2019年春八年级数学下册第19章矩形、菱形与正方形19.3正方形课堂练习（新版）华东师大版

第19章　矩形、菱形与正方形

19.3正方形1．在四边形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，能判定这个四边形为正方形的是　　A．AD∥BC，∠B＝∠DB．AC＝BD，AB＝CD，AD＝BCC．OA＝OC，OB＝OD，AB＝BCD．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD2．如图，点E是正方形ABCD的对角线BD上的一点，DE≠EB，则图中的全等三角形的对数共有　　A．1对　　B．2对　　C．3对　　D．4对3．如图，四边形ABCD是正方形，延长BC至点E，使CE＝CA，连结AE，交CD于点F，则∠AFC的度数是　　A．150°B．125°C．135°D．

112.5°4．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED的度数为____．5．[兰州]在平行四边形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件

①AB⊥AD，且AB＝AD；

②AB＝BD，且AB⊥BD；

③OB＝OC，且OB⊥OC；

④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是________．6．[xx·广安]如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上的点，连结AM，延长AD至点E，使得AE＝AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F.求证AB＝EF.7．[xx·洛宁县期末]如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连结EB、ED.1写出图中所有的全等三角形；2延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°，求∠AFE的度数．8．[xx·灵石县期末]如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是∠ABC的平分线，过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC交其延长线于点F.求证四边形ABFE是正方形．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证四边形CEDF是正方形．10．[xx·肥城市期末]如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝3，E为OC上一点，OE＝1，连结BE，过点A作AF⊥BE于点F，与BD交于点G.1BE与AG相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；2求AF的长．11．[xx·吉林改编]如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE，垂足为G.1求证AF＝BE；2如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等？请说明理由．图1　　图212．[xx·惠城区期末]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，过点A作直线AE交DO的延长线于点E，使∠EAB＝∠C，连结BE.1求证BC∥AE；2求证四边形AEBD是矩形；3当△ABC满足什么条件时，四边形AEBD是正方形，并说明理由．13．[xx·成都期末]如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连结DE.过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连结AG.1求证矩形DEFG是正方形；2求AG＋AE的值．14．[宿迁]如图，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且BE＝1，若点P在对角线BD上移动，则PA＋PE的最小值是________．参考答案1．D2．C3．D4．45°5．

①③④6．证明∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴∠EAF＝∠BMA.∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°＝∠B，在△ABM和△EFA中，∴△ABM≌△EFAAAS，∴AB＝EF.7．解1根据正方形的对称性，正方形ABCD关于直线AC成轴对称，所以全等的三角形有△ADC≌△ABC，△ADE≌△ABE，△DCE≌△BCE.2∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝CB，∠DCE＝∠BCE＝45°，且CE＝CE，∴△DCE≌△BCE，∴∠DEC＝∠BEC.∵∠DEB＝140°，∴∠DEC＝∠BEC＝70°，∴∠EBC＝65°，∵AD∥BC，∴∠AFE＝∠CBE＝65°.8．证明∵AE∥BC，∠ABC＝90°，∴∠ABC＋∠BAE＝180°，∴∠BAE＝90°.∵EF⊥BC于点F，∴∠F＝90°，∵∠F＝∠ABC＝∠BAE＝90°，∴四边形ABFE是矩形，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝45°，∴∠AEB＝∠EBF＝45°，∴∠ABE＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE，∴四边形ABFE是正方形．9．证明∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠DFC＝90°，∠DEC＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴四边形CEDF是矩形．∵DE＝DF，∴矩形CEDF是正方形．10．解1BE＝AG.证明∵AF⊥BE，∴∠AFE＝∠OAG＋AEF＝90°.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AO＝BO，∴∠AOG＝∠OAG＋∠AGO＝90°，∴∠AEF＝∠AGO.在△AOG和△BOE中，∴△AOG≌△BOEAAS，∴AG＝BE.2∵△AOB是等腰直角三角形，且AB＝3，∴BO＝

3.∵OE＝1，∴AE＝3＋1＝

4.由勾股定理得BE＝＝，S△ABE＝BE·AF＝AE·OB，∴××AF＝×4×3，∴AF＝.11．解1证明∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝AD，∠BAD＝∠D＝90°，∴∠FAD＋∠AFD＝90°.∵AF⊥BE，∴∠AGE＝90°，∴∠FAD＋∠AEG＝90°，∴∠AFD＝∠AEG，∴△DAF≌△ABEAAS，∴AF＝BE.2MP＝NQ.理由如答图，过点A作AF∥MP交CD于点F，过点B作BE∥NQ交AD于点E，得到BEQN和AFPM，∴AF＝MP，BE＝NQ.∵AF∥MP，BE∥NQ，MP⊥NQ，∴AF⊥BE，∴由1得AF＝BE，∴MP＝NQ.12．解1证明∵AB＝AC，∴∠CBA＝∠C.又∵∠EAB＝∠C，∴∠EAB＝∠CBA，∴BC∥AE.2证明∵点O为AB的中点，∴BO＝AO.在△BOD和△AOE中，∴△BOD≌△AOEASA，∴BD＝EA.∵BC∥AE，即BD∥AE，∴四边形AEBD是平行四边形．又∵在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠BDA＝90°，∴四边形AEBD是矩形．3当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形AEBD是正方形．理由如下∵AD是△ABC的角平分线，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠DBA＝∠BAD＝45°，∴BD＝DA.∵四边形AEBD是矩形，∴四边形AEBD是正方形．13．解1证明如答图，作EM⊥AD于点M，EN⊥AB于点N.∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAD＝∠EAB.∵EM⊥AD于点M，EN⊥AB于点N，∴EM＝EN.∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，∴四边形ANEM是正方形，∴∠MEN＝∠DEF＝90°，∴∠DEM＝∠FEN.∵∠EMD＝∠ENF＝90°，∴△EMD≌△ENF，∴ED＝EF，∵四边形DEFG是矩形，∴四边形DEFG是正方形．2∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠CDE，∴△ADG≌△CDE，∴AG＝CE，∴AE＋AG＝AE＋EC＝AC＝AD＝

4.14．【解析】作出点E关于BD的对称点E′交BC于E′，连结AE′与BD交于点P，此时AP＋PE最小，∵PE＝PE′，∴AP＋PE＝AP＋PE′＝AE′，在Rt△ABE′中，AB＝3，BE′＝BE＝1，根据勾股定理得AE′＝，则PA＋PE的最小值为.。