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文本内容:
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2.
4.函数的单调性知识要点__1http://www.xjktyg.com/wxc/函数单调性的定义.对于函数的定义域I内某个区间上自变量的任意两个值⑴若当时,都有则说在这个区间上是增函数;⑵若当时,都有则说在这个区间上是减函数.
2.若函数在某个区间是增函数或减函数,则就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.2http://www.xjktyg.com/wxc/ 证明函数单调性的一般方法:
①定义法用定义法判断、证明函数单调性的一般步骤是⑴设是给定区间内的任意两个值,且;⑵作差-,并将此差式变形(要注意变形的程度,一般结果要分解为若干个因式的乘积,且每一个因式的正或负号能清楚地判断出);⑶判断-的正负(要注意说理的充分性);⑷根据-的符号确定其增减性.
②用导数证明若在某个区间A内有导数,则在A内为增函数;在A内为减函数http://www.xjktyg.com/wxc/3http://www.xjktyg.com/wxc/ 求单调区间的方法定义法、导数法、图像法http://www.xjktyg.com/wxc/4.复合函数在公共定义域上的单调性的判断对于函数和,如果在区间上是具有单调性,当时,,且在区间上也具有单调性,则复合函数在区间具有单调性的规律见下表增↗减↘增↗减↘增↗减↘增↗减↘减↘增↗以上规律还可总结为“同向得增,异向得减”或“同增异减”.疑难点、易错点剖析
1.在讨论函数的单调性或求单调区间时应注意一是先求定义域,单调区间是定义域的子集如若函数在区间上为减函数,求的取值范围(答);二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”;三是单调区间应该用区间表示,不能用__或不等式表示.四要注意函数单调性与奇偶性的逆用(
①比较大小;
②解不等式;
③求参数范围).如已知奇函数是定义在上的减函数若,求实数的取值范围(答)
2.确定函数的单调性或单调区间的常用方法与技巧
①在解答题中常用定义法(取值――作差――变形――定号)、导数法(在区间内,若总有,则为增函数;反之,若在区间内为增函数,则,请注意两者的区别所在如已知函数在区间上是增函数,则的取值范围是____答);
②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等,特别要注意型函数的图象和单调性在解题中的运用增区间为,减区间为.如
(1)若函数在区间(-∞,4]上是减函数,那么实数的取值范围是______答);
(2)已知函数在区间上为增函数,则实数的取值范围_____(答);
(3)若函数的值域为R,则实数的取值范围是______答且);
③复合函数法复合函数单调性的特点是同增异减如函数的单调递增区间是________答
(12)3http://www.xjktyg.com/wxc/一些有用的结论
①奇函数在其对称区间上的单调性相同;
②偶函数在其对称区间上的单调性相反;
③在公共定义域内增函数增函数是增函数;减函数减函数是减函数;增函数减函数是增函数;减函数增函数是减函数http://www.xjktyg.com/wxc/直击考点考点一.函数单调性的证明例1.判断并证明函数的单调性解在R上是增函数.证明如下设则∵∴,∴即(注关键的判断)∴在R上是增函数.锦囊妙计本题用的是定义法,注意按定义法的步骤进行取值――作差――变形――定号考例
2.设,是上的偶函数
(1)求的值;
(2)证明在上为增函数解
(1)依题意,对一切,有,即∴对一切成立,则,∴,∵,∴
(2)解法一定义法设,则,由,得,,∴,即,∴在上为增函数解法二(导数法)∵,∴∴在上为增函数举一反三讨论函数在0+上的单调性.证明设是0+上的任意两个实数,且,则-=-()=由∈0+,得,,1当时,于是-0即∴在0上是减函数.2当时,于是-0即∴在上是增函数.考点二复合函数的单调区间的确定考例
3.
(1)求函数的单调区间;
(2)已知若,试确定的单调区间和单调性解
(1)函数由函数与复合而成,由解得,因外函数在上单调递减,内函数在上递减,在上递增,由复合函数单调性规律可得所求复合函数的单调减区间为单调增区间为
(2),,令,得或,令,或∴单调增区间为;单调减区间为http://www.xjktyg.com/wxc/锦囊妙计
(1)在求函数的单调区间时,勿忘先求定义域,单调区间一定是定义域的子区间
(2)当函数是高次多项式时,用导数法求单调区间更快捷3这里不能用“”将两个递增(减)区间“并”在一起,必须用逗号隔开举一反三:若函数fx=则该函数在-∞+∞上是AA单调递减无最小值B单调递减有最小值C单调递增无最大值D单调递增有最大值考点三复合函数的单调性规律的运用考例
4.若y=log2-ax在[0,1]上是x的减函数,则a的取值范围是()Ahttp://www.xjktyg.com/wxc/0,1Bhttp://www.xjktyg.com/wxc/1,2Chttp://www.xjktyg.com/wxc/0,2Dhttp://www.xjktyg.com/wxc/[2,+∞思路分析本题有多种解法,但不管哪种方法,都必须保证
①使log2-ax有意义,即a>0且a≠1,2-ax>0http://www.xjktyg.com/wxc/
②使log2-ax在[0,1]上是x的减函数http://www.xjktyg.com/wxc/由于所给函数可分解为y=logu,u=2-ax,其中u=2-ax在a>0时为减函数,所以必须a>1;
③[0,1]必须是y=log2-ax定义域的子集http://www.xjktyg.com/wxc/解法一因为fx在[0,1]上是x的减函数,所以f0>f1,即log2>log2-ahttp://www.xjktyg.com/wxc/解法二由对数概念显然有a>0且a≠1,因此u=2-ax在[0,1]上是减函数,y=logu应为增函数,得a>1,排除A,C,再令a=3则的定义域为,但[0,1]不是该区间的子集http://www.xjktyg.com/wxc/故排除D,选Bhttp://www.xjktyg.com/wxc/说明本题为1995年全国高考试题,综合了多个知识点,无论是用直接法,还是用排除法都需要概念清楚,推理正确http://www.xjktyg.com/wxc/举一反三:
1.(06天津卷)已知函数的图象与函数(且)的图象关于直线对称,记.若在区间上是增函数,则实数的取值范围是( )A. B. C.D.解析已知函数的图象与函数(且)的图象关于直线对称则,记=.当a1时,若在区间上是增函数,为增函数,令,t∈[],要求对称轴,矛盾;当0a1时,若在区间上是增函数,为减函数,令,t∈[],要求对称轴,解得所以实数的取值范围是选D.
2.函数在上是增函数,求的取值范围分析由函数在上是增函数可以得到两个信息
①对任意的总有;
②当时,恒成立解法一∵函数在上是增函数,∴对任意的有,即,得,即,∵,∴,∵,∴要使恒成立,只要;又∵函数在上是增函数,∴,即,综上的取值范围为解法二(用导数求解)令,函数在上是增函数,∴在上是增函数,,∴,且在上恒成立,得http://www.xjktyg.com/wxc/考点四.函数单调性的逆用考例
5.已知奇函数fx是定义在-3,3上的减函数,且满足不等式fx-3+fx2-30设不等式解集为A,B=A∪{x|1≤x≤}求函数gx=-3x2+3x-4x∈B的最大值.命题意图本题属于函数性质的综合性题目,考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力.知识依托主要依据函数的性质去解决问题.错解分析题目不等式中的“f”号如何去掉是难点,在求二次函数在给定区间上的最值问题时,学生容易漏掉定义域.技巧与方法借助奇偶性脱去“f”号,转化为x的不等式,利用数形结合进行__运算和求最值.解由且x≠0故0x又∵fx是奇函数,∴fx-3-fx2-3=f3-x2又fx在-3,3上是减函数,∴x-33-x2即x2+x-60解得x2或x-3综上得2x即A={x|2x}∴B=A∪{x|1≤x≤}={x|1≤x}又gx=-3x2+3x-4=-3x-2-知gx在B上为减函数,∴gx__x=g1=-
4.锦囊妙计在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中,往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法,把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决.特别是往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题.举一反三
1.若为奇函数,且在上是减函数,又,则的解集为___________解由得或∵为奇函数,在上是减函数,∴由;由∴的解集为http://www.xjktyg.com/wxc/
2.已知定义域为-1,1的奇函数y=fx又是减函数,且fa-3+f9-a20则a的取值范围是A.2,3B.3,C.2,4D.-2,3解析∵fx是定义在-1,1)上的奇函数又是减函数,且fa-3+f9-a2<
0.∴fa-3<fa2-
9.∴∴a∈
23.答案A考点五.抽象函数的单调性的判断或证明考例6 已知函数的定义域是的一切实数,对定义域内的任意都有,且当时,
(1)求证是偶函数;
(2)在上是增函数;
(3)解不等式http://www.xjktyg.com/wxc/解
(1)令,得,∴,令,得,∴,∴是偶函数http://www.xjktyg.com/wxc/
(2)设,则∵,∴,∴,即,∴∴在上是增函数http://www.xjktyg.com/wxc/
(3),∴,∵是偶函数∴不等式可化为,又∵函数在上是增函数,∴,解得,即不等式的解集为http://www.xjktyg.com/wxc/锦囊妙计对于抽象函数,在依托定义的基础上,用好赋值法,注意赋值的科学性、合理性.举一反三(05辽宁卷)已知是定义在R上的单调函数,实数,,若,则(A)A.B.C.D.常见错误警示例.已知奇函数fx的定义域为R,且fx在[0,+∞上是增函数,是否存在实数m使fcos2θ-3+f4m-2mcosθf0对所有θ∈[0]都成立?若存在,求出符合条件的所有实数m的范围,若不存在,说明理由.错解分析考生不易运用函数的综合性质去解决问题,特别不易考虑运用等价转化的思想方法.技巧与方法主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题.解∵fx是R上的奇函数,且在[0,+∞上是增函数,∴fx是R上的增函数.于是不等式可等价地转化为fcos2θ-3f2mcosθ-4m即cos2θ-32mcosθ-4m即cos2θ-mcosθ+2m-
20.设t=cosθ,则问题等价地转化为函数gt=t2-mt+2m-2=t-2-+2m-2在[0,1]上的值恒为正,又转化为函数gt在[0,1]上的最小值为正.∴当0即m0时,g0=2m-20m1与m0不符;当0≤≤1时,即0≤m≤2时,gm=-+2m-204-2m4+2∴4-2m≤
2.当1即m2时,g1=m-10m
1.∴m2综上,符合题目要求的m的值存在,其取值范围是m4-
2.紧扣考纲大演练1.07广州市模拟下列函数中既是偶函数又在上单调递增的是(D)A.BCD2.(06北京卷)已知是(-,+)上的增函数,那么a的取值范围是(A)1,+(B)-3C[,3D13解依题意,有a1且3-a0,解得1a3,又当x1时,(3-a)x-4a3-5a,当x1时,logax0,所以3-5a0解得a,所以1a3故选D
3.若函数fx是定义在R上的偶函数,在上是减函数,且f20,则使得fx0的x的取值范围是DA¥2;B2¥;C¥2È2¥;D224.07深圳市模拟已知函数是定义域为R的偶函数且若在上是减函数那么在上是(A)A.增函数B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数
5.若函数在区间内单调递增,则a的取值范围是(B)A.B.C.D.
6.(06天津卷)已知函数的图象与函数(且)的图象关于直线对称,记.若在区间上是增函数,则实数的取值范围是( )A. B. C.D.解析已知函数的图象与函数(且)的图象关于直线对称则,记=.当a1时,若在区间上是增函数,为增函数,令,t∈[],要求对称轴,矛盾;当0a1时,若在区间上是增函数,为减函数,令,t∈[],要求对称轴,解得所以实数的取值范围是选D.二.填空题
7.函数fx在R上为增函数,则y=f|x+1|的一个单调递减区间是_________..解析令t=|x+1|则t在-∞-1上递减,又y=fx在R上单调递增,∴y=f|x+1|在-∞-1上递减.答案-∞-
18.若函数fx=ax3+bx2+cx+d满足f0=fx1=fx2=00x1x2且在[x2+∞上单调递增,则b的取值范围是_________.解析∵f0=fx1=fx2=0∴f0=d=
0.fx=axx-x1x-x2=ax3-ax1+x2x2+ax1x2x,∴b=-ax1+x2又fx在[x2+∞单调递增,故a
0.又知0<x1<x得x1+x20∴b=-ax1+x2<
0.答案-∞0)
9.若fx为奇函数,且在0,+∞内是增函数,又f-3=0则xfx0的解集为_________.解析由题意可知xfx<0∴x∈-30∪03答案-3,0)∪0,3)
10.如果函数fx在R上为奇函数,在-1,0上是增函数,且fx+2=-fx试比较fff1的大小关系_________.解析∵fx为R上的奇函数∴f=-f-f=-f-f1=-f-1又fx在-1,0上是增函数且---
1.∴f-f-f-1∴f<f<f
1.答案f<f<f1三解答题11(改编题)已知函数,(为正常数),且函数与的图象在轴上的截距相等
(1)求的值;
(2)求函数的单调递增区间;解1由题意,,又,所以2当时,,它在上单调递增;当时,,它在上单调递增
12.07汕头市模拟已知实数a0函数fx=axx-22x∈R有极大值
8.1求函数fx的单调区间2求实数a的值.
17.解:1∵fx=ax3-4ax2+4ax∴fx=3ax2-8ax+4a.令fx=0得3ax2-8ax+4a=0∵a≠0∴3x2-8x+4=0x=或x=2∵a0∴当x∈-∞或x∈2+∞时fx0∴函数fx的单调递增区间为-∞]和[2+∞;当x∈2fx0∴函数fx的单调递减区间为
[2].2∵x∈2时fx0x∈-∞时fx0x∈2+∞时fx0∴fx在x=时取得最大值.即a·-22=8解得a=
13.已知函数fx在-1,1上有定义,f=-1当且仅当0x1时fx0且对任意x、y∈-11都有fx+fy=f试证明1fx为奇函数;2fx在-1,1上单调递减.命题意图本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.知识依托奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.错解分析本题对思维能力要求较高,如果“赋值”不够准确,运算技能不过关,结果很难获得.技巧与方法对于1,获得f0的值进而取x=-y是解题关键;对于2,判定的范围是焦点.证明1由fx+fy=f令x=y=0得f0=0令y=-x得fx+f-x=f=f0=
0.∴fx=-f-x.∴fx为奇函数.2先证fx在0,1上单调递减.令0x1x21则fx2-fx1=fx2-f-x1=f∵0x1x21∴x2-x101-x1x20,∴0又x2-x1-1-x2x1=x2-1x1+10∴x2-x11-x2x1∴01由题意知f0,即fx2fx
1.∴fx在0,1上为减函数,又fx为奇函数且f0=
0.∴fx在-1,1上为减函数.。