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2019版高考数学一轮复习第9章统计与统计案例
9.2用样本估计总体学案文[知识梳理]1．用样本的频率分布估计总体分布1频率分布样本中所有数据或者数据组的频数和样本容量的比，就是该数据的频率，所有数据或者数据组的频率的分布变化规律叫做频率分布．2作频率分布直方图的步骤
①求极差，即一组数据中的最大值与最小值的差；
②决定组距与组数；
③将数据分组；
④列频率分布表；
⑤画频率分布直方图．在频率分布直方图中，纵轴表示频率/组距，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，各小长方形的面积总和等于
1.3频率分布折线图和总体密度曲线
①频率分布折线图连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．
②总体密度曲线随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑的曲线，统计中称之为总体密度曲线．4
①茎叶图统计中还有一种被用来表示数据的图叫茎叶图，茎是指中间一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，给数据的记录和表示都带来方便．
②茎叶图的画法步骤第一步将每个数据分为茎高位和叶低位两部分；第二步将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列，写在左右侧；有两组数据时，写在中间；第三步将各个数据的叶依次写在其茎的右左侧．2．样本的数字特征1众数、中位数、平均数2方差和标准差方差和标准差反映了数据波动程度的大小．方差s2＝[x1－2＋x2－2＋…＋xn－2]，标准差s＝.3关于平均数、方差的有关性质
①若x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m＋a.
②数据x1，x2，…，xn与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a的方差相等，即数据经过平移后方差不变．
③若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s
2.4平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越波动；标准差，方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．3．各种统计表的优点与不足[诊断自测]1．概念思辨1一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大． 2从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了． 3在频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间内的频率越高． 4茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次． 答案 1√ 2√ 3√ 4×2．教材衍化1必修A3P70例题若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是 A．
91.5和
91.5B．
91.5和92C．91和
91.5D．92和92答案 A解析 这组数据由小到大排列为8789909192939496，∴中位数是＝
91.5，平均数＝＝
91.
5.故选A.2必修A3P82T7甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则 A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差答案 C解析 由图可得，甲＝＝6，乙＝＝6，故A错误；甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故B错误；s＝2，s＝
2.4，故C正确；甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差也为4，D错误．故选C.3．小题热身1右面茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩单位分．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为
16.8，则x，y的值分别为 A．25B．55C．58D．88答案 C解析 由茎叶图及已知得x＝5，又乙组数据的平均数为
16.8，即＝
16.8，解得y＝8，故选C.2xx·济南调研为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据单位kPa的分组区间为[1213，[1314，[1415，[1516，
[1617]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，上图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为________．答案 12解析 全体志愿者共有＝50人，所以第三组有志愿者
0.36×1×50＝18人．∵第三组中没有疗效的有6人，∴有疗效的有18－6＝12人．题型1 样本数字特征的计算及应用 某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下a，b，a，，a，b，，b，，，a，b，a，b，a，，，b，a，，，，a，b，a，，，b，a，b，其中a，分别表示甲组研发成功和失败；b，分别表示乙组研发成功和失败．1若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；2若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率．1直接用公式求解；2按古典概型求解．解 1甲组研发新产品的成绩为
111001110101101.其平均数为甲＝＝；方差为s＝＝.乙组研发新产品的成绩为101101101001011，其平均数为乙＝＝；方差为s＝＝.因为甲乙，ss，所以甲组的研发水平优于乙组．2记E＝{恰有一组研发成功}．在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是a，，，b，a，，，b，a，，a，，，b，共7个，故事件E发生的频率为，将频率视为概率，即得所求概率为PE＝.方法技巧众数、中位数、平均数、方差的意义及常用结论1．平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述波动大小．2．方差的简化计算公式s2＝[x＋x＋…＋x－n2]，或写成s2＝x＋x＋…＋x－2，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方．3．平均数、方差的公式推广1若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a.2数据x1，x2，…，xn的方差为s
2.
①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；
②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s
2.冲关针对训练xx·湖北黄冈质检已知数据x1，x2，x3，…，xn是某市nn≥3，n∈N*个普通职工的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn＋1，则这n＋1个数据中，下列说法正确的是 A．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变答案 B解析 ∵数据x1，x2，x3，…，xn是某市nn≥3，n∈N*个普通职工的年收入，xn＋1为世界首富的年收入，则xn＋1远大于x1，x2，x3，…，xn，故这n＋1个数据中，年收入平均数大大增大；中位数可能不变，也可能稍微变大；由于数据的集中程度受到xn＋1的影响比较大，更加离散，则方差变大．故选B.题型2 茎叶图及其应用 某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两部门的评分评分越高表明市民的评价越高，绘制茎叶图如下1分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；2分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率．2按古典概型求概率．解 1由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第2526位的是7575，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是
75.50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第2526位的是6668，故样本中位数为＝67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是
67.2由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为＝
0.1，＝
0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为
0.
10.
16.[结论探究] 根据题目所给出的茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．解 解法一由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．解法二由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的平均数高于对乙部门的评分的平均数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．方法技巧茎叶图的应用1．茎叶图的绘制需注意
①“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；
②重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置上的数据．2．茎叶图通常用来记录两位数的数据，可以用来分析单组数据，也可以用来比较两组数据．通过茎叶图可以确定数据的中位数，数据大致集中在哪个茎，数据是否关于该茎对称，数据分布是否均匀等．冲关针对训练为了比较两种治疗失眠症的药分别称为A药，B药的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间单位h．试验的观测结果如下服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间0．
61.
22.
71.
52.
81.
82.
22.
33.
23.52．
52.
61.
22.
71.
52.
93.
03.
12.
32.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间3．
21.
71.
90.
80.
92.
41.
22.
61.
31.41．
60.
51.
80.
62.
11.
12.
51.
22.
70.51分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？2根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？解 1设A药观测数据的平均数为，B药观测数据的平均数为，由观测结果可得＝
0.6＋
1.2＋
1.2＋
1.5＋
1.5＋
1.8＋
2.2＋
2.3＋
2.3＋
2.4＋
2.5＋
2.6＋
2.7＋
2.7＋
2.8＋
2.9＋
3.0＋
3.1＋
3.2＋
3.5＝
2.
3.＝
0.5＋
0.5＋
0.6＋
0.8＋
0.9＋
1.1＋
1.2＋
1.2＋
1.3＋
1.4＋
1.6＋
1.7＋
1.8＋
1.9＋
2.1＋
2.4＋
2.5＋
2.6＋
2.7＋
3.2＝
1.
6.由以上计算结果可得，因此可看出A药的疗效更好．2由观测结果可绘制如下茎叶图从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎23上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎01上，由此可看出A药的疗效更好.题型3 频率分布直方图角度1 求频率或频数 xx·山东高考某高校调查了200名学生每周的自习时间单位小时，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[
17.530]，样本数据分组为[
17.520，[
2022.5，[
22.525，[
2527.5，[
27.530]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于
22.5小时的人数是 A．56 B．60C．120D．140首先求
22.5～30范围上的频率，即求第
三、
四、五直方图的面积，再求人数．答案 D解析 由频率分布直方图知这200名学生每周的自习时间不少于
22.5小时的频率为1－
0.02＋
0.10×
2.5＝
0.7，则这200名学生中每周的自习时间不少于
22.5小时的人数为200×
0.7＝140，故选D.角度2 利用频率分布直方图估计总体 xx·四川高考我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量单位吨，将数据按照[
00.5，[
0.51，…，[
44.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．1求直方图中a的值；2设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；3估计居民月均用水量的中位数．解 1由频率分布直方图可知月均用水量在[
00.5内的频率为
0.08×
0.5＝
0.
04.同理，在[
0.51，[
1.52，[
22.5，[
33.5，[
3.54，[
44.5]等组的频率分别为
0.
080.
210.
250.
060.
040.
02.由1－
0.04＋
0.08＋
0.21＋
0.25＋
0.06＋
0.04＋
0.02＝
0.5×a＋
0.5×a，解得a＝
0.
30.2由1知，该市100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为
0.06十
0.04＋
0.02＝
0.
12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×
0.12＝
36000.3设中位数为x吨，因为前5组的频率之和为
0.04＋
0.08＋
0.15＋
0.21＋
0.25＝
0.
730.
5.又前4组的频率之和为
0.04＋
0.08＋
0.15＋
0.21＝
0.
480.
5.所以2≤x
2.
5.由
0.50×x－2＝
0.5－
0.
48.解得x＝
2.
04.故可估计居民月均用水量的中位数为
2.04吨．方法技巧1．频率分布直方图的性质1小长方形的面积＝组距×＝频率；2各小长方形的面积之和等于1；3小长方形的高＝，所有小长方形的高的和为.2．频率分布直方图中的众数、中位数与平均数1最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；2平分频率分布直方图的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标是中位数；3平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．冲关针对训练xx·全国卷Ⅰ从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表质量指标值分组[7585[8595[95105[105115
[115125]频数62638228 1作出这些数据的频率分布直方图；2估计这种产品质量指标值的平均数及方差同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；3根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？解 1频率分布直方图如图．2质量指标值的样本平均数为＝80×
0.06＋90×
0.26＋100×
0.38＋110×
0.22＋120×
0.08＝
100.质量指标值的样本方差为s2＝－202×
0.06＋－102×
0.26＋0×
0.38＋102×
0.22＋202×
0.08＝
104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为
104.3质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为
0.38＋
0.22＋
0.08＝
0.
68.由于该估计值小于
0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定．
1.xx·全国卷Ⅰ为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量单位kg分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A．x1，x2，…，xn的平均数B．x1，x2，…，xn的标准差C．x1，x2，…，xn的最大值D．x1，x2，…，xn的中位数答案 B解析 因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离散程度，所以要评估亩产量稳定程度，应该用样本数据的极差、方差或标准差．故选B.2．xx·全国卷Ⅲ某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了xx年1月至xx年12月期间月接待游客量单位万人的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是 A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在78月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳答案 A解析 对于选项A，由图易知月接待游客量每年78月份明显高于12月份，故A错误；对于选项B，观察折线图的变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确；对于选项C、D，由图可知显然正确．故选A.3．xx·山东高考如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据单位件．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为 A．35B．55C．37D．57答案 A解析 甲组数据的中位数为65，由甲、乙两组数据的中位数相等得y＝
5.又甲、乙两组数据的平均值相等，∴×56＋65＋62＋74＋70＋x＝×59＋61＋67＋65＋78，∴x＝
3.故选A.4．xx·安徽安庆模拟某学校高二年级共有女生300人，现调查她们每天的课外运动时间，发现她们的课外运动时间介于30分钟到90分钟，下图是统计结果的频率分布直方图，则她们的平均运动时间大约是________分钟．答案
56.5解析 由题图得35×
0.1＋45×
0.1＋55×
0.5＋65×
0.2＋75×
0.05＋85×
0.05＝
56.5分钟．[基础送分提速狂刷练]
一、选择题1．xx·安徽高考若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－12x2－1，…，2x10－1的标准差为 A．8B．15C．16D．32答案 C解析 设样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s，则s＝8，可知数据2x1－12x2－1，…，2x10－1的标准差为2s＝
16.故选C.2．xx·保定联考在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个长方形的面积和的，且样本容量为140，则中间一组的频数为 A．28B．40C．56D．60答案 B解析 设中间一个小长方形面积为x，其他8个长方形面积为x，因此x＋x＝1，解得x＝，所以中间一组的频数为140×＝
40.故选B.3．xx·哈尔滨四校统考一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{an}，若a3＝8，且a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是 A．1312B．1313C．1213D．1314答案 B解析 设等差数列{an}的公差为dd≠0，a3＝8，a1a7＝a＝64，8－2d8＋4d＝64，4－d2＋d＝82d－d2＝0，又d≠0，故d＝2，故样本数据为46810121416182022，平均数为＝＝13，中位数为＝
13.故选B.4．xx·西宁一模某校高二1班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息，可确定被抽测的人数及分数在
[90100]内的人数分别为 A．202B．244C．252D．254答案 C解析 由频率分布直方图可知，组距为10，[5060的频率为
0.008×10＝
0.08，由茎叶图可知[5060的人数为2，设参加本次考试的总人数为N，则N＝＝25，根据频率分布直方图可知
[90100]内的人数与[5060的人数一样，都是2，故选C.
5.某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[05，[510，…，[3035，
[3540]时，所作的频率分布直方图是 答案 A解析 解法一由茎叶图知，各组频数统计如表此表对应的频率分布直方图为选项A.故选A.解法二选项C、D组距为10与题意不符，舍去，又由茎叶图知落在区间[05与[510上的频数相等，故频率、频率/组距也分别相等，比较A、B两个选项知A正确．故选A.6．如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A和B，样本标准差分别为sA和sB，则 A.AB，sAsBB.AB，sAsBC.AB，sAsBD.AB，sAsB答案 B解析 由图可知A组的6个数为
2.
51057.
52.510，B组的6个数为
151012.
51012.510，所以A＝＝，B＝＝.显然AB，又由图形可知，B组的数据分布比A均匀，变化幅度不大，故B组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以sAsB，故选B.7．xx·广东肇庆一模图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A
14.图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是 A．7B．8C．9D．10答案 D解析 该程序的作用是求考试成绩不低于90分的次数，根据茎叶图可得不低于90分的次数为
10.故选D.8．xx·吉林模拟下面的茎叶图是某班学生在一次数学测试时的成绩根据茎叶图，得出该班男、女生数学成绩的四个统计结论，其中错误的一项是 A．15名女生成绩的平均分为78B．17名男生成绩的平均分为77C．女生成绩和男生成绩的中位数分别为8280D．男生中的高分段和低分段均比女生多，相比较男生两极分化比较严重答案 C解析 15名女生成绩的平均分为×90＋93＋80＋80＋82＋82＋83＋83＋85＋70＋71＋73＋75＋66＋57＝78，A正确；17名男生成绩的平均分为×93＋93＋96＋80＋82＋83＋86＋86＋88＋71＋74＋75＋62＋62＋68＋53＋57＝77，故B正确；观察茎叶图，对男生、女生成绩进行比较，可知男生两极分化比较严重，D正确；根据女生和男生成绩数据分析可得，两组数据的中位数均为80，C错误．故选C.9．xx·全国卷Ⅱ根据下面给出的2004年至xx年我国二氧化硫年排放量单位万吨柱形图，以下结论中不正确的是 A．逐年比较，xx年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．xx年我国治理二氧化硫排放显现成效C．xx年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．xx年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关答案 D解析 从图中明显看出xx年二氧化硫排放量比xx年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；2004～xx年二氧化硫排放量越来越多，从xx年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；从图中看出，xx年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；xx年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．故选D.
二、填空题10．xx·聊城模拟某校女子篮球队7名运动员身高单位厘米分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175cm，但有一名运动员的身高记录不清楚，其末位数记为x，那么x的值为________．答案 2解析 由题意有175×7＝180×2＋170×5＋1＋1＋2＋x＋4＋5⇒x＝
2.11．某商场调查旅游鞋的销售情况，随机抽取了部分顾客的购鞋尺寸，整理得如下频率分布直方图，其中直方图从左至右的前3个小矩形的面积之比为1∶2∶3，则购鞋尺寸在[
39.
543.5内的顾客所占百分比为________．答案 55%解析 后两个小组的频率为
0.0375＋
0.0875×2＝
0.25，所以前3个小组的频率为1－
0.25＝
0.75，又前3个小组的面积比为1∶2∶3，即前3个小组的频率比为1∶2∶
3.所以第三小组的频率为×
0.75＝
0.375，第四小组的频率为
0.0875×2＝
0.175，所以购鞋尺寸在[
39.
543.5的频率为
0.375＋
0.175＝
0.55＝55%.12．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．1直方图中x的值为________；2在这些用户中，用电量落在区间[100250内的户数为________．答案
10.0044 270解析 1由频率分布直方图知[200250小组的频率为1－
0.0024＋
0.0036＋
0.0060＋
0.0024＋
0.0012×50＝
0.22，于是x＝＝
0.
0044.2∵数据落在[100250内的频率为
0.0036＋
0.0060＋
0.0044×50＝
0.7，∴所求户数为100×
0.7＝
70.13．已知总体的各个体的值由小到大依次为2337，a，b
1213.
718.320，且总体的中位数为
10.5，若要使该总体的方差最小，则a，b的取值分别是________．答案
10.
510.5解析 ∵中位数为
10.5，∴＝
10.5，即a＋b＝
21.∵＝＝10，∴s2＝[2－102＋3－102×2＋7－102＋a－102＋b－102＋12－102＋
13.7－102＋
18.3－102＋20－102]．令y＝a－102＋b－102＝2a2－42a＋221＝22＋，当a＝
10.5时，y取最小值，方差s2也取最小值．∴a＝
10.5，b＝
10.
5.
三、解答题14．xx·福建八校联考某教师为了了解高三一模所教两个班级的数学成绩情况，将两个班的数学成绩单位分绘制成如图所示的茎叶图．1分别求出甲、乙两个班级数学成绩的中位数、众数；2若规定成绩大于等于115分为优秀，分别求出两个班级数学成绩的优秀率；3从甲班中130分以上的5名同学中随机抽取3人，求至多有1人的数学成绩在140分以上的概率．解 1由所给的茎叶图知，甲班50名同学的成绩由小到大排序，排在第2526位的是108109，数量最多的是103，故甲班数学成绩的中位数是
108.5，众数是103；乙班48名同学的成绩由小到大排序，排在第2425位的是106107，数量最多的是92和101，故乙班数学成绩的中位数是
106.5，众数为92和
101.2由茎叶图中的数据可知，甲班中数学成绩为优秀的人数为20，优秀率为＝；乙班中数学成绩为优秀的人数为18，优秀率为＝.3将分数为131132136的3人分别记为a，b，c，分数为141146的2人分别记为m，n，则从5人中抽取3人的不同情况有abc，abm，abn，acm，acn，amn，bcm，bcn，bmn，cmn，共10种情况．记“至多有1人的数学成绩在140分以上”为事件M，则事件M包含的情况有abc，abm，abn，acm，acn，bcm，bcn，共7种情况，所以从这5名同学中随机抽取3人，至多有1人的数学成绩在140分以上的概率为PM＝.15．xx·安徽黄山模拟全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于xx年8月某日起连续n天监测空气质量指数AQI，数据统计如下表1根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图；2由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数；3在空气质量指数分别为50100]和150200]的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，从中任意选取2天，求事件A“两天空气质量等级都为良”发生的概率．解 1∵
0.004×50＝，∴n＝100，∵20＋40＋m＋10＋5＝100，∴m＝
25.＝
0.008；＝
0.005；＝
0.002；＝
0.
001.由此完成频率分布直方图，如图2由频率分布直方图得该组数据的平均数＝25×
0.004×50＋75×
0.008×50＋125×
0.005×50＋175×
0.002×50＋225×
0.001×50＝95，∵
[050]的频率为
0.004×50＝
0.2，50100]的频率为
0.008×50＝
0.4，∴中位数为50＋×50＝
87.
5.3由题意知在空气质量指数为50100]和150200]的监测天数中分别抽取4天和1天，在所抽取的5天中，将空气质量指数为50100]的4天分别记为a，b，c，d；将空气质量指数为150200]的1天记为e，从中任取2天的基本事件为a，b，a，c，a，d，a，e，b，c，b，d，b，e，c，d，c，e，d，e，共10个，其中事件A“两天空气质量等级都为良”包含的基本事件为a，b，a，c，a，d，b，c，b，d，c，d，共6个，所以PA＝＝.。
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