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2019版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形
3.7解三角形应用举例学案文[知识梳理]实际问题中的常用术语[诊断自测]1.概念思辨1方位角α的大小范围是0°≤α360°,方向角β的大小范围一般是0°≤β90°. 2如图1,为了测量隧道口AB的长度,测量时应当测量数据a,b,γ. 3从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α+β=180°. 4如图2,DC=a,从C,D两点测得点A的仰角分别为β和α,则能求出AB的长. 答案 1√ 2√ 3× 4√ 2.教材衍化1必修A5P19T3若点A在点C的北偏东30°,点B在点C的南偏东60°,且AC=BC,则点A在点B的 A.北偏东15°B.北偏西15°C.北偏东10°D.北偏西10°答案 B解析 如图所示,∠ACB=90°,又AC=BC,∴∠CBA=45°,而β=30°,∴α=90°-45°-30°=15°.∴点A在点B的北偏西15°.故选B.2必修A5P19T7如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机的高度为海拔18km,速度为1000km/h,飞行员先看到山顶的俯角为30°,经过1min后又看到山顶的俯角为75°,则山顶的海拔高度为精确到
0.1km,参考数据≈
1.732 A.
11.4kmB.
6.6kmC.
6.5kmD.
5.6km答案 B解析 ∵AB=1000×=km,∴BC=·sin30°=km.∴航线离山顶h=×sin75°=×sin45°+30°≈
11.4km.∴山高为18-
11.4=
6.6km.故选B.3.小题热身1在某次测量中,在A处测得同一平面方向的B点的仰角是50°,且到A的距离为2,C点的俯角为70°,且到A的距离为3,则B,C间的距离为 A.B.C.D.答案 D解析 ∵∠BAC=120°,AB=2,AC=3,∴BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC=4+9-2×2×3cos120°=
19.∴BC=.故选D.2xx·大同模拟江岸边有一炮台高30m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则两条船相距______m.答案 10解析 如图,OM=AOtan45°=30m,ON=AOtan30°=×30=10m,在△MON中,由余弦定理,得MN===10m.题型1 测量距离问题 xx·荔湾区期末某电力部门需在A,B两地之间架设高压电线,因地理条件限制,不能直接测量A,B两地距离.现测量人员在相距km的C,D两地假设A,B,C,D在同一平面上测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°如图,假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因,实际所须电线长度为A,B距离的倍,问施工单位应该准备多长的电线?理清已知量、待求量,构造一个或几个三角形,利用正、余弦定理求解.解 在△ACD中,∵∠ADC=30°,∠ACD=75°+45°=120°,∴∠CAD=30°,∴AC=CD=,在△BCD中,∵∠BDC=30°+45°=75°,∠BCD=45°,∴∠CBD=60°,由正弦定理得=,∴BC===.在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB=3+2-2××=5,∴AB=.故施工单位应该准备电线长为×=5km.方法技巧距离问题的常见类型及解法1.类型测量距离问题常分为三种类型山两侧、河两岸、河对岸.2.解法选择合适的辅助测量点,构造三角形,将实际问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解.提醒解三角形时,为避免误差的积累,应尽可能用已知的数据原始数据,少用间接求出的量.冲关针对训练如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A,B两点的距离为 A.50mB.50mC.25mD.m答案 A解析 由题意,得B=30°.由正弦定理,得=,∴AB===50m.故选A.题型2 测量高度问题 xx·郑州一中月考如图所示,在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α,在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h,求山高CD.竖直面内更易构造直角三角形,同时根据条件适当构造斜三角形解决问题.解 由已知得,∠BCA=90°+β,∠ABC=90°-α,∠BAC=α-β,∠CAD=β.在△ABC中,由正弦定理得=,即=,∴AC==.在Rt△ACD中,CD=ACsin∠CAD=ACsinβ=.故山高CD为.方法技巧求解高度问题的三个关注点1.在处理有关高度问题时,要理解仰角、俯角在铅垂面上所成的角、方向位角在水平面上所成的角是关键.2.在实际问题中,可能会遇到空间与平面地面同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错.3.注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题.如典例.冲关针对训练xx·武汉模拟为了应对日益严重的气候问题,某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器,这种仪器可以弹射到空中进行气象观测.如图所示,A,B,C三地位于同一水平面上,这种仪器在C地进行弹射实验,观测点A,B两地相距100米,∠BAC=60°.在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒.在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°.1求A,C两地的距离;2求这种仪器的垂直弹射高度HC已知声音的传播速度为340米/秒.解 1由题意,设AC=x,因为在A地听到弹射声音的时间比B地晚秒,所以BC=x-×340=x-40,在△ABC内,由余弦定理得BC2=CA2+BA2-2BA·CA·cos∠BAC,即x-402=x2+10000-100x,解得x=
420.所以A,C两地的距离为420米.2在Rt△ACH中,AC=420,∠CAH=30°,所以CH=AC·tan∠CAH=140米.所以该仪器的垂直弹射高度CH为140米.题型3 测量角度问题 如图,缉私船在A处测出某走私船在方位角为45°,距离为10海里的C处,并测得走私船正沿方位角165°的方向以9海里/时的速度沿直线方向航行,我缉私船立即以v海里/时的速度沿直线方向前去截获.1若v=21,求缉私船的航向和截获走私船所需的时间;2若缉私船有两种不同的航向均能成功截获走私船,求v的取值范围.根据题意画图,将实际问题抽象转化成解三角形问题.解 1设缉私船截获走私船所需的时间为th,依题意,得∠ACB=60°,在△ABC中,由正弦定理,得sin∠CAB=sin∠ACB=sin60°=,所以∠CAB≈22°,从而方位角为45°+22°=67°,在△ABC中,由余弦定理得,vt2=9t2+102-2×9t×10cos60°,当v=21时,36t2+9t-10=0,解得t=负值已舍.即缉私船的航向约为方位角67°,截获走私船所需时间为h.2由1知,vt2=9t2+102-2×9t×10cos60°.即v2=81+-,令x=0,因为缉私船有两种不同的航向均能成功截获走私船,所以关于x的方程100x2-90x+81-v2=0必有两个不同的正实根.所以解得v
9.方法技巧解决测量角度问题的三个注意事项1.测量角度时,首先应明确方位角及方向角的含义.2.求角的大小时,先在三角形中求出其正弦或余弦值.3.在解应用题时,要根据题意正确画出示意图,通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题,解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点.见典例.冲关针对训练如图所示,A,B是海面上位于东西方向相距53+海里的两个观测点.现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D点需要多长时间?解 由题意知AB=53+海里,∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°-45°=45°,∴∠ADB=180°-45°+30°=105°,在△DAB中,由正弦定理,得=,∴DB=====10海里,又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+90°-60°=60°,BC=20海里.在△DBC中,由余弦定理,得CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠DBC=300+1200-2×10×20×=
900.∴CD=30海里,则需要的时间t==1小时.1.xx·长沙模拟某人在C点测得塔底O在南偏西80°,塔顶A的仰角为45°,此人沿南偏东40°方向前进10米到D处,测得塔顶A的仰角为30°,则塔高为 A.15米B.5米C.10米D.12米答案 C解析 如图,设塔高为h,在Rt△AOC中,∠ACO=45°,则OC=OA=h.在Rt△AOD中,∠ADO=30°,则OD=h.在△OCD中,∠OCD=120°,CD=10,OD2=OC2+CD2-2OC·CDcos∠OCD,即h2=h2+102-2h×10cos120°,∴h2-5h-50=0,解得h=10或h=-5舍去.故选C.2.xx·广东五校联考如图所示,在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一个高度为25m的建筑物CD,为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ,在山坡的A处测得∠DAC=15°,沿山坡前进50m到达B处,又测得∠DBC=45°,根据以上数据可得cosθ=________.答案 -1解析 由∠DAC=15°,∠DBC=45°可得∠BDA=30°,∠DBA=135°,∠BDC=90°-15°+θ-30°=45°-θ,由内角和定理可得∠DCB=180°-45°-θ-45°=90°+θ,根据正弦定理可得=.即DB=100sin15°=100sin45°-30°=25-1,又=,即=,得到cosθ=-
1.3.xx·湖北高考如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=________m.答案 100解析 依题意有AB=600,∠CAB=30°,∠CBA=180°-75°=105°,∠DBC=30°,DC⊥CB.∴∠ACB=45°,在△ABC中,由=,得=,有CB=300,在Rt△BCD中,CD=CB·tan30°=100,则此山的高度CD=100m.4.xx·四川高考如图所示,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是46m,则河流的宽度BC约等于________m.用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据sin67°≈
0.92,cos67°≈
0.39,sin37°≈
0.60,cos37°≈
0.80,≈
1.73答案 60解析 不妨设气球A在地面的投影为点D,则AD=46m,于是BD=AD·tan90°-67°=46×≈
19.5m,DC=AD·tan90°-30°=46×≈
79.6m,∴BC=DC-BD=
79.6-
19.5≈60m.[基础送分提速狂刷练]
一、选择题
1.如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的 A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东80°D.南偏西80°答案 D解析 由条件及题图可知,∠A=∠B=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.故选D.2.xx·武汉模拟海面上有A,B,C三个灯塔,AB=10nmile,从A望C和B成60°视角,从B望C和A成75°视角,则BC= A.10nmileB.nmileC.5nmileD.5nmile答案 D解析 由题意可知,∠CAB=60°,∠CBA=75°,所以∠C=45°,由正弦定理得=,所以BC=
5.故选D.3.xx·宜宾模拟一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是 A.10海里B.10海里C.20海里D.20海里答案 A解析 如图所示,易知,在△ABC中,AB=20海里,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根据正弦定理,得=,解得BC=10海里.故选A.4.xx·黄梅期中如图,一栋建筑物AB的高为30-10m,在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD,在它们之间的地面上点MB,M,D三点共线处测得楼顶A,塔顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°,则通信塔CD的高为 A.30mB.60mC.30mD.40m答案 B解析 设AE⊥CD,垂足为E,则在△AMC中,AM==20,∠AMC=105°,∠ACM=30°,∴=,∴AC=60+20,∴CE=30+10,∴CD=30-10+30+10=
60.故选B.5.如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=
0.6km,一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB=1km,水的流速为2km/h,若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6min,则客船在静水中的速度为 A.8km/hB.6km/hC.2km/hD.10km/h答案 B解析 设AB与河岸线所成的角为θ,客船在静水中的速度为vkm/h,由题意知,sinθ==,从而cosθ=,∵客船从码头A到B所用的最短时间为6min,∴客船实际航行速度为1÷=10km/h.在△ABE中,由余弦定理得AE2=AB2+EB2-2AB·EB·cosθ,即v2=102+22-2×10×2×=72,解得v=6km/h.故选B.6.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°,沿点A向北偏东30°前进100m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度是 A.50mB.100mC.120mD.150m答案 A解析 设水柱高度是hm,水柱底端为C,则在△ABC中,A=60°,AC=h,AB=100,BC=h,根据余弦定理得,h2=h2+1002-2·h·100·cos60°,即h2+50h-5000=0,即h-50h+100=0,即h=50,故水柱的高度是50m.故选A.7.xx·临沂质检在200m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底俯角分别为30°、60°,则塔高为 A.mB.mC.mD.m答案 A解析 如图,由已知可得∠BAC=30°,∠CAD=30°,∴∠BCA=60°,∠ACD=30°,∠ADC=120°,又AB=200,∴AC=.在△ACD中,由正弦定理,得=,即DC==m.故选A.
8.xx·广州调研如图所示长为
3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处
1.4m的地面上,另一端B在离堤足C处
2.8m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tanα等于 A.B.C.D.答案 A解析 由题意,可得在△ABC中,AB=
3.5m,AC=
1.4m,BC=
2.8m,且∠α+∠ACB=π.由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB,即
3.52=
1.42+
2.82-2×
1.4×
2.8×cosπ-α,解得cosα=,所以sinα=,所以tanα==.故选A.9.xx·长春模拟某观察站B在A城的南偏西20°的方向,由A出发的一条公路的走向是南偏东25°.现在B处测得此公路上距B处30km的C处有一人正沿此公路骑摩托车以40km/h的速度向A城驶去,行驶了15min后到达D处,此时测得B与D之间的距离为8km,则此人到达A城还需要 A.40minB.42minC.48minD.60min答案 C解析 由题意可知,CD=40×=10,∠BAD=45°,cos∠BDC==-,∴cos∠ADB=cosπ-∠BDC=,∴sin∠ABD=sin[π-∠ADB+∠BAD]=.在△ABD中,由正弦定理得=,∴=,∴AD=32,∴所需时间t==
0.8h,∴此人还需要
0.8h即48min到达A城.故选C.10.xx·浙江高考如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角θ的大小仰角θ为直线AP与平面ABC所成角.若AB=15m,AC=25m,∠BCM=30°,则tanθ的最大值是 A.B.C.D.答案 D解析 由题意,在Rt△ABC中,sin∠ACB===,则cos∠ACB=.作PH⊥BC,垂足为H,连接AH,如图所示.设PH=x,则CH=x,在△ACH中,由余弦定理,得AH==,tan∠PAH==,故当=时,tanθ取得最大值,最大值为.故选D.
二、填空题11.某同学骑电动车以24km/h的速度沿正北方向的公路行驶,在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30°方向上,15min后到点B处,测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上,则点B与电视塔的距离是________km.答案 3解析 如题图,由题意知AB=24×=6,在△ABS中,∠BAS=30°,AB=6,∠ABS=180°-75°=105°,∴∠ASB=45°,由正弦定理知=,∴BS==
3.12.xx·潍坊模拟校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为10m如图所示,旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌时长为50s,升旗手应以________m/s的速度匀速升旗.答案
0.6解析 依题意可知∠AEC=45°,∠ACE=180°-60°-15°=105°,∴∠EAC=180°-45°-105°=30°.由正弦定理可知=,∴AC=·sin∠CEA=20m.∴在Rt△ABC中,AB=ACsin∠ACB=20×=30m.∵国歌时长为50s,∴升旗速度为=
0.6m/s.13.xx·浙江适应性考试如图所示,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的A,B,C三点进行测量,已知AB=50m,BC=120m,于A处测得水深AD=80m,于B处测得水深BE=200m,于C处测得水深CF=110m,∠DEF的余弦值为________.答案 解析 作DM∥AC交BE于N,交CF于M.DF===10,DE===130,EF===
150.在△DEF中,由余弦定理,得cos∠DEF===.14.xx·尖山区校级期中设甲、乙两楼相距10m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°,从甲楼顶望乙楼顶的仰角为30°,则甲、乙两楼的高分别是________.答案 10m,m解析 设甲,乙两楼为AB,CD,由题意可知BC=10,∠ACB=60°,∠DAE=30°,∵tan∠ACB==,∴AB=10,由AE=BC=10,tan∠DAE==,∴DE=,∴CD=CE+DE=AB+DE=.
三、解答题15.xx·哈尔滨模拟“德是”号飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员救出,地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心记为B,C,D.当返回舱在距地面1万米的P点时假定以后垂直下落,并在A点着陆,C救援中心测得飞船位于其南偏东60°方向,仰角为60°,B救援中心测得飞船位于其南偏西30°方向,仰角为30°,D救援中心测得着陆点A位于其正东方向.1求B,C两救援中心间的距离;2求D救援中心与着陆点A间的距离.解 1由题意知PA⊥AC,PA⊥AB,则△PAC,△PAB均为直角三角形.在Rt△PAC中,PA=1,∠PCA=60°,解得AC=,在Rt△PAB中,PA=1,∠PBA=30°,解得AB=,又∠CAB=90°,BC==万米.2sin∠ACD=sin∠ACB=,cos∠ACD=-,又∠CAD=30°,所以sin∠ADC=sin30°+∠ACD=,在△ADC中,由正弦定理,=,得AD==万米.16.xx·南昌模拟某广场有一块不规则的绿地如图所示,城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志,小李、小王设计的底座形状分别为△ABC,△ABD,经测量AD=BD=7米,BC=5米,AC=8米,∠C=∠D.1求AB的长度;2若环境标志的底座每平方米造价为5000元,不考虑其他因素,小李、小王谁的设计使建造费用较低请说明理由?较低造价为多少?=
1.732,=
1.414解 1在△ABC中,由余弦定理,得cosC==.在△ABD中,由余弦定理,得cosD==.由∠C=∠D,得cosC=cosD.∴AB=7,∴AB长为7米.2小李的设计建造费用较低,理由如下S△ABD=AD·BD·sinD,S△ABC=AC·BC·sinC.∵AD·BDAC·BC,∴S△ABDS△ABC.故选择△ABC建造环境标志费用较低.∵AD=BD=AB=7,∴△ABD是等边三角形,∠D=60°,∴S△ABC=AC·BC·sinC=10=10×
1.732=
17.
32.∴总造价为5000×
17.32=86600元.。
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