x)|的奇偶取决于f(x)的性质,只有f(x)+f(-x)是偶函数正确
5、利用函数奇偶性求函数解析式或求值例
6、已知fx是奇函数,且当x0时,fx=x|x-2|,求x0时,fx的表达式.解∵fx是奇函数,且当x0时,fx=x|x-2|,∴当x0时,fx=-f-x=--x|-x-2|=x|x+2|.练习已知是上的奇函数,且当时,,则的解析式为http://www.xjktyg.com/wxc/例7(2007黄冈中学月考)已知函数,求+++的值解由得函数的定义域是又成立,函数是奇函数+=0+=0∴+++=0例8(2007海南、宁夏)设函数为奇函数,则-1解析:∵fx=∴f-x=-又∵fx为奇函数∴fx=-f-x.∴=.∴∴a=-
1. 练习已知是偶函数,定义域为,则,b=0解,
6、偶函数性质的应用偶函数图象关于y轴对称,运用可将偶函数问题转化至的范围解决例
9、设定义在[-22]上的偶函数在区间
[02]上单调递减,若,求实数的取值范围解又当时,是减函数练习已知是偶函数,,当时,为增函数,若,且,则()http://www.xjktyg.com/wxc/http://www.xjktyg.com/wxc/http://www.xjktyg.com/wxc/http://www.xjktyg.com/wxc/
二、函数的周期性知识点归纳http://www.xjktyg.com/wxc/定义若T为非零常数,对于定义域内的任一x,使恒成立则fx叫做周期函数,T叫做这个函数的一个周期http://www.xjktyg.com/wxc/一般所说的周期是指函数的最小正周期http://www.xjktyg.com/wxc/周期函数的定义域一定是无限集http://www.xjktyg.com/wxc/常见函数周期:
①y=sinx,最小正周期T=2π;
②y=cosx,最小正周期T=2π;
③y=tanx,最小正周期T=π;
④y=cotx,最小正周期T=π.周期函数变换后的周期周期函数fx最小正周期为T则y=Afωx+φ+k的最小正周期为T/|ω|.例10已知函数fx对任意实数x都有fx+m=-fx求证:2m是fx的一个周期.证明因为fx+m=-fx所以,fx+2m=f[x+m+m]=-fx+m=fx所以fx是以2m为周期的周期函数.练习
1、已知函数fx对任意实数x都有fx+m=fx-m求证:2m是fx的一个周期证明因为fx+m=fx-m所以,fx+2m=f[x+m+m]=f[x+m-m]=fx所以fx是以2m为周期的周期函数.以上两题可作为结论记,注意fx+m=fx-m与fm+x=fm-x的区别,fm+x=fm-x是fx图像的对称轴
2、已知函数fx对任意实数x都有,求证:2m是fx的一个周期.证明由已知fx+2m=f[x+m+m]所以fx是以2m为周期的周期函数.
3、设偶函数对任意,都有,且当时,则的值为DA.B.C.D.解
三、函数奇偶性、单调性、周期性综合运用例11已知fx是偶函数,而且在-∞0上是增函数,问fx在0,+∞上是增函数还是减函数?解设0<x1<x2<+∞则-∞<-x2<-x1<0∵fx在-∞0上是增函数∴f-x2<f-x1∵fx是偶函数∴fx2<fx1故fx在0,+∞上是减函数知识点偶函数在对称区间上单调性相反,奇函数在对称区间上对称性相同例12函数是奇函数,且当时是增函数,若,求不等式的解集解又函数是奇函数,它在对称区间上的单调性相同且例
13、已知是周期为4的偶函数,当时,,求,解,例
14、(2005福建)是定义在R上的以3为周期的奇函数,且则方程fx=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是 D A.2B.3 C.4 D.5解析依题可知f(x)=f(x+3).f
(2)=f
(5)=
0.又∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-x)=-f(x).∴f(-2)=-f
(2)=
0.∴f(-2)=f
(1)=f
(4)=
0.又∵奇函数有f
(0)=0,∴f
(3)=f
(6)=
0.∴在(0,b)内f(x)=0解的个数最小值为
5.练习
1、(2007重庆)已知定义域为R的函数fx在8+∞上为减函数且函数y=fx+8为偶函数则DA.f6>f7 B.f6>f9 C.f7>f9 D.f7>f10解析∵y=fx+8为偶函数,∴y=fx图象关于x=8对称.又∵y=fx在8,+∞上为减函数,∴y=fx在-∞,8上为增函数.∴f7=f9,f9>f
10.∴f7>f
10.
2、2006山东已知定义在R上的奇函数fx满足fx+2=-fx,则f6的值为BA-1 B0 C1 D2解析∵f(x+2)=-f(x).∴f
(6)=f(4+2)=-f
(4)=f
(2)=-f
(2).又-f(x)为R上的奇函数,∴f
(2)=0∴f
(6)=
0.
3、(2005重庆)若函数是定义在R上的偶函数,在上是减函数,且,则使得的x的取值范围是 ( D) A. B. C. D.(-2,2)解析∵f
(2)=0且f(x)为偶函数,∴f(-2)=
0.又∵f(x)在(-∞,0]递减,∴f(x)在(-2,0]递减.∴对于x∈(-2,0)必有f(x)
0.由对称性得对于x∈[0,2)必有f(x)
0.∴使得f(x)0的范围是(-2,2).
4、(2005全国Ⅳ)设函数f(x)(x∈R)为奇函数,f
(1)=f(x+2)=f(x)+f
(2)则f
(5)等于( C)A.0 B.1 C. D.5解f(x+2)=f(x)+f
(2)且f(x)(x∈R)为奇函数,f
(1)==-fx。
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