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文本内容:
函数的单调性
1、知识要点
1、函数的单调性一般地,对于给定区间上的函数,如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x
1、x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)〔或都有f(x1)>f(x2)〕,那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数).
2、单调函数与单调区间如果函数在某个区间上是增函数或减函数,那么就说函数在这个区间上单调函数,这个区间叫做函数的单调区间
3、函数单调性的判断1定义法取值、作差、变形、定号、下结论.2复合法同增异减,即内外函数的单调性相同时,为增函数,不同时为减函数.3导数法利用导数研究函数的单调性.4图象法利用图象研究函数的单调性.在增区间上,函数的图像从左到右是上升的在减区间上,函数的图像从左到右是下降的
二、题型探析
(一)用定义法讨论函数的单调性例
1、求函数y=x+的单调区间.训练
1、讨论函数f(x)=(a>0)在x∈(-1,1)上的单调性.例
2、如果二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间(,1)上是增函数,求f
(2)的取值范围.训练
2、如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,那么实数a的取值范围是___________________.
(二)、复合函数法讨论函数的单调性例
3、函数fx=log52x+1的单调增区间是______.训练
3、
(1)求函数的单调区间;
(2)已知若试确定的单调区间和单调性
三、用导数法讨论函数的单调性例
4、求函数单调区间训练4
(1)、求函数单调区间
(2)求函数单调区间
四、 利用函数的单调性求最值例
5、(已知函数当时,求函数的最小值;训练
5、已知为实数,函数,若,求函数在上的最大值和最小值
五、综合题例
6、已知函数fx对于任意x,y∈R,总有fx+fy=fx+y,且当x>0时,fx<0,f1=-.1求证fx在R上是减函数;2求fx在[-33]上的最大值和最小值.训练
6、已知定义在区间0,+∞上的函数fx满足f=fx1-fx2,且当x>1时,fx<
0.1求f1的值;2判断fx的单调性;3若f3=-1,求fx在
[29]上的最小值.例
7、定义在R上的函数y=f(x),f
(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a、b∈R,有f(a+b)=f(a)·f(b).
(1)求证f
(0)=1;
(2)求证对任意的x∈R,恒有f(x)>0;
(3)求证f(x)是R上的增函数;
(4)若f(x)·f(2x-x2)>1,求x的取值范围.训练
7、已知fx是定义在R上的增函数,对x∈R有fx0,且f5=1,设Fx=fx+,讨论Fx的单调性,并证明你的结论函数的单调性【基础练习】
1.下列函数中
①;
②;
③;
④.其中,在区间0,2上是递增函数的序号有______.
2.函数的递减区间是__________.
3、函数在区间上是()A.增函数,且B.减函数,且C.增函数,且D.减函数,且
4.已知函数在定义域R上是单调减函数,且,则实数a的取值范围__________.
5.已知下列命题
①定义在上的函数满足,则函数是上的增函数;
②定义在上的函数满足,则函数在上不是减函数;
③定义在上的函数在区间上是增函数,在区间上也是增函数,则函数在上是增函数;
④定义在上的函数在区间上是增函数,在区间上也是增函数,则函数在上是增函数.其中正确命题的序号有___________.【反馈演练】1.已知函数,则该函数在上单调递__减__,(填“增”“减”)值域为_________.2.已知函数在上是减函数,在上是增函数,则_____.
3.函数的单调递增区间为.
4.函数的单调递减区间为.5.函数的单调增区间为()A.;B.;C.;D.6.“a=1”是“函数在区间[1,+∞上为增函数”的______条件.7.在下列四个函数中,
①;
②;
③;
④.满足性质“对于区间上的任意,恒成立”的函数的序号有________.8.已知是上的减函数,那么的取值范围是.9.设函数的定义域为,有下列三个命题
①若存在常数,使得对任意,有,则是函数的最大值;
②若存在,使得对任意,且,有,则是函数的最大值;
③若存在,使得对任意,有,则是函数的最大值.这些命题中,真命题的序号有______.
10.已知函数在区间上是增函数,求实数a的取值范围.
11.设函数fx=-ax,其中a0.证明当a≥1时,函数fx在区间上是单调函数.
12.已知函数,.(Ⅰ)讨论函数的单调区间;(Ⅱ)设函数在区间内是减函数,求的取值范围.。