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§
2.2 对数函数2.
2.1 对数与对数运算1.对数的概念一般地,如果ax=Na0,且a≠1,那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.说明1实质上,上述对数表达式,不过是指数函数y=ax的另一种表达形式,例如34=81与4=log381这两个式子表达是同一关系,因此,有关系式ax=N⇔x=logaN,从而得对数恒等式alogaN=N.2“log”同“+”“×”“”等符号一样,表示一种运算,即已知一个数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面.3根据对数的定义,对数logaNa0,且a≠1具有下列性质
①零和负数没有对数,即N0;
②1的对数为零,即loga1=0;
③底的对数等于1,即logaa=
1.2.对数的运算法则利用对数的运算法则,可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算,反之亦然.这种运算的互化可简化计算方法,加快计算速度.1基本公式
①logaMN=logaM+logaNa0,a≠1,M0,N0,即正数的积的对数,等于同一底数的各个因数的对数的和.
②loga=logaM-logaNa0,a≠1,M0,N0,即两个正数的商的对数,等于被除数的对数减去除数的对数.
③logaMn=n·logaMa0,a≠1,M0,n∈R,即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数.2对数的运算性质注意点
①必须注意M0,N0,例如loga[-3×-4]是存在的,但是loga-3与loga-4均不存在,故不能写成loga[-3×-4]=loga-3+loga-4.
②防止出现以下错误logaM±N=logaM±logaN,logaM·N=logaM·logaN,loga=,logaMn=logaMn.3.对数换底公式在实际应用中,常碰到底数不为10的对数,如何求这类对数,我们有下面的对数换底公式logbN=b0,且b≠1;c0,且c≠1;N0.证明 设logbN=x,则bx=N.两边取以c为底的对数,得xlogcb=logcN.所以x=,即logbN=.换底公式体现了对数运算中一种常用的转化,即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数,这是数学转化思想的具体应用.由换底公式可推出下面两个常用公式1logbN=或logbN·logNb=1N0,且N≠1;b0,且b≠1;2logbnNm=logbNN0;b0,且b≠1;n≠0,m∈R2019-2020年新人教A版高中数学(必修1)《第二章基本初等函数(I)》word学案 题型一 正确理解对数运算性质对于a0且a≠1,下列说法中,正确的是
①若M=N,则logaM=logaN;
②若logaM=logaN,则M=N;
③若logaM2=logaN2,则M=N;
④若M=N,则logaM2=logaN
2.A.
①与
③ B.
②与
④ C.
② D.
①、
②、
③、
④解析 在
①中,当M=N≤0时,logaM与logaN均无意义,因此logaM=logaN不成立.在
②中,当logaM=logaN时,必有M0,N0,且M=N,因此M=N成立.在
③中,当logaM2=logaN2时,有M≠0,N≠0,且M2=N2,即|M|=|N|,但未必有M=N.例如,M=2,N=-2时,也有logaM2=logaN2,但M≠N.在
④中,若M=N=0,则logaM2与logaN2均无意义,因此logaM2=logaN2不成立.所以,只有
②成立.答案 C点评 正确理解对数运算性质公式,是利用对数运算性质公式解题的前提条件,使用运算性质时,应牢记公式的形式及公式成立的条件. 题型二 对数运算性质的应用求下列各式的值12log32-log3+log38-5log53;2lg25+lg8+lg5·lg20+lg22;
3.分析 利用对数的性质求值,首先要明确解题目标是化异为同,先使各项底数相同,才能使用性质,再找真数间的联系,对于复杂的真数,可以先化简再计算.解 1原式=2log32-log332-log39+3log32-3=2log32-5log32+2+3log32-3=-
1.2原式=2lg5+2lg2+lg·lg2×10+lg22=2lg5×2+1-lg2·lg2+1+lg22=2+1-lg22+lg22=
3.3∵==-=-.点评 对数的求值方法一般有两种一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商,然后化简求值;另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根,然后化简求值. 题型三 对数换底公式的应用计算log2125+log425+log85log52+log254+log1258.分析 由题目可获取以下主要信息本题是一道对数化简求值题,在题目中各个对数的底数都各不相同.解答本题可先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值.解 方法一 原式===log25·3log52=13log25·=
13.方法二 原式====
13.点评 方法一是先将括号内换底,然后再将底统一;方法二是在解题方向还不清楚的情况下,一次性地统一为常用对数当然也可以换成其他非1的正数为底,然后再化简.上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法.已知logx+3x2+3x=1,求实数x的值.错解 由对数的性质可得x2+3x=x+
3.解得x=1或x=-
3.错因分析 对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1,这点在解题中忽略了.正解 由对数的性质知解得x=1,故实数x的值为
1.对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一,主要性质有loga1=0,logaa=1,alogaN=Na0,且a≠1,N0.1.上海高考方程9x-6·3x-7=0的解是________.解析 ∵9x-6·3x-7=0,即32x-6·3x-7=0∴3x-73x+1=0∴3x=7或3x=-1舍去∴x=log
37.答案 log372.辽宁高考设gx=则g=____.解析 g=ln0,g=eln=,∴g=.答案 1.对数式loga-37-a=b,实数a的取值范围是 A.-∞,7B.37C.34∪47D.3,+∞答案 C解析 由题意得解得3a7且a≠
4.2.设a=log32,则log38-2log36用a表示的形式是 A.a-2B.3a-1+a2C.5a-2D.-a2+3a-1答案 A解析 ∵a=log32,∴log38-2log36=3log32-2log32+1=3a-2a+1=a-
2.3.log56·log67·log78·log89·log910的值为 A.1B.lg5C.D.1+lg2答案 C解析 原式=····==.4.已知logaa2+1loga2a0,则a的取值范围是 A.01B.C.D.1,+∞答案 C解析 由题意,得∵a0,a≠1,logaa2+1loga2a,∴0a
1.∴a
1.5.已知函数fx=ax-1+logaxa0,a≠1在
[13]上最大值与最小值之和为a2,则a的值为 A.4B.C.3D.答案 D6.若方程lgx2+lg7+lg5lgx+lg7·lg5=0的两根为α,β,则αβ等于 A.lg7·lg5B.lg35C.35D.答案 D解析 ∵lgα+lgβ=-lg7+lg5=-lg35=lg∴α·β=.7.已知flog2x=x,则f=________.答案 解析 令log2x=,则2=x,∴f=2=.8.log-1+1=________.答案 -1解析 log-1+1=log-1=log-1=-
1.9.已知lg2=
0.3010,lg3=
0.4771,lgx=-2+
0.7781,则x=________.答案
0.06解析 ∵lg2=
0.3010,lg3=
0.4771,而
0.3010+
0.4771=
0.7781,∴lgx=-2+lg2+lg3,即lgx=lg10-2+lg
6.∴lgx=lg6×10-2,即x=6×10-2=
0.
06.10.1已知lgx+lgy=2lgx-2y,求log的值;2已知log189=a18b=5,试用a,b表示log
365.解 1lgx+lgy=2lgx-2y,∴xy=x-2y2,即x2-5xy+4y2=
0.即x-yx-4y=0,解得x=y或x=4y,又∵ ∴x2y0,∴x=y,应舍去,取x=4y.则log=log=log4==
4.2∵18b=5,∴log185=b又∵log189=a,∴log365======.11.设a,b,c均为不等于1的正数,且ax=by=cz,++=0,求abc的值.解 令ax=by=cz=tt0且t≠1,则有=logta,=logtb,=logtc,又++=0,∴logtabc=0,∴abc=
1.12.已知a,b,c是△ABC的三边,且关于x的方程x2-2x+lgc2-b2-2lga+1=0有等根,试判定△ABC的形状.解 ∵关于x的方程x2-2x+lgc2-b2-2lga+1=0有等根,∴Δ=0,即4-4[lgc2-b2-2lga+1]=
0.即lgc2-b2-2lga=0,故c2-b2=a2,∴a2+b2=c2,∴△ABC为直角三角形.2.
2.1 对数与对数运算一学习目标1.理解对数的概念,能进行指数式与对数式的互化.2.了解常用对数与自然对数的意义.3.理解对数恒等式并能用于有关对数的计算.自学导引1.如果aa0且a≠1的b次幂等于N,就是ab=N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作b=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.2.对数的性质有11的对数为零;2底的对数为1;3零和负数没有对数.3.通常将以10为底的对数叫做常用对数,以e为底的对数叫做自然对数,log10N可简记为lgN,logeN简记为lnN.4.若a0,且a≠1,则ab=N等价于logaN=b.5.对数恒等式alogaN=Na0且a≠
1.
一、对数式有意义的条件例1 求下列各式中x的取值范围1log2x-10;2logx-1x+2;3logx+1x-
12.分析 由真数大于零,底数大于零且不等于1可得到关于x的不等式组,解之即可.解 1由题意有x-100,∴x10,即为所求.2由题意有即∴x1且x≠
2.3由题意有解得x-1且x≠0,x≠
1.点评 在解决与对数有关的问题时,一定要注意对数真数大于零,对数的底数大于零且不等于
1.变式迁移1 在b=loga-25-a中,实数a的取值范围是 A.a5或a2 B.2a5C.2a3或3a5D.3a4答案 C解析 由题意得,∴2a5且a≠
3.
二、对数式与指数式的互化例2 将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式154=625; 2log8=-3;3-2=16;4log101000=
3.分析 利用ax=N⇔x=logaN进行互化.解 1∵54=625,∴log5625=
4.2∵log8=-3,∴-3=
8.3∵-2=16,∴log16=-
2.4∵log101000=3,∴103=
1000.点评 指数和对数运算是一对互逆运算,在解题过程中,互相转化是解决相关问题的重要途径.在利用ax=N⇔x=logaN进行互化时,要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置.变式迁移2 将下列对数式化为指数式求x值1logx27=; 2log2x=-;3log5log2x=0;4x=log27;5x=log
16.解 1由logx27=,得x=27,∴x=27=32=
9.2由log2x=-,得2-=x,∴x==.3由log5log2x=0,得log2x=1,∴x=21=
2.4由x=log27,得27x=,即33x=3-2,∴x=-.5由x=log16,得x=16,即2-x=24,∴x=-
4.
三、对数恒等式的应用例3 1alogab·logbc·logcN的值a,b,c∈R+,且不等于1,N0;24log29-log25.解 1原式=alogablogbc·logcN=blogbc·logcN=blogbclogcN=clogcN=N.2原式=2log29-log25==.点评 对数恒等式alogaN=N中要注意格式1它们是同底的;2指数中含有对数形式;3其值为真数.变式迁移3 计算3log3+log
3.解 原式=+3log3=+3log3=+=.1.一般地,如果aa0,a≠1的b次幂等于N,就是ab=N,那么b叫做以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.2.利用ab=N⇔b=logaN其中a0,a≠1,N0可以进行指数与对数式的互化.3.对数恒等式alogaN=Na0且a≠1.
一、选择题1.下列指数式与对数式互化不正确的一组是 A.100=1与lg1=0B.27-=与log27=-C.log3=9与9=3D.log55=1与51=5答案 C2.指数式b6=ab0,b≠1所对应的对数式是 A.log6a=aB.log6b=aC.logab=6D.logba=6答案 D3.若logx-2=-1,则x的值为 A.-2B.+2C.-2或+2D.2-答案 B4.如果f10x=x,则f3等于 A.log310B.lg3C.103D.310答案 B解析 方法一 令10x=t,则x=lgt,∴ft=lgt,f3=lg
3.方法二 令10x=3,则x=lg3,∴f3=lg
3.5.21+·log25的值等于 A.2+B.2C.2+D.1+答案 B解析 21+log25=2×2log25=2×2log25=2×5=
2.
二、填空题6.若5lgx=25,则x的值为________.答案 100解析 ∵5lgx=52,∴lgx=2,∴x=102=
100.7.设loga2=m,loga3=n,则a2m+n的值为________.答案 12解析 ∵loga2=m,loga3=n,∴am=2,an=3,∴a2m+n=a2m·an=am2·an=22×3=
12.8.已知lg6≈
0.7782,则
102.7782≈________.答案 600解析
102.7782≈102×10lg6=
600.
三、解答题9.求下列各式中x的值1若log3=1,则求x值;2若log2003x2-1=0,则求x值.解 1∵log3=1,∴=3∴1-2x=27,即x=-132∵log2003x2-1=0∴x2-1=1,即x2=2∴x=±10.求x的值1x=log4;2x=log9;3x=71-log75;4logx8=-3;5logx=
4.解 1由已知得x=4,∴2-x=22,-=2,x=-
4.2由已知得9x=,即32x=
3.∴2x=,x=.3x=7÷7log75=7÷5=.4由已知得x-3=8,即3=23,=2,x=.5由已知得x=4=.
2.
2.1 对数与对数运算二学习目标1.掌握对数的运算性质及其推导.2.能运用对数运算性质进行化简、求值和证明.自学导引1.对数的运算性质如果a0,a≠1,M0,N0,那么,1logaMN=logaM+logaN;2loga=logaM-logaN;3logaMn=nlogaMn∈R.2.对数换底公式logab=.
一、正确理解对数运算性质例1 若a0,a≠1,x0,y0,xy,下列式子中正确的个数有
①logax·logay=logax+y;
②logax-logay=logax-y;
③loga=logax÷logay;
④logaxy=logax·logay.A.0个 B.1个 C.2个 D.3个答案 A解析 对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算.在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算,如logax≠loga·x,logax是不可分开的一个整体.四个选项都把对数符号当作字母参与运算,因而都是错误的.点评 正确理解对数运算性质公式,是利用对数运算性质公式解题的前提条件.变式迁移1 若a0且a≠1,x0,n∈N*,则下列各式正确的是 A.logax=-logaB.logaxn=nlogaxC.logaxn=logaxnD.logax=loga答案 A
二、对数运算性质的应用例2 计算1log535-2log5+log57-log
51.8;22lg2+lg·lg5+;3;4lg52+lg2·lg
50.分析 利用对数运算性质计算.解 1原式=log55×7-2log57-log53+log57-log5=log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55=2log55=
2.2原式=lg2lg+lg5+=lglg2+lg5+1-lg=lg+1-lg=
1.3原式===.4原式=lg52+lg2·lg2+2lg5=lg52+2lg5·lg2+lg22=lg5+lg22=
1.点评 要灵活运用有关公式.注意公式的正用、逆用及变形使用.变式迁移2 求下列各式的值1log535+2log-log5-log514;2[1-log632+log62·log618]÷log
64.解 1原式=log55×7-2log22+log552×2-log52×7=1+log57-1+2+log52-log52-log57=
2.2原式=[log2+log62·log63×6]÷log622=log62log62+log63+1÷2log62=
1.
三、换底公式的应用例3 1设3x=4y=36,求+的值;2已知log189=a18b=5,求log
3645.解 1由已知分别求出x和y.∵3x=364y=36,∴x=log336,y=log436,由换底公式得x==,y==,∴=log363,=log364,∴+=2log363+log364=log3632×4=log3636=
1.2∵log189=a18b=5,∴log185=b.∴log3645=====.点评 指数式化为对数式后,两对数式的底不同,但式子两端取倒数后,利用对数的换底公式可将差异消除.变式迁移3 1设log34·log48·log8m=log416,求m;2已知log1227=a,求log616的值.解 1利用换底公式,得··=2,∴lgm=2lg3,于是m=
9.2由log1227=a,得=a,∴lg3=,∴=.∴log616===.1.对于同底的对数的化简常用方法是1“收”,将同底的两对数的和差化成积商的对数;2“拆”,将积商的对数拆成对数的和差.2.对于常用对数的化简要充分利用“lg5+lg2=1”来解题.3.对于多重对数符号对数的化简,应从内向外逐层化简求值.
一、选择题1.lg8+3lg5的值为 A.-3B.-1C.1D.3答案 D解析 lg8+3lg5=lg8+lg53=lg1000=
3.2.已知lg2=a,lg3=b,则log36等于 A.B.C.D.答案 B解析 log36===.3.若lga,lgb是方程2x2-4x+1=0的两个根,则2的值等于 A.2B.C.4D.答案 A解析 由根与系数的关系,得lga+lgb=2,lga·lgb=,∴2=lga-lgb2=lga+lgb2-4lga·lgb=22-4×=
2.4.若
2.5x=
10000.25y=1000,则-等于 A.B.3C.-D.-3答案 A解析 由指数式转化为对数式x=log
2.51000,y=log
0.251000,则-=log
10002.5-log
10000.25=log100010=.5.设函数fx=logaxa0,且a≠1,若fx1x2…x2005=8,则fx+fx+…+fx的值等于 A.4B.8C.16D.2loga8答案 C解析 因为fx=logax,fx1x2…x2005=8,所以fx+fx+…+fx=logax+logax+…+logax=2loga|x1|+2loga|x2|+…+2loga|x2005|=2loga|x1x2…x2005|=2fx1x2…x2005=2×8=
16.
二、填空题6.设lg2=a,lg3=b,那么lg=__________.答案 解析 lg=lg
1.8=lg=lg=lg2+lg9-1=a+2b-1.7.若logax=2,logbx=3,logcx=6,则logabcx的值为____.答案 1解析 logabcx==∵logax=2,logbx=3,logcx=6∴logxa=,logxb=,logxc=,∴logabcx===
1.8.已知log63=
0.6131,log6x=
0.3869,则x=________.答案 2解析 由log63+log6x=
0.6131+
0.3869=
1.得log63x=
1.故3x=6,x=
2.
三、解答题9.求下列各式的值1lg-lg+lg;2lg52+2lg2-lg
22.解 1方法一 原式=5lg2-2lg7-·lg2+2lg7+lg5=lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5=lg2+lg5=lg10=.方法二 原式=lg-lg4+lg7=lg=lg·=lg=.2方法一 原式=lg5+lg2lg5-lg2+2lg2=lg10·lg+lg4=lg=lg10=
1.方法二 原式=lg10-lg22+2lg2-lg22=1-2lg2+lg22+2lg2-lg22=
1.10.若26a=33b=62c,求证+=.证明 设26a=33b=62c=kk0,那么 ∴∴+=6·logk2+2×3logk3=logk26×36=6logk6=3×2logk6=,即+=.2.
2.2 对数函数及其性质1.对数函数的概念形如y=logaxa0且a≠1的函数叫做对数函数.对于对数函数定义的理解,要注意1对数函数是由指数函数变化而来的,由指数式与对数式关系知,对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y,所以对数函数的定义域是0,+∞;2对数函数的解析式y=logax中,logax前面的系数为1,自变量在真数的位置,底数a必须满足a0,且a≠1;3以10为底的对数函数为y=lgx,以e为底的对数函数为y=lnx.2.对数函数的图象及性质a10a1图象性质函数的定义域为0,+∞,值域为-∞,+∞函数图象恒过定点1,0,即恒有loga1=0当x1时,恒有y0;当0x1时,恒有y0当x1时,恒有y0;当0x1时,恒有y0函数在定义域0,+∞上为增函数函数在定义域0,+∞上为减函数
3.指数函数与对数函数的关系比较名称指数函数对数函数解析式y=axa0,且a≠1y=logaxa0,且a≠1定义域-∞,+∞0,+∞值域0,+∞-∞,+∞函数值变化情况a1时,;0a1时,xa1时,logax;0a1时,logax图象必过定点点01点10单调性a1时,y=ax是增函数;0a1时,y=ax是减函数a1时,y=logax是增函数;0a1时,y=logax是减函数图象y=ax的图象与y=logax的图象关于直线y=x对称实际上,观察对数函数的图象不难发现,对数函数中的值y=logmn有以下规律1当m-1n-10,即m、n范围相同相对于“1”而言,则logmn0;2当m-1n-10,即m、n范围相反相对于“1”而言,则logmn
0.有了这个规律,我们再判断对数值的正负就很简单了,如log20,log520等,一眼就看出来了! 题型一 求函数定义域求下列函数的定义域1y=log3x-1;2y=a0,a≠1.分析 定义域即使函数解析式有意义的x的范围.解 1要使函数有意义,必须同时成立,解得 ∴x
1.∴定义域为1,+∞.2要使原函数有意义,需1-logax+a0,即logax+a1=logaa.当a1时,0x+aa,∴-ax
0.当0a1时,x+aa,∴x
0.∴当a1时,原函数定义域为{x|-ax0};当0a1时,原函数定义域为{x|x0}.点评 求与对数函数有关的定义域问题,首先要考虑真数大于零,底数大于零且不等于1,若分母中含有x,还要考虑不能使分母为零. 题型二 对数单调性的应用1log43,log34,log的大小顺序为 A.log34log43logB.log34log43logC.log34loglog43D.loglog34log432若a2ba1,试比较loga,logb,logba,logab的大小.1解析 ∵log3410log431,log=log-1=-1,∴log34log43log.答案 B2解 ∵ba1,∴
01.∴loga0,logb∈01,logba∈01.又a1,且b1,∴logblogba,故有logalogblogbalogab.点评 比较对数的大小,一般遵循以下几条原则
①如果两对数的底数相同,则由对数函数的单调性底数a1为增;0a1为减比较.
②如果两对数的底数和真数均不相同,通常引入中间变量进行比较.
③如果两对数的底数不同而真数相同,如y=loga1x与y=loga2x的比较a10,a1≠1,a20,a2≠1.当a1a21时,曲线y1比y2的图象在第一象限内上升得慢.即当x1时,y1y2;当0x1时,y1y
2.而在第一象限内,图象越靠近x轴对数函数的底数越大.当0a2a11时,曲线y1比y2的图象在第四象限内下降得快.即当x1时,y1y2;当0x1时,y1y2即在第四象限内,图象越靠近x轴的对数函数的底数越小.已知loga1,那么a的取值范围是________.分析 利用函数单调性或利用数形结合求解.解析 由loga1=logaa,得当a1时,显然符合上述不等式,∴a1;当0a1时,a,∴0a.故a1或0a.答案 a1或0a点评 解含有对数符号的不等式时,必须注意对数的底数是大于1还是小于1,然后再利用相应的对数函数的单调性进行解答.理解会用以下几个结论很有必要1当a1时,logax0⇔x1,logax0⇔0x1;2当0a1时,logax0⇔0x1,logax0⇔x
1. 题型三 函数图象的应用若不等式2x-logax0,当x∈时恒成立,求实数a的取值范围.解 要使不等式2xlogax在x∈时恒成立,即函数y=logax的图象在内恒在函数y=2x图象的上方,而y=2x图象过点.由图可知,loga,显然这里0a1,∴函数y=logax递减.又loga=log,∴a,即a.∴所求的a的取值范围为a
1.点评 原问题等价于当x∈时,y1=2x的图象在y2=logax的图象的下方,由于a的大小不确定,当a1时,显然y2y1,因此a必为小于1的正数,当y2的图象通过点时,y2满足条件,此时a=.那么a是大于a还是小于a才满足呢?可以画图象观察,请试着画一画.这样可以对数形结合的方法有更好地掌握.设函数fx=lgax2+2x+1,若fx的值域是R,求实数a的取值范围.错解 ∵fx的值域是R,∴ax2+2x+10对x∈R恒成立,即⇔⇔a
1.错因分析 出错的原因是分不清定义域为R与值域为R的区别.正解 函数fx=lgax2+2x+1的值域是R⇔真数t=ax2+2x+1能取到所有的正数.当a=0时,只要x-,即可使真数t取到所有的正数,符合要求;当a≠0时,必须有⇔⇔0a≤
1.∴fx的值域为R时,实数a的取值范围为
[01].本节内容在高考中考查的形式、地位与指数函数相似,着重考查对数的概念与对数函数的单调性,考查指数、对数函数的图象、性质及其应用.1.广东高考已知函数fx=的定义域为M,gx=ln1+x的定义域为N,则M∩N等于 A.{x|x-1} B.{x|x1}C.{x|-1x1}D.∅解析 由题意知M={x|x1},N={x|x-1}.故M∩N={x|-1x1}.答案 C2.湖南高考下列不等式成立的是 A.log32log23log25B.log32log25log23C.log23log32log25D.log23log25log32解析 ∵y=log2x在0,+∞上是增函数,∴log25log23log22=
1.又y=log3x在0,+∞上为增函数,∴log32log33=
1.∴log32log23log
25.答案 A3.全国高考若x∈e-11,a=lnx,b=2lnx,c=ln3x,则 A.abcB.cabC.bacD.bca解析 ∵x1,∴-1lnx
0.令t=lnx,则-1t
0.∴a-b=t-2t=-t
0.∴ab.c-a=t3-t=tt2-1=tt+1t-1,又∵-1t0,∴0t+11,-2t-1-1,∴c-a0,∴ca.∴cab.答案 C1.已知函数fx=的定义域为集合M,gx=ln1-x的定义域为集合N,则M∩N等于 A.{x|x-1}B.{x|x1}C.D.∅答案 C2.已知函数fx=lg,若fa=,则f-a等于 A.B.-C.-2D.2答案 B解析 f-a=lg=-lg-1=-lg=-fa=-.3.已知a=log23,b=log32,c=log42,则a,b,c的大小关系是 A.cbaB.abcC.bcaD.cab答案 A解析 因为a=log231,b=log321,所以ab;又因为2,则log32log3=,而log42=log2=,所以b,c=,即bc.从而abc.4.函数fx=lg|x|为 A.奇函数,在区间0,+∞上是减函数B.奇函数,在区间0,+∞上是增函数C.偶函数,在区间-∞,0上是增函数D.偶函数,在区间-∞,0上是减函数答案 D解析 已知函数定义域为-∞,0∪0,+∞,关于坐标原点对称,且f-x=lg|-x|=lg|x|=fx,所以它是偶函数.又当x0时,|x|=x,即函数y=lg|x|在区间0,+∞上是增函数.又fx为偶函数,所以fx=lg|x|在区间-∞,0上是减函数.5.函数y=ax与y=-logaxa0,且a≠1在同一坐标系中的图象只可能为 答案 A解析 方法一 若0a1,则曲线y=ax下降且过01,而曲线y=-logax上升且过10;若a1,则曲线y=ax上升且过01,而曲线y=-logax下降且过10.只有选项A满足条件.方法二 注意到y=-logax的图象关于x轴对称的图象的表达式为y=logax,又y=logax与y=ax互为反函数图象关于直线y=x对称,则可直接选定选项A.6.设函数fx=log2ax+1,若对于区间-10内的每一个x值都有fx0,则实数a的取值范围为 A.0,+∞B.C.D.答案 D解析 已知-1x0,则0x+11,又当-1x0时,都有fx0,即0x+11时都有fx0,所以02a1,即0a.7.若指数函数fx=axx∈R的部分对应值如下表x-202fx
0.
69411.44则不等式logax-10的解集为__________.答案 {x|1x2}解析 由题可知a=
1.2,∴log
1.2x-10,∴log
1.2x-1log
1.21,解得x2,又∵x-10,即x1,∴1x
2.故原不等式的解集为{x|1x2}.8.函数y=logax1≤x≤2的值域为[-10],那么a的值为________.答案 解析 若a1,则函数y=logax在区间
[12]上为增函数,其值域不可能为[-10];故0a1,此时当x=2时,y取最小值-1,即loga2=-1,得a-1=2,所以a=.9.已知函数fx=是实数集R上的减函数,那么实数a的取值范围为__________.答案 解析 函数fx为实数集R上的减函数,一方面,0a1且3a-10,所以0a,另一方面,由于fx在R上为减函数,因此应有3a-1×1+4a≥loga1,即a≥.因此满足题意的实数a的取值范围为≤a.10.已知fx=1+log2x1≤x≤4,求函数gx=f2x+fx2的最大值和最小值.解 ∵fx的定义域为
[14],∴gx的定义域为
[12].∵gx=f2x+fx2=1+log2x2+1+log2x2=log2x+22-2,又1≤x≤2,∴0≤log2x≤
1.∴当x=1时,gxmin=2;当x=2时,gxmax=
7.学习目标1.掌握对数函数的概念、图象和性质.2.能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质,把握指数函数与对数函数关系的实质.自学导引1.对数函数的定义一般地,我们把函数y=logaxa0,且a≠1叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是0,+∞.2.对数函数的图象与性质定义y=logaxa0,且a≠1底数a10a1图象定义域0,+∞值域R单调性在0,+∞上是增函数在0,+∞上是减函数共点性图象过点10,即loga1=0函数值特点x∈01时,y∈-∞,0;x∈[1,+∞时,y∈[0,+∞x∈01时,y∈0,+∞;x∈[1,+∞时,y∈-∞,0]对称性函数y=logax与y=logx的图象关于x轴对称
3.反函数对数函数y=logaxa0且a≠1和指数函数y=ax_a0且a≠1互为反函数.
一、对数函数的图象例1 下图是对数函数y=logax的图象,已知a值取,,,,则图象C1,C2,C3,C4相应的a值依次是 A.B.C.D.答案 A解析 方法一 因为对数的底数越大,函数的图象越远离y轴的正方向,所以C1,C2,C3,C4的a值依次由大到小,即C1,C2,C3,C4的a值依次为.方法二 过01作平行于x轴的直线,与C1,C2,C3,C4的交点的横坐标为a11,a21,a31,a41,其中a1,a2,a3,a4分别为各对数的底,显然a1a2a3a4,所以C1,C2,C3,C4的底值依次由大到小.点评 函数y=logaxa0,且a≠1的底数a的变化对图象位置的影响如下
①上下比较在直线x=1的右侧,底数大于1时,底数越大,图象越靠近x轴;底数大于0且小于1时,底数越小,图象越靠近x轴.
②左右比较比较图象与y=1的交点交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大.变式迁移1 借助图象比较m,n的大小关系1若logm5logn5,则m n;2若logm
0.5logn
0.5,则m n.答案 1 2
二、求函数的定义域例2 求下列函数的定义域1y=;2y=;3y=logx+12-x.分析 定义域即使函数解析式有意义的x的范围.解 1∵该函数是奇次根式,要使函数有意义,只要对数的真数是正数即可,∴定义域是{x|x0}.2要使函数y=有意义,必须log
0.54x-3≥0=log
0.51,∴04x-3≤
1.解得x≤
1.∴定义域是.3由,得即0x2或-1x0,所求定义域为-10∪02.点评 求与对数函数有关的函数定义域时,除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外,还要对这种函数自身有如下要求一是要特别注意真数大于零;二是要注意对数的底数;三是按底数的取值应用单调性,有针对性的解不等式.变式迁移2 求y=a0,a≠1的定义域.解 loga4x-3≥
0.*当a1时,*可化为loga4x-3≥loga1,∴4x-3≥1,x≥
1.当0a1时,*可化为loga4x-3≥loga1,∴04x-3≤1,x≤
1.综上所述,当a1时,函数定义域为[1,+∞,当0a1时,函数定义域为.
三、对数函数单调性的应用例3 比较大小1log
0.
81.5与log
0.82;2log35与log
64.分析 从比较底数、真数是否相同入手.解 1考查对数函数y=log
0.8x在0,+∞内是减函数,∵
1.52,∴log
0.
81.5log
0.
82.2log35和log64的底数和真数都不相同,找出中间量“搭桥”,再利用对数函数的单调性,即可求解.∵log35log33=1=log66log64,∴log35log
64.点评 比较两个对数值的大小,常用方法有
①底数相同真数不同时,用函数的单调性来比较;
②底数不同而真数相同时,常借助图象比较,也可用换底公式转化为同底数的对数后比较;
③底数与真数都不同,需寻求中间值比较.变式迁移3 比较下列各组中两个值的大小1log
0.
52.7,log
0.
52.8; 2log34,log65;3logaπ,logaea0且a≠1.解 1∵
00.51,∴对数函数y=log
0.5x在0,+∞上是减函数.又∵
2.
72.8,∴log
0.
52.7log
0.
52.
8.2∵y=log3x在0,+∞上是增函数,∴log34log33=
1.∵y=log6x在0,+∞上是增函数,∴log65log66=
1.∴log34log
65.3当a1时,y=logax在0,+∞上是增函数.∵πe,∴logaπlogae.当0a1时,y=logax在0,+∞上是减函数.∵πe,∴logaπlogae.综上可知,当a1时,logaπlogae;当0a1时,logaπlogae.例4 若-1loga1,求a的取值范围.分析 此不等式为对数不等式且底数为参数.解答本题可根据对数函数的单调性转化为一般不等式求解,同时应注意分类讨论.解 -1loga1⇔logalogalogaa.当a1时,a,∴a.当0a1时,a,∴0a.∴a的取值范围是∪.点评 1解对数不等式问题通常转化为不等式组求解,其依据是对数函数的单调性.2解决与对数函数相关的问题时要遵循“定义域优先”原则.3若含有字母,应考虑分类讨论.变式迁移4 已知loga2a+1loga3a0,求a的取值范围.解 loga2a+1loga3a0*当a1时,*可化为,解得,∴此时a无解.当0a1时,*可化为,解得,∴a
1.综上所述,a的取值范围为.1.求对数函数定义域要注意底数中是否含有自变量,此时底数大于0且不等于
1.2.应用对数函数的图象和性质时要注意a1还是0a1
一、选择题1.当a1时,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=logax的图象是 答案 A解析 a1由指数函数与对数函数图象可知A对.2.函数y=的定义域是 A.[1,+∞B.C.D.答案 D解析 由已知log3x-2≥0,得03x-2≤1∴x≤
1.3.已知a=log
0.
70.8,b=log
1.
10.9,c=
1.
10.9,则a、b、c的大小关系是 A.abcB.acbC.bacD.cab答案 C解析 0a=log
0.
70.8log
0.
70.7=1,c1,b
0.4.设a1,函数fx=logax在区间[a2a]上的最大值与最小值之和为4,则a等于 A.B.2C.2D.4答案 A解析 由题意得logaa+loga2a=4,∴2+loga2=4,∴a=.5.若loga1,则a的取值范围是 A.a1B.0a或a1C.0aD.a1答案 B解析 a1时,a,此时logalogaa=1,即a1符合要求;当0a1时,logalogaa,∴0a,即0a符合要求;∴a1或0a.
二、填空题6.若fx=则满足fx=的x的值为________.答案 3解析 ∵当x≤1时,fx=≥∴满足fx=的x∈1,+∞,即log81x=,∴x==
3.
7.函数fx=log3x的反函数为__________.答案 fx=3x
8.对数函数fx的图象过点P83,则f=______.答案 -2解析 设fx=logaxa0且a≠1.将点83代入解析式得loga8=3,即a3=8,∴a=
2.∴f=log2=-
2.
三、解答题9.已知fx=logaa0且a≠1,其定义域为-11,试判断fx的奇偶性并证明.证明 函数的定义域是-11,关于原点对称.∵f-x=loga=loga=loga-1=-loga,∴f-x=-fx.∴fx是奇函数.10.求函数y=logaa-axa0,且a≠1的定义域和值域.解 ∵a-ax0,∴aax.当a1时,x1,则fx的定义域为-∞,1;当0a1时,x1,则fx的定义域为1,+∞.∵ax0,∴0a-axa.当a1时,logaa-axlogaa=1,函数fx的值域为-∞,1;当0a1时,logaa-axlogaa=1,函数fx的值域为1,+∞.综上所述,当a1时,函数fx的定义域与值域均为-∞,1;当0a1时,函数fx的定义域与值域均为1,+∞.。