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文本内容:
18.
2.3 正方形【教学目标】知识与技能:
1.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形概念之间的联系和区别.
2.能用正方形的定义、性质和判定进行推理与计算.过程与方法:经历探索正方形有关性质、判定重要条件的过程.在观察中寻求新知在探索中发展推理能力逐步掌握说理的基本方法.情感态度与价值观:通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的学习渗透了辩证唯物主义教育提高了逻辑思维能力.【重点难点】重点:理解正方形与矩形、菱形的关系.掌握正方形的性质和判定.会用正方形的性质和判定进行计算或证明.难点:会用正方形的性质和判定进行计算或证明.【教学过程】
一、创设情境导入新课: 做一做:用一张长方形的纸片如图所示折出一个正方形.学生在动手操做中对正方形产生感性认识并感知正方形与矩形的关系.问题:什么样的四边形是正方形你能说出正方形的定义吗正方形具有什么性质怎样判定一个四边形或平行四边形是正方形呢这一节课我们就来探究.
二、探究归纳活动1:正方形的定义:
1.复习:1什么是四边形它有什么性质2什么是平行四边形它有什么性质如何判定3什么是矩形它有什么性质如何判定4什么是菱形它有什么性质如何判定
2.正方形定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.教师引导学生明确:正方形是在平行四边形这个大前提下定义的其定义包括了两层意思:正方形既是矩形又是菱形.活动2:正方形的性质:
1.探索:由正方形的定义可以得知正方形既是有一组邻边相等的矩形又是有一个角是直角的菱形.所以正方形具有矩形的性质同时又具有菱形的性质.
2.归纳、总结:因为正方形是特殊的平行四边形还是特殊的矩形特殊的菱形所以它具有这些图形性质的综合从角、边、对角线上归纳总结1正方形性质定理1:正方形的四个角都是直角四条边都相等.2正方形性质定理2:正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分每一条对角线平分一组对角.
3.正方形的性质也可表示为:1边:正方形的对边平行四条边都相等.2角:正方形的四个角都是直角.3对角线:正方形的对角线相等且互相垂直平分.4正方形是轴对称图形也是中心对称图形.活动3:正方形的判定:
1.正方形的判定方法:方法1:定义:
①是平行四边形
②有一组邻边相等
③有一个角是直角是正方形.方法2:
①是矩形
②是菱形是正方形.
2.正方形的判定方法也可细分为:1有一组邻边相等的矩形是正方形.2有一个角是直角的菱形是正方形.3有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.4四条边相等、四个角都是直角的四边形是正方形.5对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.活动4:例题讲解:【例1】 如图正方形ABCD中EF分别为BCCD上的点且AE⊥BF垂足为点G.求证:AE=BF.分析:根据正方形的性质可得∠ABC与∠C的关系AB与BC的关系根据两直线垂直可得∠AGB的度数根据直角三角形锐角的关系可得∠ABG与∠BAG的关系根据同角的余角相等可得∠BAG与∠CBF的关系根据ASA可得三角形全等根据全等三角形的性质可得答案.解:∵正方形ABCD∴∠ABC=∠CAB=BC.∵AE⊥BF∴∠AGB=90°∴∠ABG+∠BAG=90°∵∠ABG+∠CBF=90°∴∠BAG=∠CBF.在△ABE和△BCF中∴△ABE≌△BCFASA∴AE=BF.总结:正方形的性质的应用:正方形的四个角都是直角四条边都相等对角线相等且互相垂直平分.正方形的对边平行且相等.利用这些性质可证明边角相等.【例2】 如图在△ABC中AB=ACAD是△ABC的角平分线点O为AB的中点连接DO并延长到点E使OE=OD连接AEBE1求证:四边形AEBD是矩形.2当△ABC满足什么条件时矩形AEBD是正方形并说明理由.分析:1利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形再利用等腰三角形的性质得出∠ADB=90°即可得出答案.2利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD进而利用正方形的判定得出即可.【证明】1∵点O为AB的中点OE=OD∴四边形AEBD是平行四边形∵AB=ACAD是△ABC的角平分线∴AD⊥BC∴四边形AEBD是矩形.2当△ABC是等腰直角三角形时矩形AEBD是正方形∵△ABC是等腰直角三角形∴∠BAD=∠CAD=∠DBA=45°∴BD=AD.由1知四边形AEBD是矩形∴四边形AEBD是正方形.总结:判定正方形的一般思路:要证明一个四边形是正方形只要证明这个四边形既是矩形又是菱形即可搞清矩形、菱形、正方形之间的关系有助于寻找证明思路.它们之间的关系可以用下图表示.
三、交流反思 这节课我们学习了正方形的定义、性质和判定注意弄清正方形与平行四边形、矩形、菱形之间有什么联系与区别它有什么性质怎样判定
四、检测反馈
1.正方形是轴对称图形它的对称轴共有 A.1条B.2条C.3条D.4条
2.下列说法不正确的是 A.有一个角是直角的菱形是正方形B.两条对角线相等的菱形是正方形C.对角线互相垂直的矩形是正方形D.四条边都相等的四边形是正方形
3.如图正方形ABCD中对角线ACBD相交于点O则图中的等腰直角三角形有 A.4个B.6个C.8个D.10个
4.如图在△ABC中∠ACB=90°BC的垂直平分线EF交BC于点D交AB于点E且BE=BF.添加一个条件仍不能证明四边形BECF为正方形的是 A.BC=ACB.CF⊥BFC.BD=DFD.AC=BF
5.如图在四边形ABCD中AB=BC=CD=DA对角线AC与BD相交于点O若不增加任何字母与辅助线要使四边形ABCD是正方形则还需增加一个条件是________.
6.如图菱形ABCD的对角线相交于点O请你添加一个条件:________使得该菱形为正方形.
7.如图在正方形ABCD中点M是对角线BD上的一点过点M作ME∥CD交BC于点E作MF∥BC交CD于点F.求证:AM=EF.
8.如图在正方形ABCD中G是DC上的任意一点G与DC两点不重合EF是AG上的两点EF与AG两点不重合若AF=DF+EF∠1=∠2请判断线段DF与BE有怎样的位置关系并证明你的结论.
9.平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O点分别过顶点BC作两对角线的平行线交于点E得平行四边形OBEC.1如果四边形ABCD为矩形如图四边形OBEC为何种四边形请证明你的结论.2如果四边形ABCD是正方形四边形OBEC也是正方形吗如果是请给予证明;如果不是请说明理由.
五、布置作业教科书第62页习题
18.2第1315题
六、板书设计
18.
2.3 正方形
一、正方形的定义
二、正方形的性质1边:正方形的对边平行四条边都相等.2角:正方形的四个角都是直角.3对角线:正方形的对角线相等且互相垂直平分.4正方形是轴对称图形也是中心对称图形.
三、正方形的判定方法
四、例题讲解
五、板演练习
七、教学反思 本节课的认识起点是:已积累了几何中平行四边形、矩形、菱形等知识在取得一定的经验的基础上认识正方形.本节课采用了学生自导自主的学习方法流程为“合作探究导入新课——实践应用探究新知——继续探究学习新知——随堂练习巩固深化——课堂总结发展潜能——布置作业专题突破”.学习过程中学生采用合作交流、发现、归纳的方式来解决重点问题突破难点特别是在交流中体现出了“兵教兵、兵练兵”这样充分地调动了学生的学习积极性体现了自主意识讨论交流比较热烈大大提高了学生的学习兴趣. 本节小结时采用表格形式把平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质让学生进行了对比在对比中学生更能清楚的认识到他们之间的区别与联系加深了印象.。