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文本内容:
2019版高中数学第一讲坐标系学案新人教A版[学习目标]
1.了解平面直角坐标系的组成,领会坐标法的应用.
2.理解平面直角坐标系中的伸缩变换.
3.能够建立适当的平面直角坐标系,运用解析法解决数学问题.[知识链接]
1.如何根据几何图形的几何特征建立恰当的坐标系?提示 1如果图形有对称中心,可以选对称中心为坐标原点;2如果图形有对称轴,可以选对称轴为坐标轴;3若题目有已知长度的线段,以线段所在的直线为x轴,以端点或中点为原点.建系原则使几何图形上的特殊点尽可能多的落在坐标轴上.
2.怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x提示 曲线y=sinx上各点保持纵坐标不变,将横坐标缩为原来的一半.
3.怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx提示 曲线y=sinx上各点保持横坐标不变,将纵坐标伸长为原来的3倍.[预习导引]
1.平面直角坐标系1平面直角坐标系的作用使平面上的点与坐标有序实数对、曲线与方程建立联系,从而实现数与形的结合.2坐标法根据几何对象的特征,选择适当的坐标系,建立它的方程,通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系.3坐标法解决几何问题的“三步曲”第一步,建立适当坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素,将几何问题转化成代数问题;第二步,通过代数运算,解决代数问题;第三步,把代数运算结果“翻译”成几何结论.
2.平面直角坐标系中的伸缩变换1平面直角坐标系中方程表示图形,那么平面图形的伸缩变换就可归结为坐标伸缩变换,这就是用坐标方法研究几何变换.2平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点Px,y是平面直角坐标系中任意一点,在变换φ的作用下,点Px,y对应到点P′x′,y′,称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.要点一 运用坐标法解决解析几何问题例1 △ABC的顶点A固定,角A的对边BC的长是2a,边BC上的高的长是b,边BC沿一条直线移动,求△ABC外心的轨迹方程.解 以边BC所在的定直线为x轴,过A作x轴的垂线为y轴,建立直角坐标系,则点A的坐标为0,b.设△ABC的外心为Mx,y.取BC的中点N,则MN⊥BC,即MN是BC的垂直平分线.因为|BC|=2a,所以|BN|=a,|MN|=|y|.又M是△ABC的外心,所以|MA|=|MB|.又|MA|=,|MB|==,所以=,化简,得所求的轨迹方程为x2-2by+b2-a2=0x∈R,y
0.规律方法 建立坐标系的几个基本原则1尽量把点和线段放在坐标轴上;2对称中心一般作为原点;3对称轴一般作为坐标轴.跟踪演练1 △ABC的边AB的长为定长2a,边BC的中线的长为定长m,试求顶点C的轨迹方程.解 取AB的中点为原点,直线AB为x轴,建立平面直角坐标系,则A-a,0,Ba,
0.设Cx,y,则边BC的中点为D,由|AD|=m,得+=m
2.化简得x+3a2+y2=4m
2.又因点C在直线AB上时不能组成三角形,故y≠
0.因此顶点C的轨迹方程是x+3a2+y2=4m2y≠
0.要点二 用坐标法解决平面几何问题例2 已知▱ABCD,求证|AC|2+|BD|2=2|AB|2+|AD|
2.证明 法一坐标法以A为坐标原点O,AB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy,则A0,0,设Ba,0,Cb,c,则AC的中点E,由对称性知Db-a,c,所以|AB|2=a2,|AD|2=b-a2+c2,|AC|2=b2+c2,|BD|2=b-2a2+c2,|AC|2+|BD|2=4a2+2b2+2c2-4ab=22a2+b2+c2-2ab,|AB|2+|AD|2=2a2+b2+c2-2ab,∴|AC|2+|BD|2=2|AB|2+|AD|
2.法二向量法在▱ABCD中,=+,两边平方得2=||2=2+2+2·,同理得2=||2=2+2+2·,以上两式相加,得||2+||2=2||2+||2+2·+=2||2+||2,即|AC|2+|BD|2=2|AB|2+|AD|
2.规律方法
1.本例实际上为平行四边形的一个重要定理平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和.法一是运用代数方法,即解析法实现几何结论的证明的.这种“以算代证”的解题策略就是坐标方法的表现形式之一.法二运用了向量的数量积运算,更显言简意赅,给人以简捷明快之感.
2.建立平面直角坐标系的方法步骤1建系——建立平面直角坐标系,建系原则是利于运用已知条件,使运算简便,表达式简明;2设点——选取一组基本量,用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程;3运算——通过运算,得到所需要的结果.跟踪演练2 已知正△ABC的边长为a,在平面上求一点P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求出此最小值.解 以BC所在直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,如图,则A,B,C.设Px,y,则|PA|2+|PB|2+|PC|2=x2+++y2++y2=3x2+3y2-ay+=3x2+3+a2≥a2,当且仅当x=0,y=a时,等号成立.∴所求的最小值为a2,此时P点的坐标为P,即为正△ABC的中心.要点三 平面直角坐标系中的伸缩变换例3 在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换φ1求点A经过φ变换所得的点A′的坐标;2点B经过φ变换后得到点B′,求点B的坐标;3求直线l y=6x经过φ变换后所得直线l′的方程;4求双曲线C x2-=1经过φ变换后所得曲线C′的焦点坐标.解 1设点A′x′,y′.由伸缩变换φ得到又已知点A.于是x′=3×=1,y′=×-2=-
1.∴变换后点A′的坐标为1,-
1.2设Bx,y,由伸缩变换φ得到由于B′,于是x=×-3=-1,y=2×=1,∴B-1,1为所求.3设直线l′上任意一点P′x′,y′,由上述可知,将代入y=6x得2y′=6×,所以y′=x′,即y=x为所求.4设曲线C′上任意一点P′x′,y′,将代入x2-=1,得-=1,化简得-=1,∴曲线C′的方程为-=1,∴a2=9,b2=16,c2=25,因此曲线C′的焦点F15,0,F2-5,
0.规律方法
1.解答本题的关键1是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用;2是明确变换前后点的坐标关系,利用方程思想求解.
2.伸缩变换前后的关系已知平面直角坐标系中的伸缩变换φ则点的坐标与曲线的方程的关系为 联系类型 变换前变换后点Px,yλx,μy曲线Cfx,y=0f=0跟踪演练3 在同一直角坐标系中,将直线x-2y=2变成直线2x′-y′=4,求满足条件的伸缩变换.解 设满足条件的伸缩变换为将其代入方程2x′-y′=4,得2λx-μy=4,与x-2y=2比较,将其变成2x-4y=
4.比较系数得λ=1,μ=
4.所以直线x-2y=2图象上所有点的横坐标不变,纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2x′-y′=
4.
1.坐标系是现代数学中的重要内容,它在数学发展的历史上起着划时代的作用.坐标系的创建,在代数和几何之间架起了一座桥梁、利用坐标系,我们可以方便地用代数的方法确定平面内一个点的位置,也可以方便地确定空间内一个点的位置.它使几何概念得以用代数的方法来描述,几何图形可以通过代数形式来表达,这样便可将抽象的代数方程用形象的几何图形表示出来,又可将先进的代数方法应用于几何学的研究.
2.体会用坐标伸缩变换研究图形伸缩变换的思想方法1平面几何图形的伸缩变换可以归结为坐标伸缩变换,学习中可结合坐标间的对应关系进行理解.2对于图形的伸缩变换问题,需要搞清新旧坐标,区别x,y和x′,y′,点x,y在原曲线上,点x′,y′在变换后的曲线上,因此点x,y的坐标满足原曲线的方程,点x′,y′的坐标适合变换后的曲线方程.
1.点P-1,2关于点A1,-2的对称点坐标为 A.3,6B.3,-6C.2,-4D.-2,4解析 设对称点的坐标为x,y,则x-1=2,且y+2=-4,∴x=3,且y=-
6.答案 B
2.在同一平面直角坐标系中,将曲线y=3sin2x变成曲线y′=sinx′的伸缩变换是 A.B.C.D.解析 设则μy=sinλx,即y=sinλx.比较y=3sin2x与y=sinλx,则有=3,λ=
2.∴μ=,λ=
2.∴答案 B
3.如何由正弦曲线y=sinx经伸缩变换得到y=sinx的图象 A.将横坐标压缩为原来的,纵坐标也压缩为原来的B.将横坐标压缩为原来的,纵坐标伸长为原来的2倍C.将横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标也伸长为原来的2倍D.将横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标压缩为原来的答案 D
4.已知函数fx=+,则fx的最小值为________.解析 fx可看作是平面直角坐标系下x轴上一点x,0到两定点-1,1和1,1的距离之和,结合图形可得,fx的最小值为
2.答案 2
一、基础达标
1.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C变为曲线x′2+y′2=0,则曲线C的方程为 A.25x2+9y2=0B.25x2+9y2=1C.9x2+25y2=0D.9x2+25y2=1解析 将伸缩变换代入x′2+y′2=0,得25x2+9y2=0,此即为曲线C的方程.答案 A
2.平行四边形ABCD中三个顶点A,B,C的坐标分别是-1,2,3,0,5,1,则顶点D的坐标是 A.9,-1B.-3,1C.1,3D.2,2解析 设Dx,y,则由题意,得=,即4,-2=5-x,1-y,∴即D1,
3.答案 C
3.已知四边形ABCD的顶点分别为A-1,0,B1,0,C1,1,D-1,1,四边形ABCD在伸缩变换a0的作用下变成正方形,则a的值为 A.1B.2C.D.解析 如图,由矩形ABCD变为正方形A′B′C′D′,已知y′=y,∴边长为1,∴AB长由2缩为原来的一半,∴x′=x,∴a=.答案 C
4.已知f1x=sinx,f2x=sinωxω0,f2x的图象可以看作把f1x的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的纵坐标不变而得到的,则ω为 A.B.2C.3D.解析 对照伸缩变换公式φ由y=sinx得到y′=sinωx′故,即.∴=,∴ω=
3.答案 C
5.若点P-xx,xx经过伸缩变换后的点在曲线x′y′=k上,则k=________.解析 ∵P-2016,2017经过伸缩变换得代入x′y′=k,得k=x′y′=-
1.答案 -
16.可以将椭圆+=1变为圆x2+y2=4的伸缩变换为________.解析 将椭圆方程+=1,化为+=4,∴+=
4.令得x′2+y′2=4,即x2+y2=
4.∴伸缩变换为所求.答案
7.在同一平面直角坐标系中,求将曲线x2-2y2-3x=0变成曲线x′2-8y′2-12x′=0的伸缩变换.解 令伸缩变换为将其代入x′2-8y′2-12x′=0得λ2x2-8μ2y2-12λx=0,与x2-2y2-3x=
0.进行比较,得故从而伸缩变换为
二、能力提升
8.在平面直角坐标系中,方程3x-2y+1=0所对应的直线经过伸缩变换后的直线方程为 A.3x′-4y′+1=0B.3x′+y′-1=0C.9x′-y′+1=0D.x′-4y′+1=0解析 由伸缩变换得代入方程3x-2y+1=0有9x′-y′+1=
0.答案 C
9.平面直角坐标系中,在伸缩变换φ作用下仍是其本身的点为________.解析 设Px,y在伸缩变换φ作用下得到P′λx,μy.依题意得其中λ0,μ0,λ≠1,μ≠
1.∴x=y=0,即P0,0为所求.答案 0,
010.已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则x2+y2的最大值和最小值分别为________.解析 x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为=2,所以x2+y2的最大值是2+2=7+4,x2+y2的最小值是2-2=7-
4.答案 7+4;7-
411.在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形.15x+2y=0;2x2+y2=
2.解 1由伸缩变换得将其代入5x+2y=0,得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x′+3y′=
0.所以经过伸缩变换后,直线5x+2y=0变成直线5x′+3y′=
0.2将代入x2+y2=2,得到经过伸缩变换后的图形的方程是+=2,即+=
1.所以经过伸缩变换后,圆x2+y2=2变成椭圆+=
1.
12.台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动,离台风中心30km内的地区为危险区,城市B在A地正东40km处.求城市B处于危险区内的时间.解 以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,则B40,0,以点B为圆心,30为半径的圆的方程为x-402+y2=302,台风中心移动到圆B内时,城市B处于危险区.台风中心移动的轨迹为直线y=x,与圆B相交于点M,N,点B到直线y=x的距离d==
20.求得|MN|=2=20km,故=1,所以城市B处于危险区的时间为1h.
三、探究与创新
13.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图,航天器运行按顺时针方向的轨迹方程为+=1,变轨即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线后返回的轨迹是以y轴为对称轴,M为顶点的抛物线的实线部分,降落点为D8,0,观测点A4,0,B6,0同时跟踪航天器.1求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程;2试问当航天器在x轴上方时,观测点A,B测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令?解 1设曲线方程为y=ax2+.因为D8,0在抛物线上,∴0=a·82+,解得a=-.∴曲线方程为y=-x2+.2设变轨点为Cx,y.根据题意可知得4y2-7y-36=0,解得y=4或y=-不合题意.∴y=
4.得x=6或x=-6不合题意,舍去.∴C点的坐标为6,
4.|AC|=2,|BC|=
4.所以当观测点A、B测得离航天器的距离分别为
2、4时,应向航天器发出变轨指令.二 极坐标系[学习目标]
1.理解极坐标系的概念,理解极坐标的多值性.
2.掌握极坐标与直角坐标的互化.
3.掌握极坐标系的简单应用.[知识链接]
1.在教材第2页思考中,我们以信息中心为基点,用角和距离刻画点P的位置,这种刻画就是极坐标思想.这种方法与用直角坐标刻画点P的位置有什么区别和联系?你认为哪种方法更方便?提示 直角坐标系中点的位置用有序数组来刻画.两者的联系是都通过数刻画点,体现了数形结合思想.在这里,应该使用角和距离刻画点P位置更方便.
2.由极坐标的意义可判断平面上点的极坐标唯一吗?提示 平面上点的极坐标不是唯一的.如果限定ρ0,θ∈[0,2π,平面上的点除去极点与极坐标ρ,θ可建立一一对应关系.
3.联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带是什么?提示 任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带.事实上,若ρ0,则sinθ=,cosθ=,所以x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ2=x2+y2,tanθ=x≠
0.[预习导引]
1.极坐标系的概念1极坐标系的建立在平面内取一个定点O,叫做极点;自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位通常取弧度及其正方向通常取逆时针方向,这样就建立了一个极坐标系.2极坐标设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为ρ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为θ.有序数对ρ,θ叫做点M的极坐标,记为Mρ,θ.一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.
2.点与极坐标的关系一般地,极坐标ρ,θ与ρ,θ+2kπk∈Z表示同一个点,特别地,极点O的坐标为0,θθ∈R.如果规定ρ0,0≤θ2π,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标ρ,θ表示;同时,极坐标ρ,θ表示的点也是唯一确定的.
3.极坐标与直角坐标的互化1互化背景把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示.2互化公式设M是平面内任意一点,它的直角坐标是x,y,极坐标是ρ,θ,于是极坐标与直角坐标的互化公式如表点M直角坐标x,y极坐标ρ,θ互化公式ρ2=x2+y2tanθ=x=0要点一 极坐标系的概念例1 设点A,直线l为过极点且垂直于极轴的直线,分别求点A关于极轴,直线l,极点的对称点的极坐标限定ρ0,-πθ≤π.解 如图所示,关于极轴的对称点为B.关于直线l的对称点为C.关于极点O的对称点为D.规律方法
1.点的极坐标不是唯一的,但若限制ρ0,0≤θ2π,则除极点外,点的极坐标是唯一确定的.
2.写点的极坐标要注意顺序极径ρ在前,极角θ在后,不能颠倒顺序.跟踪演练1 在极坐标系中,下列各点中与不表示同一个点的是 A.B.C.D.解析 与极坐标相同的点可以表示为k∈Z,只有不满足.答案 C要点二 极坐标化为直角坐标例2 已知点的极坐标分别为A,B,C,求它们的直角坐标.解 因为x=3cos=3×=,y=3sin=3×=-,所以A点的直角坐标为.同理,B,C两点的直角坐标分别为-1,,.规律方法 将点的极坐标ρ,θ化为点的直角坐标x,y时,运用到求角θ的正弦值和余弦值,熟练掌握特殊角的三角函数值,灵活运用三角恒等变换公式是关键.跟踪演练2 分别把下列点的极坐标化为直角坐标1;2;3π,π.解 1∵x=ρcosθ=2cos=,y=ρsinθ=2sin=
1.∴点的极坐标化为直角坐标为,
1.2∵x=ρcosθ=3cos=0,y=ρsinθ=3sin=
3.∴点的极坐标化为直角坐标为0,
3.3∵x=ρcosθ=πcosπ=-π,y=ρsinθ=πsinπ=
0.∴点的极坐标π,π化为直角坐标为-π,
0.要点三 直角坐标化为极坐标例3 分别把下列点的直角坐标化为极坐标限定ρ≥0,0≤θ2π1-2,2;2,-;
3.解 1∵ρ===4,tanθ==-,θ∈[0,2π,由于点-2,2在第二象限,∴θ=.∴点的直角坐标-2,2化为极坐标为.2∵ρ===2,tanθ==-,θ∈[0,2π,由于点,-在第四象限,∴θ=.∴点的直角坐标,-化为极坐标为.3∵ρ===,tanθ==1,θ∈[0,2π.由于点在第一象限,∴θ=.∴点的直角坐标化为极坐标为.规律方法
1.将直角坐标x,y化为极坐标ρ,θ,主要利用公式ρ2=x2+y2,tanθ=x≠0进行求解,先求极径,再求极角.
2.在[0,2π范围内,由tanθ=x≠0求θ时,要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限.如果允许θ∈R,再根据终边相同的角的意义,表示为θ+2kπk∈Z即可.跟踪演练3 点P的直角坐标为,-,那么它的极坐标可表示为 A.B.C.D.解析 ∵ρ==2,tanθ==-1,点P在第四象限,θ=.∴极坐标为.答案 D要点四 极坐标的应用例4 在极坐标系中,如果A,B为等边三角形ABC的两个顶点,求顶点C的极坐标ρ0,0≤θ2π.解 对于点A有ρ=2,θ=,∴x=2cos=,y=2sin=,则A,.对于B有ρ=2,θ=π,∴x=2cosπ=-,y=2sinπ=-.∴B-,-.设C点的坐标为x,y,由于△ABC为等边三角形,故|AB|=|BC|=|AC|=
4.∴有解之得或∴C点的坐标为,-或-,.∴ρ==2,tanθ==-1,∴θ=π或θ=π.故点C的极坐标为或.规律方法
1.本例综合考查了点的极坐标与直角坐标的互化公式以及等边三角形的意义和性质.结合几何图形可知,点C的坐标有两解,设出点的坐标寻求等量关系建立方程组求解是关键.
2.若设出Cρ,θ,利用余弦定理亦可求解跟踪演练4 已知A、B两点的极坐标分别是,,求A、B两点间的距离和△AOB的面积.解 求两点间的距离可用如下公式|AB|===
2.S△AOB=|ρ1ρ2sinθ1-θ2|==×2×4=
4.
1.极坐标系的概念极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置.极坐标系的建立有四个要素
①极点;
②极轴;
③长度单位;
④角度单位和它的正方向.四者缺一不可.
2.点的极坐标每一个有序实数对ρ,θ确定一个点的位置.其中,ρ是点M的极径,θ是点M的极角.平面上给定一点,可以写出这个点的无数多个极坐标.如果限定ρ0,0≤θ2π,则除极点外,平面上的点就与它的极坐标构成一一对应的关系.
3.极坐标与直角坐标的互化任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带.事实上,若ρ0,sinθ=,cosθ=,所以x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ2=x2+y2,tanθ=x≠
0.
1.极坐标对应的点在以极点为坐标原点,极轴为横轴的直角坐标系的 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析 由题意可得ρ=1,θ=,∴x=ρcosθ=-,y=ρsinθ=,故它的直角坐标为在第二象限.答案 B
2.点A的极坐标是,则点A的直角坐标为 A.-1,-B.-,1C.-,-1D.,-1解析 x=ρcosθ=2cosπ=-,y=ρsinθ=2sinπ=-
1.答案 C
3.把点P的直角坐标-,1化成极坐标为________ρ0,0≤θ2π.解析 ρ==2,tanθ==-,又点P在第二象限,故θ=,因此,点P的极坐标为.答案
4.将极轴Ox绕极点顺时针方向旋转得到射线OP,在OP上取点M,使|OM|=2,则ρ0,θ∈[0,2π时点M的极坐标为________,它关于极轴对称点的极坐标为________ρ0,θ∈[0,2π.解析 ρ=|OM|=2,与OP终边相同的角为-+2kπk∈Z.∵θ∈[0,2π,∴k=1,θ=,∴M,∴M关于极轴的对称点为.答案
一、基础达标
1.点P的极坐标为,则点P的直角坐标为 A.,B.,-C.2,2D.-,解析 x=ρcosθ=,y=ρsinθ=-.答案 B
2.点M的直角坐标为,则点M的极坐标可以为 A.B.C.D.解析 ∵ρ==,且θ=,∴M的极坐标为.答案 C
3.下列各点与表示极坐标系中同一点的是 A.B.2,πC.D.2,2π解析 与极坐标相同的点可以表示为k∈Z,只有适合.答案 C
4.在极坐标系中,已知点P
1、P2,则|P1P2|等于 A.9B.10C.14D.2解析 ∠P1OP2=-=,∴△P1OP2为直角三角形,由勾股定理可得|P1P2|=
10.答案 B
5.在极坐标系中,已知点A,B,则A、B两点间的距离为________.解析 由公式|AB|=eq\rρ+ρ-2ρ1ρ2cos(θ1-θ2),得|AB|===.答案
6.平面直角坐标系中,若点P经过伸缩变换后的点为Q,则极坐标系中,极坐标为Q的点到极轴所在直线的距离等于________.解析 ∵点P经过伸缩变换后的点为Q,则极坐标系中,极坐标为Q的点到极轴所在直线的距离等于6=
3.答案
37.在极轴上求与点A距离为5的点M的坐标.解 设Mr,0,∵A,∴=5,即r2-8r+7=0,解得r=1或r=
7.∴点M的坐标为1,0或7,
0.
二、能力提升
8.下列的点在极轴上方的是 A.3,0B.C.D.解析 建立极坐标系,由极坐标的定义可得点3,0在极轴上,点,在极轴下方,点在极轴上方,故选D.答案 D
9.点M到极轴所在直线的距离为________.解析 依题意,点M到极轴所在的直线的距离为d=6×sin=
3.答案
310.已知极坐标系中,极点为O,0≤θ2π,M,在直线OM上与点M的距离为4的点的极坐标为________.解析 如图,|OM|=3,∠xOM=,在直线OM上取点P,Q,使|OP|=7,|OQ|=1,显然有|PM|=|OP|-|OM|=7-3=4,|QM|=|OM|+|OQ|=3+1=
4.点P,Q都满足条件,且∠xOP=,∠xOQ=.答案 或
11.1已知点的极坐标分别为A,B,C,D,求它们的直角坐标.2已知点的直角坐标分别为A3,,B,C-1,-,求它们的极坐标ρ≥0,0≤θ2π.解 1根据x=ρcosθ,y=ρsinθ,得A,B,C-,-,D2,-
2.2根据ρ2=x2+y2,tanθ=得A,B,C.
12.在极坐标系中,已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为A,B2,π,C.1判断△ABC的形状;2求△ABC的面积.解 1如图所示,由A,B2,π,C得|OA|=|OB|=|OC|=2,∠AOB=∠BOC=∠AOC=.∴△AOB≌△BOC≌△AOC,∴AB=BC=CA,故△ABC为等边三角形.2由上述可知,AC=2OAsin=2×2×=
2.∴S△ABC=×22=3面积单位.
三、探究与创新
13.某大学校园的部分平面示意图如图用点O,A,B,C,D,E,F,G分别表示校门,器材室,操场,公寓,教学楼,图书馆,车库,花园,其中|AB|=|BC|,|OC|=600m.建立适当的极坐标系,写出除点B外各点的极坐标限定ρ≥0,0≤θ2π且极点为0,
0.解 以点O为极点,OA所在的射线为极轴Ox单位长度为1m,建立极坐标系.由|OC|=600m,∠AOC=,∠OAC=,得|AC|=300m,|OA|=300m,又|AB|=|BC|,所以|AB|=150m.同理,得|OE|=2|OG|=300m,所以各点的极坐标分别为O0,0,A300,0,C,D,E,F300,π,G.三 简单曲线的极坐标方程[学习目标]
1.了解极坐标方程的意义.
2.掌握直线和圆的极坐标方程.
3.能够根据极坐标方程研究有关数学问题.[知识链接]
1.曲线的极坐标方程是否唯一?提示 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,所以曲线上的点的极坐标有多种表示,曲线的极坐标方程不唯一.
2.上节课我们学了点的直角坐标与极坐标的互化,若已知一曲线的极坐标方程是ρ=2cosθ,那么该曲线对应怎样的几何图形?提示 由ρ=2cosθ得ρ2=2ρcosθ,即x2+y2=2x,即标准方程为x-12+y2=1,曲线为以1,0为圆心,半径为1的圆.[预习导引]
1.曲线与方程的关系在平面直角坐标系中,平面曲线C可以用方程fx,y=0表示,曲线与方程满足如下关系1曲线C上点的坐标都是方程fx,y=0的解;2以方程fx,y=0的解为坐标的点都在曲线C上.
2.曲线的极坐标方程一般地,在极坐标系中,如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程fρ,θ=0,并且坐标适合方程fρ,θ=0的点都在曲线C上,那么方程fρ,θ=0叫做曲线C的极坐标方程.
3.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r的圆ρ=r0≤θ2π圆心为r,0,半径为r的圆ρ=2rcos__θ圆心为,半径为r的圆ρ=2rsin__θ0≤θπ过极点,倾斜角为α的直线θ=α或θ=α+π过点a,0,与极轴垂直的直线ρcos__θ=a过点,与极轴平行的直线ρsin__θ=a0θπ要点一 圆的极坐标方程例1 求圆心在C处并且过极点的圆的极坐标方程,并判断点是否在这个圆上.解 如图,由题意知,圆经过极点O,OA为其一条直径,设Mρ,θ为圆上除点O,A以外的任意一点,则|OA|=2r,连接AM,则OM⊥MA.在Rt△OAM中,|OM|=|OA|cos∠AOM,即ρ=2rcos,∴ρ=-4sinθ,经验证,点O0,0,A的坐标满足上式.∴满足条件的圆的极坐标方程为ρ=-4sinθ.∵sin=,∴ρ=-4sinθ=-4sin=-2,∴点在此圆上.规律方法
1.求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤1建立适当的极坐标系本题无需建;2在曲线上任取一点Mρ,θ;3根据曲线上的点所满足的条件写出等式;4用极坐标ρ,θ表示上述等式,并化简得曲线的极坐标方程;5证明所得的方程是曲线的极坐标方程.一般只要对特殊点加以检验即可.
2.求曲线的极坐标方程,关键是找出曲线上的点满足的几何条件,并进行坐标表示.跟踪演练1 曲线C的直角坐标方程为x2+y2+2x=0,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为________.解析 直角坐标方程x2+y2-2x=0可化为x2+y2=2x,将ρ2=x2+y2,x=ρcosθ代入整理得ρ=2cosθ.答案 ρ=2cosθ要点二 射线或直线的极坐标方程例2 如图,在极坐标系中,直线l过M且该直线与极轴的正方向成,求此直线l的极坐标方程.解 法一 设直线上任意一点为Pρ,θ,在△OMP中∠OMP=+=π,∠MPO=θ-.根据正弦定理得=,即ρsin=.法二 设直线上任意一点为Pρ,θ,点M的直角坐标为0,3,直线MP的倾斜角为,∴直线l为y=x+3,化直角坐标方程为极坐标方程为ρsinθ=ρcosθ+3,∴ρsin=.规律方法 法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M所满足的等式,从而集中条件建立了以ρ,θ为未知数的方程;法二先求出直线的直角坐标方程,然后通过直角坐标向极坐标的转化公式间接得解,过渡自然,视角新颖,不仅优化了思维方式,而且简化了解题过程.跟踪演练2 求以A1,0为端点,倾斜角为且在极轴上方的射线的极坐标方程.解 由题意,设Mρ,θ为射线上任意一点,根据例题可知,ρsin=,化简得ρcosθ-sinθ=
1.经检验点A1,0的坐标适合上述方程.因此,以A为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程为ρcosθ-sinθ=
1.要点三 极坐标方程与直角坐标方程的互化例3 若曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ+4cosθ,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系.1求曲线C的直角坐标方程;2若直线ρsin=0与曲线C相交于A、B,求|AB|.解 1因为所以ρ2=x2+y2,由ρ=2sinθ+4cosθ,得ρ2=2ρsinθ+4ρcosθ,∴x2+y2-4x-2y=0,即x-22+y-12=
5.2由ρsin=0,得ρ=0,即ρsinθ-ρcosθ=0,∴x-y=
0.由于圆x-22+y-12=5的半径为r=,圆心2,1到直线x-y=0的距离为d==,∴|AB|=2=
3.规律方法
1.直角坐标方程化为极坐标方程,只需把公式x=ρcosθ及y=ρsinθ直接代入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形,构造形如ρcosθ,ρsinθ,ρ2的形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘以或同除以ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时,方程必须保持同解,因此应注意对变形过程的检验.
2.对方程进行合理变形,并注重公式的正向、逆向与变形使用.跟踪演练3 1将x2-y2=a2化为极坐标方程;2将ρ=2asinθ化为直角坐标方程.3将θ=化为直角坐标方程.解 1直接代入互化公式,ρ2cos2θ-ρ2sin2θ=a2,∴ρ2cos2θ=a2,这就是所求的极坐标方程.2两边同乘以ρ得ρ2=2a·ρsinθ.∴x2+y2=2ay,这就是要求的直角坐标方程.3tanθ=,∴tan==,化简得y=xx≥
0.要点四 极坐标方程的应用例4 从极点O作直线与另一直线lρcosθ=4相交于点M,在OM上取一点P,使|OM|·|OP|=
12.1求点P的轨迹方程;2设R为l上的任意一点,试求|RP|的最小值.解 1设动点P的极坐标为ρ,θ,M的极坐标为ρ0,θ,则ρρ0=
12.∵ρ0cosθ=4,∴ρ=3cosθ即为所求的轨迹方程.2将ρ=3cosθ化为直角坐标方程,得x2+y2=3x,即+y2=,知P的轨迹是以为圆心,半径为的圆.直经l的直角坐标方程是x=
4.结合图形易得|RP|的最小值为
1.规律方法
1.用极坐标法可使几何中的一些问题得出很直接、简单的解法.当然,因为建系的不同,曲线的极坐标方程也会不同.
2.解题时关键是极坐标要选取适当,这样可以简化运算过程,转化为直角坐标时也容易一些.跟踪演练4 在直角坐标系xOy中,直线C1x=-2,圆C2x-12+y-22=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.1求C1,C2的极坐标方程;2若直线C3的极坐标方程为θ=ρ∈R,设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.解 1因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以C1的极坐标方程为ρcosθ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=
0.2将θ=代入ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,得ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=.故ρ1-ρ2=,即|MN|=.因为C2的半径为1,所以△C2MN的面积为.
1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区别由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即ρ,θ,ρ,2π+θ,-ρ,π+θ,-ρ,-π+θ都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同,所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程ρ=θ,点M可以表示为或或等多种形式,其中,只有的极坐标满足方程ρ=θ.
2.求曲线的极坐标方程,就是在曲线上任找一点Mρ,θ,探求ρ,θ的关系,经常需利用三角形知识和正弦、余弦定理来求解.
1.极坐标方程分别为ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是 A.3B.C.1D.解析 极坐标方程化直角坐标方程为x2+y2=x和x2+y2=y,它们的圆心分别是,,圆心距是.答案 D
2.4ρsin2=5表示的曲线是 A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线解析 4ρsin2=5⇒4ρ=5⇒2ρ=2ρcosθ+
5.∵ρ=,ρcosθ=x,代入上式得2=2x+5,两边平方整理得y2=5x+,∴它表示的曲线为抛物线.答案 D
3.已知直线l的极坐标方程为2ρsin=,点A的极坐标为A,则点A到直线l的距离为________.解析 由2ρsin=得y-x=
1.∴x-y+1=
0.而点A对应直角坐标为A2,-2,则点A2,-2到直线x-y+1=0的距离为=.答案
4.设P,直线l经过P点且与极轴所成的角为,求直线l的极坐标方程.解 如图,设Mρ,θ为直线l上除P点外的任意一点,连接OM、OP,直线l交Ox于点A,则有|OM|=ρ,|OP|=2,∠xAM=,∠AOP=,故∠OPM=,∠MOP=θ-,所以有|OM|cos∠MOP=|OP|,即ρcos=2,显然P点也在这条直线上.∴直线l的极坐标方程为ρcos=
2.
一、基础达标
1.圆心在1,0且过极点的圆的极坐标方程为 A.ρ=1B.ρ=cosθC.ρ=2cosθD.ρ=2sinθ解析 圆的直角坐标方程是x-12+y2=1,将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入上式,整理得,ρ=2cosθ,即为此圆的极坐标方程.答案 C
2.在极坐标系中,圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为 A.θ=0ρ∈R和ρcosθ=2B.θ=ρ∈R和ρcosθ=2C.θ=ρ∈R和ρcosθ=1D.θ=0ρ∈R和ρcosθ=1解析 由ρ=2cosθ,得ρ2=2ρcosθ,化为直角坐标方程为x2+y2-2x=0,即x-12+y2=1,其垂直于极轴的两条切线方程为x=0和x=2,相应的极坐标方程为θ=ρ∈R和ρcosθ=
2.答案 B
3.极坐标方程ρ·sinθ=2sin2θ表示的曲线为 A.两条直线B.一条射线和一个圆C.一条直线和一个圆D.圆解析 由ρ·sinθ=2sin2θ,得ρsinθ=4sinθcosθ,即sinθρ-4cosθ=0,∴sinθ=0或ρ-4cosθ=
0.∴极坐标方程ρ·sinθ=2sin2θ表示的曲线为直线sinθ=0和圆ρ=4cosθ.答案 C
4.在极坐标系中,设圆Cρ=4cosθ与直线lθ=ρ∈R交于A,B两点,则以AB为直径的圆的极坐标方程为 A.ρ=2sinB.ρ=sinC.ρ=2cosD.ρ=cos解析 根据题意可得圆C的直角坐标方程为x2+y2=4x,直线l的直角坐标方程为y=x,联立两方程,解方程组可得交点的直角坐标为0,0,2,2,所以在直角坐标系中,以AB为直径的圆的圆心为1,
1、半径为,则方程为x2+y2=2x+2y,所以所求极坐标方程为ρ=2cosθ+sinθ=2sin.答案 A
5.在极坐标系ρ,θ0≤θ2π中,直线θ=被圆ρ=2sinθ截得的弦长是________.解析 直线为y=xx≥0,圆的方程为x2+y-12=1,交于原点和点A1,1,弦长为.答案
6.在极坐标系中,曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=
1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1与C2交点的直角坐标为________.解析 由2ρcos2θ=sinθ⇒2ρ2cos2θ=ρsinθ⇒2x2=y.又由ρcosθ=1⇒x=1,由⇒故曲线C1与C2交点的直角坐标为1,
2.答案 1,
27.已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin-4=0,求圆C的半径.解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O,以极轴为x轴的正半轴,建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为ρ2+2ρ-4=0,化简,得ρ2+2ρsinθ-2ρcosθ-4=
0.则圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x+2y-4=0,即x-12+y+12=6,所以圆C的半径为.
二、能力提升
8.下列点不在曲线ρ=cosθ上的是 A.B.C.D.解析 点的极坐标满足ρ=,θ=-π,且ρ≠cosθ=cos=-.答案 D
9.在极坐标系中与圆ρ=4sinθ相切的一条直线的方程为 A.ρcosθ=B.ρcosθ=2C.ρ=4sinD.ρ=4sin解析 极坐标方程ρ=4sinθ化为ρ2=4ρsinθ,即x2+y2=4y,即x2+y-22=
4.由所给的选项中ρcosθ=2知,x=2为其对应的直角坐标方程,该直线与圆相切.答案 B
10.在极坐标系中,曲线ρcos2θ=4sinθ的焦点的坐标为________.规定ρ≥0,0≤θ2π解析 易知曲线ρcos2θ=4sinθ的直角坐标方程为x2=4y,故该曲线焦点的直角坐标为0,1,极坐标为.答案
11.在极坐标系中,已知圆C经过点P,圆心为直线ρsin=-与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.解 在ρsin=-中,令θ=0,得ρ=1,所以圆C的圆心坐标为1,0,因为圆C的经过点P,所以圆C的半径PC==1,于是圆C过极点,所以圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ.
12.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρcos=1,M,N分别为C与x轴,y轴的交点.1写出C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标;2设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.解 1由ρcos=1,得ρ=
1.又x=ρcosθ,y=ρsinθ.∴曲线C的直角坐标方程为+y=1,即x+y-2=
0.当θ=0时,ρ=2,∴点M2,
0.当θ=时,ρ=,∴点N.2由1知,M点的坐标2,0,点N的坐标.又P为MN的中点,∴点P,则点P的极坐标为.所以直线OP的极坐标方程为θ=ρ∈R.
三、探究与创新
13.在极坐标系中,O为极点,已知圆C的圆心为,半径r=1,P在圆C上运动.1求圆C的极坐标方程;2在直角坐标系与极坐标系取相同的长度单位,且以极点O为原点,以极轴为x轴正半轴中,若Q为线段OP的中点,求点Q轨迹的直角坐标方程.解 1设圆C上任一点坐标为ρ,θ,由余弦定理得12=ρ2+22-2·2ρcos,所以圆的极坐标方程为ρ2-4ρcos+3=
0.2设Qx,y,则P2x,2y,由于圆C的直角坐标方程为x-12+y-2=1,P在圆C上,所以2x-12+2y-2=1,则Q的直角坐标方程为+=.四 柱坐标系与球坐标系简介[学习目标]
1.了解柱坐标系、球坐标系的意义.
2.掌握柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式.
3.能够根据空间坐标的转化解决某些问题.[知识链接]
1.要刻画空间一点的位置,就距离和角的个数来说有什么限制?提示 空间点的坐标都是三个数值,其中至少有一个是距离.
2.在柱坐标系中,方程ρ=1表示空间中的什么曲面?在球坐标系中,方程r=1分别表示空间中的什么曲面?提示 ρ=1表示以z轴为中心,以1为半径的圆柱面;球坐标系中,方程r=1表示球心在原点的单位球面.
3.空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系的联系和区别有哪些?提示 1柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景,柱坐标系中一点在平面xOy内的坐标是极坐标,竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同;球坐标系中,则以一点到原点的距离和两个角刻画点的位置.2空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系都是空间坐标系,空间点的坐标都是三个数值的有序数组.[预习导引]
1.柱坐标系如图所示,建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点,它在Oxy平面上的射影为Q,用ρ,θρ≥0,0≤θ2π表示点Q在平面Oxy上的极坐标,这时点P的位置可用有序数组ρ,θ,zz∈R表示.建立了空间的点与有序数组ρ,θ,z之间的一种对应关系,把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组ρ,θ,z叫做点P的柱坐标,记作Pρ,θ,z,其中ρ≥0,0≤θ2π,z∈R.
2.球坐标系建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点,连接OP,记|OP|=r,OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设P在Oxy平面上的射影为Q,Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ,这样点P的位置就可以用有序数组r,φ,θ表示.这样,空间的点与r,φ,θ之间建立了一种对应关系.把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系或空间极坐标系.有序数组r,φ,θ叫做点P的球坐标,记做Pr,φ,θ,其中r≥0,0≤φ≤π,0≤φ2π.要点一 将点的柱坐标化为直角坐标例1 将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标1;21,π,
0.解 1∵ρ,θ,z=,∴∴3,-3,-2为所求.2∵ρ,θ,z=1,π,0,∴∴-1,0,0为所求.规律方法
1.由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标,可以先设出点M的柱坐标为ρ,θ,z,代入变换公式求ρ;也可以利用ρ2=x2+y2,求ρ.利用tanθ=,求θ,在求θ的时候特别注意角θ所在的象限,从而确定θ的取值.
2.点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同.跟踪演练1 根据下列点的柱坐标,分别求直角坐标1;
2.解 设点的直角坐标为x,y,z.1因此所求点的直角坐标为-,1,
3.2故所求点的直角坐标为1,1,
5.要点二 将点的球坐标化为直角坐标例2 已知点M的球坐标为,求它的直角坐标.解 设点的直角坐标为x,y,z.则因此点M的直角坐标为-1,1,-.规律方法 根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系,首先要明确点的球坐标r,φ,θ中角φ,θ的边与数轴Oz,Ox的关系,注意各自的限定范围,即0≤φ≤π,0≤θ2π,化点的球坐标r,φ,θ为直角坐标x,y,z,需要运用公式转化为三角函数的求值与运算.跟踪演练2 根据下列点的球坐标,分别求其直角坐标1;
2.解 设点的直角坐标为x,y,z,1∵r,φ,θ=,∴∴1,-1,为所求.2∵r,φ,θ=,∴∴为所求.要点三 将点的直角坐标化为柱坐标或球坐标例3 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,如图建立空间直角坐标系Axyz,Ax为极轴,求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标.解 点C1的直角坐标为1,1,
1.设C1的柱坐标为ρ,θ,1,ρ==,tanθ==1,θ=,所以C1的柱坐标为,设C1的球坐标为r,φ,θ,其中r≥0,0≤φ≤π,0≤θ2π,由x=rsinφcosθ,y=rsinφsinθ,z=rcosφ,得r===.由z=rcosφ,∴cosφ=,φ=arccos,又tanθ==1,∴θ=,又ρ==,从而点C1的球坐标为,柱坐标为.规律方法
1.由直角坐标化为球坐标时,我们可以选设点M的球坐标为r,φ,θ,再利用变换公式求出r,θ,φ.
2.利用r2=x2+y2+z2,tanθ=,cosφ=,特别注意由直角坐标求球坐标时,应首先看明白点所在的象限,准确取值,才能无误.跟踪演练3 若本例中条件不变,求点C的柱坐标和球坐标.解 易知C的直角坐标为1,1,
0.设点C的柱坐标为ρ,θ,0,球坐标为r,φ,θ,其中0≤φ≤π,0≤θ2π.由于ρ===.又tanθ==1,∴θ=.因此点C的柱坐标为.由r===.∴cosφ==0,∴φ=.故点C的球坐标为.
1.空间点的坐标的确定1空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和竖坐标三度来确定的,即x,y,z.2空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的竖坐标组成的,即ρ,θ,z.3空间点的球坐标是点在Oxy平面上的射影和原点连线与x轴正方向所成的角θ,点和原点的连线与z轴的正方向所成的角φ,以及点到原点的距离组成的即r,φ,θ.注意求坐标的顺序为
①到原点的距离r;
②与z轴正方向所成的角φ;
③与x轴正方向所成的角θ.
2.柱坐标系又称半极坐标系,它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的,空间任一点P的位置可以用有序数组ρ,θ,z表示,ρ,θ是点P在Oxy平面上的射影Q的极坐标,z是P在空间直角坐标系中的竖坐标.
1.在空间直角坐标系Oxyz中,方程x=1表示 A.点B.直线C.平面D.以上都不对解析 由空间点的直角坐标的定义知,方程x=1表示与x轴垂直且到原点的距离为1的平面.答案 C
2.在球坐标系中,方程r=2表示 A.圆B.半圆C.球面D.半球面解析 由空间点的球坐标的定义可知,方程r=2表示半球面.答案 D
3.若点M的柱坐标为,则它的直角坐标为______.解析 ∵M点的柱面坐标为M,设点M的直角坐标为x,y,z,∴即∴点M的直角坐标为-,1,-
1.答案 -,1,-
14.设点M的直角坐标为1,1,,求点M的柱坐标和球坐标.解 由坐标变换公式,可得ρ==,tanθ==1,θ=点1,1在平面xOy的第一象限,r===
2.由rcosφ=z=,得cosφ==,φ=.∴点M的柱坐标为,球坐标为.
一、基础达标
1.在空间直角坐标系中,点P的柱坐标为,P在xOy平面上的射影为Q,则Q点的坐标为 A.2,0,3B.C.D.解析 由点的空间柱坐标的意义可知,选B.答案 B
2.空间直角坐标系Oxyz中,下列柱坐标对应的点在平面yOz内的是 A.B.C.D.解析 由Pρ,θ,z,当θ=时,点P在平面yOz内.答案 A
3.设点M的直角坐标为2,0,2,则点M的柱坐标为 A.2,0,2B.2,π,2C.,0,2D.,π,2解析 设点M的柱坐标为ρ,θ,z,∴ρ==2,tanθ==0,∴θ=0,z=
2.∴点M的柱坐标为2,0,
2.答案 A
4.若点M的球坐标为,则它的直角坐标为 A.-6,2,4B.6,2,4C.-6,-2,4D.-6,2,-4解析 由x=8sincos=-6,y=8sinsin=2,z=8cos=4,得点M的直角坐标为-6,2,
4.答案 A
5.已知点M的球坐标为,则点M到Oz轴的距离为________.解析 设M的直角坐标为x,y,z,则由r,φ,θ=,知x=4sincosπ=-2,y=4sinsinπ=2,z=rcosφ=4cos=
2.∴点M的直角坐标为-2,2,
2.故点M到Oz轴的距离=
2.答案
26.已知点P1的球坐标是P1,P2的柱坐标是P2,则|P1P2|=________.解析 点P1的直角坐标为2,-2,0点P2的直角坐标为,1,1,由两点距离公式得|P1P2|=.答案
7.已知点P的柱坐标为,点B的球坐标为,求这两个点的直角坐标.解 设点P的直角坐标为x,y,z,则x=4cos=4×=-2,y=4sin=4×=2,z=-.设点B的直角坐标为x,y,z,则x=8sincos=8××=2,y=8sinsin=8××=2,z=8cos=8×=
4.所以点P的直角坐标为-2,2,-,点B的直角坐标为2,2,
4.
二、能力提升
8.已知点P的柱坐标为,点B的球坐标为,则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为 A.P点5,1,1,B点B.P点1,1,5,B点C.P点,B点1,1,5D.P点1,1,5,B点解析 设P点的直角坐标为x,y,z,x=·cos=·=1,y=·sin=1,z=
5.设B点的直角坐标为x,y,z,x=·sin·cos=··=,y=·sin·sin=··=,z=·cos=·=.所以,点P的直角坐标为1,1,5,点B的直角坐标为.答案 B
9.在球坐标系中,方程r=1表示____________,方程φ=表示空间的____________.答案 球心在原点,半径为1的球面 顶点在原点,中心轴为z轴,轴截面顶角为的上半个圆锥面
10.已知柱坐标系Oxyz中,若点M的柱坐标为,则|OM|=________.解析 ∵ρ,θ,z=,设M的直角坐标为x,y,z,则x2+y2=ρ2=4,∴|OM|===
3.答案
311.在球坐标系中,求两点P,Q的距离.解 设P,Q两点球坐标转化为直角坐标.设点P的直角坐标为x,y,z,x=3sincos=,x=3sinsin=,z=3cos=3×=.∴P.设点Q的直角坐标为x1,y1,z1,x1=3sincos=-,y1=3sinsin=,z1=3cos=.∴点Q.∴|PQ|==.即P,Q两点间的距离为.
12.在柱坐标系中,求满足的动点Mρ,θ,z的围成的几何体的体积.解 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知,满足ρ=1,0≤θ2π,0≤z≤2的动点Mρ,θ,z的轨迹如图所示,是以直线Oz为轴,轴截面为正方形的圆柱,圆柱的底面半径r=1,h=2,∴V=Sh=πr2h=2π.
三、探究与创新
13.在赤道平面上,我们选取地球球心O为极点,以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴,建立坐标系.有A、B两个城市,它们的球坐标分别为A、B,飞机从A到B应该走怎样的航线最快?所走的路程有多远?解 如图所示,∵A、B,∴∠AOO1=∠BOO1=.设赤道面上与A、B经度相同的点分别为C、D,x轴与赤道大圆的交点为E,则∠EOC=,∠EOD=,∴∠COD=-=.∴∠AO1B=∠COD=.在Rt△OO1B中,∠O1BO=,OB=R,∴O1B=R,同理O1A=R.∵∠AO1B=,∴AB=R.在△AOB中,AB=OB=OA=R,∴∠AOB=.则经过A、B两地的球面距离为R.答走经过A、B两地的大圆,飞机航线最短,其距离为R.讲末复习
1.平面直角坐标系中的伸缩变换设点Px,y是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ的作用下,点Px,y对应到点P′x′,y′,称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
2.极坐标系1在平面上取一个定点O,由O点出发的一条射线Ox,一个长度单位及计算角度的正方向通常取逆时针方向,合称为一个极坐标系.O点称为极点,Ox称为极轴.平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画如图所示.这两个数组成的有序数对ρ,θ称为点M的极坐标.ρ称为极径,θ称为极角.2极坐标与直角坐标的互化设M为平面上的一点,它的直角坐标为x,y,极坐标为ρ,θ.由图可知下面的关系式成立或顺便指出,上式对ρ0也成立.这就是极坐标与直角坐标的互化公式.3圆的极坐标方程
①圆心在极点,半径为r的圆的极坐标方程为ρ=r.
②圆心在极轴上的点a,0处,且圆过极点O的圆的极坐标方程为ρ=2acosθ,
③圆心在点处且过极点的圆的极坐标方程为ρ=2asinθ,0≤θπ.题型一 伸缩变换平面图形的伸缩变换可由坐标伸缩变换来实现,在使用坐标变换公式时,一定要分清变换前后的新旧坐标.例1 在平面直角坐标系中,已知伸缩变换φ求直线l y=-3x经过φ变换后所得直线l′的方程.解 设P′x′,y′是直线l′上任意一点.由伸缩变换φ得代入y=-3x,得3y′=-3×2x′,∴y′=-2x′为所求直线l′的方程.因此变换后直线l′的方程为2x+y=
0.跟踪演练1 在同一平面直角坐标系中,使曲线y=2sin3x变为曲线y′=sinx′的伸缩变换是________.解析 将曲线y=2sin3x变为曲线y′=sinx′,横坐标变为原来的3倍,纵坐标变为原来的.因此伸缩变换为答案 题型二 极坐标与直角坐标的互化互化的前提是把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位,互化公式为x=ρcosθ,y=ρsinθρ2=x2+y2,tanθ=x≠0直角坐标方程化为极坐标方程可直接将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入即可.而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为ρcosθ,ρsinθ的整体形式.然后用x,y代表较为方便,常常两边同乘以ρ即可达到目的,但要注意变形的等价性.例2 已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρcosθ=1,ρ=4cosθ,则曲线C1与C2交点的极坐标为________.解析 由曲线C1的极坐标方程ρcosθ=1,可得x=
1.曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθρ≥0,0≤θ可得ρ2=4ρcosθ,即可得到x2+y2=4x.联立解得即交点1,.∴ρ==2,tanθ=,0≤θ,取θ=,故答案为.答案 跟踪演练2 设⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ=4cosθ,ρ=-4sinθ.1把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程;2求经过⊙O1,⊙O2交点的直线的直角坐标方程.解 以极点为原点,极轴为x轴的非负半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.1x=ρcosθ,y=ρsinθ,由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ,所以x2+y2=4x,即x2+y2-4x=0为⊙O1的直角坐标方程.同理x2+y2+4y=0为⊙O2的直角坐标方程.2法一 由解得或,即⊙O1,⊙O2交于点0,0和2,-
2.过交点的直线的直角坐标方程为y=-x.法二 由两式相减得-4x-4y=
0.即过交点的直线的直角坐标方程为y=-x.题型三 求曲线的极坐标方程求曲线的极坐标的方法和步骤,和求直角坐标方程类似,就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹,将已知条件用曲线上的极坐标ρ,θ的关系式fρ,θ=0表示出来,就得到曲线的极坐标方程.例3 求圆心为C,半径为3的圆的极坐标方程.解 如图,设圆上任一点为Pρ,θ,则|OP|=ρ,∠POA=θ-,|OA|=2×3=
6.在Rt△POA中,|OP|=|OA|cos∠POA,则ρ=6cos,即圆的极坐标方程为ρ=6cos,可验证,点O,A满足上式.跟踪演练3 已知定点Aa,0,动点P对极点O和点A的张角∠OPA=.在OP的延长线上取点Q,使|PQ|=|PA|.当P在极轴上方运动时,求点Q的轨迹的极坐标方程.解 设Q,P的坐标分别是ρ,θ,ρ1,θ1,则θ=θ
1.在△POA中,ρ1=·sin,|PA|=,又|OQ|=|OP|+|PA|,∴ρ=2acos.题型四 曲线的极坐标方程的求解与应用应用曲线的极坐标方程处理相关问题要注意以下几点1极坐标的基本概念.2常见曲线的极坐标方程形式.3有必要时把极坐标方程化为直角坐标方程,体现了转化与化归思想.4注意变量的范围.例4 将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.1写出C的方程;2设直线l2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.解 1设x1,y1为圆上的点,在已知变换下变为曲线C上的点x,y,依题意,得由x+y=1得x2+=1,即曲线C的方程为x2+=
1.2由解得或不妨设P11,0,P20,2,则线段P1P2的中点坐标为,所求直线斜率为k=,于是所求直线方程为y-1=,化为极坐标方程,并整理得2ρcosθ-4ρsinθ=-3,即ρ=.跟踪演练4 已知极坐标方程C1ρ=10,C2ρsin=6,1化C
1、C2的极坐标方程为直角坐标方程,并分别判断曲线形状;2求C
1、C2交点间的距离.解 1由C1ρ=10,得ρ2=100,∴x2+y2=100,所以C1为圆心在0,0,半径等于10的圆.由C2ρsin=6,得ρ=
6.∴y-x=12,即x-y+12=
0.所以C2表示直线.2由于圆心0,0到直线x-y+12=0的距离为d==6r=10,故直线与圆相交.所以直线l被圆截得的弦长为2=2=
16.本讲重点考查极坐标与直角坐标的互化以及圆的极坐标问题.复习本讲时,要抓住极坐标与直角坐标互化公式这个关键点,这样就可以把极坐标问题转化为直角坐标问题解决,同时复习以基础知识、基本方法为主.讲末检测
一、选择题
1.将曲线y=sin2x按照伸缩变换后得到的曲线方程为 A.y=3sinxB.y=3sin2xC.y=3sinxD.y=sin2x解析 由伸缩变换,得x=,y=.代入y=sin2x,有=sinx′,即y′=3sinx′.∴变换后的曲线方程为y=3sinx.答案 A
2.在极坐标系中有如下三个结论
①点P在曲线C上,则点P的极坐标满足曲线C的极坐标方程;
②tanθ=1与θ=表示同一条曲线;
③ρ=3与ρ=-3表示同一条曲线.在这三个结论中正确的是 A.
①③B.
①C.
②③D.
③解析 点P在曲线C上要求点P的极坐标中至少有一个满足C的极坐标方程;tanθ=1能表示θ=和θ=π两条射线;ρ=3和ρ=-3都表示以极点为圆心,以3为半径的圆,∴只有
③成立.答案 D
3.在极坐标系中,已知两点A、B的极坐标分别为,,则△AOB其中O为极点的面积为 A.1B.2C.3D.4解析 如右图所示,OA=3,OB=4,∠AOB=,所以S△AOB=×3×4×=
3.答案 C
4.在极坐标系中,点A与B之间的距离为 A.1B.2C.3D.4解析 由A与B,知∠AOB=,∴△AOB为等边三角形,因此|AB|=
2.答案 B
5.极坐标方程ρ2-ρ2+sinθ+2sinθ=0表示的图形为 A.一个圆与一条直线B.一个圆C.两个圆D.两条直线解析 将所给方程进行分解,可得ρ-2·ρ-sinθ=0,即ρ=2或ρ=sinθ,化成直角坐标方程分别是x2+y2=4和x2+y2-y=0,可知分别表示圆.答案 C
6.直线ρcosθ+2ρsinθ=1不经过 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析 由ρcosθ+2ρsinθ=1,得x+2y=1,∴直线x+2y=1,不过第三象限.答案 C
7.点M的直角坐标为,1,-2,则它的球坐标为 A.B.C.D.解析 设M的球坐标为r,φ,θ,则解得答案 A
8.若点P的柱坐标为,则P到直线Oy的距离为 A.1B.2C.D.解析 由于点P的柱坐标为ρ,θ,z=,故点P在平面xOy内的射影Q到直线Oy的距离为ρcos=,可得P到直线Oy的距离为.答案 D
9.已知点A是曲线ρ=2cosθ上任意一点,则点A到直线ρsin=4的距离的最小值是 A.1B.C.D.解析 曲线ρ=2cosθ,即x-12+y2=1,表示圆心在1,0,半径等于1的圆,直线ρsin=4,即x+y-8=0,圆心1,0到直线的距离等于=,所以点A到直线ρsin=4的距离的最小值是-1=.答案 C
10.在极坐标系中,直线θ=ρ∈R截圆ρ=2cos所得弦长是 A.1B.2C.3D.4解析 化圆的极坐标方程ρ=2cos为直角坐标方程得+=1,圆心坐标为,半径长为1,化直线θ=ρ∈R的直角坐标方程为x-y=0,由于-×=0,即直线x-y=0,过圆+=1的圆心,故直线θ=ρ∈R截圆ρ=2cos所得弦长为
2.答案 B
二、填空题
11.在极坐标系中,直线ρcosθ-ρsinθ-1=0与圆ρ=2cosθ交于A,B两点,则|AB|=________.解析 直线的直角坐标方程为x-y-1=0,圆的直角坐标方程为x2+y2=2x,即x-12+y2=
1.圆心坐标为1,0,半径r=
1.点1,0在直线x-y-1=0上,所以|AB|=2r=
2.答案
212.曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为________.解析 设曲线C的极坐标方程为代入直角坐标方程可得ρ2cos2θ+ρ2sin2θ-2ρcosθ=0,化简整理得ρ=2cosθ.答案 ρ=2cosθ
13.直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为________.解析 直线2ρcosθ=1可化为2x=1,即x=,圆ρ=2cosθ两边同乘ρ得ρ2=2ρcosθ,化为直角坐标方程是x2+y2=2x,即x-12+y2=1,其圆心为1,0,半径为1,∴弦长为2×=.答案
14.在极坐标系中,P是曲线ρ=12sinθ上的动点,Q是曲线ρ=12cos上的动点,则PQ的最大值为______.解析 ∵ρ=12sinθ,∴ρ2=12ρsinθ,∴x2+y2-12y=0,即x2+y-62=
36.又∵ρ=12cos,∴ρ2=12ρ,∴x2+y2-6x-6y=0,∴x-32+y-32=36,∴|PQ|max=6+6+=
18.答案 18
三、解答题
15.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C变为曲线x′-52+y′+62=1,求曲线C的方程,并判断其形状.解 将代入x′-52+y′+62=1,得2x+52+2y+62=1,即+y+32=,故曲线C是以为圆心,半径为的圆.
16.已知曲线C1的极坐标方程为ρcos=-1,曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos,判断两曲线的位置关系.解 将曲线C1,C2化为直角坐标方程得C1x+y+2=0,C2x2+y2-2x-2y=0,即C2x-12+y-12=2,圆心到直线的距离d==,∴曲线C1与C2相离.
17.1在极坐标系中,求以点1,1为圆心,半径为1的圆C的方程;2将上述圆C绕极点逆时针旋转得到圆D,求圆D的方程.解 1设Mρ,θ为圆上任意一点,如图,圆C过极点O,∠=θ-1,作CK⊥OM于K,则ρ=|OM|=2|OK|=2cosθ-1,∴圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ-
1.2将圆Cρ=2cosθ-1按逆时针方向旋转得到圆Dρ=2cos,即ρ=2sinθ-
1.
18.在极坐标系中,极点为O,已知曲线C1ρ=2与曲线C2ρsin=交于不同的两点A,B.1求|AB|的值;2求过点C1,0且与直线AB平行的直线l的极坐标方程.解 1法一∵ρ=2,∴x2+y2=
4.又∵ρsin=,∴y=x+
2.∴|AB|=2=2=
2.法二 设Aρ,θ1,Bρ,θ2,θ1,θ2∈[0,2π,则sin=,sin=,∵θ1,θ2∈[0,2π,∴|θ1-θ2|=,即∠AOB=,又|OA|=|OB|=2,∴|AB|=
2.2法一 ∵曲线C2的斜率为1,∴过点1,0且与曲线C2平行的直线l的直角坐标方程为y=x-1,∴直线l的极坐标为ρsinθ=ρcosθ-1,即ρcos=.法二 设点Pρ,θ为直线l上任一点,因为直线AB与极轴成的角,则∠PCO=或∠PCO=,当∠PCO=时,在△POC中,|OP|=ρ,|OC|=1,∠POC=θ,∠PCO=,∠OPC=-θ,由正弦定理可知=,即ρsin=,即直线l的极坐标方程为ρsin=.同理,当∠PCO=极坐标方程也为ρsin=.当P为点C时显然满足ρsin=.综上,所求直线l的极坐标方程为ρsin=.。