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初二全等三角形全攻略专题一全等三角形判别方法的应用专题概说判定两个三角形全等的方法一般有以下4种1.三边对应相等的两个三角形全等(简写成“SSS”)2.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“SAS”)3.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“ASA”)4.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(简写成“AAS”)而在判别两个直角三角形全等时,除了可以应用以上4种判别方法外,还可以应用“斜边、直角边”,即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简写成“HL”).也就是说“斜边、直角边”是判别两个直角三角形全等的特有的方法,它仅适用于判别两个直角三角形全等.三角形全等是证明线段相等,角相等最基本、最常用的方法,这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征,还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论__起来.那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢?常胜教育赵老师__13752715509__996464280
(1)条件充足时直接应用在证明与线段或角相等的有关问题时,常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等,而从近年的中考题来看,这类试题难度不大,证明两个三角形的条件比较充分.只要同学们认真观察图形,结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等.例1已知如图1,__⊥AB于点E,BD⊥AC于点D,BD、__交于点O,且AO平分∠BAC.那么图中全等的三角形有___对.分析由__⊥AB,BD⊥AC,得∠AEO=∠ADO=90º.由AO平分∠BAC,得∠EAO=∠DAO.又AO为公共边,所以△AEO≌△ADO.所以EO=DO,AE=AD.又∠BEO=∠CDO=90º,∠BOE=∠COD,所以△BOE≌△COD.由AE=AD,∠AEO=∠ADO=90º,∠BAC为公共角,所以△EAC≌DAO.所以AB=AC.又∠EAO=∠DAO,AO为公共边,所以△ABO≌△ACO.图1所以图中全等的三角形一共有4对.百度hi牛顿罗庚渤海初中数学答疑群1306344
(2)条件不足,会增加条件用判别方法此类问题实际是指条件开放题,即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分,需要补充使三角形全等的条件.解这类问题的基本思路是执果索因,逆向思维,逐步分析,探索结论成立的条件,从而得出答案.例2如图2,已知AB=AD,∠1=∠2,要使△ABC≌△ADE,还需添加的条件是(只需填一个)_____.分析要使△ABC≌△ADE,注意到∠1=∠2,所以∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,即∠BAC=∠EAC.要使△ABC≌△ADE,根据SAS可知只需AC=AE图2即可;根据ASA可知只需∠B=∠D;根据AAS可知只需∠C=∠E.故可添加的条件是AC=AE或∠B=∠D或∠C=∠E.
(3)条件比较隐蔽时,可通过添加辅助线用判别方法在证明两个三角形全等时,当边或角的关系不明显时,可通过添加辅助线作为桥梁,沟通边或角的关系,使条件由隐变显,从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等.例3已知如图3,AB=AC,∠1=∠2.求证AO平分∠BAC.分析要证AO平分∠BAC,即证∠BAO=∠BCO,要证∠BAO=∠BCO,只需证∠BAO和∠BCO所在的两个三角形全等.而由已知条件知,只需再证明BO=CO即可.证明连结BC.因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB.因为∠1=∠2,所以∠ABC-∠1=∠ACB-∠2.图3即∠3=∠4,所以BO=CO.因为AB=AC,BO=CO,AO=AO,所以△ABO≌△ACO.所以∠BAO=∠CAO,即AO平分∠BAC.
(4)条件中没有现成的全等三角形时,会通过构造全等三角形用判别方法有些几何问题中,往往不能直接证明一对三角形全等,一般需要作辅助线来构造全等三角形.常年网上家教招收初中学生,欢迎__例4已知如图4,在Rt△ABC中,∠ACB=90º,AC=BC,D为BC的中点,__⊥AD于E,交AB于F,连接DF.求证∠ADC=∠BDF.证明过B作BG⊥BC交CF延长线于G,所以BG∥AC.所以∠G=∠A__.因为AC⊥BC,__⊥AD,所以∠A__=∠ADC.所以∠G=∠ADC.因为AC=BC,∠ACD=∠CBG=90º,所以图4△ACD≌△CBG.所以BG=CD=BD.因为∠CBF=∠GBF=45º,BF=BF,所以△GBF≌△DBF.所以∠G=∠BDF.所以∠ADC=∠BDF.所以∠ADC=∠BDF.1.说明截长补短法(通常用来证明线段和差相等)“截长法”即把结论中最大的线段根据已知条件分成两段,使其中一段与较短线段相等,然后证明余下的线段与另一条线段相等的方法.“补短法”为把两条线段中的一条接长成为一条长线段,然后证明接成的线段与较长的线段相等,或是把一条较短的线段加长,使它等于较长的一段,然后证明加长的那部分与另一较短的线段相等.例1.如图
(1)已知正方形ABCD中,∠BAC的平分线交BC于E,求证AB+BE=AC.解法
(一)(补短法或补全法)延长AB至F使AF=AC,解法
(二)(截长法或分割法)在AC上截取AG=AB,例
2、已知如图1-1所示,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分∠ABC,求证∠A+∠C=180°例3已知AD为△ABC的角平分线,AB>AC,求证AB—AC>BD—DC1:在RT三角形ABC中角BAC=90度AB=ACBD平分角ABC__垂直于BD求证BD=2__.要求:不能用补短法只能用截长法
2、已知如图.在三角形ABC中角C等于2角B角1等于角2求证AB=AC+CD要求:不能用截长法只能用补短法
3、已知如图,在四边形ABCD中,BD是∠ABC的角平分线,AD=CD,求证∠A+∠C=180°
4、如图,已知△ABC中,AD是∠BAC的角平分线,AB=AC+CD,求证∠C=2∠B2.平行线法(或平移法)若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线,对Rt△有时可作出斜边的中线.例△ABC中,∠BAC=60°,∠C=40°AP平分∠BAC交BC于P,BQ平分∠ABC交AC于Q,求证AB+BP=BQ+AQ.说明⑴本题也可以在AB截取AD=AQ,连OD,构造全等三角形,即“截长补短法”.⑵本题利用“平行法”解法也较多,举例如下1如图
(2),过O作OD∥BC交AC于D,则△ADO≌△ABO来解决.2如图
(3),过O作DE∥BC交AB于D,交AC于E,则△ADO≌△AQO,△ABO≌△AEO来解决.3如图
(4),过P作PD∥BQ交AB的延长线于D,则△APD≌△APC来解决.
④如图
(5),过P作PD∥BQ交AC于D,则△ABP≌△ADP来解决.(本题作平行线的方法还很多,感兴趣的同学自己研究). 3.旋转法对题目中出现有一个公共端点的相等线段时,可试用旋转方法构造全等三角形例.已知如图
(6),P为△ABC内一点,且PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB的度数.分析直接求∠APB的度数,不易求,由PA=3,PB=4,PC=5,联想到构造直角三角形.4.倍长中线法题中条件若有中线,可延长一倍,以构造全等三角形,从而将分散条件集中在一个三角形内例1.如图
(7)AD是△ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=BE.求证AC=BF例2.如图,点D、E三等分△ABC的BC边,求证AB+ACAD+AE例3.如图,△ABC中,D为BC中点,AB=5,AD=6,AC=13求证AB⊥AD5.翻折法若题设中含有垂线、角的平分线等条件的,可以试用轴对称性质,沿轴翻转图形来构造全等三角形.例1.如图
(8)已知在△ABC中,∠A=45ºAD⊥BC,若BD=3,DC=2,求△ABC的__.例2.如图,在△ABC中,AD⊥BC,∠ABC=2∠C求证AB+BD=CD例3.在△ABC中,∠1=∠2,∠ABC=2∠C求证AB+BD=AC练习
1、如图5,在中,,求证练习
2、已知如图6,正方形ABCD,,Q在DC上,P在BC上求证PA=PB+DQ1.如图1,已知BD平分∠ABC,AC=BC,∠C=90°,AE⊥BD于E,判断AE与BD的数量关系并证明. 2.如图3,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为AC的中点,AE⊥BD于E,延长AE交BC于F,求证∠ADB=∠CDF 图3
(5)会在实际问题中用全等三角形的判别方法新课标强调了数学的应用价值,注意培养同学们应用数学的意识,形成解决简单实际问题的能力﹒在近年中考出现的与全等三角形有关的实际问题,体现了这一数学理念,应当引起同学们的重视.例5要在湖的两岸A、B间建一座观赏桥,由于条件限制,无法直接度量A,B两点间的距离﹒请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案﹒1画出测量图案﹒2写出测量步骤(测量数据用字母表示)﹒图53计算A、B的距离(写出求解或推理过程,结果用字母表示)﹒分析可把此题转化为证两个三角形全等.第1题,测量图案如图5所示.第2题,测量步骤先在陆地上找到一点O,在AO的延长线上取一点C,并测得OC=OA,在BO的延长线上取一点D,并测得OD=OB,这时测得CD的长为,则AB的长就是.第3题易证△AOB≌△COD,所以AB=CD,测得CD的长即可得AB的长.解1如图6示.2在陆地上找到可以直接到达A、B的一点O,在AO的延长线上取一点C,并测得OC=OA,在BO的延长线上取一点D,并测得OD=OB,这时测出CD的长为,则AB的长就是.3理由由测法可得OC=OA,OD=OB.又∠COD=∠AOB,∴△COD≌△AOB.∴CD=AB=.图6评注本题的背景是学生熟悉的,提供了一个学生动手操作的机会,重点考查了学生的操作能力,培养了学生用数学的意识﹒练习1.已知如图7,D是△ABC的边AB上一点,AB∥FC,DF交AC于点E,DE=FE.图7求证AE=__. 2.如图8,在△ABC中,点E在BC上,点D在AE上,已知∠ABD=∠ACD,∠BDE=∠CDE.求证BD=CD.3.用有刻度的直尺能平分任意角吗?下面是一种图8方法如图9所示,先在∠AOB的两边上取OP=OQ,再取PM=QN,连接PN、QM,得交点C,则射线OC平分∠AOB.你能说明道理吗?图94.如图10,△ABC中,AB=AC,过点A作GE∥BC,角平分线BD、CF相交于点H,它们的延长线分别交GE于点E、G.试在图10中找出3对全等三角形,并对其中一对全等三角形给出证明.图105.已知如图11,点C、D在线段AB上,PC=PD.请你添加一个条件,使图中存在全等三角形,并给予证明.所添条件为__________,你得到的一对全等三角形是△_____≌△_____.图116.如图12,∠1=∠2,BC=EF,那么需要补充一个直接条件_____(写出一个即可),才能使△ABC≌△DEF.图127.如图13,在△ABD和△ACD中,AB=AC,∠B=∠C.求证△ABD≌△ACD.图138.如图14,直线AD与BC相交于点O,且AC=BD,AD=BC.求证CO=DO. 图149.已知△ABC,AB=AC,E、F分别为AB和AC延长线上的点,且BE=CF,EF交BC于G.求证EG=GF.图1510.已知如图16,AB=AE,BC=ED,点F是CD的中点,AF⊥CD.求证∠B=∠E.图1611.如图17,某同学把一把三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃,那么最省事的办法是()﹒A带
①和
②去B带
①去C带
②去D带
③去图1712.有一专用三角形模具,损坏后,只剩下如图18中的阴影部分,你对图中做哪些数据度量后,就可以重新制作一块与原模具完全一样的模具,并说明其中的道理.图1813.如图19,将两根钢条AA、BB的中点O连在一起,使AA、BB可以绕着点O自由转动,就做成了一个测量工件,则AB的长等于内槽宽AB,那么判定△OAB≌△OAB的理由是()(A)边角边(B)角边角(C)边边边(D)角角边图19专题二角的平分线从一个角的顶点出发,把一个角分成相等的两个角的射线,叫做这个角的平分线.角的平分线有着重要的作用,它不仅把角分成相等的两部分,而且角的平分线上的点到角两边的距离相等,到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上,再加上角的平分线所在的直线是角的对称轴.因此当题目中有角的平分线时,可根据角的平分线性质证明线段或角相等,或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路.
(1)利用角的平分线的性质证明线段或角相等例6如图20,∠1=∠2,AE⊥OB于E,BD⊥OA于D,交点为C.求证AC=BC.图20证法∵AE⊥OB,BD⊥OA,∴∠ADC=∠BEC=.∵∠1=∠2,∴CD=__.在△ACD和△B__中,∠ADC=∠BEC,CD=__,∠3=∠4.∴△ACD≌△B__ASA,∴AC=BC.说明本题若用全等方法证明点C到OA、OB距离相等,浪费时间和笔墨,不如直接应用角平分线性质证明,原因在于同学们已经习惯了用全等的方法,不善于直接应用定理,仍去找全等三角形,结果相当于重新证明了一次定理,以后再学新定理,应用时要注意全等定势的干扰,注意采用简捷证法.例7已知如图21,△ABC中,BD=CD,∠1=∠2.求证AD平分∠BAC.证明过D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.图21在△BED与△CFD中,∠1=∠2,∠BED=∠CFD=,BD=CD,∴△BED≌△CFDAAS.∴DE=DF,∴AD平分∠BAC.说明遇到有关角平分线的问题时,可引角的两边的垂线,先证明三角形全等,然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等,再利用角的平分线性质得出两角相等.
(2)利用角的平分线构造全等三角形
①过角平分线上一点作两边的垂线段例8如图22,AB∥CD,E为AD上一点,且BE、__分别平分∠ABC、∠BCD.求证AE=ED.分析由于角平分线上一点到角的两边的距离相等,而点E是两条角平分线的交点,因此我们自然想到过点E分别作AB、BC、CD的垂线段.证明过点E作EF⊥AB,交BA的延长线于点F,作EG⊥BC,垂足为G,作EH⊥CD,垂足为H.∵BE平分∠ABC,EF⊥AB,EG⊥BC,∴EF=EG.同理EG=EH.∴EF=EH.∵AB∥CD,∴∠FAE=∠D.∵EF⊥AB,EH⊥CD,∴∠AFE=∠DHE=90º.图22在△AFE和△DHE中,∠AFE=∠DHE,EF=EH,∠FAE=∠D.∴△AFE≌△DHE.∴AE=ED.
②以角的平分线为对称轴构造对称图形例9如图23,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=2∠B.求证AB=AC+CD.分析由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴,因此在AB上截取AE=AC,连接DE,我们就能构造出一对全等三角形,从而将线段AB分成AE和BE两段,只需证明BE=CD就可以了.证明在AB上截取AE=AC,连接DE.∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠CAD.图23在△EAD和△CAD中,∠EAD=∠CAD,AD=AD,AE=AC,∴△EAD≌△CAD.∴∠AED=∠C,CD=DE.∵∠C=2∠B,∴∠AED=2∠B.∵∠AED=∠B+∠EBD,∴∠B=∠EDB.∴BE=ED.∴BE=CD.∵AB=AE+BE,∴AB=AC+CD.
③延长角平分线的垂线段,使角平分线成为垂直平分线例10如图24,在△ABC中,AD平分∠BAC,__⊥AD于E.求证∠A__=∠B+∠ECD.分析注意到AD平分∠BAC,__⊥AD,于是可延长__交AB于点F,即可构造全等三角形.证明延长__交AB于点F.∵AD平分∠BAC,∴∠FAE=∠CAE.∵__⊥AD,∴∠FEA=∠__A=90º.在△FEA和△__A中,∠FAE=∠CAE,AE=AE,∠FEA=∠__A.图24∴△FEA≌△__A.∴∠A__=∠AFE.∵∠AFE=∠B+∠ECD,∴∠A__=∠B+∠ECD.
(3)利用角的平分线构造等腰三角形如图25,在△ABC中,AD平分∠BAC,过点D作DE∥AB,DE交AC于点E.易证△AED是等腰三角形.因此,我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线,构造等腰三角形.图25例11如图26,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,DE⊥BD于D,交BC于点E.求证CD=BE.分析要证CD=BE,可将BE分成两条线段,然后再证明CD与这两条线段都相等.证明过点D作DF∥AB交BC于点F.∵BD平分∠ABC,∴∠1=∠2.∵DF∥AB,∴∠1=∠3,∠4=∠ABC.图26∴∠2=∠3,∴DF=BF.∵DE⊥BD,∴∠2+∠DEF=90º,∠3+∠5=90º.∴∠DEF=∠5.∴DF=EF.∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.∴∠4=∠C,CD=DF.∴CD=EF=BF,即CD=BE.练习1.如图27,在△ABC中,∠B=90º,AD为∠BAC的平分线,DF⊥AC于F,DE=DC.求证BE=CF.图272.已知如图28,AD是△ABC的中线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且BE=CF.求证
(1)AD是∠BAC的平分线;
(2)AB=AC.图283.在△ABC中,∠BAC=60º,∠C=40º,AP平分∠BAC交BC于P,BQ平分∠ABC交AC于Q.求证AB+BP=BQ+AQ.图294.如图30,在△ABC中,AD平分∠BAC,AB=AC+CD.求证∠C=2∠B.图305.如图31,E为△ABC的∠A的平分线AD上一点,AB>AC.求证AB-AC>EB-EC.图316.如图32,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分∠ABC.图32求证∠A+∠C=180º.7.如图33所示,已知AD∥BC,∠1=∠2,∠3=∠4,直线DC过点E作交AD于点D,交BC于点C.求证AD+BC=AB.图338.已知,如图34,△ABC中,∠ABC=90º,AB=BC,AE是∠A的平分线,CD⊥AE于D.求证CD=AE.图349.△ABC中,AB=AC,∠A=100º,BD是∠B的平分线.求证AD+BD=BC.图3510.如图36,∠B和∠C的平分线相交于点F,过点F作DE∥BC交AB于点D,交AC于点E,若BD+__=9,则线段DE的长为( )A.9B.8C.7D.6图3611.如图37,△ABC中,AD平分∠BAC,AD交BC于点D,且D是BC的中点.求证AB=AC.图3712.已知如图38,△ABC中,AD是∠BAC的平分线,E是BC的中点,EF∥AD,交AB于M,交CA的延长线于F.求证BM=CF.图38构造方法有1.截长补短法2.平行线法(或平移法)若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线,对Rt△有时可作出斜边的中线3.旋转法对题目中出现有一个公共端点的相等线段时,可试用旋转方法构造全等三角形4.倍长中线法题中条件若有中线,可延长一倍,以构造全等三角形,从而将分散条件集中在一个三角形内5.翻折法若题设中含有垂线、角的平分线等条件的,可以试用轴对称性质,沿轴翻转图形来构造全等三角形下面举例说明几种常见的构造方法,供同学们参考.ABCDFEG图
(1)ABCPQ图
(5)DOABCPQ图
(4)DOOABCPQD图
(2)ABCPQDE图
(3)OABCPDEABCDFHABCDEGFABCD。