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1.2 垂线知识要点分类练 夯实基础知识点1 垂直的定义1.如图5-1-18,直线AB与CD相交,1若∠AOC=90°,则AB________CD;2若AB⊥CD,则∠AOC的度数为________.图5-1-182.如图5-1-19,OA⊥OB,若∠1=35°,则∠2的度数是 图5-1-19A.35°B.45°C.55°D.70°3.下列能说明两条直线互相垂直的是
①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角;
②两条直线相交所成的四个角相等;
③两条直线相交,有一组邻补角相等;
④两条直线相交,对顶角互补.A.
①③B.
①②③C.
②③④D.
①②③④4.如图5-1-20,若CD⊥EF,∠1=∠2,则AB⊥EF,请说明理由补全解题过程.解因为CD⊥EF,所以∠1=________°垂直的定义,所以∠2=∠1=________°,所以AB______EF垂直的定义.图5-1-205.如图5-1-21,直线AB,CD,EF都经过点O,且AB⊥CD,∠COE=35°,求∠DOF,∠BOF的度数.图5-1-21知识点2 垂线的性质及画法6.下列选项中,利用三角板过点P画AB的垂线CD,方法正确的是 图5-1-227.在同一平面内,下列语句正确的是 A.过一点有无数条直线与已知直线垂直B.和一条直线垂直的直线有两条C.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D.若两直线相交,则它们一定垂直8.如图5-1-23,如果直线ON⊥直线a,直线OM⊥直线a,那么OM与ON重合,其理由是______________________________________.图5-1-239.如图5-1-
24.
①过点P画AB的垂线;
②过点P分别画OA,OB的垂线;
③过点A画BC的垂线.图5-1-24知识点3 垂线段的定义及性质10.如图5-1-25,下列说法不正确的是 图5-1-25A.点B到AC的垂线段是线段ABB.点C到AB的垂线段是线段ACC.线段AD是点D到BC的垂线段D.线段BD是点B到AD的垂线段11.如图5-1-26,想在河堤两岸搭建一座桥,图中搭建方式中,最短的是PB,理由是________________________________________________________________________.图5-1-26知识点4 点到直线的距离12.如图5-1-27,△ABC是锐角三角形,过点C作CD⊥AB,垂足为D,则点C到直线AB的距离是 图5-1-27A.线段CA的长B.线段CD的长C.线段AD的长D.线段AB的长13.如图5-1-28,A是直线l外一点,点B,C,E,D在直线l上,且AD⊥l,D为垂足,如果量得AC=8cm,AD=6cm,AE=7cm,AB=13cm,那么点A到直线l的距离是 图5-1-28A.13cmB.8cmC.7cmD.6cm规律方法综合练 提升能力14.已知直线m外的一点P,它到直线m上三点A,B,C的距离分别是6cm,3cm,5cm,则点P到直线m的距离为 A.3cmB.5cmC.6cmD.不大于3cm15.如图5-1-29,点O在直线l上,当∠1与∠2满足条件______________时,OA⊥OB.图5-1-2916.将两块相同的三角尺的直角顶点重合并如图5-1-30所示放置.若∠AOD=110°,则∠BOC的度数为________.图5-1-3017.画图并回答1如图5-1-31,点P在∠AOB的边OA上.
①过点P画OA的垂线交OB于点C;
②画点P到OC的垂线段PM.2指出上述作图中哪一条线段的长度表示点P到OC边的距离.3比较PM,PC与OC的大小,并说明理由.图5-1-3118.如图5-1-32,直线AB,CD相交于点O,OD平分∠AOF,OE⊥CD,垂足为O,∠1=50°,求∠BOC,∠BOF的度数.图5-1-3219.如图5-1-33,O为直线AB上一点,∠BOC=3∠AOC,OC平分∠AOD.1求∠AOC的度数;2猜测OD与AB的位置关系,并说明理由.图5-1-33 拓广探究创新练 冲刺满分20.如图5-1-34,O为直线AB上一点,OC为一射线,OE平分∠AOC,OF平分∠BOC.1若∠BOC=50°,试探究OE与OF的位置关系;2若∠BOC=α0°<α<180°,1中的OE与OF的位置关系是否仍成立?请说明理由,由此你发现了什么规律?图5-1-34教师详解详析1.⊥ 90°2.C [解析]∵OA⊥OB,∴∠AOB=90°.又∵∠1=35°,∴∠2=90°-35°=55°.故选C.3.D 4.90 90 ⊥5.解∵∠COE=35°,∴∠DOF=∠COE=35°.∵AB⊥CD,∴∠BOD=90°,∴∠BOF=∠BOD+∠DOF=90°+35°=125°.6.C 7.C8.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直9.解如图所示.10.C 11.垂线段最短 12.B 13.D14.D [解析]由题意知PBPCPA.但PB不一定垂直于直线m.由“垂线段最短”知,点P到直线m的距离小于或等于3cm.故选D.15.∠1+∠2=90°16.70° [解析]因为∠AOB=∠COD=90°,∠AOD=110°,所以∠AOC=∠AOD-∠COD=20°,所以∠BOC=∠AOB-∠AOC=70°.17.解1
①②如图.2点P到OC边的距离是线段PM的长.3PMPCOC.理由垂线段最短.18.解因为OE⊥CD,∠1=50°,所以∠AOD=90°-∠1=40°.因为∠BOC与∠AOD是对顶角,所以∠BOC=∠AOD=40°.因为OD平分∠AOF,所以∠DOF=∠AOD=40°.所以∠BOF=180°-∠BOC-∠DOF=180°-40°-40°=100°.19.解1设∠AOC的度数为x°.根据题意可知,∠BOC的度数为3x°.∵∠AOC+∠BOC=180°,∴x+3x=180,解得x=45,∴∠AOC=45°.2OD与AB垂直.理由∵OC平分∠AOD,∴∠COD=∠AOC=45°,∴∠AOD=∠AOC+∠COD=45°+45°=90°,∴OD⊥AB.20.解1由邻补角的定义,可得∠AOC=180°-∠BOC=130°.因为OE平分∠AOC,OF平分∠BOC,所以∠COF=∠BOC=25°,∠COE=∠AOC=65°,所以∠EOF=∠COF+∠COE=90°,即OE⊥OF.2OE⊥OF仍成立.理由由邻补角的定义,可得∠AOC=180°-α.因为OE平分∠AOC,OF平分∠BOC,所以∠COF=∠BOC=α,∠COE=∠AOC=180°-α=90°-α.所以∠EOF=∠COF+∠COE=α+90°-α=90°,即OE⊥OF.由此发现无论∠BOC的度数是多少,∠EOF总等于90°,即邻补角的平分线互相垂直.。