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文本内容:
18.
2.1 矩形第1课时学习目标
1.理解矩形的概念明确矩形与平行四边形的区别与联系.
2.探索并证明矩形的性质会用矩形的性质解决简单的问题.
3.探索并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个定理.学习过程
一、合作探究【问题探究一】矩形的定义阅读教材本节中的第一个“思考”前面内容解决下列问题:
1.有一个角是 的 叫矩形.
2.你能举出一些生活中矩形的实例吗【问题探究二】矩形的性质区别阅读教材本节中的第1个“思考”思考、讨论、合作交流后解决下列问题:
1.结合平行四边形的性质的探求过程你认为应该从哪几个方面探求矩形的性质
2.画一个矩形连接对角线度量它的四个角和对角线你有什么发现
3.你能证明你的猜想吗归纳总结:矩形的四个角都是 矩形的对交线 且 . 几何语言表述∵ ∴ 【问题探究三】直角三角形斜边上中线的特性.阅读教材本节中的第2个“思考”思考、讨论、合作交流后解决下列问题:
1.观察图所示的矩形寻找图形中的相等线段在Rt△ABC中有哪些相等线段你能得到什么结果
2.你能证明上述猜想吗写出证明过程:归纳总结:直角三角形斜边上中线等于 .
二、自主练习【例1】已知:如图矩形ABCD的两条对角线相交于点O∠AOB=60°AB=4求矩形对角线的长.【例2】补充已知:如图矩形ABCDAB长8cm对角线比AD边长4cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长.
三、跟踪练习
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 A.对角线相等B.对边相等C.对角相等D.对角线互相平分
2.在Rt△ABC中∠ABC=90°AC=10BO是斜边上的中线则BO的长为 .
3.如图在矩形ABCD中对角线ACBD相交于点O且AB=5BC=12则△ABO的周长为 .
4.如图矩形ABCD的对角线ACBD相交于点O∠AOB=60°AB=
4.求矩形对角线的长.
5.如图在矩形ABCD中AE平分∠BAD交BC于点EED=5EC=3求矩形的周长及对角线的长.
四、变式演练
1.如图在长方形ABCD中AB=6BC=8将长方形ABCD沿CE折叠后使点D恰好落在对角线AC上的点F处.1求EF的长.2求四边形ABCE的面积.
2.如图所示在矩形ABCD中E为AD上一点EF⊥CE交AB于点F若DE=2矩形的周长为16且CE=EF则AE的长为多少
五、达标检测
1.如图在矩形ABCD中AB=8BC=4将矩形沿AC折叠点D落在点E处且CE与AB交于F那么S△ACF为 A.12B.15C.6D.
102.如图在矩形ABCD中ACBD相交于点OAE平分∠BAD交BC于E.若∠EAO=15°则∠BOE的度数为 A.85°B.80°C.75°D.70°
3.如图矩形ABCD中对角线ACBD交于点O.若∠AOB=60°BD=8则AB的长为 A.4B.4C.3D.
54.根据图中数据可求阴影部分的面积和为 A.12B.10C.8D.
75.如图延长矩形ABCD的边BC至点E使CE=BD连接AE如果∠ADB=30°则∠E= 度.
6.如图在矩形ABCD中对角线ACBD相交于点O点EF分别是AOAD的中点若AB=6cmBC=8cm则△AEF的周长 cm.
7.Rt△ABC中∠BAC=90°AB=3AC=4P为边BC上一动点PE⊥AB于EPF⊥AC于FM为EF中点则AM的最小值为 .
8.如图将▱ABCD的边DC延长到点E使CE=DC连接AE交BC于点F.1求证:四边形ABEC是平行四边形;2连接ACBE若四边形ABEC是矩形则∠AFC与∠D应满足什么数量关系并说明理由.
9.如图长方形OABC中O为原点A40C06点B在第一象限点P从原点出发以每秒2个单位长度的速度沿O-A-B-C-O的路线移动.1直接写出点B的坐标 ; 2当点P移动了4秒时点P的坐标是 ; 3移动过程中当点P到x轴距离为5个单位长度时求点P移动的时间及此时点P到O点的距离.参考答案
一、合作探究【问题探究一】
1.直角;平行四边形
2.略【问题探究二】
1.内角、对角线.
2.1矩形的四个角都是直角. 2矩形的对角线相等.
3.猜想1:矩形的四个角都是直角.求证:矩形的四个角都是直角.已知:如图四边形ABCD是矩形求证:∠A=∠B=∠C=∠D=90°证明:∵四边形ABCD是矩形∴∠A=90°又矩形ABCD是平行四边形∴∠A=∠C∠B=∠D∠A+∠B=180°.∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.即矩形的四个角都是直角.猜想2:矩形的对角线相等.已知:如图四边形ABCD是矩形求证:AC=BD证明:在矩形ABCD中∵∠ABC=∠DCB=90°AB=DCBC=CB∴△ABC≌△DCB∴AC=BD即矩形的对角线相等.结论:矩形的对角线相等.数学语言:∵四边形ABCD是矩形∴AC=BD.归纳总结:矩形的四个角都是直角矩形的对交线相等且互相平分.几何语言表述:∵四边形ABCD是矩形∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.AC=BD.【问题探究三】
1.OA=OB=OC
2.如图在矩形ABCD中ACBD相交于点O由性质2有AO=BO=CO=DO=AC=BD.因此可以得到直角三角形的一个性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.归纳总结:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
二、自主学习
1.解:∵四边形ABCD是矩形∴AC与BD相等且互相平分.∴OA=OB.又∠AOB=60°∴△OAB是等边三角形.∴矩形的对角线长AC=BD=2OA=2×4=
8.
2.解:设AD=xcm则对角线长x+4cm在Rt△ABD中由勾股定理:x2+82=x+42解得x=
6.则AD=6cmAB=10cm.2S△ABD=AE·DB=AD·AB解得AE=
4.8cm.
三、跟踪练习
1.A
2.5
3.
184.解:∵四边形ABCD是矩形∴OA=ACOB=BDAC=BD∴OA=OB∵∠AOB=60°∴△AOB是等边三角形∴OA=AB=4∴AC=2OA=
8.即矩形的对角线长为
8.
5.解:如图连接BD.∵四边形ABCD是矩形∴∠C=90°AB=CDAD∥BC.∵ED=5EC=3∴DC2=DE2-CE2=25-9=16∴DC=4AB=
4.∵AD∥BC∴∠AEB=∠DAE.∵AE平分∠BAD∴∠BAE=∠DAE∴∠BAE=∠AEB∴BE=AB=4矩形的周长=2×4+3+4=
22.由勾股定理得:BD2=42+72∴BD=.答:矩形的周长为22对角线的长为.
四、变式演练
1.解:1∵四边形ABCD为矩形∴CD=AB=6AD=BC=8∠BAD=∠D=90°在Rt△ABC中AC==10∵长方形ABCD沿CE折叠后使点D恰好落在对角线AC上的点F处∴CF=CD=6ED=EF∠EFC=∠D=90°∴AF=10-6=4设EF=x则ED=xAE=8-x在Rt△AEF中x2+42=8-x2解得x=3即EF的长为
3.2四边形ABCE的面积=S△ABC+S△EAC=×6×8+×3×10=
39.
2.解:在矩形ABCD中∠A=∠D=90°.∵CE⊥EF∴∠AEF+∠DEC=90°.又∵∠AFE+∠AEF=90°∴∠AFE=∠DEC∴EF=CE∴△AEF≌△DCEAAS.∴AE=DC.又∵矩形的周长为16∴2AE+DE+DC=16即2AE+2=
8.∴AE=
3.
五、达标检测
1.D
2.C
3.A
4.C
5.15
6.9
7.
8.1证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CDAB=CD∵CE=DC∴AB=ECAB∥EC∴四边形ABEC是平行四边形;2解:∠AFC=2∠D.理由如下:∵四边形ABEC是矩形∴AE=BCFC=FE∵AD=BC.∴AD=AE∴∠AED=∠D∵FC=FE.∴∠AED=∠FCE=∠D∵∠AFC=∠AED+∠FCE.∴∠AFC=2∠D.
9.解:1根据长方形的性质可得AB与y轴平行BC与x轴平行;且A40C06即AB=OC=6BC=OA=4故B的坐标为46;2根据题意P的运动速度为每秒2个单位长度当点P移动了4秒时则其运动了2×4=8个长度单位此时点P在AB上且PA=4故P的坐标为44;3根据题意点P到x轴距离为5个单位长度时有两种情况:P在AB上时P运动了4+5=9个长度单位此时P运动了9÷2=
4.5秒;此时点P到O的距离为个单位长度;P在OC上时P运动了4+6+4+1=15个长度单位此时P运动了15÷2=
7.5秒;此时点P到O的距离为5个单位长度.。