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函数的单调性与奇偶性讲义一,目的要求1理解函数单调性的概念,掌握用定义的方法来判断函数在给定区间内的增减性2理解函数奇偶性的概念,掌握奇偶函数的性质3结合函数的单调性和奇偶性,掌握类似判断函数值大小等各类综合运用问题二,知识要点1函数的单调性设函数的定义域为,区间如果对于上任意的两点及,当时,不等式成立,称函数在区间上是单调增加的;反之,如果对于上任意的两点及,当时,不等式成立,称函数在区间上是单调减少的2函数的奇偶性设函数的定义域关于原点对称,即如果对于任意,则有若等式恒成立,则称为奇函数;若等式恒成立,则称为偶函数*注奇函数的三个性质1,经过原点;2,函数的图像关于原点对称;3,函数在其对称区间内有相同的增减性偶函数的两个性质1,函数的图像关于轴对称;2,函数在其对称区间内具有相反的增减性三,证明函数单调性的常用方法作差法求导法四,例题分析例1,,,确定其在给定区间内的单调性解不妨假设,则,,即,是上的严格递增函数例2,,,确定其在给定区间内的单调性解不妨假设,则,,即,是上的严格递减函数例3,已知函数是奇函数,则的值为()A.B.C.D.解由已知条件可以得知是定义在上的奇函数由奇函数的第一个性质可以得知例4,已知偶函数在上单调递增,则下列关系式成立的是A.B.C.D.解由偶函数的第二个性质可以得知在上单调递减例5,判断函数的奇偶性,并指出它的单调区间.解由已知条件可以得知是定义在上的函数,,即,是上的偶函数是上的分段函数,分以下几种情况讨论i对,不妨假设,我们有;则即在上单调递减ii对,不妨假设,我们有;则即在上单调递增iii当时,由偶函数的第二条性质可以得知在上单调递减,在上单调递增综上所述在,上单调递减,在,上单调递增五.基础训练1(2009辽宁卷)已知偶函数在区间单调增加,则满足<的x取值范围是(A)(,)B[,)C(,)D[,)2求证,是奇函数3断函数的奇偶性4.2007山东理4设,则使函数的定义域为且为奇函数的所有值为()A.,B.,C.,D.,,规律(两函数的定义域D1,D2,D1∩D2要关于原点对称奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇)例1已知的定义域为(0,+),单调增区间为(0,4),减区间为(4,+)分别求和的定义域和单调性2(利用奇偶性求函数值)已知且,那么3已知,,求4(2009重庆卷理)若是奇函数,则5设函数为奇函数,则实数6(2009陕西卷)定义在R上的偶函数满足对任意的,有.则(A)ABCD
7.2009山东卷理定义在R上的函数fx满足fx=,则f
(2009)的值为A.-1B.0C.1D.28已知函数是上的偶函数,若对于,都有,且当时,,则的值为A. B. C. D.909山东文已知定义在R上的奇函数,满足且在区间
[02]上是增函数则D.A.B.C.D.
10.(2006年安徽卷)函数满足,若.
11.(2007年__卷)函数满足关系式,则=.五提升训练1(本题满分15分)已知定义域为的函数是奇函数.1求的值;2讨论函数的单调性;
(3)若对任意的不等式恒成立,求实数的取值范围.2零点问题
(1)设,则在下列区间中,使函数有零点的区间是()A.[0,1]B.[1,2]C.[-2,-1]D.[-1,0]
(2)2009山东卷若函数fx=a-x-aa0且a1有两个零点,则实数a的取值范围是.3已知函数是定义在R上的奇函数,且它的图象关于直线对称.⑴证明是周期为的周期函数;⑵若,求时,函数的解析式.山东函数图像题主要是考察单调性,奇偶性,零点等1单调性的确定主要是求导2奇偶性的确定可以用定义,也可以根据经验确定,例如奇函数与偶函数两两相加减为或者乘后是什么函数3零点的确定,主要观察接近于x轴的值与0的大小和当x为正无穷或者负无穷时的整体趋势
1.如果函数y=fx的图象如右图,那么导函数的图象可能是()2.设函数fx在定义域内可导,y=fx的图象如图所示,则导函数y=f′x的图象可能是()ABCD
3.函数的图像大致是( )
4.函数的图像大致为.
5、设,函数的图像可能是http://www.ks5u.com/6.2009·福建质检函数y=的图象大致是 8.函数的图象的大致形状是()
9.函数的图像大致为10.函数的图像大致是
11.设函数.若的图像与图像有且仅有两个不同的公共点则下列判断正确的是A.当时,B.当时(C).当时,(D).当时,
12.函数y=lncosx-<x<的图象是
13.函数y=ax2+bx与y=ab≠0,|a|≠|b|在同一直角坐标系中的图像可能是yoxoxyoxyoxyoxy1xy1OAxyO11BxyO11Cxy11DO。