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八、函数的周期性㈠主要知识周期函数的定义对于定义域内的每一个,都存在非零常数,使得恒成立,则称函数具有周期性,叫做的一个周期,则()也是的周期,所有周期中的最小正数叫的最小正周期.几种特殊的抽象函数具有周期性的抽象函数函数满足对定义域内任一实数(其中为常数)1,则是以为周期的周期函数;
②,则是以为周期的周期函数;
③,则是以为周期的周期函数;
④,则是以为周期的周期函数;
⑤,则是以为周期的周期函数.
⑥,则是以为周期的周期函数.
⑦,则是以为周期的周期函数.
⑧函数满足(),若为奇函数,则其周期为,若为偶函数,则其周期为.
⑨函数的图象关于直线和都对称,则函数是以为周期的周期函数;⑩函数的图象关于两点、都对称,则函数是以为周期的周期函数;⑾函数的图象关于和直线都对称,则函数是以为周期的周期函数;
3、图象的对称性一个函数的对称性
1、函数的图象关于点对称特殊的有1函数的图象关于点对称2函数的图象关于原点对称(奇函数)3函数是奇函数关于点对称4,函数关于点对称
2、两个函数的对称性
①与关于X轴对称
②与关于Y轴对称
③与关于直线对称函数与函数的图象关于直线对称.函数与函数关于直线对称特殊地:与函数的图象关于直线对称5与关于直线对称6关于点ab对称7关于直线对称例1定义在R上的非常数函数满足为偶函数,且,则一定是()A.是偶函数,也是周期函数B.是偶函数,但不是周期函数C.是奇函数,也是周期函数D.是奇函数,但不是周期函数解因为为偶函数,所以所以有两条对称轴,因此是以10为其一个周期的周期函数,所以x=0即y轴也是的对称轴,因此还是一个偶函数故选(A)例2设是定义在R上的偶函数,且,当时,,则___________解因为fx是定义在R上的偶函数,所以的对称轴;又因为的对称轴故是以2为周期的周期函数,所以例3函数的图像的一条对称轴的方程是()解函数的图像的所有对称轴的方程是,所以,显然取时的对称轴方程是,故选(A)例4设是定义在R上的奇函数,且的图象关于直线,则_____________解函数的图像既关于原点对称,又关于直线对称,所以周期是2,又,图像关于对称,所以,所以例
5、函数对于任意实数满足条件,若则__________练习
1.设fx是定义在R上的偶函数,且f1+x=f1-x当-1≤x≤0时,fx=-x,则f
8.6=_________(第八届希望杯高二第一试题)解∵fx是定义在R上的偶函数∴x=0是y=fx对称轴;又∵f1+x=f1-x∴x=1也是y=fx对称轴故y=fx是以2为周期的周期函数,∴f
8.6=f8+
0.6=f
0.6=f-
0.6=
0.3练习2设fx是定义在R上的奇函数,且fx+2=-fx当0≤x≤1时,fx=x,则f
7.5=()A
0.5B-
0.5C
1.5D-
1.5解∵y=fx是定义在R上的奇函数,∴点(0,0)是其对称中心;又∵fx+2=-fx=f-x,即f1+x=f1-x,∴直线x=1是y=fx对称轴,故y=fx是周期为2的周期函数∴f
7.5=f8-
0.5=f-
0.5=-f
0.5=-
0.5故选B练习3(08湖北卷6)已知在R上是奇函数,且AA.-2B.2C.-98D.98练习
4、(08四川卷)函数满足,若,则C(A) (B) (C) (D)练习
5、(2010安徽理数)若fx是R上周期为5的奇函数,且满足f1=1,f2=2则的值为()A、B、1C、D、2练习
6、(09江西卷)已知函数是上的偶函数,若对于,都有,且当时,,则的值为CA. B. C. D.练习
7、2009广东三校一模)定义在上的函数是奇函数又是以为周期的周期函数则等于BA.-1B.0C.1D.4练习
8、(2009全国卷Ⅰ理)函数的定义域为R,若与都是奇函数,则DA、2009B、-2009C、-2D.、2练习
9、的定义域是,且若求 f2008的值解周期为8,练习
10、已知函数f(x)的定义域为R,则下列命题中
①若f(x-2)是偶函数,则函数f(x)的图象关于直线x=2对称;
②若f(x+2)=-f(x-2),则函数f(x)的图象关于原点对称;
③函数y=f(2+x)与函数y=f(2-x)的图象关于直线x=2对称;
④函数y=f(x-2)与函数y=f(2-x)的图象关于直线x=2对称.其中正确的命题序号是
④ .【解析】
①是错误的,由于f(x-2)是偶函数得f(-x-2)=f(x-2),所以f(x)的图象关于直线x=-2对称;
②是错误的,由f(x+2)=-f(x-2)得f(x+4)=-f(x),进而得f(x+8)=f(x),所以f(x)是周期为8的周期函数;
③是错误的,在第一个函数中,用-x代x,y不变,即可得第二个函数,所以这两个函数图象关于y轴对称;
④是正确的,令x-2=t,则2-x=-t,函数y=f(t)与y=f(-t)的图象关于直线t=0对称,即函数y=f(x-2)与y=f(2-x)的图象关于直线x=2对称.练习
11、f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,且f
(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是DA.2 B.3 C.4 D.5【解析】 ∵f(x)为奇函数,∴f
(0)=0,又函数f(x)以3为周期,且f
(2)=0,∴f(-2)=0,f
(1)=0,f
(4)=0,f
(3)=0,f
(5)=0,∴在区间(0,6)内的解有1,2,3,4,
5.故选D.练习
12、对函数f(x),当x∈(-∞,∞)时,f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),在闭区间[07]上,只有f
(1)=f
(3)=
0.
(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性;
(2)试求方程f(x)=0在闭区间[-2005,2005]上的根的个数,并证明你的结论.【分析】 由已知f(2+x)=f(2-x),f(7-x)=f(7+x)知f(x)的图象有两条对称轴x=2和x=7,从而知f(x)是周期为10的周期函数,又在区间[0,7]上,只有f
(1)=f
(3)=0,画图易知,它是非奇非偶函数,且在一个周期[0,10]上只有2个根,故易求得方程f(x)=0在的根的个数.【解】
(1)由已知得f
(0)≠0,∴f(x)不是奇函数,又由f(2-x)=f(2+x),得函数y=f(x)的对称轴为x=2,∴f(-1)=f
(5)≠0,∴f(-1)≠f
(1),∴f(x)不是偶函数.故函数y=f(x)是非奇非偶函数;
(2)由 f(4-x)=f(14-x)f(x)=f(x+10),从而知y=f(x)的周期是
10.又f
(3)=f
(1)=0,f
(11)=f
(13)=f(-7)=f(-9)=0,故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有两个解,从而可知函数y=f(x)在[0,2005]上有402个解,在上[-2005,0]有400个解,所以函数y=f(x)在[-2005,2005]上有802个解.
九、函数的图象1.描绘函数图象的基本方法有两种描点法与图象变换法2.描点法通过、、三步,画出函数的图象,有时可利用函数的性质(如奇偶性、单调性、周期性、对称性)以利于更简便的画出函数的图象3.函数图象变换.图象变换法1平移变换
①水平平移y=fx±aa>0的图象,可由y=fx的图象向左+或向右-平移a个单位而得到.
②竖直平移y=fx±bb>0的图象,可由y=fx的图象向上+或向下-平移a个单位而得到.2对称变换
①y=f-x与y=fx关于y轴对称.
②y=-fx与y=fx关于x轴对称.
③y=-f-x与y=fx关于原点对称.
④y=f-1x与y=fx关于直线y=x对称.
⑤y=|fx|的图象可将y=fx的图象在x轴__的部分以x轴为对称轴作y=fx的图象的对称部分,其余部分不变.
⑥y=f|x|的图象可将y=fxx≥0的部分作出,再利用偶函数的图象关于y轴的对称性,作出x<0的图象.3伸缩变换
①y=AfxA>0的图象,可将y=fx图象上所有点的纵坐标伸长到原来的A倍,横坐标不变而得到.
②y=faxa>0的图象,可将y=fx图象上所有点的横坐标缩小原来的倍,纵坐标不变而得到.
1.作出下列函数的图象⑴;⑵;⑶;⑷;⑸;⑹;⑺;⑻;⑼;⑽;⑾;⑿;⒀;⒁;⒂;
2、已知函数fx=a>0且a≠1在同一直角坐标系中如图所示y=f-1x与y=a|x-1|的图象可能是解析y=f-1x=ax+1恒过点01排除C.当a>1时y=ax+1的斜率大于
1.y=a|x-1|在1+∞上是增函数在-∞1上是减函数故排除A、B选D.答案D
3、设奇函数fx的定义域为[-55],若当x∈[05]时,fx的图象如图,则不等式fx<0的解是___________.解析由奇函数的图象关于原点对称可画出函数fx在[-50]上的图象,由图象可直观地得到fx<0的解.答案-2<x<0或2<x≤
54、关于x的方程|x2-4x+3|-a=x恰有三个不相等的实数根,则实数a的值是__________.方法点拨方程根的个数可化为图象交点个数来解决.解析原方程化为|x2-4x+3|=x+a.作函数y=|x2-4x+3|及y=x+a的图象如图2-8-4所示,由图可知当a=或a=-1时,两图象恰有三个交点,即原方程有三个实数解.答案或-
15、2007北京朝阳期末3已知a>0a≠1函数y=axy=loga-x的图象大致是下面的解析当a>1时y=ax过01为增函数y=loga-x过-10为减函数∴B正确.答案B
6、为了得到函数y=2x-3-1的图象,只需把函数y=2x的图象上所有的点A.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度B.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度C.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度D.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度解析由图象平移知识,可知y=2x-3可由y=2x向右平移3个单位产生,再将y=2x-3向下平移1个单位即得y=2x-3-1的图象.答案A
7、函数y=的图象是…
8、已知fx+f2-x+2=0对任何实数x恒成立则函数y=fx的图象A.关于直线x=1对称B.关于直线x=2对称C.关于点1-1对称D.关于点-11对称解析设afa在y=fx图象上则f2-a=-2-fa则2-a-2-fa也在y=fx上而点afa与2-a-2-fa关于点1-1对称.故选C.
9、已知函数fx的定义域为R,则下列命题中
①y=fx为偶函数,则y=fx+2的图象关于y轴对称;
②y=fx+2为偶函数,则y=fx的图象关于直线x=2对称;
③若fx-2=f2-x则y=fx的图象关于直线x=2对称;
④y=fx-2和y=f2-x的图象关于x=2对称.正确命题的序号有___________.解析
①fx向左平移两个单位得fx+2的图象.fx为偶函数,即关于y轴对称,∴fx+2的图象关于y轴不对称.
②由y=fx+2为偶函数知图象关于y轴对称,所以向右平移2个单位得到y=fx的图象关于直线x=2对称.
③④由对称性知
③不对,
④中图象关于x=2对称.答案
②④
10、函数y=e|lnx|-|x-1|的图象大致是解析讨论去掉绝对值0<x<1时,y=e-lnx-1-x=+x-1;x≥1时,y=elnx-x+1=x-x+1=
1.观察图象知选D.答案D
11、已知fx=且f-1x-1的图象的对称中心是03,则a的值为A.B.2C.D.3解析f-1x=f-1x-1=其对称中心是0a+1∴a+1=3a=
2.选B.答案B
12、函数fx=x则函数f1-x的大致图象为解析利用图象变换由fxf-xf[-x-1]故选C.答案C
13、若直线y=2a与函数y=|ax-1|a>0且a≠1的图象有两个公共点则a的取值范围是_________.解析
①当0<a<1时y=|ax-1|的图象如图1所示要使y=2a与y=|ax-1|有两个不同交点需2a<1∴0<a<;
②当a>1时y=|ax-1|的图象如图2所示要使y=2a与y=|ax-1|有两个不同交点需2a<1显然无解.12综上易知0<a<.答案
014、函数y=的大致图象是()答案C解析因x≠-1故排除A、B.又当x-1时,y=t0递减t=(x+1)2递增,故y=在(-1,+∞)上是减函数,排除D.选C.
15、设fx表示-x+6和-2x2+4x+6中较小者,则函数fx的最大值是__________.答案6解析在同一坐标系中分别作出函数y=-x+6和y=-2x2+4x+6的图象如下图.显然,图中的实线部分为函数y=fx的图象.不难看出,当x=0时,fx有最大值为
6.若函数y=|-x2+4x-3|的图象C与直线y=kx相交于点M21那么曲线C与该直线有_________个交点.解析:数形结合法作y=|-x2+4x-3|的图象知其顶点在M
21.过原点与点M21作直线y=kx如上图.∴曲线C与直线y=kx有4个交点.答案:
416、函数y=2x-的图像大致是选A
17、设,二次函数的图象可能是【解析】当时,、同号,(C)(D)两图中,故,选项(D)符合.
18、直线与曲线有四个交点,则的取值范围是.(2009安徽文理)设<b函数的图像可能是
19、函数y=lncosx-<x<的图象是A【解析】是偶函数排除B、D;所以选A
20、已知图1是函数的图象,则图2中的图象对应的函数可能是A.B.C.D.【答案】C
21、方程|2x-1|=2x+1有______个实数解
22、定义在R上的偶函数fx在[0,+∞上是增函数,且f1<flgx,求x的取值范围解析f1<flgxlgx>1或lgx<-1x>10或0<x<
23、方程的实数解的个数为(B)A.1B.2C.3D.
024、函数的单调递增区间是(D)A.B.C.(0,+∞)D.
25、对函数y=fx定义域中任一个x的值均有fx+a=fa-x1求证y=fx的图象关于直线x=a对称;2若函数fx对一切实数x都有fx+2=f2-x且方程fx=0恰好有四个不同实根,求这些实根之和http://www.xjktyg.com/wxc/命题意图http://www.xjktyg.com/wxc/本题考查函数概念、图象对称问题以及求根问题http://www.xjktyg.com/wxc/知识依托http://www.xjktyg.com/wxc/把证明图象对称问题转化到点的对称问题http://www.xjktyg.com/wxc/错解分析http://www.xjktyg.com/wxc/找不到问题的突破口,对条件不能进行等价转化http://www.xjktyg.com/wxc/技巧与方法http://www.xjktyg.com/wxc/数形结合、等价转化http://www.xjktyg.com/wxc/1证明http://www.xjktyg.com/wxc/设x0y0是函数y=fx图象上任一点,则y0=fx0∵=a ∴点x0y0与2a-x0y0关于直线x=a对称,又fa+x=fa-x∴f2a-x0=f[a+a-x0]=f[a-a-x0]=fx0=y0∴2a-x0y0也在函数的图象上,故y=fx的图象关于直线x=a对称http://www.xjktyg.com/wxc/2解http://www.xjktyg.com/wxc/由f2+x=f2-x得y=fx的图象关于直线x=2对称,若x0是fx=0的根,则4-x0也是fx=0的根,若x1是fx=0的根,则4-x1也是fx=0的根,∴x0+4-x0+x1+4-x1=8即fx=0的四根之和为8http://www.xjktyg.com/wxc/
26、方程lgx=sinx的实根的个数为[]A.1个B.2个C.3个D.4个解画出y=lgx和y=sinx在同一坐标系中的图象,两图象有3个交点,选C.
27、函数y=a|x|与y=x+a的图象恰有两个公共点,则实数a的取值范围是[]A.1,+∞B.-1,1C.-∞,-1]∪[1,+∞D.-∞,-1∪1,+∞解画出y=a|x|与y=x+a的图象,两图象有两个交点的情形如下情形1=a1情形2=a-1选D
28、设定义域为的函数,则关于的方程有个不同实数解的充要条件是()A且B且C且D且
29、若直线y=2a与函数y=|-1|a0且a≠1的图象有两个公共点则a的取值范围是______.解析当a1时,如图
①只有一个公共点,不符合题意.当0a1时,如图
②由图象知02a1【技巧点拨】在解题的过程中也常常需要结合指数函数的图象,数形结合.
30、已知以为周期的函数,其中若方程恰有5个实数解,则的取值范围为()A.B.C.D.【解析】的图象为椭圆上半部分,的图象为两条线段根据的周期T=4可知其图象,由方程恰有5个实数解,则有两解即有两解,所以解得;无解即无解,所以解得故xyO图2xyO图1。