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通用版2019版高考数学一轮复习第五章平面向量学案理突破点一 平面向量的有关概念 名称定义备注向量既有大小又有方向的量叫做向量;向量的大小叫做向量的长度或称模平面向量是自由向量,平面向量可自由平移零向量长度为0的向量;其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±平行向量方向相同或相反的非零向量,又叫做共线向量0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等,不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为01.判断题1向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段来表示向量. 2若a∥b,b∥c,则a∥c. 3若向量a与b不相等,则a与b一定不可能都是零向量. 答案1× 2× 3√2.填空题1给出下列命题
①若a=b,b=c,则a=c;
②若A,B,C,D是不共线的四点,则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;
③a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b;其中正确命题的序号是________.解析
①正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同,又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同,∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c.
②正确.∵=,∴||=||且∥,又A,B,C,D是不共线的四点,∴四边形ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为平行四边形,则∥且||=||,因此,=.
③不正确.当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件.综上所述,正确命题的序号是
①②.答案
①②2若a、b都为非零向量,则使+=0成立的条件是________.答案a与b反向共线平面向量的有关概念 [典例] 1xx·海淀期末下列说法正确的是 A.长度相等的向量叫做相等向量B.共线向量是在同一条直线上的向量C.零向量的长度等于0D.∥就是所在的直线平行于所在的直线2xx·枣庄期末下列命题正确的是 A.若|a|=|b|,则a=bB.若|a||b|,则abC.若a=b,则a∥bD.若|a|=0,则a=0[解析] 1长度相等且方向相同的向量叫做相等向量,故A不正确;方向相同或相反的非零向量叫做共线向量,但共线向量不一定在同一条直线上,故B不正确;显然C正确;当∥时,所在的直线与所在的直线可能重合,故D不正确.2对于A,当|a|=|b|,即向量a,b的模相等时,方向不一定相同,故a=b不一定成立;对于B,向量的模可以比较大小,但向量不可以比较大小,故B不正确;C显然正确;对于D,若|a|=0,则a=0,故D不正确,故选C.[答案] 1C 2C[易错提醒]1两个向量不能比较大小,只可以判断它们是否相等,但它们的模可以比较大小;2大小与方向是向量的两个要素,分别是向量的代数特征与几何特征;3向量可以自由平移,任意一组平行向量都可以移到同一直线上. 1.给出下列命题
①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量;
②λa=0λ为实数,则λ必为零;
③λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.其中错误的命题的个数为 A.0B.1C.2D.3解析选D
①错误,两向量共线要看其方向而不是起点或终点.
②错误,当a=0时,不论λ为何值,λa=
0.
③错误,当λ=μ=0时,λa=μb=0,此时,a与b可以是任意向量.错误的命题有3个,故选D.2.关于平面向量,下列说法正确的是 A.零向量是唯一没有方向的向量B.平面内的单位向量是唯一的C.方向相反的向量是共线向量,共线向量不一定是方向相反的向量D.共线向量就是相等向量解析选C 对于A,零向量是有方向的,其方向是任意的,故A不正确;对于B,单位向量的模为1,其方向可以是任意方向,故B不正确;对于C,方向相反的向量一定是共线向量,共线向量不一定是方向相反的向量,故C正确;对于D,由共线向量和相等向量的定义可知D不正确,故选C.
3.如图,△ABC和△A′B′C′是在各边的处相交的两个全等的等边三角形,设△ABC的边长为a,图中列出了长度均为的若干个向量,则1与向量相等的向量有________;2与向量共线,且模相等的向量有________;3与向量EA―→共线,且模相等的向量有________.解析向量相等⇔向量方向相同且模相等.向量共线⇔表示有向线段所在的直线平行或重合.答案1, 2,,,,3,,,,突破点二 平面向量的线性运算 1.向量的线性运算向量运算定义法则或几何意义运算律加法求两个向量和的运算交换律a+b=b+a;结合律a+b+c=a+b+c减法求a与b的相反向量-b的和的运算a-b=a+-b数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|=|λ||a|,当λ>0时,λa与a的方向相同;当λ<0时,λa与a的方向相反;当λ=0时,λa=0λμa=λμa;λ+μa=λa+μa;λa+b=λa+λb
2.平面向量共线定理向量b与aa≠0共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b=λa.1.判断题1a∥b是a=λbλ∈R的充要条件. 2△ABC中,D是BC的中点,则=+. 答案1× 2√2.填空题1化简
①+++=________.
②++-=________.答案
①
②02若菱形ABCD的边长为2,则|-+|=________.解析|-+|=|++|=||=
2.答案23在▱ABCD中,=a,=b,=3,则=________用a,b表示.答案a+b平面向量的线性运算应用平面向量的加法、减法和数乘运算的法则即可.注意加法的三角形法则要求“首尾相接”,加法的平行四边形法则要求“起点相同”;减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”;数乘运算的结果仍是一个向量,运算过程可类比实数运算.[例1] 1xx·河南中原名校联考如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,=3,F为AE的中点,则= A.-B.-C.-+D.-+2xx·深圳模拟如图所示,正方形ABCD中,M是BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ= A.B.C.D.2[解析] 1=+=+=-+++=-+eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1+\f12+\f13=-+++++=-+.2因为=λ+μ=λ++μ+=λeq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1+\f12+μ-+=λ-μ+,且=+,所以得所以λ+μ=,故选B.[答案] 1C 2B[方法技巧]1.平面向量的线性运算技巧1不含图形的情况可直接运用相应运算法则求解.2含图形的情况将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质,把未知向量用已知向量表示出来求解.2.利用平面向量的线性运算求参数的一般思路1没有图形的准确作出图形,确定每一个点的位置.2利用平行四边形法则或三角形法则进行转化,转化为要求的向量形式.3比较、观察可知所求. 平面向量共线定理的应用求解向量共线问题的注意事项1向量共线的充要条件中,当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,注意待定系数法和方程思想的运用.2证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得到三点共线.3直线的向量式参数方程A,P,B三点共线⇔=1-t·+tO为平面内任一点,t∈R.[例2] 1xx·芜湖二模已知向量a,b是两个不共线的向量,若向量m=4a+b与n=a-λb共线,则实数λ的值为 A.-4B.-C.D.42xx·怀化一模已知向量a,b不共线,向量=a+3b,=5a+3b,=-3a+3b,则 A.A,B,C三点共线B.A,B,D三点共线C.A,C,D三点共线D.B,C,D三点共线[解析] 1因为向量a,b是两个不共线的向量,所以若向量m=4a+b与n=a-λb共线,则4×-λ=1×1,解得λ=-,故选B.2因为=+=2a+6b=2a+3b=2,所以,共线,又有公共点B,所以A,B,D三点共线.故选B.[答案] 1B 2B[方法技巧] 平面向量共线定理的三个应用证明向量共线对于非零向量a,b,若存在实数λ,使a=λb,则a与b共线证明三点共线若存在实数λ,使=λ,与有公共点A,则A,B,C三点共线求参数的值利用向量共线定理及向量相等的条件列方程组求参数的值[提醒] 证明三点共线时,需说明共线的两向量有公共点.
1.xx·长春一模在梯形ABCD中,=3,则= A.-+B.-+C.-+D.--解析选A 因为在梯形ABCD中,=3,所以=++=-++=-+,故选A.
2.已知a,b是不共线的向量,=λa+b,=a+μb,λ,μ∈R,则A,B,C三点共线的充要条件为 A.λ+μ=2B.λ-μ=1C.λμ=-1D.λμ=1解析选D ∵A,B,C三点共线,∴∥,设=mm≠0,则λa+b=ma+μb,∴∴λμ=1,故选D.
3.xx·南宁模拟已知e1,e2是不共线向量,a=me1+2e2,b=ne1-e2,且mn≠0,若a∥b,则= A.-B.C.-2D.2解析选C ∵a∥b,∴a=λb,即me1+2e2=λne1-e2,则故=-
2.
4.已知点M是△ABC的边BC的中点,点E在边AC上,且=2,则= A.+B.+C.+D.+解析选C 如图,∵=2,∴=+=+=+-=+.
5.如图,在△OAB中,P为线段AB上的一点,=x+y,且=2,则 A.x=,y=B.x=,y=C.x=,y=D.x=,y=解析选A 由题意知=+,又=2,所以=+=+-=+,所以x=,y=.[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.xx·全国卷Ⅰ设D为△ABC所在平面内一点,=3,则 A.=-+B.=-C.=+D.=-解析选A =+=+=+-=-=-+,故选A.2.xx·全国卷Ⅰ设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+= A.B.C.D.解析选A +=+++=+=,故选A.3.xx·全国卷Ⅱ设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=________.解析∵λa+b与a+2b平行,∴λa+b=ta+2b,即λa+b=ta+2tb,∴解得答案[课时达标检测][小题对点练——点点落实]对点练一 平面向量的有关概念1.若向量a与b不相等,则a与b一定 A.有不相等的模B.不共线C.不可能都是零向量D.不可能都是单位向量解析选C 若a与b都是零向量,则a=b,故选项C正确.2.设a0为单位向量,下列命题中
①若a为平面内的某个向量,则a=|a|·a0;
②若a与a0平行,则a=|a|a0;
③若a与a0平行且|a|=1,则a=a
0.假命题的个数是 A.0B.1C.2D.3解析选D 向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故
①是假命题;若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况一是同向,二是反向,反向时a=-|a|a0,故
②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是
3.3.已知a,b是非零向量,命题p a=b,命题q|a+b|=|a|+|b|,则p是q的____________条件.解析若a=b,则|a+b|=|2a|=2|a|,|a|+|b|=|a|+|a|=2|a|,即p⇒q.若|a+b|=|a|+|b|,由加法的运算知a与b同向共线,即a=λb,且λ0,故q⇒/p.∴p是q的充分不必要条件.答案充分不必要对点练二 平面向量的线性运算
1.如图,在平行四边形ABCD中,E为DC边的中点,且=a,=b则= A.b-aB.a-bC.-a+bD.b+a解析选C =++=-a+b+a=b-a,故选C.2.已知向量a,b不共线,且c=λa+b,d=a+2λ-1b,若c与d反向共线,则实数λ的值为 A.1B.-C.1或-D.-1或-解析选B 由于c与d反向共线,则存在实数k使c=kdk<0,于是λa+b=k.整理得λa+b=ka+2λk-kb.由于a,b不共线,所以有整理得2λ2-λ-1=0,解得λ=1或λ=-.又因为k<0,所以λ<0,故λ=-.3.xx·江西八校联考在△ABC中,P,Q分别是边AB,BC上的点,且AP=AB,BQ=BC.若=a,=b,则= A.a+bB.-a+bC.a-bD.-a-b解析选A =+=+=+-=+=a+b,故选A.4.xx·郑州二模如图,在△ABC中,点D在线段BC上,且满足BD=DC,过点D的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m,=n,则 A.m+n是定值,定值为2B.2m+n是定值,定值为3C.+是定值,定值为2D.+是定值,定值为3解析选D 法一如图,过点C作CE平行于MN交AB于点E.由=n可得=,所以==,由BD=DC可得=,所以==,因为=m,所以m=,整理可得+=
3.法二因为M,D,N三点共线,所以=λ+1-λ·.又=m,=n,所以=λm+1-λ·n.又=,所以-=-,所以=+.比较系数知λm=,1-λn=,所以+=3,故选D.5.xx·银川一模设点P是△ABC所在平面内一点,且+=2,则+=________.解析因为+=2,由平行四边形法则知,点P为AC的中点,故+=
0.答案06.xx·衡阳模拟在如图所示的方格纸中,向量a,b,c的起点和终点均在格点小正方形顶点上,若c与xa+ybx,y为非零实数共线,则的值为________.解析设e1,e2分别为水平方向向右与竖直方向向上的单位向量,则向量c=e1-2e2,a=2e1+e2,b=-2e1-2e2,由c与xa+yb共线,得c=λxa+yb,所以e1-2e2=2λx-ye1+λx-2ye2,所以所以则的值为.答案7.xx·盐城一模在△ABC中,∠A=60°,∠A的平分线交BC于点D,若AB=4,且=+λλ∈R,则AD的长为________.解析因为B,D,C三点共线,所以+λ=1,解得λ=,如图,过点D分别作AC,AB的平行线交AB,AC于点M,N,则=,=,经计算得AN=AM=3,AD=
3.答案38.在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=30°,AB=2,BC=2,点E在线段CD上,若=+μ,则μ的取值范围是________.解析由题意可求得AD=1,CD=,所以=
2.∵点E在线段CD上,∴=λ0≤λ≤1.∵=+,又=+μ=+2μ=+,∴=1,即μ=.∵0≤λ≤1,∴0≤μ≤,即μ的取值范围是.答案[大题综合练——迁移贯通]
1.在△ABC中,D,E分别为BC,AC边上的中点,G为BE上一点,且GB=2GE,设=a,=b,试用a,b表示,.解=+=a+b.=+=+=++=+-=+=a+b.2.已知a,b不共线,=a,=b,=c,=d,=e,设t∈R,如果3a=c2b=d,e=ta+b,是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上?若存在,求出实数t的值,若不存在,请说明理由.解由题设知,=d-c=2b-3a,=e-c=t-3a+tb,C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使得=k,即t-3a+tb=-3ka+2kb,整理得t-3+3ka=2k-tb.因为a,b不共线,所以有解得t=.故存在实数t=使C,D,E三点在一条直线上.
3.如图所示,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,=,=a,=b.1用a,b表示向量,,,,;2求证B,E,F三点共线.解1延长AD到G,使=,连接BG,CG,得到▱ABGC,如图,所以=+=a+b,==a+b,==a+b,==b,=-=a+b-a=b-2a,=-=b-a=b-2a.2证明由1可知=,又因为,有公共点B,所以B,E,F三点共线.第二节平面向量基本定理及坐标表示本节主要包括2个知识点
1.平面向量基本定理;
2.平面向量的坐标表示.突破点一 平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e
2.其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.1.判断题1平面内的任何两个向量都可以作为一组基底. 2在△ABC中,设=a,=b,则向量a与b的夹角为∠ABC. 3若a,b不共线,且λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ
2. 答案1× 2× 3√2.填空题1设e1,e2是平面内一组基底,若λ1e1+λ2e2=0,则λ1+λ2=________.答案02设e1,e2是平面内一组基向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则2a-b=________.答案3e1+3e23xx·嘉兴测试在△ABC中,已知M是BC中点,设=a,=b,则=________.答案-b+a平面向量基本定理 [典例] 1xx·长春模拟如图所示,下列结论正确的是
①=a+b;
②=a-b;
③=a-b;
④=a+b.A.
①②B.
③④C.
①③D.
②④2xx·岳阳质检在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为CD,BC的中点.若=λ+μ,则λ+μ的值为 A.B.C.D.[解析] 1
①根据向量的加法法则,得=a+b,故
①正确;
②根据向量的减法法则,得=a-b,故
②错误;
③=+=a+b-2b=a-b,故
③正确;
④=+=a+b-b=a+b,故
④错误,故选C.2法一连接AC图略,由=λ+μ,得=λ·++μ·+,则++=0,得++eq\b\lc\[\rc\\a\vs4\al\co1+\f12=0,得+=
0.又,不共线,所以由平面向量基本定理得解得所以λ+μ=.法二根据题意作出图形如图所示,连接MN并延长,交AB的延长线于点T,由已知易得AB=AT,所以==λ+μ,因为T,M,N三点共线,所以λ+μ=.[答案] 1C 2C[方法技巧]平面向量基本定理的实质及解题思路1应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决. 1.xx·泉州调研若向量a,b不共线,则下列各组向量中,可以作为一组基底的是 A.a-2b与-a+2bB.3a-5b与6a-10bC.a-2b与5a+7bD.2a-3b与a-b解析选C 不共线的两个向量可以作为一组基底.因为a-2b与5a+7b不共线,故a-2b与5a+7b可以作为一组基底.
2.向量e1,e2,a,b在正方形网格中的位置如图所示,则a-b= A.-4e1-2e2 B.-2e1-4e2C.e1-3e2D.3e1-e2解析选C 结合图形易得,a=-e1-4e2,b=-2e1-e2,故a-b=e1-3e
2.
3.如图,正方形ABCD中,E为DC的中点,若=λ+μ,则λ+μ的值为 A.B.-C.1D.-1解析选A 由题意得=+=+-=-,∴λ=-,μ=1,∴λ+μ=,故选A.
4.xx·湖南邵阳一模如图,在△ABC中,设=a,=b,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点为P,若=ma+nb,则m+n=________.解析根据已知条件得,=-=-=ma+nb-a=a+b,=-=-+=-b+a=a+b,∴=a+b,=a+b,=-a+b.∵+=,∴a+b=a+b,∴解得故m+n=.答案突破点二 平面向量的坐标表示 1.平面向量的坐标运算1向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模设a=x1,y1,b=x2,y2,则a+b=x1+x2,y1+y2,a-b=x1-x2,y1-y2,λa=λx1,λy1,|a|=.2向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.一般地,设Ax1,y1,Bx2,y2,则=x2-x1,y2-y1.2.平面向量共线的坐标表示设a=x1,y1,b=x2,y2,其中b≠0,则a∥b⇔x1y2-x2y1=
0.1已知a=21,b=-34,则3a+4b=________.答案-6192已知向量a=21,b=1,-2,若ma+nb=9,-8m,n∈R,则m-n的值为________.解析∵ma+nb=2m+n,m-2n=9,-8,∴∴∴m-n=2-5=-
3.答案-33若AC为平行四边形ABCD的一条对角线,=24,=13,则=________.答案-1,-14若三点A1,-5,Ba,-2,C-2,-1共线,则实数a的值为________.解析=a-13,=-34,据题意知∥,∴4a-1=3×-3,即4a=-5,∴a=-.答案-平面向量的坐标运算 [例1] 1xx·绍兴模拟已知点M5,-6和向量a=1,-2,若=-3a,则点N的坐标为 A.20B.-36C.62D.-202在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=43,=15,则=________.[解析] 1=-3a=-31,-2=-36,设Nx,y,则=x-5,y+6=-36,所以即2=-=-32,∴=2=-64.=+=-27,∴=3=-621.[答案] 1A 2-621[方法技巧]平面向量坐标运算的技巧1向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.2解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则. 平面向量共线的坐标表示[例2] 已知a=10,b=21.1当k为何值时,ka-b与a+2b共线;2若=2a+3b,=a+mb,且A,B,C三点共线,求m的值.[解] 1∵a=10,b=21,∴ka-b=k10-21=k-2,-1,a+2b=10+221=52,∵ka-b与a+2b共线,∴2k-2--1×5=0,∴k=-.2=210+321=83,=10+m21=2m+1,m.∵A,B,C三点共线,∴∥,∴8m-32m+1=0,∴m=.[方法技巧]向量共线的坐标表示中的乘积式和比例式1若a=x1,y1,b=x2,y2,则a∥b⇔x1y2-x2y1=0,这是代数运算,用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”,从而减少了未知数的个数,而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征.2当x2y2≠0时,a∥b⇔=,即两个向量的相应坐标成比例,这种形式不易出现搭配错误.3公式x1y2-x2y1=0无条件x2y2≠0的限制,便于记忆;公式=有条件x2y2≠0的限制,但不易出错.所以我们可以记比例式,但在解题时改写成乘积的形式.
1.若向量a=21,b=-12,c=,则c可用向量a,b表示为 A.a+bB.-a-bC.a+bD.a-b解析选A 设c=xa+yb,则=2x-y,x+2y,所以解得则c=a+b.
2.已知平行四边形ABCD中,=37,=-23,对角线AC与BD交于点O,则的坐标为 A.B.C.D.解析选D =+=-23+37=110.∴==.∴=.
3.xx·丰台期末已知向量a=3,-4,b=x,y,若a∥b,则 A.3x-4y=0B.3x+4y=0C.4x+3y=0D.4x-3y=0解析选C 由平面向量共线基本定理可得3y+4x=0,故选C.
4.xx·江西四校联考已知向量a=,1,b=0,-1,c=k,.若a-2b与c共线,则k=________.解析由题意得,a-2b=,3,由a-2b与c共线,得×-3k=0,解得k=
1.答案1[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.xx·全国卷Ⅰ已知点A01,B32,向量=-4,-3,则向量= A.-7,-4B.74C.-14D.14解析选A 设Cx,y,则=x,y-1=-4,-3,所以解得从而=-4,-2-32=-7,-4.故选A.2.xx·全国卷Ⅱ已知向量a=m4,b=3,-2,且a∥b,则m=________.解析∵a=m4,b=3,-2,a∥b,∴-2m-4×3=
0.∴m=-
6.答案-6[课时达标检测][小题对点练——点点落实]对点练一 平面向量基本定理1.xx·珠海一模如图,设O是平行四边形ABCD两条对角线的交点,给出下列向量组
①与;
②与;
③与;
④与.其中可作为该平面内其他向量的基底的是 A.
①②B.
①③C.
①④D.
③④解析选B
①中,不共线;
③中,不共线.
②④中的两向量共线,因为平面内两个不共线的非零向量构成一组基底,所以选B.2.xx·山西太原质检在△ABC中,M为边BC上任意一点,N为AM的中点,=λ+μ,则λ+μ的值为 A.B.C.D.1解析选A 设=t,则==+=+=+=+-=+,∴λ=-,μ=,∴λ+μ=,故选A.3.xx·湖南四大名校联考在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若=a,=b,则= A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b解析选C 如图,根据题意,得=+=a-b,=+=a+b.令=t,则=t+=teq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1+\f34=a+b.由=+,令=s,又=a+b,=a-b,所以=a+b,所以解方程组得把s代入即可得到=a+b,故选C.4.xx·山东潍坊一模若M是△ABC内一点,且满足+=4,则△ABM与△ACM的面积之比为 A.B.C.D.2解析选A 设AC的中点为D,则+=2,于是2=4,从而=2,即M为BD的中点,于是===.5.xx·湖北黄石质检已知点G是△ABC的重心,过G作一条直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且=x,=y,则的值为 A.B.C.2D.3解析选B 由已知得M,G,N三点共线,∴=λ+1-λ=λx+1-λy.∵点G是△ABC的重心,∴=×+=·+,∴即得+=1,即+=3,通分变形得,=3,∴=.对点练二 平面向量的坐标表示1.xx·福州一模已知向量a=24,b=-11,则2a+b= A.57B.59C.37D.39解析选D 2a+b=224+-11=39,故选D.2.xx·河北联考已知平面向量a=12,b=-2,m,若a∥b,则2a+3b= A.-5,-10B.-2,-4C.-3,-6D.-4,-8解析选D 由a∥b,得m+4=0,即m=-4,所以2a+3b=212+3-2,-4=-4,-8.3.xx·吉林白城模拟已知向量a=23,b=-12,若ma+nb与a-2b共线,则= A.B.2C.-D.-2解析选C 由向量a=23,b=-12,得ma+nb=2m-n3m+2n,a-2b=4,-1.由ma+nb与a-2b共线,得=,所以=-,故选C.4.xx·河南六市联考已知点A13,B4,-1,则与同方向的单位向量是 A.B.C.D.解析选A 因为=3,-4,所以与同方向的单位向量为eq\f||=.5.设向量a=1,-3,b=-24,c=-1,-2,若表示向量4a4b-2c2a-c,d的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量d= A.26B.-26C.2,-6D.-2,-6解析选D 设d=x,y,由题意知4a=4,-12,4b-2c=-620,2a-c=4,-2,又4a+4b-2c+2a-c+d=0,所以4,-12+-620+4,-2+x,y=00,解得x=-2,y=-6,所以d=-2,-6.6.xx·南昌二模已知在平面直角坐标系xOy中,P131,P2-13,P1,P2,P3三点共线且向量与向量a=1,-1共线,若=λ+1-λ,则λ= A.-3B.3C.1D.-1解析选D 设=x,y,则由∥a知x+y=0,于是=x,-x.若=λ+1-λ,则有x,-x=λ31+1-λ-13=4λ-13-2λ,即所以4λ-1+3-2λ=0,解得λ=-1,故选D.7.xx·河南中原名校联考已知a=13,b=m2m-3,平面上任意向量c都可以唯一地表示为c=λa+μbλ,μ∈R,则实数m的取值范围是 A.-∞,0∪0,+∞B.-∞,3C.-∞,-3∪-3,+∞D.[-33解析选C 根据平面向量基本定理,得向量a,b不共线,∵a=13,b=m2m-3,∴2m-3-3m≠0,∴m≠-
3.故选C.[大题综合练——迁移贯通]1.xx·皖南八校模拟如图,∠AOB=,动点A1,A2与B1,B2分别在射线OA,OB上,且线段A1A2的长为1,线段B1B2的长为2,点M,N分别是线段A1B1,A2B2的中点.1用向量与表示向量;2求向量的模.解1=++,=++,两式相加,并注意到点M,N分别是线段A1B1,A2B2的中点,得=+.2由已知可得向量与的模分别为1与2,夹角为,所以·=1,由=+得||=eq\r\f14+2=eq\r2+2+2·=.2.已知A-24,B3,-1,C-3,-4,设=a,=b,=c,有=3c,=-2b,求13a+b-3c;2满足a=mb+nc的实数m,n;3M,N的坐标及向量的坐标.解由已知得a=5,-5,b=-6,-3,c=18,13a+b-3c=35,-5+-6,-3-318=15-6-3,-15-3-24=6,-42.2∵mb+nc=-6m+n,-3m+8n,∴解得3设O为坐标原点,∵=-=3c,∴=3c+=324+-3,-4=020,∴M的坐标为020.又=-=-2b,∴=-2b+=126+-3,-4=92,∴N的坐标为92.故=9-0,2-20=9,-18.3.已知三点Aa0,B0,b,C22,其中a0,b
0.1若O是坐标原点,且四边形OACB是平行四边形,试求a,b的值;2若A,B,C三点共线,试求a+b的最小值.解1因为四边形OACB是平行四边形,所以=,即a,0=22-b,解得2因为=-a,b,=22-b,由A,B,C三点共线,得∥,所以-a2-b-2b=0,即2a+b=ab,因为a0,b0,所以2a+b=ab≤2,即a+b2-8a+b≥0,解得a+b≥8或a+b≤
0.因为a0,b0,所以a+b≥8,即当且仅当a=b=4时,a+b取最小值为
8.第三节平面向量的数量积及其应用本节主要包括3个知识点
1.平面向量的数量积;
2.平面向量数量积的应用;
3.平面向量与其他知识的综合问题.突破点一 平面向量的数量积 1.向量的夹角1定义已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB就是向量a与b的夹角.2范围设θ是向量a与b的夹角,则0°≤θ≤180°.3共线与垂直若θ=0°,则a与b同向;若θ=180°,则a与b反向;若θ=90°,则a与b垂直.2.平面向量的数量积1定义已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积或内积,记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=
0.2几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.3坐标表示若a=x1,y1,b=x2,y2,则a·b=x1x2+y1y
2.3.平面向量数量积的运算律1a·b=b·a交换律.2λa·b=λa·b=a·λb结合律.3a+b·c=a·c+b·c分配律.1.判断题1在△ABC中,向量与的夹角为∠B. 20·=
0. 3若a与b共线,则a·b=|a||b|. 4a-b·c=a·b·c. 答案1× 2× 3× 4×2.填空题1已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角为120°,则a·b=________.答案-102已知向量a与b的夹角为60°,|a|=1,|b|=3,则a·b=________.答案3已知向量a,b满足|a|=|b|=2且a·b=-2,则向量a与b的夹角为________.答案平面向量数量积的运算
1.利用坐标计算数量积的步骤第一步,根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标,求解过程要注意方程思想的应用;第二步,根据数量积的坐标公式进行运算即可.2.根据定义计算数量积的两种思路思路一若两个向量共起点,则两向量的夹角直接可得,根据定义即可求得数量积;若两向量的起点不同,需要通过平移使它们的起点重合,然后再计算思路二根据图形之间的关系,用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量,然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解 [典例] 1xx·商丘模拟在边长为1的等边三角形ABC中,设=a,=b,=c,则a·b+b·c+c·a= A.-B.0C.D.32如图,平行四边形ABCD中,AB=2,AD=1,A=60°,点M在AB边上,且AM=AB,则·=________.[解析] 1依题意有a·b+b·c+c·a=1×1×+1×1×+1×1×=-.2因为=+=+,=+,所以·=eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1+\f13·+=||2+||2+·=1+-·=-||·||·cos60°=-×1×2×=
1.[答案] 1A 21[易错提醒]1解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.2两向量a,b的数量积a·b与代数中a,b的乘积写法不同,不能省略掉其中的“·”. 1.已知|a|=6,|b|=3,向量a在b方向上的投影是4,则a·b为 A.12B.8C.-8D.2解析选A ∵|a|cos〈a,b〉=4,|b|=3,∴a·b=|a||b|·cos〈a,b〉=3×4=
12.2.设x∈R,向量a=1,x,b=2,-4,且a∥b,则a·b= A.-6B.C.D.10解析选D ∵a=1,x,b=2,-4且a∥b,∴-4-2x=0,x=-2,∴a=1,-2,a·b=10,故选D.3.xx·重庆适应性测试设单位向量e1,e2的夹角为,a=e1+2e2,b=2e1-3e2,则b在a方向上的投影为 A.-B.-C.D.解析选A 依题意得e1·e2=1×1×cos=-,|a|===,a·b=e1+2e2·2e1-3e2=2e-6e+e1·e2=-,因此b在a方向上的投影为==-,故选A.4.xx·成都模拟已知菱形ABCD边长为2,∠B=,点P满足=λ,λ∈R,若·=-3,则λ的值为 A.B.-C.D.-解析选A 法一由题意可得·=2×2cos=2,·=+·-=+·[--]=+·[λ-1·-]=1-λ2-·+1-λ·-2=1-λ·4-2+21-λ-4=-6λ=-3,∴λ=,故选A.法二建立如图所示的平面直角坐标系,则B20,C1,,D-1,.令Px0,由·=-3,·x-1,-=-3x+3-3=-3x=-3得x=
1.∵=λ,∴λ=.故选A.突破点二 平面向量数量积的应用平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a=x1,y1,b=x2,y2,θ=〈a,b〉.几何表示坐标表示模|a|=|a|=夹角cosθ=cosθ=a⊥ba·b=0x1x2+y1y2=0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2+y1y2|≤·1已知平面向量a=24,b=1,-2,若c=a+b,则|c|=________.答案2已知向量a=1,,b=,1,则a与b夹角的大小为________.解析由题意得|a|==2,|b|==2,a·b=1×+×1=
2.设a与b的夹角为θ,则cosθ==.∵θ∈[0,π],∴θ=.答案3已知向量a=1,t,b=6,-4.若a⊥b,则实数t的值为________.答案-平面向量的垂直问题 [例1] 1xx·安徽蚌埠一模已知非零向量m,n满足3|m|=2|n|,它们的夹角θ=60°.若n⊥tm+n,则实数t的值为 A.3B.-3C.2D.-22平面四边形ABCD中,+=0,-·=0,则四边形ABCD是 A.矩形B.正方形C.菱形D.梯形[解析] 1由题意得cosθ=.∵n⊥tm+n,∴n·tm+n=tm·n+n2=t|m||n|×+|n|2=|n|2+|n|2=0,解得t=-
3.故选B.2因为+=0,所以=-=,所以四边形ABCD是平行四边形.又-·=·=0,所以四边形对角线互相垂直,所以四边形ABCD是菱形.[答案] 1B 2C[方法技巧]平面向量垂直问题的类型及求解方法1判断两向量垂直第一,计算出这两个向量的坐标;第二,根据数量积的坐标运算公式,计算出这两个向量的数量积为0即可.2已知两向量垂直求参数根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数.[提醒] 注意x1y2-x2y1=0与x1x2+y1y2=0不同,前者是两向量a=x1,y1,b=x2,y2共线的充要条件,后者是它们垂直的充要条件. 平面向量模的相关问题[例2] 1xx·合肥模拟已知不共线的两个向量a,b满足|a-b|=2且a⊥a-2b,则|b|= A.B.2C.2D.42在△ABC中,若A=120°,·=-1,则||的最小值是 A.B.2C.D.6[解析] 1由a⊥a-2b得a·a-2b=|a|2-2a·b=
0.又|a-b|=2,所以|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2=4,则|b|2=4,|b|=2,故选B.2因为·=-1,所以||·||·cos120°=-1,即||·||=2,所以||2=|-|2=2-2·+2≥2||·||-2·=6,当且仅当||=||时等号成立,所以||min=.[答案] 1B 2C[方法技巧]求向量模的常用方法1若向量a是以坐标形式出现的,求向量a的模可直接利用公式|a|=.2若向量a,b是以非坐标形式出现的,求向量a的模可应用公式|a|2=a2=a·a,或|a±b|2=a±b2=a2±2a·b+b2,先求向量模的平方,再通过向量数量积的运算求解. 平面向量的夹角问题[例3] 1xx·泰安质检已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|,则a与2a-b夹角的余弦值为 A.B.C.D.2已知单位向量e1与e2的夹角为α,且cosα=,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β,则cosβ=________.[解析] 1不妨设|a|=|b|=|a+b|=1,则|a+b|2=a2+b2+2a·b=2+2a·b=1,所以a·b=-,所以a·2a-b=2a2-a·b=,又|a|=1,|2a-b|===,所以a与2a-b夹角的余弦值为==.2∵a2=3e1-2e22=9+4-2×3×2×=9,b2=3e1-e22=9+1-2×3×1×=8,a·b=3e1-2e2·3e1-e2=9+2-9×1×1×=8,∴cosβ===.[答案] 1D 2[方法技巧] 求解两个非零向量之间的夹角的步骤第一步由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积第二步分别求出这两个向量的模第三步根据公式cosθ==求解出这两个向量夹角的余弦值第四步根据两个向量夹角的范围是[0,π]及其夹角的余弦值,求出这两个向量的夹角
1.xx·怀柔二模已知a=12,b=-1,,则a·b+|b|= A.1B.1+C.1+2D.2解析选C 因为a·b=12·-1,=-1+2,|b|=2,所以a·b+|b|=-1+2+2=1+
2.
2.xx·辽宁沈阳一模已知平面向量a=k3,b=14.若a⊥b,则实数k= A.-12B.12C.D.解析选A ∵平面向量a=k3,b=14,a⊥b,∴a·b=k+12=0,解得k=-
12.故选A.
3.xx·河北廊坊期末已知|a|=2,向量a在向量b上的投影为,则a与b的夹角为 A.B.C.D.解析选B 设向量a与向量b的夹角为θ,则a在b上的投影为|a|cosθ=2cosθ.∵a在b上的投影为,∴cosθ=.∵θ∈[0,π],∴θ=.故选B.
4.xx·上海普陀区一模设θ是两个非零向量a,b的夹角,若对任意实数t,|a+tb|的最小值为1,则下列判断正确的是 A.若|a|确定,则θ唯一确定B.若|b|确定,则θ唯一确定C.若θ确定,则|b|唯一确定D.若θ确定,则|a|唯一确定解析选D 设gt=a+tb2=b2t2+2ta·b+a2,则Δ=4a·b2-4b2·a20恒成立,当且仅当t=-=-时,gt取得最小值1,∴b2×-2a·b×+a2=1,化简得a2sin2θ=1,所以当θ确定时,|a|唯一确定.
5.xx·惠州一模若O为△ABC所在平面内任一点,且满足-·+-2=0,则△ABC的形状为 A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析选A 因为-·+-2=0,即·+=0,-·+=0,即||=||,所以△ABC是等腰三角形,故选A.突破点三 平面向量与其他知识的综合问题 平面向量集数与形于一体,是沟通代数、几何与三角函数的一种非常重要的工具.在高考中,常将它与三角函数问题、解三角形问题、几何问题等结合起来考查.平面向量与三角函数的综合问题 [例1] xx·江苏高考已知向量a=cosx,sinx,b=3,-,x∈[0,π].1若a∥b,求x的值;2记fx=a·b,求fx的最大值和最小值以及对应的x的值.[解] 1因为a=cosx,sinx,b=3,-,a∥b,所以-cosx=3sinx.则tanx=-.又x∈[0,π],所以x=.2fx=a·b=cosx,sinx·3,-=3cosx-sinx=2cos.因为x∈[0,π],所以x+∈,从而-1≤cos≤.于是,当x+=,即x=0时,fx取到最大值3;当x+=π,即x=时,fx取到最小值-
2.[方法技巧]平面向量与三角函数综合问题的类型及求解思路1向量平行、垂直与三角函数综合此类题型的解答一般是利用向量平行共线、垂直关系得到三角函数式,再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简,结合三角函数的图象与性质进行求解.2向量的模与三角函数综合此类题型主要是利用向量模的性质|a|2=a2,如果涉及向量的坐标,解答时可利用两种方法一是先进行向量的运算,再代入向量的坐标进行求解;二是先将向量的坐标代入,再利用向量的坐标运算求解.此类题型主要表现为两种形式
①利用三角函数与向量的数量积直接联系;
②利用三角函数与向量的夹角交汇,达到与数量积的综合. 平面向量与几何的综合问题[例2] 1xx·渭南一模在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=30°,E为CD的中点,若·=1,则AB的长为 A.B.C.D.12xx·安徽淮北一模已知直线l1与圆心为C的圆x-12+y-22=4相交于不同的A,B两点,对平面内任意点Q都有=λ+1-λ,λ∈R.又点P为直线l23x+4y+4=0上的动点,则·的最小值为 A.21B.9C.5D.0[解析] 1因为四边形ABCD是平行四边形,E为CD的中点,所以=+,=+=-,所以·=+·eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1-\f12=2-2+·=1,又2=1,·=1×||×cos30°=||,所以1-2+||=1,解得||=或||=0舍去,故选C.2∵对平面内的任意点Q都有=λ+1-λ,λ∈R,∴A,B,C三点共线,即AB为圆C的直径.∴=-2=+,∴2=2+2-2·
①,42=2+2+2·
②.
②-
①,得·=2-2=2-
4.∵点C到直线l2的距离为3,∴2≥9,∴·的最小值为
5.故选C.[答案] 1C 2C[方法技巧]平面向量与几何综合问题的求解方法1坐标法把几何图形放在适当的坐标系中,则有关点与向量就可以用坐标表示,这样就能进行相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决.2基向量法适当选取一组基底,沟通向量之间的联系,利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解.
1.xx·烟台一模已知a=,b=,则|a-b|= A.1B.C.D.解析选C 因为a-b==,0,所以|a-b|=,故选C.
2.xx·西安八校联考已知平行四边形ABCD中,AB=1,AD=2,∠DAB=60°,则·= A.1B.C.2D.2解析选C 因为=+,所以·=+·=||2+·=1+||||cos60°=
2.
3.xx·湖南常德月考已知向量a=cosα,sinα,b=cosβ,sinβ,0αβπ.1若|a-b|=,求证a⊥b;2设c=01,若a+b=c,求α,β的值.解1证明∵|a-b|=,∴a-b2=2,即a2-2a·b+b2=2,∵a2=cos2α+sin2α=1,b2=cos2β+sin2β=1,∴a·b=0,∴a⊥b.2∵a+b=cosα+cosβ,sinα+sinβ=01.∴
①2+
②2得cosβ-α=-.∵0αβπ,∴0β-απ,∴β-α=,即β=α+,代入
②得sinα+sin=1,整理得sinα+cosα=1,即sin=
1.∵0απ,∴α+,∴α+=,∴α=,β=α+=.
4.xx·山东枣庄期末如图,在平面四边形ABCD中,·=
32.1若与的夹角为30°,求△ABC的面积S△ABC;2若||=4,O为AC的中点,G为△ABC的重心三条中线的交点,且与互为相反向量,求·的值.解1∵·=32,∴||||cos30°=32,∴||||==,∴S△ABC=||||sin30°=××=.2以O为原点,AC所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A-20,C20.设Dx,y,则=x,y.∵与互为相反向量,∴=-x,-y.∵G为△ABC的重心,∴=3=-3x,-3y,即B-3x,-3y,∴=3x-23y,=3x+23y,∴·=9x2-4+9y2=32,即x2+y2=
4.∴·=x+2,y·x-2,y=x2+y2-4=
0.[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.xx·全国卷Ⅱ已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·+的最小值是 A.-2B.-C.-D.-1解析选B 如图,以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴,以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,则A0,,B-10,C10,设Px,y,则=-x-y,=-1-x,-y,=1-x,-y,所以·+=-x,-y·-2x,-2y=2x2+22-,当x=0,y=时,·+取得最小值,为-.2.xx·全国卷Ⅲ在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为 A.3B.2C.D.2解析选A 以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则A00,B10,C12,D02,可得直线BD的方程为2x+y-2=0,点C到直线BD的距离为=,所以圆C x-12+y-22=.因为P在圆C上,所以P.又=10,=02,=λ+μ=λ,2μ,所以λ+μ=2+cosθ+sinθ=2+sinθ+φ≤3其中tanφ=2,当且仅当θ=+2kπ-φ,k∈Z时,λ+μ取得最大值
3.3.xx·全国卷Ⅲ已知向量=,=,则∠ABC= A.30°B.45°C.60°D.120°解析选A 因为=,=,所以·=+=.又因为·=||||cos∠ABC=1×1×cos∠ABC=,所以cos∠ABC=.又0°≤∠ABC≤180°,所以∠ABC=30°.4.xx·全国卷Ⅱ设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b= A.1B.2C.3D.5解析选A 由条件可得,a+b2=10,a-b2=6,两式相减得4a·b=4,所以a·b=
1.5.xx·全国卷Ⅰ已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=________.解析法一易知|a+2b|===
2.法二数形结合法由|a|=|2b|=2,知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB,如图,则|a+2b|=||.又∠AOB=60°,所以|a+2b|=
2.答案26.xx·全国卷Ⅰ设向量a=m1,b=12,且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=________.解析∵|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=|a|2+|b|2,∴a·b=
0.又a=m1,b=12,∴m+2=0,∴m=-
2.答案-2[课时达标检测][小题对点练——点点落实]对点练一 平面向量的数量积1.已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则·的值为 A.-B.C.D.解析选B 如图所示,·=+·=eq\b\lc\[\rc\\a\vs4\al\co1-\f12+\f32·=eq\b\lc\[\rc\\a\vs4\al\co1-\f12+\f34·=-·+·=-+=.2.已知菱形ABCD的边长为6,∠ABD=30°,点E,F分别在边BC,DC上,BC=2BE,CD=λCF.若·=-9,则λ的值为 A.2B.3C.4D.5解析选B 依题意得=+=-,=+,因此·=eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\f12-·=2-2+·,于是有×62+×62×cos60°=-
9.由此解得λ=3,故选B.3.xx·嘉兴一模如图,B,D是以AC为直径的圆上的两点,其中AB=,AD=,则·= A.1B.2C.tD.2t解析选A 因为=-,所以·=·-=·-·=||·||cos∠CAD-||·||cos∠CAB.又AC为圆的直径,所以连接BC,DC图略,则∠ADC=∠ABC=,所以cos∠CAD=eq\f||||,cos∠CAB=eq\f||||,则·=||2-|AB|2=t+2-t+1=1,故选A.4.xx·广西质检已知向量a,b的夹角为,|a|=,|b|=2,则a·a-2b=________.解析a·a-2b=a2-2a·b=2-2××2×=
6.答案65.xx·江西白鹭洲中学调研已知在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,点P是斜边AB上的中点,则·+·=________.解析由题意可建立如图所示的坐标系.可得A20,B02,P11,C00,则·+·=11·02+11·20=2+2=
4.答案4对点练二 平面向量数量积的应用1.已知向量a,b满足a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|a-b|= A.0B.1C.2D.解析选D |a-b|====.2.xx·云南民族中学一模已知向量=x1x0,=12,||=,则,的夹角为 A.B.C.D.解析选C 因为=-=1-x1,所以||2=1-x2+1=5,即x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1舍.设,的夹角为θ,则cosθ=eq\f·||||=,所以θ=.故选C.3.xx·广东五校协作体一模已知向量a=λ,1,b=λ+21.若|a+b|=|a-b|,则实数λ的值为 A.-1B.2C.1D.-2解析选A 根据题意,对于向量a,b,若|a+b|=|a-b|,则|a+b|2=|a-b|2,变形可得a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,即a·b=
0.又由向量a=λ,1,b=λ+21,得λλ+2+1=0,解得λ=-
1.故选A.4.已知向量a=,1,b=01,c=k,,若a+2b与c垂直,则k= A.-3B.-2C.1D.-1解析选A 因为a+2b与c垂直,所以a+2b·c=0,即a·c+2b·c=0,所以k++2=0,解得k=-
3.5.xx·吉林三模已知平面向量a,b的夹角为120°,且a·b=-1,则|a-b|的最小值为 A.B.C.D.1解析选A 由题意可知-1=a·b=|a|·|b|cos120°,所以2=|a|·|b|≤,即|a|2+|b|2≥4,当且仅当|a|=|b|时等号成立,|a-b|2=a2-2a·b+b2=a2+b2+2≥4+2=6,所以|a-b|≥,所以|a-b|的最小值为.6.xx·河北石家庄一模已知三个向量a,b,c共面,且均为单位向量,a·b=0,则|a+b-c|的取值范围是 A.[-1,+1]B.[1,]C.[,]D.[-11]解析选A 法一因为a·b=0,所以|a+b|2=a2+2a·b+b2=2,所以|a+b|=.所以|a+b-c|2=a2+b2+c2+2a·b-2a+b·c=3-2a+b·c.当c与a+b同向时,a+b·c最大,|a+b-c|2最小,此时a+b·c=|a+b||c|·cos0°=,|a+b-c|2=3-2=-12,所以|a+b-c|min=-1;当c与a+b反向时,a+b·c最小,|a+b-c|2最大,此时a+b·c=|a+b|·|c|cosπ=-,|a+b-c|2=3+2=+12,所以|a+b-c|max=+
1.所以|a+b-c|的取值范围为[-1,+1].故选A.法二由题意不妨设a=10,b=01,c=cosθ,sinθ0≤θ2π.则a+b-c=1-cosθ,1-sinθ,|a+b-c|==,令t=3-2sin,则3-2≤t≤3+2,故|a+b-c|∈[-1,+1].对点练三 平面向量与其他知识的综合问题1.xx·丰台期末在△ABC中,若·+2·=·,则的值为 A.B.C.D.解析选A 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,由·+2·=·,得ac×+2bc×=ab×,化简可得a=c.由正弦定理得==.2.xx·吉林质检已知A-20,B20,动点Px,y满足·=x2,则动点P的轨迹为 A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.两条平行直线解析选D 因为动点Px,y满足·=x2,所以-2-x,-y·2-x,-y=x2,所以点P的轨迹方程为y2=4,即y=±2,所以动点P的轨迹为两条平行的直线.3.已知点M10,A,B是椭圆+y2=1上的动点,且MA―→·=0,则·的取值范围是 A.B.C.D.解析选C 由·=0,可得·=·-=2设A2cosα,sinα,则2=2cosα-12+sin2α=3cos2α-4cosα+2=32+,所以当cosα=时,2取得最小值,当cosα=-1时,2取得最大值9,故·的取值范围为.
4.已知点G是△ABC的外心,,,是三个单位向量,且2++=0,△ABC的顶点B,C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动,如图所示,点O是坐标原点,则||的最大值为 A.1B.2C.3D.4解析选B 因为点G是△ABC的外心,且2++=0,所以点G是BC的中点,△ABC是直角三角形,且∠BAC是直角.又,,是三个单位向量,所以BC=2,又△ABC的顶点B,C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动,在Rt△BOC中,OG是斜边BC上的中线,则|OG|=|BC|=1,所以点G的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧.又||=1,所以当OA经过BC的中点G时,||取得最大值,且最大值为2||=
2.5.已知a,b满足|a|=,|b|=1,且对任意的实数x,不等式|a+xb|≥|a+b|恒成立,设a,b的夹角为θ,则tan2θ=________.解析如图所示,当a+b⊥b时,对任意的实数x,a+xb=或a+xb=,因为在直角三角形中,斜边大于直角边恒成立,数形结合知,不等式|a+xb|≥|a+b|恒成立,因为a+b⊥b,a,b满足|a|=,|b|=1,所以a+b·b=0,a·b+b2=0,tanθ=-,tan2θ==
2.答案2[大题综合练——迁移贯通]1.xx·江西南昌三校联考已知A,B,C是△ABC的内角,a,b,c分别是其对边长,向量m=,cosA+1,n=sinA,-1,m⊥n.1求角A的大小;2若a=2,cosB=,求b的值.解1∵m⊥n,∴m·n=sinA+cosA+1×-1=0,∴sinA-cosA=1,∴sin=.∵0Aπ,∴-A-,∴A-=,∴A=.2在△ABC中,A=,a=2,cosB=,∴sinB===.由正弦定理知=,∴b===,∴b=.
2.已知向量a=cosα,sinα,b=cosβ,sinβ,c=-10.1求向量b+c的模的最大值;2设α=,且a⊥b+c,求cosβ的值.解1b+c=cosβ-1,sinβ,则|b+c|2=cosβ-12+sin2β=21-cosβ.因为-1≤cosβ≤1,所以0≤|b+c|2≤4,即0≤|b+c|≤
2.当cosβ=-1时,有|b+c|=2,所以向量b+c的模的最大值为
2.2若α=,则a=.又由b=cosβ,sinβ,c=-10得a·b+c=·cosβ-1,sinβ=cosβ+sinβ-.因为a⊥b+c,所以a·b+c=0,即cosβ+sinβ=1,所以sinβ=1-cosβ,平方后化简得cosβcosβ-1=0,解得cosβ=0或cosβ=
1.经检验cosβ=0或cosβ=1即为所求.3.已知平面上一定点C20和直线l x=8,P为该平面上一动点,作PQ⊥l,垂足为Q,且eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1+\f12·eq\b\lc\[\rc\\a\vs4\al\co1-\f12=
0.1求动点P的轨迹方程;2若EF为圆N x2+y-12=1的任意一条直径,求·的最值.解1设Px,y,则Q8,y.由eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1+\f12·eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1-\f12=0,得||2-||2=0,即2-x2+-y2-8-x2=0,化简得+=
1.所以动点P在椭圆上,其轨迹方程为+=
1.2易知=+,=+,且+=0,由题意知N01,所以·=2-2=-x2+1-y2-1=16+y-12-1=-y2-2y+16=-y+32+
19.因为-2≤y≤2,所以当y=-3时,·取得最大值19,当y=2时,·取得最小值12-
4.综上,·的最大值为19,最小值为12-
4.。