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相似三角形更多资料请参考360网址之家
一、知识结构同学们在本章中主要学习的内容是比例和比例线段的有关概念,相似角形的概念、性质和判定,以及相似三角形的应用下面给同学们介绍本章知识的相互__,它们可用知识框结构表示有关概念比例比例的内容、外项和第四比例项比例中项比例性质基本性质更比定理合比定理等比定理=b+d+…+n≠0
二、重点、难点同学们可以从知识框图中看出本章学习重点是相似三角形的性质和判定难点比例性质及相似三角形性质的综合应用
三、学习__㈠比和比例解题中的一个辅助常数——K值在等比定理的证明中,我们设已知比等于K,构通了比的各项之间的关系,这一思想具有一定的普遍性,如果题的条件中有相同的比,欲求值或求证的代数或中含有适当的齐次多项式(各项次数都相同的多项式),常用这个辅助常数—比值K.例1.已知,求的值解设,则x=2ky=3k,z=7k=说明本题设已知等比的值为是为了便于运算例2.已知求的值解设=k,则a=bk,b=ck,c=dk,d=ak.∴a+b+c+d=a+b+c+dk,当a+b+c+d≠0时,利用等比性质,k=∴a=b=c=d,∴=;当a+b+c+d=0时,a+b+c=-d.∴==0说明应用等比性质时,必须注意分母不等于零若题中没有这一条件,应分类讨论例3.已知.求证=a2+c2证明设=k则a=bk,c=dk.左式===k2d2+d2=bk2+dk2=a2+c2=右式例4解方程组解设,则x=4k,y=3k,z=5k,代入第2个方程,得8k-9k=38t-20k.∴k=2t例5如图,在梯形A___中,AB∥CD∥EF∥GH,且__S1=S2=S3求证AB2+GH2=CD2+EF2证明设GA,HB的延长线相交于P∵AB∥CD∥EF,∴△PAB∽△PCD∽△PEF∴S△PAB∶S△PCD∶S△PEF=AB2∶CD2∶EF2设===K则S△PAB=k·AB2,S△PCD=k·CD2,S△PEF=k·EF2,∵S1=S2,∴S△PCD=S△PAB=S△PEF=S△FCD,得k·CD2-k·AB2=k·EF2-k·CD2化简得2CD2=AB2+EF2,……………………………………
①同理,2EF2=CD2+GH2………………………………………
②①+
②得2CD2+2EF2=AB2+CD2+EF2+GH2,即AB2+GH2=CD2+EF
2.例6.如图,△ABC中,若a∶b∶c=4∶5∶6求证∠ACB=2∠A证明作角平分线CD,DE∥BC,交AC于E,于是∠1=∠2=∠3,DE=EC,且,∴,∴=,即设则a=4kb=5kc=6k代入上式,得,∴BD=k在△DBC和△CBA中,∵,∠B是公共角,∴△DBC∽△CBA,∴∠A=∠2=∠ACB,∠ACB=2∠A说明在例5,6中,利用辅助元可便于计算线段的长,为推理带来方便㈡相似三角形解题中的平行线在相似三角形的学习中,平行线的性质和判定都得到了扩展,介绍了平行线分线段成比例定理,三角形一边的平行线的性质和判定,解题时,要充分运用平行线的性质,转化有关线段的比,还要巧妙地添辅助平行线,使一组比用另一组比来代替,便于得到所需要的相似三角形或其它熟悉的图形,同时还应自觉地想到用比例线段判定两直线平行的方法,突破用三线八角进行判定的思维局限例1.如图在□ABCD中P,Q三等分AC,DP的延长线交BC于E,EQ的延长线交AD于F,已知BC=18,求AF的长分析末知线段AF与已知线段BC怎样__起来?可逐步过渡AD∥BC,可求AF与EC的比例关系,EC与AD的比例关系,而AD=BC,AF便可用BC来表示解∵AD∥BC,∴△AQF∽△CQE,△CPE∽△APD,两式相乘,又∵AD=BC=18,∴AF=
4.5例2.如图,△ABC中,P是中线AD上的任意一点,BP,CP的延长线分别与AC,AB相交于E,F,求证EF∥BC分析欲证EF∥BC,没有角的条件,没有所需的比例线段,因此想到过P画BC的平行线,构造出所需的比证明过P作MN∥BC,与AB,AC分别交于M,N,则,又∵BD=DC,∴MP=NP,于是由,得又,∴,∴EF∥PN∴EF∥BC例3.如图O是△ABC内的任意一点,AO,BO,CO分别与BC,AC,AB交于D,E,F,求证分析我们希能使每一个比都与△ABC的元素____,作OG⊥BC,AH⊥BG,G,H为垂足,则OG∥AH,于是转化为而OG,AH分别是△OBC,△ABC的高,故与______证明(辅助线作法略)==,同理=,=,三式相加,得=1说明线段比和三角形的__比可以相互转化,这种证法叫__法例4.如图,已知AD为△ABC的中线,E,F分别为AB,AC上的点,且AE=AF,EF交AD于点M,求证分析由于EM,MF,AC,AB所在的三角形不能形成相似三角形,因此必须通过添加平行线,从而使问题得到转化,以下介绍几种平行线添法证法一过B,C分别作AD的平行线,与EF所在直线交于G,H如图∵BG∥AD∥CH,BD=DC,∴GM=MH∴BG∥AM,∴,同理两式相除,注意到AE=AF,得证法二分别过点B,C作EF的平等线,与直线AD分别交于G,H如图易证△BDG≌△CHD,∴BG=CH∴BG∥EM∴,同理∵AE=AF∴证法三,延长AD到G,使AD=DG,连结BG,CG,作EH∥BG,交AD于H如图,得□AB__.∴证法四设D到AB,AC的距离为h1,h2,M到AB,AC的距离为h1',h2'(如图)∵BD=DC,∴S△ABD=S△ACD,AB·h1=AC·h2,∴又∵AE=AF,∴;又∵=∴∵,∴∴通过上述各题的讨论,希望同学们加深对平行线在证明比例线段时的功能的认识更多资料请参考360网址之家线段的黄金分割线段比与比例线段画第四比例项平行线分线段成比例相似三角形的判定相似三角形相似三角形应用直角三角形相似的判定相似三角形的性质。