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《第28章锐角三角函数》单元测试卷一.选择题(共10小题)1.Rt△ABC中,∠C=90°,cosA=,AC=6cm,那么BC等于( )A.8cmB.cmC.cmD.cm2.已知<cosA<sin80°,则锐角A的取值范围是( )A.60°<A<80°B.30°<A<80°C.10°<A<60°D.10°<A<30°3.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA=,则cosA的值为( )A.B.C.D.4.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinB=,则tanA的值为( )A.B.C.D.5.在△ABC中,∠C=90°,,则∠B为( )A.30°B.45°C.60°D.90°6.计算sin20°﹣cos20°的值是(保留四位有效数字)( )A.﹣
0.5976B.
0.5976C.﹣
0.5977D.
0.59777.在Rt△ABC中,∠C=90°,cosA=,AC=,则BC等于( )A.B.1C.2D.38.如图,为了测量河岸A,B两点的距离,在与AB垂直的方向上取点C,测得AC=a,∠ABC=α,那么AB等于( )A.a•sinαB.a•cosαC.a•tanαD.9.如图,一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米,已知cosα=,则小车上升的高度是( )A.5米B.6米C.
6.5米D.12米10.如图,学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度,他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°,然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°,已知斜坡CD的长度为20m,DE的长为10m,则树AB的高度是( )m.A.20B.30C.30D.40二.填空题(共5小题)11.如图,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则tanA的值为 .12.有四个命题
①若45°<a<90°,则sina>cosa;
②已知两边及其中一边的对角能作出唯一一个三角形;
③已知x1,x2是关于x的方程2x2+px+p+1=0的两根,则x1+x2+x1x2的值是负数;
④某细菌每半小时分裂一次(每个分裂为两个),则经过2小时它由1个分裂为16个.其中正确命题的序号是 (注把所有正确命题的序号都填上).13.若0°<α<90°,,则sinα= .14.在△ABC中,∠C=90°,sinA=,则tanB= .15.已知α为锐角,且sin(α﹣10°)=,则α等于 度.三.解答题(共6小题)16.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6,点D为AC中点,点E为边AB上一动点,点F为射线BC上一动点,且∠FDE=90°.
(1)当DF∥AB时,连接EF,求∠DEF的余切值;
(2)当点F在线段BC上时,设AE=x,BF=y,求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(3)连接CE,若△CDE为等腰三角形,求BF的长.17.下列关系式是否成立(0<α<90°),请说明理由.
(1)sinα+cosα≤1;
(2)sin2α=2sinα.18.计算tan260°﹣2sin30°﹣cos45°.19.如图,△ABC中,∠ACB=90°,sinA=,BC=8,D是AB中点,过点B作直线CD的垂线,垂足为点E.
(1)求线段CD的长;
(2)求cos∠ABE的值.20.随着人们经济收入的不断提高,汽车已越来越多地进入到各个家庭.某大型超市为缓解停车难问题,建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图.按规定,停车场坡道口上坡要张贴限高标志,以便告知车辆能否安全驶入.如图,地面所在的直线ME与楼顶所在的直线AC是平行的,CD的厚度为
0.5m,求出汽车通过坡道口的限高DF的长(结果精确到
0.1m,sin28°≈
0.47,cos28°≈
0.88,tan28°≈
0.53).21.2013年9月23日强台风“天兔”登录深圳,伴随着就是狂风暴雨.梧桐山山坡上有一棵与水平面垂直的大树,台风过后,大树被刮倾斜后折断倒在山坡上,树的顶部恰好接触到坡面(如图所示).已知山坡的坡角∠AEF=23°,量得树干的倾斜角为∠BAC=38°,大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°,AD=3m.
(1)求∠DAC的度数;
(2)求这棵大树折断前的高度.(结果保留根号)2019年人教版九下数学《第28章锐角三角函数》单元测试卷参考答案与试题解析一.选择题(共10小题)1.Rt△ABC中,∠C=90°,cosA=,AC=6cm,那么BC等于( )A.8cmB.cmC.cmD.cm【分析】首先利用锐角三角函数的定义求出斜边的长度,再运用勾股定理即可求解.【解答】解∵在Rt△ABC中,∠C=90°,cosA==,AC=6cm,∴AB=10cm,∴BC==8cm.故选A.【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义在直角三角形中,锐角的余弦为邻边比斜边,同时考查了勾股定理.2.已知<cosA<sin80°,则锐角A的取值范围是( )A.60°<A<80°B.30°<A<80°C.10°<A<60°D.10°<A<30°【分析】首先明确cos30°=,sin80°=cos10°,再根据余弦函数随角增大而减小,进行分析.【解答】解∵cos30°=,sin80°=cos10°,余弦函数随角增大而减小,∴10°<A<30°.故选D.【点评】熟记特殊角的三角函数值,了解锐角三角函数的增减性是解题的关键;还要知道正余弦之间的转换方法一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值.3.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA=,则cosA的值为( )A.B.C.D.【分析】根据同一锐角的正弦与余弦的平方和是1,即可求解.【解答】解∵sin2A+cos2A=1,即()2+cos2A=1,∴cos2A=,∴cosA=或﹣(舍去),∴cosA=.故选D.【点评】此题主要考查了同角的三角函数,关键是掌握同一锐角的正弦与余弦之间的关系对任一锐角α,都有sin2α+cos2α=1.4.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinB=,则tanA的值为( )A.B.C.D.【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦,可得∠A的余弦,根据同角三角函数的关系,可得∠A的正弦,∠A的正切.【解答】解由Rt△ABC中,∠C=90°,sinB=,得cosA=sinB=.由sin2A+cos2A=1,得sinA==,tanA===.故选D.【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系,利用一个角的余弦等于它余角的正弦得出∠A的余弦是解题关键.5.在△ABC中,∠C=90°,,则∠B为( )A.30°B.45°C.60°D.90°【分析】根据60°角的正弦值等于解答.【解答】解∵sin60°=,∴∠B=60°.故选C.【点评】本题考查了特殊角的三角函数值,熟记30°、45°、60°的三角函数值是解题的关键.6.计算sin20°﹣cos20°的值是(保留四位有效数字)( )A.﹣
0.5976B.
0.5976C.﹣
0.5977D.
0.5977【分析】本题要求熟练应用计算器,对计算器给出的结果,根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数.【解答】解按MODE,出现DEG,按sin20﹣cos20,=后,显示﹣
0.5977.故选C.【点评】本题考查了熟练应用计算器的能力.7.在Rt△ABC中,∠C=90°,cosA=,AC=,则BC等于( )A.B.1C.2D.3【分析】根据题意画出图形,利用勾股定理求出BC的长.【解答】解如图∵cosA=,∴=,又∵AC=,∴BC==1.故选B.【点评】本题主要考查了解直角三角形,画出图形并利用勾股定理和三角函数是解题的关键.8.如图,为了测量河岸A,B两点的距离,在与AB垂直的方向上取点C,测得AC=a,∠ABC=α,那么AB等于( )A.a•sinαB.a•cosαC.a•tanαD.【分析】根据已知角的正切值表示即可.【解答】解∵AC=a,∠ABC=α,在直角△ABC中tanα=,∴AB=.故选D.【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用,正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键.9.如图,一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米,已知cosα=,则小车上升的高度是( )A.5米B.6米C.
6.5米D.12米【分析】在Rt△ABC中,先求出AB,再利用勾股定理求出BC即可.【解答】解如图AC=13,作CB⊥AB,∵cosα==,∴AB=12,∴BC===5,∴小车上升的高度是5m.故选A.【点评】此题主要考查解直角三角形,锐角三角函数,勾股定理等知识,解题的关键是学会构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型.10.如图,学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度,他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°,然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°,已知斜坡CD的长度为20m,DE的长为10m,则树AB的高度是( )m.A.20B.30C.30D.40【分析】先根据CD=20米,DE=10m得出∠DCE=30°,故可得出∠DCB=90°,再由∠BDF=30°可知∠DBE=60°,由DF∥AE可得出∠BGF=∠BCA=60°,故∠GBF=30°,所以∠DBC=30°,再由锐角三角函数的定义即可得出结论.【解答】解在Rt△CDE中,∵CD=20m,DE=10m,∴sin∠DCE==,∴∠DCE=30°.∵∠ACB=60°,DF∥AE,∴∠BGF=60°∴∠ABC=30°,∠DCB=90°.∵∠BDF=30°,∴∠DBF=60°,∴∠DBC=30°,∴BC===20m,∴AB=BC•sin60°=20×=30m.故选B.方法二可以证明△DGC≌△BGF,所以BF=DC=20,所以AB=20+10=30,故选B.【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键.二.填空题(共5小题)11.如图,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则tanA的值为 .【分析】首先构造以A为锐角的直角三角形,然后利用正切的定义即可求解.【解答】解连接CD.则CD=,AD=,则tanA===.故答案是.【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边,构造直角三角形是本题的关键.12.有四个命题
①若45°<a<90°,则sina>cosa;
②已知两边及其中一边的对角能作出唯一一个三角形;
③已知x1,x2是关于x的方程2x2+px+p+1=0的两根,则x1+x2+x1x2的值是负数;
④某细菌每半小时分裂一次(每个分裂为两个),则经过2小时它由1个分裂为16个.其中正确命题的序号是
①④ (注把所有正确命题的序号都填上).【分析】一个锐角的正弦值随着角的增大而增大,余弦值随着角的增大而减小;判定三角形求全等的方法SSS、SAS、ASA、AAS;一元二次方程的根与系数的关系两根之和等于一次项系数的相反数除以二次项系数,两根之积等于常数项除以二次项系数;半小时每个分裂成2个,则2小时由1个分裂为24个.【解答】解
①因为sin45°=cos45°=,再结合锐角三角函数的变化规律,故此选项正确;
②不一定能够判定两个三角形全等,故此选项错误;
③根据根与系数的关系,得x1+x2=﹣,x1x2=.∴x1+x2+x1x2=,是正数.故此选项错误;
④根据题意,得2小时它由1个分裂24个,即16个,故此选项正确.故正确的有
①④.【点评】此题涉及的知识的综合性较强.综合考查了锐角三角函数的知识、全等三角形的判定方法、一元二次方程根与系数的关系等知识.13.若0°<α<90°,,则sinα= .【分析】画出直角三角形,根据tanB==设AC=k,BC=2k,由勾股定理求出AB=k,代入sinα=sinB=求出即可.【解答】解如图在Rt△ACB中,∠C=90°,∠B=α,tanB==,设AC=k,BC=2k,由勾股定理得AB=k,则sinα=sinB===,故答案为.【点评】本题考查了勾股定理,解直角三角形的应用,主要考查学生的计算能力.14.在△ABC中,∠C=90°,sinA=,则tanB= .【分析】设BC=4x,AB=5x,由勾股定理求出AC=3x,代入tanB=求出即可.【解答】解∵sinA==,∴设BC=4x,AB=5x,由勾股定理得AC==3x,∴tanB===,故答案为.【点评】本题考查了解直角三角形,勾股定理的应用,注意在Rt△ACB中,∠C=90°,则sinA=,cosA=,tanA=.15.已知α为锐角,且sin(α﹣10°)=,则α等于 70 度.【分析】根据sin60°=解答.【解答】解∵α为锐角,sin(α﹣10°)=,sin60°=,∴α﹣10°=60°,∴α=70°.【点评】此题比较简单,只要熟记特特殊角的三角函数值即可.三.解答题(共6小题)16.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6,点D为AC中点,点E为边AB上一动点,点F为射线BC上一动点,且∠FDE=90°.
(1)当DF∥AB时,连接EF,求∠DEF的余切值;
(2)当点F在线段BC上时,设AE=x,BF=y,求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(3)连接CE,若△CDE为等腰三角形,求BF的长.【分析】
(1)先根据勾股定理求出AB的长,再由三角形的中位线定理求出DF、DE的长,由锐角三角函数的定义即可求出∠DEF的余切值;
(2)过点E作EH⊥AC于点H,由平行线的性质及等腰三角形的性质可求出HE、HD的表达式,再由相似三角形的判定定理求出△HDE∽△CFD,根据相似三角形的性质可写出y关于x的函数关系式;
(3)先分析出△DCE为等腰三角形时的两种情况,再根据题意画出图形,当DC=DE时,点F在边BC上,过点D作DG⊥AE于点G,可求出AE的长度,由AE的长可判断出F的位置,进而可求出BF的长;当ED=EC时,先判断出点F的位置,再根据相似三角形的性质及判定定理即可解答.【解答】解
(1)∵AC=BC=6,∠ACB=90°,∴,∵DF∥AB,,∴,(1分)∴,(1分)在Rt△DEF中,;(2分)
(2)过点E作EH⊥AC于点H,设AE=x,∵BC⊥AC,∴EH∥BC,∴∠AEH=∠B,∵∠B=∠A,∴∠AEH=∠A,,(1分)∴,又可证△HDE∽△CFD,∴,(1分)∴,∴;(2分)
(3)∵,CD=3,∴CE>CD,∴若△DCE为等腰三角形,只有DC=DE或ED=EC两种可能.(1分)当DC=DE时,点F在边BC上,过点D作DG⊥AE于点G(如图
①)可得,即点E在AB中点,∴此时F与C重合,∴BF=6;(2分)当ED=EC时,点F在BC的延长线上,过点E作EM⊥CD于点M,(如图
②)可证∵EM⊥CD,∴△DME是直角三角形,∵DE⊥DF,∴∠EDM+∠FDC=90°,∵∠FDC+∠F=90°,∴∠F=∠EDM.∴△DFC∽△DEM,∴,∴,∴CF=1,∴BF=7,(2分)综上所述,BF为6或7.【点评】本题是一道综合题,涉及到锐角三角函数的定义、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质,涉及面较广,难度较大.17.下列关系式是否成立(0<α<90°),请说明理由.
(1)sinα+cosα≤1;
(2)sin2α=2sinα.【分析】
(1)利用三角函数的定义和三角形的三边关系得到该结论不成立;
(2)举出反例进行论证.【解答】解
(1)该不等式不成立,理由如下如图,在△ABC中,∠B=90°,∠C=α.则sinα+cosα=+=>1,故sinα+cosα≤1不成立;
(2)该等式不成立,理由如下假设α=30°,则sin2α=sin60°=,2sinα=2sin30°=2×=1,∵≠1,∴sin2α≠2sinα,即sin2α=2sinα不成立.【点评】本题考查了同角三角函数的关系.解题的关键是掌握锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值.18.计算tan260°﹣2sin30°﹣cos45°.【分析】将特殊角的三角函数值代入求解.【解答】解原式=()2﹣2×﹣×=3﹣1﹣1=1.【点评】本题考查了特殊角的三角函数值,解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值.19.如图,△ABC中,∠ACB=90°,sinA=,BC=8,D是AB中点,过点B作直线CD的垂线,垂足为点E.
(1)求线段CD的长;
(2)求cos∠ABE的值.【分析】
(1)在△ABC中根据正弦的定义得到sinA==,则可计算出AB=10,然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD=AB=5;
(2)在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC=6,在根据三角形面积公式得到S△BDC=S△ADC,则S△BDC=S△ABC,即CD•BE=•AC•BC,于是可计算出BE=,然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解.【解答】解
(1)在△ABC中,∵∠ACB=90°,∴sinA==,而BC=8,∴AB=10,∵D是AB中点,∴CD=AB=5;
(2)在Rt△ABC中,∵AB=10,BC=8,∴AC==6,∵D是AB中点,∴BD=5,S△BDC=S△ADC,∴S△BDC=S△ABC,即CD•BE=•AC•BC,∴BE==,在Rt△BDE中,cos∠DBE===,即cos∠ABE的值为.【点评】本题考查了解直角三角形在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式.20.随着人们经济收入的不断提高,汽车已越来越多地进入到各个家庭.某大型超市为缓解停车难问题,建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图.按规定,停车场坡道口上坡要张贴限高标志,以便告知车辆能否安全驶入.如图,地面所在的直线ME与楼顶所在的直线AC是平行的,CD的厚度为
0.5m,求出汽车通过坡道口的限高DF的长(结果精确到
0.1m,sin28°≈
0.47,cos28°≈
0.88,tan28°≈
0.53).【分析】首先根据AC∥ME,可得∠CAB=∠AE28°,再根据三角函数计算出BC的长,进而得到BD的长,进而求出DF即可.【解答】解∵AC∥ME,∴∠CAB=∠AEM,在Rt△ABC中,∠CAB=28°,AC=9m,∴BC=ACtan28°≈9×
0.53=
4.77(m),∴BD=BC﹣CD=
4.77﹣
0.5=
4.27(m),在Rt△BDF中,∠BDF+∠FBD=90°,在Rt△ABC中,∠CAB+∠FBC=90°,∴∠BDF=∠CAB=28°,∴DF=BDcos28°≈
4.27×
0.88=
3.7576≈
3.8(m),答坡道口的限高DF的长是
3.8m.【点评】此题考查了三角函数的基本概念,主要是正弦、正切概念及运算,关键把实际问题转化为数学问题加以计算.利用三角函数首先要确定直角三角形.21.2013年9月23日强台风“天兔”登录深圳,伴随着就是狂风暴雨.梧桐山山坡上有一棵与水平面垂直的大树,台风过后,大树被刮倾斜后折断倒在山坡上,树的顶部恰好接触到坡面(如图所示).已知山坡的坡角∠AEF=23°,量得树干的倾斜角为∠BAC=38°,大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°,AD=3m.
(1)求∠DAC的度数;
(2)求这棵大树折断前的高度.(结果保留根号)【分析】
(1)延长BA交EF于点G,利用三角形外角性质即可求出所求角的度数;
(2)过A作CD的垂线,垂足为H,在直角三角形ADH中,求出∠DAH=30°,利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出DH与AH的长,确定出三角形ACH为等腰直角三角形,求出CH,AH的长,由AC+CH+HD求出大树高即可.【解答】解
(1)延长BA交EF于一点G,如图所示,则∠DAC=180°﹣∠BAC﹣∠GAE=180°﹣38°﹣(90°﹣23°)=75°;
(2)过点A作CD的垂线,设垂足为H,在Rt△ADH中,∠ADC=60°,∠AHD=90°,∴∠DAH=30°,∵AD=3,∴DH=,AH=,在Rt△ACH中,∠CAH=∠CAD﹣∠DAH=75°﹣30°=45°,∴∠C=45°,∴CH=AH=,AC=,则树高++(米).【点评】此题属于解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题,涉及的知识有勾股定理,含30度直角三角形的性质,特殊角的三角函数值,以及外角性质,熟练掌握性质及定理是解本题的关键.。