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(一)函数单调性的定义
1.增函数与减函数一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,增函数如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数减函数如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在区间D上是减函数说明一个函数的两个单调区间是不可以取其并集,比如___是原函数的单调递减区间;注意
①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;
②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1<x2时,总有f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)
2.函数的单调性的定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间例1观察下列函数的其图象,指出其单调性.
(1);
(2);例2指出下列常见函数的单调性
(1)(为常数);【析】不随的增大而改变,无单调性.
(2)();【析】,函数在上递增;,函数在上递减.
(3)();【析】,函数在上递减,在上递增;,函数在上递增,在上递减.
(4)();,函数在上递减,在上递减;,函数在上递增,在上递增.
(5);函数在上递减,在上递增.
(6).函数在上递增.
3.判断函数单调性的方法和步骤
(1)利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤
①任取x1,x2∈D,且x1<x2;
②作差f(x1)-f(x2);
③变形(通常是因式分解和配方);
④定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)
(2)图像法从左往右,图像上升即为增函数,从左往右,图像下降即为减函数例题分析证明函数在上是减函数证明设任意,∈(0,+∞)且,则,由,∈(0,+∞),得,又,得,∴,即所以,在上是减函数练习1..根据单调函数的定义,判断函数的单调性2.根据单调函数的定义,判断函数的单调性3.函数是单调函数时,的取值范围()A.B.C.D.2.在区间上为增函数的是()A.B.C.D.6.函数在和都是增函数,若,且那么()A.B.C.D.无法确定7.函数在区间是增函数,则的递增区间是()A.B.C.D.8.函数在实数集上是增函数,则()A.B.C.D.9.定义在R上的偶函数,满足,且在区间上为递增,则()A.B.C.D.
(3)复合函数的单调性的判断设,,,都是单调函数,则在上也是单调函数
①若是上的增函数,则与定义在上的函数的单调性相同
②若是上的减函数,则与定义在上的函数的单调性相同即复合函数的单调性当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数;当内外层函数的单调性相反时则复合函数为增减函数也就是说同增异减(类似于“负负得正”)例6判断下列函数的单调性,并写出函数的单调区间.
(1);【析】,其定义域为.令,则,列表如下↗↘↗↗↘↗所以函数的单调增区间有和,无单调减区间.【注】求函数单调区间必须先求函数定义域.分式函数常采用部分分式法,使得自变量只出现在单个分母上.
(2);【析】,其定义域为.令,则,列表如下↗↘↗↗↗↘所以函数的单调增区间为,单调减区间为.【注】当函数局部出现二次函数时,可以利用配方法确定确定对应二次函数的对称轴,把定义域分成若干个区间讨论单调性.练习
(1)函数的单调递减区间是,单调递增区间为.
(2)的单调递增区间为
3、函数单调性应注意的问题
①单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性.
②对于某个具体函数的单调区间,可以是整个定义域如一次函数,可以是定义域内某个区间如二次函数,也可以根本不单调如常函数.
③函数在定义域内的两个区间AB上都是增(或减)函数,一般不能认为函数在上是增(或减)函数例
1.下列命题正确的是()A.定义在上的函数,若存在,使得时,有,那么在上为增函数.B.定义在上的函数,若有无穷多对,使得时,有,那么在上为增函数.C.若在区间上为减函数,在区间上也为减函数,那么在上也一定为减函数.D.若在区间上为增函数且()那么.思维分析根据单调性定义逐一判断,特别注意定义中“任意”“都有”表达的含意.解A错误,只是区间上的两个值,不具有任意性;B错误,无穷并不代表所有,任意;C错误,例如函数在和上分别递减,但___在上递减;D正确,符合单调性的定义.故答案为D.方法点拨:函数单调性的定义是作此类题的依据.
(5)简单性质
①奇函数在其对称区间上的单调性相同;
②偶函数在其对称区间上的单调性相反;
③在公共定义域内增函数增函数是增函数;减函数减函数是减函数;增函数减函数是增函数;减函数增函数是减函数例1判断函数在区间上的单调性,并用定义证明思路分析1)题意分析用定义证明一个分式函数在上的单调性2)解题思路按照用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤去做即可解答过程在区间上单调递减设,则===已知,所以,,,所以,即原函数在上单调递减解题后的思考用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的关键在于变形(通常是因式分解和配方)和定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负)
(二)函数最大(小)值的定义
1.最大值与最小值一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M那么,称M是函数y=f(x)的最大值一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M那么,称M是函数y=f(x)的最小值注意
①函数的最大(小)值首先应该是某一个函数值,即存在x0∈I,使得f(x0)=M;
②函数的最大(小)值应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的x∈I,都有f(x)≤M(f(x)≥M)
2.利用函数的单调性判断函数的最大(小)值的方法
①利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值
②利用图象(数形结合法)求函数的最大(小)值
③利用函数的单调性判断函数的最大(小)值如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)例7求下列函数的最值,并指出函数的值域.
(1),.【解】函数在区间上单调递减,所以,.所以当且仅当时,;时,.函数的值域为.
(2),.【解】函数在区间上单调递减,当时,当时,,所以,.所以当且仅当时,;时,.函数的值域为.【注】
(1)
(2)都告诉我们函数在闭区间上单调,必在两端点取最值.
(3);【解】该函数的定义域为.注意到,且当时,.由于函数在区间上单调递减,所以,;函数在区间上单调递增,所以,.所以,.当且仅当时,.所以该函数在上的最小值为.当及时,,所以函数在上无最大值(或者说最大值为).该函数值域为.例3已知,求函数的最值思路分析1)题意分析本例要求在指定的半开半闭区间内求一个分式函数的最大(小)值;2)解题思路先分离常数,再利用函数的单调性求函数的最值解答过程已知函数式可化为,先判断函数在上的增减性设,则,,,即函数在上是减函数故所求函数的最小值为,无最大值解题后的思考函数单调性在解题中的应用,主要表现为通过建立函数关系式或构造辅助函数式,把原问题转化为对函数单调性的讨论的问题,以达到化难为易、化繁为简的目的。