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19.3 正方形
1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是 C A对角线相等B对角线互相垂直C对角线互相平分D对角线平分一组对角
2.下列命题错误的是 C A对角线互相平分的四边形是平行四边形B对角线相等的平行四边形是矩形C一条对角线平分一组对角的四边形是菱形D对角线互相垂直的矩形是正方形
3.已知四边形ABCD中∠A=∠B=∠C=∠D如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形那么这个条件可以是 D A∠D=90°BAB=CDCAD=BCDBC=CD
4.如图把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开折痕为MN再过点B折叠纸片使点A落在MN上的点F处折痕为BE.若AB的长为2则FM的长为 B A2BCD
15.能使平行四边形ABCD为正方形的条件是 AC=BD且AC⊥BD答案不唯一 填上一个条件即可.
6.如图在四边形ABCD中AB=BC=CD=DA对角线AC与BD相交于点O若不增加任何字母与辅助线要使四边形ABCD是正方形则还需增加一个条件是 AC=BD或AB⊥BC答案不唯一 .
7.如图正方形ABCD的边长为2点E在AB边上.四边形EFGB也为正方形则△AFC的面积为 2 .
8.xx武汉以正方形ABCD的边AD作等边△ADE则∠BEC的度数是 30°或150° .
9.已知:如图四边形ABCD是正方形分别过点AC两点作l1∥l2作BM⊥l1于MDN⊥l1于N直线MBDN分别交l2于QP点.求证:四边形PQMN是正方形.证明:因为PN⊥l1QM⊥l1所以PN∥QM∠PNM=90°.因为PQ∥NM所以四边形PQMN是矩形.因为四边形ABCD是正方形所以∠BAD=∠ADC=90°AB=AD=DC.所以∠1+∠2=90°.又∠3+∠2=90°所以∠1=∠
3.所以△ABM≌△DAN.所以AM=DN.同理AN=DP.所以AM+AN=DN+DP即MN=PN.所以四边形PQMN是正方形.
10.已知:如图四边形ABCD中AD∥BCAD=CDE是对角线BD上一点且EA=EC.1求证:四边形ABCD是菱形;2如果BE=BC且∠CBE∶∠BCE=2∶3求证:四边形ABCD是正方形.证明:1在△ADE与△CDE中所以△ADE≌△CDES.S.S.所以∠ADE=∠CDE因为AD∥BC所以∠ADE=∠CBD所以∠CDE=∠CBD所以BC=CD因为AD=CD所以BC=AD所以四边形ABCD为平行四边形因为AD=CD所以四边形ABCD是菱形.2因为BE=BC所以∠BCE=∠BEC因为∠CBE∶∠BCE=2∶3所以∠CBE=180°×=45°因为四边形ABCD是菱形所以∠ABE=45°所以∠ABC=90°所以四边形ABCD是正方形.
11.开放探究题已知如图在△ABC中AB=ACAD⊥BC垂足为点DAN是△ABC外角∠CAM的平分线CE⊥AN垂足为点E.1求证:四边形ADCE为矩形;2当△ABC满足什么条件时四边形ADCE是一个正方形并说明理由.1证明:因为ADAN分别是∠BAC的内角、外角平分线所以∠BAD=∠CAD∠CAE=∠MAE.因为∠BAD+∠CAD+∠CAE+∠MAE=180°.所以2∠CAD+2∠CAE=180°.所以∠CAD+∠CAE=90°即∠DAE=90°因为AD⊥BCCE⊥AN所以∠ADC=∠AEC=∠DAE=90°所以四边形ADCE是矩形.2解:当△ABC是以∠BAC为直角的等腰直角三角形时四边形ADCE是正方形.理由如下:因为△ABC是以∠BAC为直角的等腰直角三角形AD⊥BC所以∠CAD=∠BAD=45°.∠ACD=45°.所以∠CAD=∠ACD=45°.所以AD=CD.因为四边形ADCE是矩形所以四边形ADCE是正方形.
12.拓展探究题如图四边形ABCDDEFG都是正方形连结AECG.1求证:AE=CG;2观察图形猜想AE与CG之间的位置关系并证明你的猜想.1证明:因为AD=CDDE=DG∠ADC=∠GDE=90°又∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE所以△ADE≌△CDG.所以AE=CG.2解:猜想:AE⊥CG.证明:如图设AE与CG交点为MAD与CG交点为N.由1得△ADE≌△CDG所以∠DAE=∠DCG.又因为∠ANM=∠CND所以∠CND+∠DCN=90°即∠ANM+∠DAE=90°所以∠AMN=∠ADC=90°.所以AE⊥CG.。