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2019-2020年高中数学第二章数列学案新人教A版必修5第一课时 数列的概念与通项公式数列的概念 [提出问题]观察下列示例,回答后面问题.1正整数123456的倒数依次是1,,,,,.2-2的1次幂,2次幂,3次幂、4次幂依次是-24,-
816.3人们在1740年发现了一颗彗星,并推算出这颗彗星每隔83年出现一次,那么从发现那次算起,这颗彗星出现的年份依次为17401823190619892072,….4“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的意思为一尺长的木棒,每日取其一半,永远也取不完.如果将“一尺之棰”视为1份,那么每日剩下的部分依次分为,,,,,….问题观察上面4个例子,它们都涉及到了一些数,这些数的呈现有什么特点?提示按照一定的顺序排列.[导入新知]数列的概念1定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列.2项数列中的每一个数叫做这个数列的项.a1称为数列{an}的第1项或称为首项,a2称为第2项,…,an称为第n项.3数列的表示数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an…简记为{an}.[化解疑难]1.数列的定义中要把握两个关键词“一定顺序”与“一列数”.也就是说构成数列的元素是“数”,并且这些数是按照“一定顺序”排列着的,即确定的数在确定的位置.2.项an与序号n是不同的,数列的项是这个数列中的一个确定的数,而序号是指项在数列中的位次.3.{an}与an是不同概念{an}表示数列a1,a2,a3,…,an,…;而an表示数列{an}中的第n项.数列的分类[提出问题]问题观察上面4个例子中对应的数列,它们的项数分别是多少?这些数列中从第2项起每一项与它前一项的大小关系又是怎样的?提示数列1中有6项,数列2中有4项,数列
3、4有无穷多项;数列1中每一项都小于它的前一项,数列2中的项大小不确定,数列3中每一项都大于它的前一项,数列4中每一项都小于它的前一项.[导入新知]分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列常数列各项相等的数列摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列[化解疑难]在写数列时,对于有穷数列,要把末项写出.例如,数列1234,…,
100.表示有穷数列.但是如果把数列写成1234,…,100,…就表示无穷数列.数列的通项公式[提出问题]问题仍然观察上面4个例子,你能否发现这些数列中,每一项与这一项的项数之间存在着某种关系?这种关系是否可以表示为一个公式?提示每一项与这一项的项数间存在一定的关系,有些可用公式表示,有些不能用公式表示.[导入新知]数列的通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么就把这个公式叫做这个数列的通项公式.[化解疑难]1.数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{123,…,n}为定义域的函数解析式.2.同所有的函数关系不一定都有解析式一样,并不是所有的数列都有通项公式.数列的概念及分类[例1] 已知下列数列1000000;20,-12,-34,-5,…;30,,,…,,…;
410.
20.
220.23,…;50,-10,…,cosπ,….其中,有穷数列是________,无穷数列是________,递增数列是________,递减数列是________,常数列是________,摆动数列是________填序号.[解析] 1是常数列且是有穷数列;2是无穷摆动数列;3是无穷递增数列因为=1-;4是无穷递减数列;5是无穷摆动数列.[答案] 1 2345 3 4 1 25[类题通法]判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列,只需考察数列是有限项还是无限项.若数列含有限项,则是有穷数列,否则为无穷数列.而判断数列的单调性,则需要从第2项起,观察每一项与它的前一项的大小关系,若满足anan+1,则是递增数列;若满足anan+1,则是递减数列;若满足an=an+1,则是常数列;若an与an+1的大小不确定时,则是摆动数列.[活学活用]1.给出下列数列1xx~xx年某市普通高中生人数单位万人构成数列
8293105119129130132135.2无穷多个构成数列.,,,,….3-2的1次幂,2次幂,3次幂,4次幂,……构成数列-24,-816,-32,….4精确到
10.
10.
010.001,…的不足近似值与过剩近似值分别构成数列
11.
41.
411.414,…;
21.
51.
421.415,….指出其中哪些是有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、常数列、摆动数列?解有穷数列有8293105119129130132135;无穷数列有,,,,…;-24,-816,-32,…;
11.
41.
411.414,…;
21.
51.
421.415,….递增数列有8293105119129130132135;
11.
41.
411.414,….递减数列有
21.
51.
421.415,….常数列有,,,,….摆动数列有-24,-816,-32,….由数列的前几项求通项公式[例2] 写出下列数列的一个通项公式1,2,,8,,…;29999999999,…;3,,,,…;4-,,-,,…;[解] 1数列的项,有的是分数,有的是整数,可将各项都统一成分数再观察,,,,,…,所以,它的一个通项公式为an=n∈N*2各项加1后,变为10100100010000,…此数列的通项公式为10n,可得原数列的通项公式为an=10n-
1.3数列中每一项由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,可用2n-1表示;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,可用n+12表示,分子的后一部分是减去一个自然数,可用n表示,综上,原数列的通项公式为an=n∈N*.4这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是an=-1n.[类题通法]此类问题虽无固定模式,但也有规律可循,主要靠观察观察规律、比较比较已知数列、归纳、转化转化为特殊数列、联想联想常见的数列等方法.具体方法为
①分式中分子、分母的特征;
②相邻项的变化特征;
③拆项后的特征;
④各项的符号特征和绝对值特征;
⑤化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系.[活学活用]2.写出下列数列的一个通项公式10381524,…;21,-35,-79,…;31,2,3,4,…;41111111111,….解1观察数列中的数,可以看到0=1-13=4-1,8=9-115=16-124=25-1,…,所以它的一个通项公式是an=n2-
1.2数列各项的绝对值为13579,…,是连续的正奇数,并且数列的奇数项为正,偶数项为负,所以它的一个通项公式为an=-1n+12n-1.3此数列的整数部分1234,…恰好是序号n,分数部分与序号n的关系为,故所求的数列的一个通项公式为an=n+=.4原数列的各项可变为×9,×99,×999,×9999,…,易知数列9999999999,…的一个通项公式为an=10n-
1.所以原数列的一个通项公式为an=10n-
1.通项公式的简单应用[例3] 已知数列{an}的通项公式是an=.1写出该数列的第4项和第7项;2试判断和是否是该数列中的项?若是,求出它是第几项;若不是,说明理由.[解] 1由通项公式an=可得a4==,a7==.2令=,得n2=9,所以n=3n=-3舍去,故是该数列中的项,并且是第3项;令=,得n2=,所以n=±,由于±都不是正整数,因此不是数列中的项.[类题通法]1.数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系,只要用序号代替公式中的n,就可以求出数列的相应项.2.判断某数值是否为该数列的项,需先假定它是数列中的项,列方程求解.若方程的解为正整数,则该数值是数列的项;若方程无解或解不是正整数,则该数值不是此数列的项.[活学活用]3.已知数列{an}的通项公式为an=qn,且a4-a2=
72.1求实数q的值;2判断-81是否为此数列中的项.解1由题意知q4-q2=72⇒q2=9或q2=-8舍去,∴q=±
3.2当q=3时,an=3n,显然-81不是此数列中的项;当q=-3时,an=-3n,令-3n=-81=-34,也无解.∴-81不是此数列中的项. [典例] 已知数列{an}的通项公式为an=n2-5n+
4.求n为何值时,an有最小值?并求出最小值.[解]∵an=n2-5n+4=2-,可知对称轴方程为n==
2.
5.又n∈N*,故n=2或3时,an有最小值,其最小值为a2=a3=22-5×2+4=-
2.[易错防范]1.忽视了借助二次函数求最值,而认为当n=1时取得最小值.2.由an=2-知n=取最小值,忽视n∈N*.3.在用函数的有关知识解决数列问题时,要注意它的定义域是N*或它的有限子集{123,…,n}这一约束条件.[成功破障]求数列{-2n2+9n+3}中的最大项.解已知-2n2+9n+3=-22+,由于n为正整数,故当n=2时,取得最大值为13,所以数列{-2n2+9n+3}中的最大项为第二项,为
13.[随堂即时演练]1.将正整数的前5个数排列如下
①12345;
②54321;
③21534;
④
41532.那么可以称为数列的有 A.
① B.
①②C.
①②③D.
①②③④解析选D 数列是按“一定顺序”排列着的一列数.因此选D.注意此题易错选B.2.在数列-10,,,…,,…中,
0.08是它的 A.第100项B.第12项C.第10项D.第8项解析选C ∵an=,令=
0.08,解得n=10或n=舍去.3.若数列{an}的通项公式是an=3-2n,则a2n=________,=________.解析根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项.∵an=3-2n,∴a2n=3-22n=3-4n,==.答案3-4n 4.若数列{an}的通项满足=n-2,那么15是这个数列的第________项.解析由=n-2可知,an=n2-2n,令n2-2n=15,得n=
5.答案55.已知an=,1求a3;2若an=,求n.解1将n=3代入an=,得a3==.2将an=代入an=,得=,解得n=
8.[课时达标检测]
一、选择题1.下面有四个结论,其中叙述正确的有
①数列的通项公式是唯一的;
②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数;
③数列若用图象表示,它是一群孤立的点;
④每个数列都有通项公式. A.
①② B.
②③C.
③④D.
①④解析选B 数列的通项公式不唯一,有的数列没有通项公式,所以
①④不正确.2.数列的通项公式为an=则a2·a3等于 A.70B.28C.20D.8解析选C 由an=得a2=2,a3=10,所以a2·a3=
20.3.数列-13,-715,…的一个通项公式可以是 A.an=-1n·2n-1B.an=-1n·2n-1C.an=-1n+1·2n-1D.an=-1n+1·2n-1解析选A 数列各项正、负交替,故可用-1n来调节,又1=21-13=22-17=23-115=24-1,…,所以通项公式为an=-1n·2n-1.4.xx·宿州高二检测已知数列{an}的通项公式是an=,那么这个数列是 A.递增数列 B.递减数列C.常数列D.摆动数列解析选A an==1-,∴当n越大,越小,则an越大,故该数列是递增数列.5.下列命题
①已知数列{an},an=n∈N*,那么是这个数列的第10项,且最大项为第一项.
②数列,,2,,…的一个通项公式是an=.
③已知数列{an},an=kn-5,且a8=11,则a17=
29.
④已知an+1=an+3,则数列{an}是递增数列.其中正确命题的个数为 A.4个B.3个C.2个D.1个解析选A 对于
①,令an==⇒n=10,易知最大项为第一项.
①正确.对于
②,数列,,2,,…变为,,,,…⇒,,,,…⇒an=,
②正确;对于
③,an=kn-5,且a8=11⇒k=2⇒an=2n-5⇒a17=
29.
③正确;对于
④,由an+1-an=3>0,易知
④正确.
二、填空题6.已知数列{an}的通项公式为an=,那么是它的第________项.解析令=,解得n=4n=-5舍去,所以是第4项.答案47.已知数列{an}的前4项为11102100310004,…,则它的一个通项公式为________.解析由于11=10+1102=102+21003=103+3,10004=104+4,…,所以该数列的一个通项公式是an=10n+n.答案an=10n+n.8.xx·福州高二检测已知数列{an}的通项公式是an=n2-8n+12,那么该数列中为负数的项一共有________项.解析令an=n2-8n+12<0,解得2<n<6,又因为n∈N*,所以n=345,一共有3项.答案3
三、解答题9.求下列数列的一个可能的通项公式11,-11,-1,…;2110211312,…;31+,1-,1+,1-,….解1an=-1n+1或an=2an=或an=.3an=1+-1n+
1.10.在数列{an}中,a1=2,a17=66,通项公式是关于n的一次函数.1求数列{an}的通项公式;2求a2013;32014是否为数列{an}中的项?解1设an=kn+bk≠0,则有解得k=4,b=-
2.∴an=4n-
2.2a2013=4×2013-2=
8050.3令2014=4n-2,解得n=504∈N*,∴2014是数列{an}的第504项.第二课时 数列的通项公式与递推公式数列的递推关系[提出问题]某剧场有30排座位,第一排有20个座位,从第二排起,后一排都比前一排多2个座位如图.问题1写出前五排座位数.提示
2022242628.问题2第n排与第n+1排座位数有何关系?提示第n+1排比第n排多2个座位.问题3第n排座位数an与第n+1排座位数an+1能用等式表示吗?提示能.an+1=an+
2.[导入新知]如果已知数列{an}的第一项或前几项,且任一项an与它的前一项an-1或前几项间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.[化解疑难]1.数列的递推公式是给出数列的另一重要形式,由递推公式可以依次求出数列的各项.2.有些数列的通项公式与递推公式可以相互转化,如数列135,…,2n-1,…的一个通项公式为an=2n-1n∈N*.用递推公式表示为a1=1,an=an-1+2n≥2,n∈N*.数列的表示方法[例1] 根据数列{an}的通项公式,把下列数列用图象表示出来n≤5,且n∈N*.1an=-1n+2;2an=.[解] 1数列{an}的前5项依次是13131,图象如下图
①所示.2数列{an}的前5项依次是2,,,,,图象如下图
②所示.[类题通法]通项公式法、列表法与图象法表示数列优点1用通项公式表示数列,简洁明了,便于计算.公式法是常用的数学方法.2列表法的优点是不经过计算,就可以直接看出项数与项的对应关系.3图象能直观形象地表示出随着序号的变化,相应项变化的趋势.[活学活用]1.一辆邮车每天从A地往B地运送邮件,沿途包括A,B共有8站,从A地出发时,装上发往后面7站的邮件各一个,到达各站后卸下前面各站发往该站的邮件,同时装上该站发往后面各站的邮件各一个.试用列表法表示邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数列.解将A,B之间所有站按序号12345678编号.通过计算,各站装卸完毕后剩余邮件个数依次构成数列7121516151270,如下表站号n12345678剩余邮件数an7121516151270由递推公式求数列中的项[例2] 已知数列{an}的第一项a1=1,以后的各项由公式an+1=给出,试写出这个数列的前5项.[解] ∵a1=1,an+1=,∴a2==,a3===,a4===,a5===.故该数列的前5项为1,,,,.[类题通法]根据递推公式写出数列的前几项,要弄清楚公式中各部分的关系,依次代入计算即可.另外,解答这类问题时还需注意若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式;若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.[活学活用]2.已知数列{an}中,a1=1,a2=2,以后各项由an=an-1+an-2n≥3给出.1写出此数列的前5项;2通过公式bn=构造一个新的数列{bn},写出数列{bn}的前4项.解1∵an=an-1+an-2n≥3,且a1=1,a2=2,∴a3=a2+a1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=
8.故数列{an}的前5项依次为a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=
8.2∵bn=,且a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8,∴b1==,b2==,b3==,b4==.故b1=,b2=,b3=,b4=.由递推公式归纳数列的通项公式[例3] 已知数列{an}的第1项是2,以后的各项由公式an=n=234,…给出,写出这个数列的前5项,并归纳出数列{an}的通项公式.[解] 可依次代入项数进行求值.a1=2,a2==-2,a3==-,a4==-,a5==-.即数列{an}的前5项为2,-2,-,-,-.也可写为,,,,-.即分子都是-2,分母依次加2,且都是奇数,所以an=-n∈N*.[类题通法]根据递推公式写出数列的前几项,然后由前几项分析其特点、规律,归纳总结出数列的一个通项公式.[活学活用]3.已知数列{an}满足a1=1,an=an-1+n≥2,写出该数列前5项,并归纳出它的一个通项公式.解a1=1,a2=a1+=1+=,a3=a2+=+=,a4=a3+=+=,a5=a4+=+=.故数列的前5项分别为1,,,,.由于1=,=,=,=,=,故数列{an}的一个通项公式为an==2-. 递推公式和通项公式是数列的两种表示方法,它们都可以确定数列中的任意一项,只是由递推公式确定数列中的项时,不如通项公式直接,下面介绍由递推数列求通项公式的两种方法.【角度一】 累加法对于数列{an}若满足an+1-an=fn时,需用累加法,即an=an-an-1+an-1-an-2+…+a2-a1+a1来求an.[例1] 已知a1=1,an+1-an=2,求数列{an}的一个通项公式.[解] ∵a1=1,an+1-an=2,∴a2-a1=2,a3-a2=2,a4-a3=2,…,an-an-1=2n≥2,将这些式子的两边分别相加,a2-a1+a3-a2+a4-a3+…+an-an-1=2n-1,即an-a1=2n-1,又a1=1,∴an=2n-1n≥2,当n=1时,a1=1也满足上式,故数列{an}的一个通项公式为an=2n-
1.【角度二】 累乘法对于数列{an}若满足=fn时,需用累乘法,即an=··…···a1来求an.[例2] 已知数列{an}中,a1=2,an+1=3ann∈N*,求数列{an}的通项公式.[解] 由an+1=3an得=
3.因此可得=3,=3,=3,…,=
3.将上面的n-1个式子相乘可得···…·=3n-
1.即=3n-1,所以an=a1·3n-1,又a1=2,故an=2·3n-
1.[随堂即时演练]1.符合递推关系式an=an-1的数列是 A.1234,… B.1,,22,…C.,2,,2,…D.0,,22,…解析选B B中从第二项起,后一项是前一项的倍,符合递推公式an=an-
1.2.数列,,,,…的递推公式可以是 A.an=n∈N*B.an=n∈N*C.an+1=ann∈N*D.an+1=2ann∈N*解析选C 数列从第二项起,后一项是前一项的,故递推公式为an+1=ann∈N*.3.已知a1=1,an=1+n≥2,则a5=________.解析由a1=1,an=1+得a2=2,a3=,a4=,a5=.答案4.已知数列{an}满足a10,=n∈N*,则数列{an}是________数列填“递增”或“递减”.解析由已知a10,an+1=ann∈N*,得an0n∈N*.又an+1-an=an-an=-an0,所以{an}是递减数列.答案递减5.已知数列{an}的通项公式为an=,写出它的前5项,并判断该数列的单调性.解对于公式an=,依次取n=12345,得到数列的前5项为a1=,a2=,a3=,a4=,a5=.而an+1-an=-=.因为n∈N*,所以1-n2-n<0,所以an+1-an<0,即an+1<an.故该数列为递减数列.[课时达标检测]
一、选择题1.已知an+1-an-3=0,则数列{an}是 A.递增数列B.递减数列C.常数列D.不能确定解析选A an+1-an=3>0,故数列{an}为递增数列.2.数列{an}中an+1=an+2-an,a1=2,a2=5,则a5= A.-3B.-11C.-5D.19解析选D 由an+1=an+2-an得an+2=an+an+1,由于a3=a1+a2=7,a4=a2+a3=12,a5=a3+a4=
19.3.在数列{an}中,a1=,an=-1n·2an-1n≥2,则a5等于 A.-B.C.-D.解析选B ∵a1=,an=-1n·2an-1,∴a2=-12×2×=,a3=-13×2×=-,a4=-14×2×=-,a5=-15×2×=.4.已知数列{an}对任意的p,q∈N*满足ap+q=ap+aq,且a2=-6,那么a10等于 A.-165B.-33C.-30D.-21解析选C 由已知得a2=a1+a1=2a1=-6,∴a1=-
3.∴a10=2a5=2a2+a3=2a2+2a1+a2=4a2+2a1=4×-6+2×-3=-
30.5.已知在数列{an}中,a1=3,a2=6,且an+2=an+1-an,则a2012= A.3B.-3C.6D.-6解析选C 由题意知a3=a2-a1=3,a4=a3-a2=-3,a5=a4-a3=-6,a6=a5-a4=-3,a7=a6-a5=3,a8=a7-a6=6,a9=a8-a7=3,a10=a9-a8=-3……故知{an}是周期为6的数列,∴a2012=a2=
6.
二、填空题6.数列{an}中,an+1-an-n=0,则a2012-a2011=________.解析∵an+1-an-n=0,∴a2012-a2011-2011=0,∴a2012-a2011=
2011.答案20117.已知数列{an},an=an+ma<0,n∈N*,满足a1=2,a2=4,则a3=________.解析∵∴∴an=-1n+3,∴a3=-13+3=
2.答案28.已知对于任意的正整数n,an=n2+λn.若数列{an}是递增数列,则实数λ的取值范围是________.解析∵{an}是递增数列,∴an+1-an=n+12+λn+1-n2-λn=2n+1+λ>0对于任意的正整数n恒成立,即λ>-2n-1对于任意的正整数n恒成立,∴λ>-
3.答案λ>-3
三、解答题9.已知数列{an}中,a1=1,an+1=an.1写出数列{an}的前5项;2猜想数列{an}的通项公式;3画出数列{an}的图象.解1a1=1,a2=×1=,a3=×=,a4=×=,a5=×=.2猜想an=.3图象如图所示10.设fx=log2x-logx40<x<1,又知数列{an}的通项an满足f2an=2n.1求数列{an}的通项公式;2试判断数列{an}的增减性.解1∵fx=log2x-logx40<x<1,f2an=2n,∴log22an-log2an4=2n,由换底公式,得log22an-=2n,即an-=2n,∴a-2nan-2=0,∴an=n±.
③由0<x<1,有0<2an<1,∴an<
0.
④由
③④得an=n-,此即为数列{an}的通项公式.2==<1∵an<0,∴an+1>an,∴数列{an}是单调递增数列._
2.2等差数列第一课时 等差数列等差数列的定义 [提出问题]1.有一座楼房第一层的每级台阶与地面的高度单位cm依次为163248648096112128,…,
320.2.xx年伦敦奥运会女子举重共设置7个级别,其中较轻的4个级别体重单位kg分别为
48535863.3.鞋的尺码,按照国家规定,有
2222.
52323.
52424.5,…问题1上面三组数构成数列吗?提示构成.问题2若上面三组数构成数列,试观察它们从2项起,每一项与前一项的差有什么特点?提示等于同一常数.[导入新知]等差数列的定义如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示.[化解疑难]1.“从第2项起”是指第1项前面没有项,无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合.2.“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”,强调了
①作差的顺序;
②这两项必须相邻.3.定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数,否则这个数列不能称为等差数列.等差中项[提出问题]问题观察上面三个数列,每个数列的任意连续三项之间有什么样的关系?提示前一项与后一项的和是中间项的2倍.[导入新知]等差中项如果三个数a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.这三个数满足的关系式是A=.[化解疑难]1.A是a与b的等差中项,则A=或2A=a+b,即两个数的等差中项有且只有一个.2.当2A=a+b时,A是a与b的等差中项.等差数列的通项公式[提出问题]若一等差数列{an}的首项为a1,公差是d.问题1试用a
1、d表示a
2、a
3、a
4.提示a2=a1+d,a3=a1+2d,a4=a1+3d.问题2由此猜想等差数列的通项公式an.提示an=a1+n-1d.[导入新知]等差数列的通项公式已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d递推公式通项公式an-an-1=dn≥2an=a1+n-1dn∈N*[化解疑难]由等差数列的通项公式an=a1+n-1d可得an=dn+a1-d,如果设p=d,q=a1-d,那么an=pn+q,其中p,q是常数.当p≠0时,an是关于n的一次函数;当p=0时,an=q,等差数列为常数列.等差数列的判定与证明 [例1] 判断下列数列是否为等差数列.1在数列{an}中an=3n+2;2在数列{an}中an=n2+n.[解] 1an+1-an=3n+1+2-3n+2=3n∈N*.由n的任意性知,这个数列为等差数列.2an+1-an=n+12+n+1-n2+n=2n+2,不是常数,所以这个数列不是等差数列.[类题通法]定义法是判定或证明数列{an}是等差数列的基本方法,其步骤为1作差an+1-an;2对差式进行变形;3当an+1-an是一个与n无关的常数时,数列{an}是等差数列;当an+1-an不是常数,是与n有关的代数式时,数列{an}不是等差数列.[活学活用]1.已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,数列{bn}中,bn=3an+4,问数列{bn}是否为等差数列?并说明理由.解数列{bn}是等差数列.理由∵数列{an}是首项为a1,公差为d的等差数列,∴an+1-an=dn∈N*.∴bn+1-bn=3an+1+4-3an+4=3an+1-an=3d.∴根据等差数列的定义,数列{bn}是等差数列.等差数列的通项公式[例2] 1在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,求通项公式an.2已知数列{an}为等差数列a3=,a7=-,求a15的值.[解] 1∵a5=10,a12=31,则⇒∴an=-2+n-1×3=3n-5∴通项公式an=3n-
5.n∈N*2法一由得解得a1=,d=-.∴a15=a1+15-1d=+14×-=-.法二由a7=a3+7-3d,即-=+4d,解得d=-.∴a15=a3+15-3d=+12×-=-.[类题通法]1.应用等差数列的通项公式求a1和d,运用了方程的思想.一般地,可由am=a,an=b,得求出a1和d,从而确定通项公式.2.若已知等差数列中的任意两项am,an,求通项公式或其他项时,则运用am=an+m-nd则较为简捷.[活学活用]2.1求等差数列852,…的第20项;2-401是不是等差数列-5,-9,-13,…的项?如果是,是第几项?解1由a1=8,d=5-8=-3,n=20,得a20=8+20-1×-3=-
49.2由a1=-5,d=-9--5=-4,得这个数列的通项公式为an=-5-4n-1=-4n-1,由题意知,-401=-4n-
1.得n=100,即-401是这个数列的第100项.等差中项[例3] 已知等差数列{an},满足a2+a3+a4=18,a2a3a4=
66.求数列{an}的通项公式.[解] 在等差数列{an}中,∵a2+a3+a4=18,∴3a3=18,a3=
6.解得或当时,a1=16,d=-
5.an=a1+n-1d=16+n-1·-5=-5n+
21.当时,a1=-4,d=
5.an=a1+n-1d=-4+n-1·5=5n-
9.[类题通法]三数a,b,c成等差数列的条件是b=或2b=a+c,可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题.如若证{an}为等差数列,可证2an+1=an+an+2n∈N*.[活学活用]3.1已知数列8,a2,b,c是等差数列,则a,b,c的值分别为________,________,________.2已知数列{an}满足an-1+an+1=2ann≥2,且a2=5,a5=13,则a8=________.解析1因为8,a2,b,c是等差数列,所以∴2由an-1+an+1=2ann≥2知,数列{an}是等差数列,∴a2,a5,a8成等差数列.∴a2+a8=2a5,∴a8=2a5-a2=2×13-5=
21.答案15 -1 -4 221 [典例] 已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,且a11=-26,a51=54,求a14的值.你能判断该数列从第几项开始为正数吗?[解] 由等差数列an=a1+n-1d列方程组解得∴a14=-46+13×2=-20∴an=-46+n-1×2=2n-48令an≥0,即2n-48≥0⇒n≥
24.∴从第25项开始,各项为正数.[易错防范]1.忽略了对“从第几项开始为正数”的理解,误认为n=24也满足条件.2.由通项公式计算时,易把公式写成an=a1+nd,导致结果错误.[成功破障]一个等差数列的首项为,公差d>0,从第10项起每一项都大于1,求公差d的范围.解设等差数列为{an},由d>0,知a1<a2<…<a9<a10<a11…,依题意,有即⇔解得<d≤,即公差d的取值范围是.[随堂即时演练]1.已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=3,则数列{an}的通项公式为 A.an=3n-1 B.an=2n+1C.an=2n+3D.an=3n+2解析选A ∵an=a1+n-1d=2+n-1·3=3n-
1.2.等差数列的前3项依次是x-1,x+12x+3,则其通项公式为 A.an=2n-5B.an=2n-3C.an=2n-1D.an=2n+1解析选B ∵x-1,x+12x+3是等差数列的前3项,∴2x+1=x-1+2x+3,解得x=
0.∴a1=x-1=-1,a2=1,a3=3,∴d=2,∴an=-1+2n-1=2n-
3.3.等差数列的第3项是7,第11项是-1,则它的第7项是________.解析设首项为a1,公差为d,由a3=7,a11=-1得,a1+2d=7,a1+10d=-1,所以a1=9,d=-1,则a7=
3.答案34.已知1,x,y10构成等差数列,则x,y的值分别为________.解析由已知,x是1和y的等差中项,即2x=1+y
①,y是x和10的等差中项,即2y=x+10
②,由
①,
②可解得x=4,y=
7.答案475.在等差数列{an}中,1已知a5=-1,a8=2,求a1与d;2已知a1+a6=12,a4=7,求a
9.解1由题意,知解得2由题意,知解得∴an=1+2n-1=2n-
1.∴a9=2×9-1=
17.[课时达标检测]
一、选择题1.在等差数列{an}中,a3=0,a7-2a4=-1,则公差d等于 A.-2 B.-C.D.2解析选B 由题意,得解得2.设x是a与b的等差中项,x2是a2与-b2的等差中项,则a,b的关系是 A.a=-bB.a=3bC.a=-b或a=3bD.a=b=0解析选C 由等差中项的定义知x=,x2=,∴=2,即a2-2ab-3b2=
0.故a=-b或a=3b.3.若等差数列{an}中,已知a1=,a2+a5=4,an=35,则n= A.50B.51C.52D.53解析选D 依题意,a2+a5=a1+d+a1+4d=4,代入a1=,得d=.所以an=a1+n-1d=+n-1×=n-,令an=35,解得n=
53.4.在数列{an}中,a1=1,an+1=an+1,则a2012等于 A.2009B.2010C.2011D.2012解析选D 由于an+1-an=1,则数列{an}是等差数列,且公差d=1,则an=a1+n-1d=n,故a2012=
2012.5.下列命题中正确的个数是 1若a,b,c成等差数列,则a2,b2,c2一定成等差数列;2若a,b,c成等差数列,则2a2b2c可能成等差数列;3若a,b,c成等差数列,则ka+2,kb+2,kc+2一定成等差数列;4若a,b,c成等差数列,则,,可能成等差数列.A.4个B.3个C.2个D.1个解析选B 对于1取a=1,b=2,c=3⇒a2=1,b2=4,c2=9,1错.对于2a=b=c⇒2a=2b=2c,2正确;对于3∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.∴ka+2+kc+2=ka+c+4=2kb+2,3正确;对于4,a=b=c≠0⇒==,4正确.综上可知选B.
二、填空题6.已知数列{an}是各项均为正数的等差数列,a1和a3是方程x2-8x+7=0的两根,则它的通项公式是________.解析解方程x2-8x+7=0得x1=1,x2=
7.∵数列{an}的各项均为正数,∴a1=1,a3=
7.∴公差d==
3.∴an=a1+n-1d=3n-
2.答案an=3n-27.等差数列1,-3,-7,…的通项公式为________,a20=________.解析∵d=-3-1=-4,a1=1,∴an=1-4n-1=-4n+
5.∴a20=-80+5=-
75.答案an=-4n+5 -758.数列{an}是等差数列,且an=an2+n,则实数a=________.解析∵{an}是等差数列,∴an+1-an=常数.∴[an+12+n+1]-an2+n=2an+a+1=常数.∴2a=0,∴a=
0.答案0
三、解答题9.在等差数列{an}中,已知a1=112,a2=116,这个数列在450到600之间共有多少项?解由题意,得d=a2-a1=116-112=4,所以an=a1+n-1d=112+4n-1=4n+
108.令450≤an≤600,解得
85.5≤n≤123,又因为n为正整数,故有38项.10.数列{an}满足a1=1,=+1n∈N*.1求证数列是等差数列;2求数列{an}的通项公式.解1证明由=+1,可得-=2,∴数列是以1为首项,以2为公差的等差数列.2由1知=1+n-1·2=2n-1,∴an=.第二课时 等差数列的性质等差数列性质的应用[例1] 1已知{an}为等差数列,a3+a4+a5+a6+a7=
450.求a2+a8的值.2xx·江西高考设数列{an},{bn}都是等差数列.若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=________.1[解] ∵a3+a4+a5+a6+a7=450,由等差数列的性质知a3+a7=a4+a6=2a
5.∴5a5=
450.∴a5=
90.∴a2+a8=2a5=
180.2[解析] 法一设数列{an},{bn}的公差分别为d1,d2,因为a3+b3=a1+2d1+b1+2d2=a1+b1+2d1+d2=7+2d1+d2=21,所以d1+d2=7,所以a5+b5=a3+b3+2d1+d2=21+2×7=
35.法二∵数列{an},{bn}都是等差数列,∴数列{an+bn}也构成等差数列,∴2a3+b3=a1+b1+a5+b5∴2×21=7+a5+b5∴a5+b5=
35.[答案] 35[类题通法]1.利用通项公式时,如果只有一个等式条件,可通过消元把所有的量用同一个量表示.2.本题的求解主要用到了等差数列的以下性质若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.对于此性质,应注意必须是两项相加等于两项相加,否则不一定成立.例如,a15≠a7+a8,但a6+a9=a7+a8;a1+a21≠a22,但a1+a21=2a
11.[活学活用]1.1已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,则a75=________.2如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7= A.14 B.21C.28D.35解析法一因为{an}为等差数列,所以a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列,其公差为d,a15为首项,则a60为其第四项,所以a60=a15+3d,得d=
4.所以a75=a60+d⇒a75=
24.法二因为a15=a1+14d,a60=a1+59d,所以解得故a75=a1+74d=+74×=
24.2∵a3+a4+a5=12,∴3a4=12,则a4=4,又a1+a7=a2+a6=a3+a5=2a4,故a1+a2+…+a7=7a4=
28.故选C.答案124 2C灵活设元求解等差数列[例2] 1三个数成等差数列,其和为9,前两项之积为后一项的6倍,求这三个数.2四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.[解] 1设这三个数依次为a-d,a,a+d,则解得∴这三个数为
432.2法一设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d公差为2d,依题意,2a=2,且a-3da+3d=-8,即a=1,a2-9d2=-8,∴d2=1,∴d=1或d=-
1.又四个数成递增等差数列,所以d>0,∴d=1,故所求的四个数为-
2024.法二若设这四个数为a,a+d,a+2d,a+3d公差为d,依题意,2a+3d=2,且aa+3d=-8,把a=1-d代入aa+3d=-8,得1-d1+d=-8,即1-d2=-8,化简得d2=4,所以d=2或-
2.又四个数成递增等差数列,所以d>0,所以d=2,a=-
2.故所求的四个数为-
2024.[类题通法]常见设元技巧1某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和,可设这两个数为a-d,a+d,公差为2d;2三个数成等差数列且知其和,常设此三数为a-d,a,a+d,公差为d;3四个数成等差数列且知其和,常设成a-3d,a-d,a+d,a+3d,公差为2d.[活学活用]2.已知成等差数列的四个数,四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这个等差数列.解设这四个数依次为a-3d,a-d,a+d,a+3d.由题设知解得或∴这个数列为25811或
11852.等差数列的实际应用[例3] 某公司经销一种数码产品,第1年获利200万元,从第2年起由于市场竞争等方面的原因,利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损?[解] 由题意可知,设第1年获利为a1,第n年获利为an,则an-an-1=-20,n≥2,n∈N*,每年获利构成等差数列{an},且首项a1=200,公差d=-20,所以an=a1+n-1d=200+n-1×-20=-20n+
220.若an<0,则该公司经销这一产品将亏损,由an=-20n+220<0,解得n>11,即从第12年起,该公司经销这一产品将亏损.[类题通法]1.在实际问题中,若涉及一组与顺序有关的数的问题,可考虑利用数列方法解决,若这组数依次成直线上升或下降,则可考虑利用等差数列方法解决.2.在利用数列方法解决实际问题时,一定要分清首项、项数等关键量.[活学活用]3.《九章算术》“竹九节”问题现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为 A.1升 B.升C.升D.升解析选B 设所构成的等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则有即解得则a5=a1+4d=,故第5节的容积为升.[随堂即时演练]1.已知等差数列{an},则使数列{bn}一定为等差数列的是 A.bn=-an B.bn=aC.bn=D.bn=解析选A ∵数列{an}是等差数列,∴an+1-an=d常数.对于A bn+1-bn=an-an+1=-d,正确;对于B不一定正确,如数列{an}={n},则bn=a=n2,显然不是等差数列;对于C、D及不一定有意义,故选A.2.xx·辽宁高考在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10= A.12B.16C.20D.24解析选B 因为数列{an}是等差数列,所以a2+a10=a4+a8=
16.3.已知数列{an}中,a5=10,a12=31,则其公差d=________.解析d===
3.答案34.在等差数列{an}中,已知a2+2a8+a14=120,则2a9-a10的值为________.解析∵a2+a14=2a8,∴a2+2a8+a14=4a8=120,∴a8=
30.∴2a9-a10=a8+a10-a10=a8=
30.答案305.已知等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求此数列的通项公式.解∵a1+a7=2a4,∴a1+a4+a7=3a4=
15.∴a4=
5.又∵a2a4a6=45,∴a2a6=9,即a4-2da4+2d=9,亦即5-2d5+2d=9,解得d=±
2.若d=2,an=a4+n-4d=2n-3;若d=-2,an=a4+n-4d=13-2n.[课时达标检测]
一、选择题1.等差数列{an}的公差为d,则数列{can},c常数且c≠0是 A.公差为d的等差数列 B.公差为cd的等差数列C.不是等差数列D.以上都不对解析选B 设bn=can,则bn+1-bn=can+1-can=can+1-an=cd.2.若{an}是等差数列,且a1+a4+7=45,a2+a5+a8=39,则a3+a6+a9= A.39B.20C.
19.5D.33解析选D 由等差数列的性质,得a1+a4+a7=3a4=45,a2+a5+a8=3a5=39,a3+a6+a9=3a
6.又3a5×2=3a4+3a6,解得3a6=33,即a3+a6+a9=
33.3.设{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则a37+b37= A.0B.37C.100D.-37解析选C 设cn=an+bn,由于{an},{bn}都是等差数列,则{cn}也是等差数列,且c1=a1+b1=25+75=100,c2=a2+b2=100,∴{cn}的公差d=c2-c1=
0.∴c37=
100.4.等差数列{an}中,a2+a5+a8=9,那么关于x的方程x2+a4+a6x+10=0 A.无实根B.有两个相等实根C.有两个不等实根D.不能确定有无实根解析选A 由于a4+a6=a2+a8=2a5,即3a5=9,∴a5=3,方程为x2+6x+10=0,无实数解.5.已知等差数列{an}的公差为dd≠0,且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m等于 A.8B.4C.6D.12解析选A 因为a3+a6+a10+a13=4a8=32,所以a8=8,即m=
8.
二、填空题6.已知△ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则△ABC的面积为__________.解析不妨设角A=120°,cb,则a=b+4,c=b-4,于是cos120°==-,解得b=10,所以S=bcsin120°=
15.答案157.已知数列{an}满足a1=1,若点在直线x-y+1=0上,则an=________.解析由题设可得-+1=0,即-=1,所以数列是以1为公差的等差数列,且首项为1,故通项公式=n,所以an=n
2.答案n28.某市出租车的计价标准为
1.2元/km,起步价为10元,即最初的4km不含4km计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,需要支付车费________.解析根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4km时,每增加1km,乘客需要支付
1.2元.所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费.令a1=
11.2,表示4km处的车费,公差d=
1.2那么当出租车行至14km处时,n=11,此时需要支付车费a11=
11.2+11-1×
1.2=
23.2元.答案
23.2元
三、解答题9.已知5个数成等差数列,它们的和为25,它们的平方和为165,求这五个数.解设这5个数依次为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,由题意可得解得所以这5个数为13579或
97531.10.已知无穷等差数列{an}中,首项a1=3,公差d=-5,依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}.1求b1和b2;2求{bn}的通项公式;3{bn}中的第503项是{an}中的第几项?解数列{bn}是数列{an}的一个子数列,其序号构成以3为首项,4为公差的等差数列,由于{an}是等差数列,则{bn}也是等差数列.1∵a1=3,d=-5,∴an=3+n-1×-5=8-5n.数列{an}中序号被4除余3的项是{an}中的第3项,第7项,第11项,…,∴b1=a3=-7,b2=a7=-
27.2设{an}中的第m项是{bn}中的第n项,即bn=am,则m=3+4n-1=4n-1,∴bn=am=a4n-1=8-5×4n-1=13-20n,即{bn}的通项公式为bn=13-20n.3b503=13-20×503=-10047,设它是{an}中的第m项,则-10047=8-5m,解得m=2011,即{bn}中的第503项是{an}中的第2011项._
2.3等差数列的前n项和数列的前n项和[导入新知]数列的前n项和对于数列{an},一般地称a1+a2+…+an为数列{an}的前n项和,用Sn表示,即Sn=a1+a2+…+an.[化解疑难]数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起,一直到第n项an所有项的和.等差数列的前n项和[提出问题]如图,某仓库堆放的一堆钢管,最上面的一层有4根钢管,下面的每一层都比上一层多一根,最下面的一层有9根.问题1共有几层?图形的横截面是什么形状?提示六层,等腰梯形.问题2假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管,如图所示,则这样共有多少钢管?提示4+9×6=
78.问题3原来有多少根钢管?提示×78=
39.问题4能否利用前面问题推导等差数列前n项和公式Sn=a1+a2+…+an提示Sn=a1+a2+…+an,Sn=an+an-1+…+a1,相加2Sn=a1+an+a2+an-1+…+an+a1=na1+an,∴Sn=.问题5试用a1,d,n表示Sn.提示∵an=a1+n-1d,∴Sn==na1+d.[导入新知]等差数列的前n项和公式已知量首项,末项与项数首项,公差与项数选用公式Sn=Sn=na1+d[化解疑难]等差数列前n项和公式的特点1两个公式共涉及到a1,d,n,an及Sn五个基本量,它们分别表示等差数列的首项,公差,项数,通项和前n项和.2当已知首项、末项和项数时,用前一个公式较为简便;当已知首项、公差和项数时,用后一个公式较好.等差数列前n项和的有关计算[例1] xx·北京高考1已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和,若a1=,S2=a3,则a2=__________;Sn=________.2在等差数列{an}中,已知d=2,an=11,Sn=35,求a1和n.1[解析] 设公差为d,则由S2=a3得2a1+d=a1+2d,所以d=a1=,故a2=a1+d=1,Sn=na1+d=.[答案] 1 2[解] 由得解方程组,得或[类题通法]a1,d,n称为等差数列的三个基本量,an和Sn都可以用这三个基本量来表示,五个量a1,d,n,an,Sn中可知三求二,即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程组来求解.这种方法是解决数列运算的基本方法,在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用.[活学活用]1.已知等差数列{an}.1a1=,a15=-,Sn=-5,求n和d;2a1=4,S8=172,求a8和d.解∵a15=+15-1d=-,∴d=-.又Sn=na1+·d=-5,解得n=15,n=-4舍.2由已知,得S8===172,解得a8=39,又∵a8=4+8-1d=39,∴d=
5.已知Sn求通项公式an[例2] 已知数列{an}的前n项和Sn=-2n2+n+
2.1求{an}的通项公式;2判断{an}是否为等差数列?[解] 1∵Sn=-2n2+n+2,∴当n≥2时,Sn-1=-2n-12+n-1+2=-2n2+5n-1,∴an=Sn-Sn-1=-2n2+n+2--2n2+5n-1=-4n+
3.又a1=S1=1,不满足an=-4n+3,∴数列{an}的通项公式是an=2由1知,当n≥2时,an+1-an=[-4n+1+3]--4n+3=-4,但a2-a1=-5-1=-6≠-4,∴{an}不满足等差数列的定义,{an}不是等差数列.[类题通法]已知数列{an}的前n项和公式Sn,求通项公式an的步骤1当n=1时,a1=S
1.2当n≥2时,根据Sn写出Sn-1,化简an=Sn-Sn-
1.3如果a1也满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列{an}的通项公式为an=Sn-Sn-1;如果a1不满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1的通项公式,那么数列{an}的通项公式要分段表示为an=如本例.[活学活用]2.已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式,求{an}的通项公式.1Sn=2n2-3n;2Sn=3n-
2.解1当n=1时,a1=S1=2×12-3×1=-1;当n≥2时,Sn-1=2n-12-3n-1=2n2-7n+5,则an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2n2-7n+5=2n2-3n-2n2+7n-5=4n-
5.此时若n=1,an=4n-5=4×1-5=-1=a1,故an=4n-
5.2当n=1时,a1=S1=31-2=1;当n≥2时,Sn-1=3n-1-2,则an=Sn-Sn-1=3n-2-3n-1-2=3n-3n-1=3·3n-1-3n-1=2·3n-
1.此时若n=1,an=2·3n-1=2·31-1=2≠a1,故an=等差数列前n项和的性质[例3] 1xx·辽宁高考在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11= A.58 B.88C.143D.1762等差数列{an}中,S10=100,S100=10,求S
110.1[解析] 利用等差数列的性质及求和公式求解.因为{an}是等差数列,所以a1+a11=a4+a8=2a6=16⇒a6=8,则该数列的前11项和为S11==11a6=
88.[答案] B2[解] ∵数列{an}为等差数列,∴S10,S20-S10,S30-S20,…,S110-S100也成等差数列.设其公差为D,则S10+S20-S10+S30-S20+…+S100-S90=S100,即10S10+×D=S100=
10.又∵S10=100,代入上式,得D=-22,∴S110-S100=S10+11-1×D=100+10×-22=-120,∴S110=-120+S100=-
110.[类题通法]等差数列的前n项和常用的性质1等差数列的依次k项之和,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k…组成公差为k2d的等差数列.2数列{an}是等差数列⇔Sn=an2+bna,b为常数⇔数列{}为等差数列.3若S奇表示奇数项的和,S偶表示偶数项的和,公差为d,
①当项数为偶数2n时,S偶-S奇=nd,=;
②当项数为奇数2n-1时,S奇-S偶=an,=.[活学活用]3.1等差数列{an}中,a2+a7+a12=24,则S13=________.解析因为a1+a13=a2+a12=2a7,又a2+a7+a12=24,所以a7=
8.所以S13==13×8=
104.答案1042在等差数列{an}中,若S4=1,S8=4,则a17+a18+a19+a20的值为 A.9B.12C.16D.17解析选A 由等差数列的性质知S4,S8-S4,S12-S8,…也构成等差数列,不妨设为{bn},且b1=S4=1,b2=S8-S4=3,于是可求得b3=5,b4=7,b5=9,即a17+a18+a19+a20=b5=
9.等差数列前n项和的最值[例4] 在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,求前n项和Sn的最大值.[解] 法一由S17=S9,得25×17+d=25×9+d,解得d=-2,∴Sn=25n+×-2=-n-132+
169.由二次函数性质得,当n=13时,Sn有最大值
169.法二先求出d=-2同法一,∵a1=25>0,由,得即12<n≤
13.∴当n=13时,Sn有最大值
169.[类题通法]求等差数列的前n项和Sn的最值通常有两种思路1将Sn=na1+d=n2+a1-n配方.转化为求二次函数的最值问题,借助函数单调性来解决.2邻项变号法当a10,d0时,满足的项数n使Sn取最大值.当a10,d0时,满足的项数n使Sn取最小值.[活学活用]4.已知{an}是一个等差数列,且a2=1,a5=-
5.1求{an}的通项an;2求{an}前n项和Sn的最大值.解1设{an}的公差为d,由已知条件,得解得a1=3,d=-
2.所以an=a1+n-1d=-2n+
5.2Sn=na1+d=-n2+4n=4-n-
22.所以n=2时,Sn最大,且最大值为
4. [典例] 已知等差数列{an}满足a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn.求an及Sn.[解题流程] [名师批注]解决等差数列问题时,有以下几点容易造成失分1利用方程的思想联立求解在计算上容易出现失误,不能准确求出首项a1和公差d;2基本公式中的项数或奇偶项的确定不正确;3判断一个数列是否为等差数列时,易忽略验证第一项.[活学活用]已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-
3.1求数列{an}的通项公式;2若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.解1设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+n-1d.由a1=1,a3=-3可得1+2d=-
3.解得d=-
2.从而,an=1+n-1×-2=3-2n.2由1可知an=3-2n.所以Sn==2n-n
2.进而由Sk=-35,可得2k-k2=-
35.又k∈N*,故k=7为所求.[随堂即时演练]1.若等差数列{an}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7等于 A.12 B.13C.14D.15解析选B 由S5=5a3=25,∴a3=
5.∴d=a3-a2=5-3=
2.∴a7=a2+5d=3+10=
13.2.设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于 A.13B.35C.49D.63解析选C 法一设数列{an}公差为d,解得于是S7=7×1+×2=
49.法二由等差数列前n项和公式及性质知S7====
49.3.已知数列的通项公式an=-5n+2,则其前n项和Sn=________.解析∵an=-5n+2,∴数列{an}是等差数列,且a1=-3,公差d=-5,∴Sn==-.答案-4.在数列{an}中,a1=32,an+1=an-4,则当n=________时,前n项和Sn取最大值,最大值是________.解析∵d=an+1-an=-4,∴an=-4n+
36.令an=-4n+36≥0,得n≤9,∴n=8或9时,Sn最大,且S8=S9=
144.答案8或9 1445.在等差数列{an}中,1已知a6=10,S5=5,求a8;2已知a2+a4=,求S
5.解1由已知得解得所以a8=a1+7d=-5+7×3=16或a8=a6+2d=10+2×3=16.2由a2+a4=及等差数列的性质,知a1+a5=a2+a4=,所以S5==×=
24.[课时达标检测]
一、选择题1.设{an}为等差数列,公差d=-2,Sn为其前n项和.若S10=S11,则a1= A.18B.20C.22D.24解析选B 由S10=S11,得a11=S11-S10=0,a1=a11+1-11d=0+-10×-2=
20.2.已知等差数列{an}满足a2+a4=4,a3+a5=10,则它的前10项的和S10等于 A.138B.135C.95D.23解析选C 由a2+a4=4,a3+a5=10,可知d=3,a1=-
4.∴S10=-40+×3=
95.3.等差数列{an}中,d=2,an=11,Sn=35,则a1等于 A.5或7B.3或5C.7或-1D.3或-1解析选D 由题意,得即解得或4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于 A.63B.45C.36D.27解析选B ∵a7+a8+a9=S9-S6,而由等差数列的性质可知,S3,S6-S3,S9-S6构成等差数列.所以S3+S9-S6=2S6-S3,即S9-S6=2S6-3S3=2×36-3×9=
45.5.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为 A.5B.4C.3D.2解析选C 由题意得S偶-S奇=5d=15,∴d=
3.或由解方程组求得d=3,故选C.
二、填空题6.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a6=S3=12,则{an}的通项an=________.解析设{an}的公差为d,则解得于是an=2+n-1×2=2n.答案2n7.xx·天津高考已知{an}是等差数列,Sn为其前n项和,n∈N*.若a3=16,S20=20,则S10的值为________.解析设{an}的首项,公差分别是a1,d,则解得a1=20,d=-2,∴S10=10×20+×-2=
110.答案1108.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,且a4=2a3,则=________.解析由等差数列的性质知==×=×2=.答案
三、解答题9.设数列{an}的前n项和为Sn,点n,n∈N*均在函数y=3x-2的图象上.求数列{an}的通项公式.解依题意得,=3n-2,即Sn=3n2-2n.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n-[3n-12-2n-1]=6n-5,因a1=S1=1,满足an=6n-5,所以an=6n-5n∈N*.10.在等差数列{an}中,a10=18,前5项的和S5=-15,1求数列{an}的通项公式;2求数列{an}的前n项和的最小值,并指出何时取得最小值.解1设{an}的首项,公差分别为a1,d.则解得a1=-9,d=3,∴an=3n-
12.2Sn==3n2-21n=n-2-,∴当n=3或4时,前n项的和取得最小值为-
18._
2.4等比数列第一课时 等比数列等比数列的定义[提出问题]考察下面几个数列14,-44,-4,…;2关于在国际象棋棋盘各个格子里放麦粒的问题,由于每一个格子里的麦粒都是前一个格子里的麦粒数的2倍,且共有64个格子,各个格子里的麦粒数依次是122223,…,263;3某人年初投资10000元,如果年收益率是5%,那么按照复利,5年内各年末的本利和依次为10000×
1.0510000×
1.052,…,10000×
1.
055.问题1上述三个例子中的数列,它们是等差数列吗?提示不是.问题2这三个数列,从第二项起与前一项的比有什么特点?提示都等于同一个常数.[导入新知]等比数列的定义如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示q≠0.[化解疑难]1.“从第2项起”,也就是说等比数列中至少含有三项;2.“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”;3.“同一常数q”,q是等比数列的公比,即q=或q=.特别注意,q不可以为零,当q=1时,等比数列为常数列,非零的常数列是特殊的等比数列.等比中项[提出问题]问题观察上面的三个数列,每个数列中任意连续三项间有何关系?提示中间一项的平方等于它前一项与后一项之积.[导入新知]如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a,b的等比中项,这三个数满足关系式G=±.[化解疑难]1.G是a与b的等比中项,则a与b的符号相同,符号相反的两个实数不存在等比中项.G=±,即等比中项有两个,且互为相反数.2.当G2=ab时,G不一定是a与b的等比中项.例如02=5×0,但005不是等比数列.等比数列的通项公式[提出问题]问题若数列{an}为等比数列,公比为q,则a2=a1q,a3=a2q=a1q2,a4=a3q=a1q3,a5=a4q=a1q4,…,由此你可以得出什么结论呢?提示an=a1qn-
1.[导入新知]等比数列{an}的首项为a1,公比为qq≠0,则通项公式为an=a1qn-
1.[化解疑难]1.在已知首项a1和公比q的前提下,利用通项公式an=a1qn-1可求出等比数列中的任一项;2.等比数列{an}的通项公式an=a1qn-1,可改写为an=·qn.当q>0且q≠1时,这是指数型函数.等比数列的判断与证明 [例1] 已知数列{an}是首项为2,公差为-1的等差数列,令bn=an,求证数列{bn}是等比数列,并求其通项公式.[解] 依题意an=2+n-1×-1=3-n,于是bn=3-n.而==-1=
2.∴数列{bn}是公比为2的等比数列,通项公式为bn=2n-
3.[类题通法]证明数列是等比数列常用的方法1定义法=qq为常数且q≠0或=qq为常数且q≠0,n≥2⇔{an}为等比数列.2等比中项法a=an·an+2an≠0,n∈N*⇔{an}为等比数列.3通项公式法an=a1qn-1其中a1,q为非零常数,n∈N*⇔{an}为等比数列.[活学活用]1.已知数列{an}的前n项和Sn=2-an,求证数列{an}是等比数列.证明∵Sn=2-an,∴Sn+1=2-an+
1.∴an+1=Sn+1-Sn=2-an+1-2-an=an-an+
1.∴an+1=an.又∵S1=2-a1,∴a1=1≠
0.又由an+1=an知an≠0,∴=.∴{an}是等比数列.等比数列的通项公式[例2] 在等比数列{an}中,1a4=2,a7=8,求an;2a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.[解] 1因为所以由得q3=4,从而q=,而a1q3=2,于是a1==,所以an=a1qn-1=
2.2法一因为由得q=,从而a1=
32.又an=1,所以32×n-1=1,即26-n=20,所以n=
6.法二因为a3+a6=qa2+a5,所以q=.由a1q+a1q4=18,得a1=
32.由an=a1qn-1=1,得n=
6.[类题通法]与求等差数列的通项公式的基本量一样,求等比数列的通项公式的基本量也常运用方程的思想和方法.从方程的观点看等比数列的通项公式,an=a1·qn-1a1q≠0中包含了四个量,已知其中的三个量,可以求得另一个量.求解时,要注意应用q≠0验证求得的结果.[活学活用]2.1若等比数列的前三项分别为5,-1545,则第5项是 A.405 B.-405C.135D.-1352xx·辽宁高考已知等比数列{an}为递增数列,且a=a102an+an+2=5an+1,则数列{an}的通项公式an=________.解析1选A ∵a5=a1q4,而a1=5,q==-3,∴a5=
405.2根据条件求出首项a1和公比q,再求通项公式.由2an+an+2=5an+1⇒2q2-5q+2=0⇒q=2或,由a=a10=a1q90⇒a10,又数列{an}递增,所以q=
2.a=a100⇒a1q42=a1q9⇒a1=q=2,所以数列{an}的通项公式为an=2n.答案1A 22n等比中项[例3] 设等差数列{an}的公差d不为0,a1=9d,若ak是a1与a2k的等比中项,则k等于 A.2B.4C.6D.8[解析] ∵an=n+8d,又∵a=a1·a2k,∴[k+8d]2=9d·2k+8d,解得k=-2舍去,k=
4.[答案] B[类题通法]等比中项的应用主要有两点
①计算,与其它性质综合应用.可以简化计算、提高速度和准确度.
②用来判断或证明等比数列.[活学活用]3.已知1既是a2与b2的等比中项,又是与的等差中项,则的值是 A.1或B.1或-C.1或D.1或-解析选D 由题意得,a2b2=ab2=1,+=2,∴或因此的值为1或-. [典例] 等比数列{an}an>0满足a1-a5=90,a2-a4=36,求a5,a7的等比中项.[解] 设该等比数列的公比为q,首项为a1,因a1-a5=90,a2-a4=36得解得或舍令G是a5,a7的等比中项,则应有G2=a5a7=a1q4·a1q6=aq10=962×10=9,所以a5,a7的等比中项是±
3.[易错防范]1.误认为a5,a7的等比中项是a6,故a6=a1q5=96×5=
3.2.要明确同号两数的等比中项G有两个且互为相反数,若G为a,b的等比中项,则G=±.[成功破障]等比数列{an}中,a1=,q=2,则a4与a8的等比中项是A.±4 B.4C.±D.解析选A 依题意得a4·a8=a1q3·a1q7=a1q52=2=42,∴a4与a8的等比中项为±
4.[随堂即时演练]1.等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6=,则公比q等于 A. B.C.2D.8解析选B ∵{an}为等比数列,∴a4+a6=a1+a3q3,∴q3=,∴q=.2.已知等差数列{an}的公差为3,若a1,a3,a4成等比数列,则a2等于 A.9B.3C.-3D.-9解析选D a1=a2-3,a3=a2+3,a4=a2+3×2=a2+6,由于a1,a3,a4成等比数列,则a=a1a4,所以a2+32=a2-3a2+6,解得a2=-
9.3.在数列{an}中,a1=2,且对任意正整数n3an+1-an=0,则an=________.解析∵3an+1-an=0,∴=,因此{an}是以为公比的等比数列,又a1=2,所以an=2×n-
1.答案2×n-14.xx·广东高考已知{an}是递增等比数列,a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比q=________.解析由题意得2q2-2q=4,解得q=2或q=-
1.又{an}单调递增,得q>1,∴q=
2.答案25.1已知{an}为等比数列,且a5=8,a7=2,该数列的各项都为正数,求an.2若等比数列{an}的首项a1=,末项an=,公比q=,求项数n.3若等比数列{an}中an+4=a4,求公比q.解1由已知得得,∵an>0,∴∴an=128×n-1=28-n.2由an=a1·qn-1,得=n-1,即n-1=3,得n=
4.3∵an+4=a4qn+4-4=a4qn,又an+4=a4,∴qn=1,∴当n为偶数时,q=±1;当n为奇数时,q=
1.[课时达标检测]
一、选择题1.设a1,a2,a3,a4成等比数列,其公比为2,则的值为 A.B.C.D.1解析选A 原式===.2.已知一等比数列的前三项依次为x2x+23x+3,那么-13是此数列的第________项 A.2B.4C.6D.8解析选B 由x2x+23x+3成等比数列,可知2x+22=x3x+3,解得x=-1或-4,又当x=-1时,2x+2=0,这与等比数列的定义相矛盾.∴x=-4,∴该数列是首项为-4,公比为的等比数列,其通项an=-4n-1,由-4n-1=-13,得n=
4.3.若互不相等的实数a,b,c成等差数列,a是b,c的等比中项,且a+3b+c=10,则a的值是 A.1B.-1C.-3D.-4解析选D 由题意,得解得a=-4,b=2,c=
8.4.若a,b,c成等比数列,则关于x的方程ax2+bx+c=0 A.必有两个不等实根B.必有两个相等实根C.必无实根D.以上三种情况均有可能解析选C ∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac>
0.又∵Δ=b2-4ac=-3ac<0,∴方程无实数根.5.等比数列{an}中,|a1|=1,a5=-8a2,a5>a2,则an等于 A.-2n-1B.--2n-1C.-2nD.--2n解析选A 设公比为q,则a1q4=-8a1q,又a1≠0,q≠0,所以q3=-8,q=-2,又a5>a2,所以a2<0,a5>0,从而a1>0,即a1=1,故an=-2n-
1.
二、填空题6.等比数列{an}中,a1=-2,a3=-8,则an=________.解析∵=q2,∴q2==4,即q=±
2.当q=-2时,an=a1qn-1=-2×-2n-1=-2n;当q=2时,an=a1qn-1=-2×2n-1=-2n.答案-2n或-2n7.已知等比数列{an}中,a3=3,a10=384,则a4=________.解析设公比为q,则a1q2=3,a1q9=384,所以q7=128,q=2,故a4=a3q=3×2=
6.答案68.若数列{an}的前n项和为Sn,且an=2Sn-3,则{an}的通项公式是________.解析由an=2Sn-3得an-1=2Sn-1-3n≥2,两式相减得an-an-1=2ann≥2,∴an=-an-1n≥2,=-1n≥2.故{an}是公比为-1的等比数列,令n=1得a1=2a1-3,∴a1=3,故an=3·-1n-
1.答案an=3·-1n-1
三、解答题9.数列{an}是公差不为零的等差数列,且a5,a8,a13是等比数列{bn}中相邻的三项,若b2=5,求bn.解∵{an}是等差数列,∴a5=a1+4d,a8=a1+7d,a13=a1+12d,又a5,a8,a13是等比数列{bn}中相邻的三项,∴a=a5a13,即a1+7d2=a1+4da1+12d,解得d=2a
1.设等比数列{bn}的公比为qq≠0,则q==,又b2=b1q=5,即b1=5,解得b1=3,∴bn=3·n-
1.10.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+
1.1证明数列{an+1}是等比数列;2求数列{an}的通项公式.解1法一因为an+1=2an+1,所以an+1+1=2an+1.由a1=1,知a1+1≠0,从而an+1≠
0.所以=2n∈N*.所以数列{an+1}是等比数列.法二由a1=1,知a1+1≠0,从而an+1≠
0.∵===2n∈N*,∴数列{an+1}是等比数列.2由1知{an+1}是以a1+1=2为首项,2为公比的等比数列,所以an+1=2×2n-1=2n,即an=2n-
1.第二课时 等比数列的性质等比数列性质的应用[例1] xx·广东高考1若等比数列{an}满足a2a4=,则a1aa5=________.2已知数列{an}是等比数列,a3+a7=20,a1a9=64,求a11的值.1[解析] 等比数列{an}中,因为a2a4=,所以a=a1a5=a2a4=,所以a1aa5=.[答案] 2[解] ∵{an}为等比数列,∴a1·a9=a3·a7=
64.又∵a3+a7=20,∴a3,a7是方程t2-20t+64=0的两个根.∵t1=4,t2=16,∴a3=4,a7=16或a3=16,a7=
4.
①当a3=4,a7=16时,=q4=4,此时a11=a3q8=4×42=
64.
②当a3=16,a7=4时,=q4=,此时a11=a3q8=16×2=
1.[类题通法]等比数列常用性质1若m+n=p+qm,n,p,q∈N*,则am·an=ap·aq.特例若m+n=2pm,n,p∈N*,则am·an=a.2=qn-mm,n∈N*.3在等比数列{an}中,每隔k项取出一项,取出的项,按原来顺序组成新数列,该数列仍然是等比数列.4数列{an}为等比数列,则数列{λan}λ为不等于0的常数{}仍然成等比数列.[活学活用]1.1在等比数列{an}中,若a2=2,a6=12,则a10=________.2在等比数列{an}中,若a7=-2,则此数列的前13项之积等于________.解析1法一设{an}的公比为q,则解得q4=6,∴a10=a1q9=a1q·q42=2×36=
72.法二∵{an}是等比数列,∴a=a2·a10,于是a10====
72.2由于{an}是等比数列,∴a1a13=a2a12=a3a11=a4a10=a5a9=a6a8=a,∴a1a2a3…a13=6·a7=a,而a7=-
2.∴a1a2a3…a13=-213=-
213.答案172 2-213灵活设元求解等比数列[例2] 已知三个数成等比数列,它们的积为27,它们的平方和为91,求这三个数.[解] 法一设三个数依次为a,aq,aq2,由题意知∴即解得=,得9q4-82q2+9=0,即得q2=9或q2=,∴q=±3或q=±,若q=3,则a1=1;若q=-3,则a1=-1;若q=,则a1=9;若q=-,则a1=-
9.故这三个数为139或-13,-9或931或-93,-
1.法二设这三个数分别为,a,aq.⇒得9q4-82q2+9=0,即得q2=或q2=
9.∴q=±或q=±
3.故这三个数为139或-13,-9或931或-93,-
1.[类题通法]三个数或四个数成等比数列的设元技巧1若三个数成等比数列,可设三个数为a,aq,aq2或,a,aq;2若四个数成等比数列,可设a,aq,aq2,aq3;若四个数均为正负数,可设,,aq,aq
3.[活学活用]2.在2和20之间插入两个数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的两个数的和为 A.-4或17 B.4或17C.4D.17解析选B 设插入的第一个数为a,则插入的另一个数为.由a,,20成等差数列得2×=a+
20.∴a2-a-20=0,解得a=-4或a=
5.当a=-4时,插入的两个数的和为a+=
4.当a=5时,插入的两个数的和为a+=
17.等比数列的实际应用[例3] 某工厂xx年1月的生产总值为a万元,计划从xx年2月起,每月生产总值比上一个月增长m%,那么到xx年8月底该厂的生产总值为多少万元?[解] 设从xx年1月开始,第n个月该厂的生产总值是an万元,则an+1=an+anm%,∴=1+m%.∴数列{an}是首项a1=a,公比q=1+m%的等比数列.∴an=a1+m%n-
1.∴xx年8月底该厂的生产总值为a20=a1+m%20-1=a1+m%19万元.[类题通法]数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系,建立数学模型是解决这类问题的核心,常用的方法有
①构造等差、等比数列的模型,然后用数列的通项公式或求和公式解;
②通过归纳得到结论,再用数列知识求解.[活学活用]3.一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2KB,然后每3分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机后________分钟,该病毒占据内存64MB1MB=210KB.解析由题意可得每3分钟病毒占的内存容量构成一个等比数列,令病毒占据64MB时自身复制了n次,即2×2n=64×210=216,解得n=15,从而复制的时间为15×3=45分钟.答案45 等差数列和等比数列从文字看,只是一字之差,但定义和性质相差甚远,下面对两类数列的性质作一比对,若等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.【性质1】 等差数列{an},当d=0时,数列为常数列,当d>0时,数列为递增数列,当d<0时,数列为递减数列;等比数列{bn},当q>1,b1>0或0<q<1,b1<0时,数列{an}是递增数列,当q>1,b1<0或0<q<1,b1>0时,数列{bn}是递减数列,当q=1时,数列{bn}是常数列.[例1] 设{an}是首项大于零的等比数列,且a1<a2<a3,则数列{an}是________数列填“递增”、“递减”、“摆动”.[解析] 设数列{an}的公比为qq≠0,因为a1<a2<a3,所以a1<a1q<a1q2,解得q>1,且a1>0,所以数列{an}是递增数列.[答案] 递增【性质2】 等差数列{an}满足an=am+n-mdm,n∈N*,等比数列{bn}满足bn=bm·qn-mm,n∈N*.当m=1时,上述式子为通项公式.[例2] 已知{an}为等差数列,且a3=-6,a6=0,则{an}的通项公式为________.[解析] 因a6=a3+3d,则0=-6+3d,得d=2,∴an=a3+n-3d=-6+n-3×2=2n-
12.[答案] 2n-12【性质3】 若m+n=p+qm,n,p,q∈N*,等差数列{an}满足am+an=ap+aq,特别地,若数列{an}是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且等于首末两项之和,即a1+an=a2+an-1=…=ai+1+an-i=…n∈N*.等比数列{bn}满足bmbn=bpbq特别地,数列{bn}是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的积相等,且等于首末两项之积,即b1·bn=b2·bn-1=b3·bn-2=…=bm·bn-m+
1.[例3] 1等差数列{an}的前n项和为Sn若a3+a17=10,则S19的值是 A.55 B.95C.100D.1052在等比数列{an}中,若a2·a8=36,a3+a7=15,则公比q值的个数可能为 A.1个B.2个C.3个D.4个[解析] 1S19====
95.2∵a2·a8=a3·a7,∴由解得a3=3,a7=12,或a3=12,a7=
3.若a3=3,a7=12,则有12=3×q4,∴q4=4,∴q2=2,q=±.若a3=12,a7=3,则有3=12×q4,∴q4=,q2=,q=±.∴q的值可能有4个.[答案] 1B 2D.【性质4】 在等差比数列中,每隔k项取出一项,按原来的顺序排列,所得新数列仍为等差比数列,公差为k+1d,公比为qk+1,若两个数列分别成等差比数列,则两数列对应项和积构成等差比数列.[例4] 在1和16之间插入三个正数a,b,c使1,a,b,c16成等比数列,求a+b+c的值.[解] ∵1,a,b,c16成等比数列,∴1,b16为等比数列.∴b=
4.∴1,a,b也成等比数列,b,c16也成等比数列.∴a=2,c=
8.∴a+b+c=2+4+8=
14.[随堂即时演练]1.将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2,a2a3,a3a4,….此数列是 A.公比为q的等比数列B.公比为q2的等比数列C.公比为q3的等比数列D.不一定是等比数列解析选B 由于=×=q·q=q2,n≥2且n∈N*,∴{anan+1}是以q2为公比的等比数列,故选B.2.若1,a1,a24成等差数列;1,b1,b2,b34成等比数列,则的值等于 A.- B.C.±D.解析选A ∵1,a1,a24成等差数列,∴3a2-a1=4-1,∴a2-a1=
1.又∵1,b1,b2,b34成等比数列,设其公比为q,则b=1×4=4,且b2=1×q2>0,∴b2=2,∴==-.3.在等比数列{an}中,a888=3,a891=81,则公比q=________.解析∵a891=a888q891-888=a888q3,∴q3===
27.∴q=
3.答案34.在等比数列{an}中,各项都是正数,a6a10+a3a5=41,a4a8=4,则a4+a8=________.解析∵a6a10=a,a3a5=a,∴a+a=41,又a4a8=4,∴a4+a82=a+a+2a4a8=41+8=49,∵数列各项都是正数,∴a4+a8=
7.答案75.已知数列{an}为等比数列.1若a1+a2+a3=21,a1a2a3=216,求an;2若a3a5=18,a4a8=72,求公比q.解1∵a1a2a3=a=216,∴a2=6,∴a1a3=
36.又∵a1+a3=21-a2=15,∴a1,a3是方程x2-15x+36=0的两根3和
12.当a1=3时,q==2,an=3·2n-1;当a1=12时,q=,an=12·n-
1.2∵a4a8=a3q·a5q3=a3a5q4=18q4=72,∴q4=4,∴q=±.[课时达标检测]
一、选择题1.等比数列{an}的公比q=-,a1=,则数列{an}是 A.递增数列B.递减数列C.常数数列D.摆动数列解析选D 由于公比q=-<0,所以数列{an}是摆动数列.2.已知等比数列{an}中,a4=7,a6=21,则a8的值 A.35B.63C.21D.±21解析选B ∵{an}成等比数列.∴a4,a6,a8成等比数列∴a=a4·a8,即a8==
63.3.在等比数列{an}中,a1=1,a10=3,则a2a3a4a5a6a7a8a9等于 A.81B.27C.3D.243解析选A 因为数列{an}是等比数列,且a1=1,a10=3,所以a2a3a4a5a6a7a8a9=a2a9·a3a8a4a7a5a6=a1a104=34=
81.故选A.4.设数列{an}为等比数列,则下面四个数列
①{a};
②{pan}p为非零常数;
③{an·an+1};
④{an+an+1}.其中是等比数列的有几个 A.1B.2C.3D.4解析选D
①∵=3=q3,故{a}是等比数列;
②∵==q,故{pan}是等比数列;
③∵==q2,故{an·an+1}是等比数列;
④∵==q,故{an+an+1}是等比数列.5.已知等比数列{an}中,a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且b7=a7,则b5+b9等于 A.2B.4C.8D.16解析选C 等比数列{an}中,a3a11=a=4a7,解得a7=4,等差数列{bn}中,b5+b9=2b7=2a7=
8.
二、填空题6.公差不为零的等差数列{an}中,2a3-a+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且b7=a7,则b6b8=________.解析∵2a3-a+2a11=2a3+a11-a=4a7-a=0,∵b7=a7≠0,∴b7=a7=
4.∴b6b8=b=
16.答案167.画一个边长为2厘米的正方形,再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形,以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形,这样一共画了10个正方形,则第10个正方形的面积等于________平方厘米.解析这10个正方形的边长构成以2为首项,为公比的等比数列{an}1≤n≤10,n∈N*,则第10个正方形的面积S=a=22·29=211=
2048.答案20488.在等比数列{an}中,a7·a11=6,a4+a14=5,则=________.解析∵{an}是等比数列,∴a7·a11=a4·a14=6,又a4+a14=5,∴或∵=q10,∴q10=或q10=.而=q10,∴=或=.答案或
三、解答题9.三个互不相等的数成等差数列,如果适当排列这三个数,又可成为等比数列,这三个数的和为6,求这三个数.解由已知,可设这三个数为a-d,a,a+d,则a-d+a+a+d=6,∴a=2,这三个数可表示为2-d22+d,
①若2-d为等比中项,则有2-d2=22+d,解之得d=6,或d=0舍去.此时三个数为-
428.
②若2+d是等比中项,则有2+d2=22-d,解之得d=-6,或d=0舍去.此时三个数为82,-
4.
③若2为等比中项,则22=2+d·2-d,∴d=0舍去.综上可求得此三数为-
428.
10.如图所示,在边长为1的等边三角形A1B1C1中,连结各边中点得△A2B2C2,再连结△A2B2C2的各边中点得△A3B3C3,…,如此继续下去,试证明数列S△A1B1C1,S△A2B2C2,S△A3B3C3,…是等比数列.解由题意,得△AnBnCnn=123…的边长AnBn是首项为1,公比为的等比数列,故AnBn=n-1,所以S△AnBnCn=2n-2,所以==.因此,数列S△A1B1C1,S△A2B2C2,S△A3B3C3,…是等比数列._
2.5等比数列的前n项和第一课时 等比数列的前n项和等比数列的前n项和公式[提出问题]已知等比数列{an},公比为q,Sn是其前n项的和,则Sn=a1+a2+…+an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-
1.问题1若q=1,则Sn与a1有何关系?提示Sn=na
1.问题2若q≠1,你能用a1,q直接表示Sn吗?如何表示?提示∵Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1
①两边同乘以q,可得qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn
②①-
②得1-qSn=a1-a1qn,∴当q≠1时,Sn=.[导入新知]等比数列的前n项和公式已知量首项a1与公比q首项a1,末项an与公比q公式Sn=Sn=[化解疑难]1.在运用等比数列的前n项和公式时,一定要注意对公比q的讨论q=1或q≠1.2.当q≠1时,若已知a1及q,则用公式Sn=较好;若已知an,则用公式Sn=较好.等比数列的前n项和公式的基本运算[例1] 在等比数列{an}中,1若a1=1,a5=16,且q>0,求S7;2若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n;3若a3=,S3=,求a1和公比q.[解] 1因{an}为等比数列且a1=1,a5=16∴a5=a1q4∴16=q4∴q=2负舍∴S7===
127.2法一由Sn=,an=a1qn-1以及已知条件得∴a1·2n=192,∴2n=.∴189=a12n-1=a1,∴a1=
3.又∵2n-1==32,∴n=
6.法二由公式Sn=及条件得189=,解得a1=3,又由an=a1·qn-1,得96=3·2n-1,解得n=
6.3
①当q≠1时,S3==,又a3=a1·q2=,∴a11+q+q2=,即1+q+q2=,解得q=-q=1舍去,∴a1=
6.
②当q=1时,S3=3a1,∴a1=.综上得或[类题通法]在等比数列{an}的五个量a1,q,an,n,Sn中,a1与q是最基本的元素,当条件与结论间的联系不明显时,均可以用a1与q表示an与Sn,从而列方程组求解,在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的.这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.[活学活用]1.在等比数列{an}中,1若q=2,S4=1,求S
8.2若a1+a3=10,a4+a6=,求a4和S5;解1设首项为a1,∵q=2,S4=1,∴=1,即a1=,∴S8===
17.2设公比为q,由通项公式及已知条件得即∵a1≠01+q2≠0,∴
②÷
①得,q3=,即q=,∴a1=
8.∴a4=a1q3=8×3=1,S5===等比数列前n项和的性质[例2] 设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S4=2,S8=6,求a17+a18+a19+a20的值.[解] 由等比数列前n项和的性质,可知S4,S8-S4,S12-S8,…,S4n-S4n-4,…成等比数列.由题意可知上面数列的首项为S4=2,公比为=2,故S4n-S4n-4=2nn≥2,所以a17+a18+a19+a20=S20-S16=25=
32.[类题通法]等比数列前n项和的重要性质1等比数列{an}的前n项和Sn,满足Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,…成等比数列其中Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…均不为0,这一性质可直接应用.2等比数列的项数是偶数时,=q;等比数列的项数是奇数时,=q.[活学活用]2.1设等比数列{an}的前n项和为Sn,若=3,则= A.2 B.C.D.3解析1设公比为qq≠0,则题意知q≠-1,根据等比数列前n项和的性质,得==1+q3=3,即q3=
2.于是===.答案B2等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=________.解析由题意知∴∴公比q===
2.答案2等比数列的综合应用[例3] 等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,S3,S2成等差数列.1求{an}的公比q;2若a1-a3=3,求Sn.[解] 1∵S1,S3,S2成等差数列,∴2S3=S1+S2,显然{an}的公比q≠1,于是=a1+,即21+q+q2=2+q,整理得2q2+q=0,∴q=-q=0舍去.2∵q=-,又a1-a3=3,∴a1-a1·-2=3,解得a1=
4.于是Sn==.[类题通法]在解决等差、等比数列的综合题时,重点在于读懂题意,而正确利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式是解决问题的关键.[活学活用]3.已知数列{an}的前n项和Sn=2n-n2,an=log5bn,其中bn>0,求数列{bn}的前n项和Tn.解当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-n2-[2n-1-n-12]=-2n+3,当n=1时,a1=S1=2×1-12=1也适合上式,∴{an}的通项公式an=-2n+3n∈N*.又an=log5bn,∴log5bn=-2n+3,于是bn=5-2n+3,bn+1=5-2n+1,∴==5-2=.因此{bn}是公比为的等比数列,且b1=5-2+3=5,于是{bn}的前n项和Tn==. [典例] 设数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,且S3=3a3,求此数列的公比q.[解]当q=1时,S3=3a1=3a3,符合题目条件;当q≠1时,=3a1q2,因为a1≠0,所以1+q+q2=3q2,2q2-q-1=0,解得q=-.综上所述,公比q的值是1或-.[易错防范] 1.易忽视q=1这一情况,从而得出错解.2.在用等比数列求和公式求和前,先看公比q,若其中含有字母,就应按q=0,q=1,q≠0且q≠1讨论.[成功破障]已知等比数列{an}中,a1=2,S3=6,求a3和q.解若q=1,则S3=3a1=6,符合题意.此时,q=1,a3=a1=
2.若q≠1,则由等比数列的前n项和公式,得S3===6,解得q=1舍去或q=-
2.此时,a3=a1q2=2×-22=
8.综上所述,q=1,a3=2或q=-2,a3=
8.[随堂即时演练]1.数列{2n-1}的前99项和为 A.2100-1 B.1-2100C.299-1D.1-299解析选C 数列{2n-1}为等比数列,首项为1,公比为2,故其前99项和为S99==299-
1.2.等比数列{an}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q等于 A.2B.C.4D.解析选C a3=3S2+2,a4=3S3+2,等式两边分别相减得a4-a3=3a3即a4=4a3,∴q=
4.3.已知等比数列{an}中,q=2,n=5,Sn=62,则a1=________.解析∵q=2,n=5,Sn=62,∴=62,即=62,∴a1=
2.答案24.等比数列{an}的前5项和S5=10,前10项和S10=50,则它的前15项和S15=________.解析由等比数列前n项和的性质知S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,故S10-S52=S5S15-S10,即50-102=10S15-50,解得S15=
210.答案2105.在等比数列{an}中,1S2=30,S3=155,求Sn;2若Sn=189,a1=3,an=96,求q和n.解1由题意知解得或从而Sn=×5n+1-或Sn=.2∵等比数列{an}中,a1=3,an=96,Sn=189,∴=
189.∴q=
2.∴an=a1qn-
1.∴96=3×2n-
1.∴n=5+1=
6.[课时达标检测]
一、选择题1.在等比数列{an}中,如果a1+a2=40,a3+a4=60,那么a7+a8= A.135 B.100C.95D.80解析选A 由等比数列的性质知,a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8成等比数列,其首项为40,公比为=.∴a7+a8=40×3=
135.2.等比数列{an}的前n项和为Sn,且4a12a2,a3成等差数列.若a1=1,则S4等于 A.7B.8C.15D.16解析选C 设{an}的公比为q,∵4a12a2,a3成等差数列,∴4a2=4a1+a3,即4a1q=4a1+a1q2,即q2-4q+4=0,∴q=2,又a1=1,∴S4==15,故选C.3.已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和,且9S3=S6,则数列的前5项和为 A.或5B.或5C.D.解析选C 易知公比q≠
1.由9S3=S6,得9·=,解得q=
2.∴是首项为1,公比为的等比数列.∴其前5项和为=.4.已知等比数列的公比为2,且前5项和为1,那么前10项和等于 A.31B.33C.35D.37解析选B 根据等比数列性质得=q5,∴=25,∴S10=
33.5.等比数列{an}的公比q<0,已知a2=1,an+2=an+1+2an,则{an}的前2010项和等于 A.2010B.-1C.1D.0解析选D 由an+2=an+1+2an得qn+1=qn+2qn-1,即q2-q-2=0,又q<0,解得q=-1,又a2=1,∴a1=-1,S2010==
0.
二、填空题6.设等比数列{an}的公比q=,前n项和为Sn,则=________.解析对于S4=,a4=a1q3,∴==
15.答案157.等比数列{an}共有2n项,它的全部各项的和是奇数项的和的3倍,则公比q=________.解析设{an}的公比为q,则奇数项也构成等比数列,其公比为q2,首项为a1,S2n=,S奇=.由题意得=,∴1+q=3,∴q=
2.答案28.已知等比数列的前10项中,所有奇数项之和为85,所有偶数项之和为170,则S=a3+a6+a9+a12的值为________.解析设公比为q,由得∴S=a3+a6+a9+a12=a31+q3+q6+q9=a1q2·=
585.答案585
三、解答题9.设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2=66a1+a3=30,求an和Sn.解设{an}的公比为q,由题设得解得或当a1=3,q=2时,an=3×2n-1,Sn=32n-1;当a1=2,q=3时,an=2×3n-1,Sn=3n-
1.10.已知等比数列{an}中,a1=,公比q=.1Sn为{an}的前n项和,证明Sn=;2设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{bn}的通项公式.解1证明因为an=×n-1=,Sn==,所以Sn=-.2bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-1+2+…+n=-.所以{bn}的通项公式为bn=-.第二课时 数列求和习题课1.等差数列和等比数列求和公式是什么?其公式是如何推导的?2.等差数列和等比数列的性质有哪些?分组转化法求和[例1] 已知数列{cn}1,2,3,…,试求{cn}的前n项和.[解] 令{cn}的前n项和为Sn,则Sn=1+2+3+…+=1+2+3+…+n+=+=+1-n.即数列{cn}的前n项和为Sn=+1-n.[类题通法]当一个数列本身不是等差数列也不是等比数列,但如果它的通项公式可以拆分为几项的和,而这些项又构成等差数列或等比数列,那么就可以用分组求和法,即原数列的前n项和等于拆分成的每个数列前n项和的和.[活学活用]1.求和Sn=3+33+333+…+.解数列333333,…,的通项公式an=10n-1.∴Sn=10-1+102-1+…+10n-1=10+102+…+10n-=×-=10n-1-.错位相减法求和[例2] xx·浙江高考已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n,n∈N*,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N*.1求an,bn;2求数列{an·bn}的前n项和Tn.[解]1由Sn=2n2+n,得当n=1时,a1=S1=3;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-1,所以an=4n-1,n∈N*.由4n-1=an=4log2bn+3,得bn=2n-1,n∈N*.2由1知an·bn=4n-1·2n-1,n∈N*,所以Tn=3+7×2+11×22+…+4n-1·2n-12Tn=3×2+7×22+…+4n-5·2n-1+4n-1·2n,所以2Tn-Tn=4n-12n-[3+42+22+…+2n-1]=4n-52n+
5.故Tn=4n-52n+5,n∈N*.[类题通法]如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减法.在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.[活学活用]2.已知an=,求数列{an}的前n项和Sn.解Sn=+++…++,Sn=++…++,两式相减得Sn=+++…+-=-=--,∴Sn=--=-.裂项相消法求和[例3] 已知等差数列{an}满足a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn.1求an及Sn;2令bn=n∈N*,求数列{bn}的前n项和Tn.[解]1设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,由于a3=7,a5+a7=26,∴a1+2d=72a1+10d=26,解得a1=3,d=
2.由于an=a1+n-1d,Sn=,∴an=2n+1,Sn=nn+2.2∵an=2n+1,∴a-1=4nn+1,因此bn==.故Tn=b1+b2+…+bn===.∴数列{bn}的前n项和Tn=.[类题通法]裂项法的实质是将数列中的每项通项分解,然后重新组合使之能消去一些项,最终达到求和的目的.利用裂项法的关键是分析数列的通项,考察是否能分解成两项的差,这两项一定要是同一数列相邻相间的两项,即这两项的结论应一致.[活学活用]3.在数列{an}中,an=++…+,且bn=,求数列{bn}的前n项的和.解an=1+2+…+n=,∵bn=,∴bn==8-,∴数列{bn}的前n项和为Sn=8[1-+-+-+…+-]=81-=.数列求和的常用方法归纳1.公式法分组求和法 如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成,并且各独立项也可组成等差或等比数列,则该数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解.2.裂项求和法对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列,在求和时常用“裂项法”,分式的求和多利用此法.可用待定系数法对通项公式进行拆项,相消时应注意消去项的规律,即消去哪些项,保留哪些项,常见的拆项公式有
①=·-;
②若{an}为等差数列,公差为d,则=-;
③=-等.3.错位相减法若数列{an}为等差数列,数列{bn}是等比数列,由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{anbn},当求该数列的前n项的和时,常常采用将{anbn}的各项乘以公比q,然后错位一项与{anbn}的同次项对应相减,即可转化为特殊数列的求和,所以这种数列求和的方法称为错位相减法.4.倒序相加法如果一个数列{an},与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写与倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加求和法. [典例] xx·江西高考已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+kn其中k∈N*,且Sn的最大值为
8.1确定常数k,并求an;2求数列的前n项和Tn.[解题流程]第1问―→―→第2问―→―→条件具备,代入求和Tn=1+++…++
①[规范解答]1当n=k∈N时,Sn=-n2+kn取得最大值,即8=Sk=-k2+k2=k2,故k2=16,k=
4.3分当n=1时,a1=S1=-+4=,4分当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-n.当n=1时,上式也成立,综上,an=-n.6分2因为=,7分所以Tn=1+++…++,8分
①所以2Tn=2+2++…++,9分
②②-
①2Tn-Tn=2+1++…+-=4--=4-.11分故Tn=4-.12分 [名师批注]
1.利用an=Sn-Sn-1时,易忽视条件n≥
2.又a1=S1=,所以an=-n.
2.两式相减时,注意不要漏项,由Sn-qSn得Sn时应注意q是否等于
1.[活学活用]设数列{an}的通项公式为an=2n-1an-1a≠0,求其前n项和.解当a=1时,an=2n-1是等差数列,∴Sn==n
2.当a≠1时,Sn=1+3a+5a2+7a3+…+2n-1an-1
①aSn=a+3a2+5a3+…+2n-3an-1+2n-1an
②①-
②得1-aSn=1+2a+2a2+2a3+…+2an-1-2n-1an=1+2·-2n-1an∵a≠1,∴Sn=+.综上所述当a=1时,Sn=n2;当a≠1时,Sn=+.[随堂即时演练]1.已知an=-1n,数列{an}的前n项和为Sn,则S9与S10的值分别是 A.11 B.-1,-1C.10D.-10解析选D S9=-1+1-1+1-1+1-1+1-1=-1,S10=S9+a10=-1+1=
0.2.数列{an},{bn}满足anbn=1,an=n2+3n+2,则{bn}的前10项和为 A.B.C.D.解析选B 依题意bn====-,所以{bn}的前10项和为S10=+++…+=-=,故选B.3.求和Sn=1+++1++++…+=________.解析被求和式的第k项为ak=1+++…+==
2.所以Sn=2=2=2=2=2n+-
2.答案2n+-24.已知数列{an}的通项公式an=,其前n项和Sn=,则项数n等于________.解析an==1-∴Sn=n-=n-1+==5+,∴n=
6.答案65.已知等比数列{an}中,a2=8,a5=
512.1求数列{an}的通项公式;2令bn=nan,求数列{bn}的前n项和Sn.解1==64=q3,∴q=
4.∴an=a2·4n-2=8×4n-2=22n-
1.2由bn=nan=n×22n-1知Sn=1×2+2×23+3×25+…+n×22n-1
①,从而22×Sn=1×23+2×25+3×27+…+n×22n+1
②,
①-
②得1-22×Sn=2+23+25+…+22n-1-n×22n+1,即Sn=[3n-122n+1+2].[课时达标检测]
一、选择题1.已知{an}为等比数列,Sn是它的前n项和.若a2·a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为,则S5等于 A.35 B.33C.31D.29解析选C 设{an}的公比为q,则有,解得,∴S5==32=31,故选C.2.数列{-1nn}的前n项和为Sn,则S2012等于 A.1006B.-1006C.2012D.-2012解析选A S2012=-1+2+-3+4+…+-2011+2012=
1006.3.数列{an}的通项公式是an=,若前n项和为10,则项数为 A.11B.99C.120D.121解析选C ∵an==-,∴Sn=a1+a2+…+an=-1+-+…+-=-1,令-1=10,得n=
120.4.数列1,,,…,的前n项和为 A.B.C.D.解析选B 该数列的通项为an=,分裂为两项差的形式为an=2,令n=123,…,则Sn=2,∴Sn=2=.5.已知数列{an},+,++,+++,…,那么数列{bn}={}前n项的和为 A.41-B.4-C.1-D.-解析选A ∵an===,∴bn===4-.∴Sn=41-+-+-+…+-=41-.
二、填空题6.数列{an}中,Sn=3n+m,当m=________时,数列{an}是等比数列.解析因为a1=S1=3+m,a2=S2-S1=32-3=6,a3=S3-S2=33-32=18,又由a1·a3=a,得m=-
1.答案-17.设数列{an}的通项为an=2n-7n∈N*,则|a1|+|a2|+…+|a15|=________.解析∵an=2n-7,∴a1=-5,a2=-3,a3=-1,a4=1,a5=3,…,a15=23,∴|a1|+|a2|+…+|a15|=5+3+1+1+3+5+…+23=9+=
153.答案1538.数列11103100510007,…的前n项和Sn=________.解析数列的通项公式an=10n+2n-1.所以Sn=10+1+102+3+…+10n+2n-1=10+102+…+10n+[1+3+…+2n-1]=+=10n-1+n
2.答案10n-1+n2
三、解答题9.设{an}是公比为正数的等比数列,a1=2,a3=a2+
4.1求{an}的通项公式;2设{bn}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{an+bn}的前n项和Sn.解1设q为等比数列{an}的公比,则由a1=2,a3=a2+4得2q2=2q+4,即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1舍去,因此q=
2.所以{an}的通项为an=2·2n-1=2nn∈N*.2易知bn=2n-1,则Sn=+n×1+×2=2n+1+n2-
2.10.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,Sn=n2+n.1求数列{an}的通项公式;2设的前n项和为Tn,求证Tn<
1.解1∵Sn=n2+n,∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-n-12-n-1=2n,又a1=2满足上式,∴an=2nn∈N*.2证明∵Sn=n2+n=nn+1,∴==-,∴Tn=++…+=1-.∵n∈N*,∴>0,即Tn<
1. 数 列
一、选择题共10小题,每小题5分,共50分1.数列3591733,…的通项公式an等于 A.2n B.2n+1C.2n-1D.2n+1解析选B 由于3=2+15=22+19=23+1,…,所以通项公式是an=2n+1,故选B.2.下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是 A.1,,,,…B.-12,-34,…C.-1,-,-,-,…D.1,,,…,解析选C A为递减数列,B为摆动数列,D为有穷数列.3.记等差数列的前n项和为Sn,若S2=4,S4=20,则该数列的公差d=________. A.2B.3C.6D.7解析选B S4-S2=a3+a4=20-4=16,∴a3+a4-S2=a3-a1+a4-a2=4d=16-4=12,∴d=
3.4.在数列{an}中,a1=22an+1-2an=1,则a101的值为 A.49B.50C.51D.52解析选D ∵2an+1-2an=1,∴an+1-an=,∴数列{an}是首项a1=2,公差d=的等差数列,∴a101=2+101-1=
52.5.等差数列{an}的公差不为零,首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项,则数列的前10项之和是 A.90B.100C.145D.190解析选B 设公差为d,∴1+d2=1×1+4d,∵d≠0∴d=2,从而S10=
100.6.xx·安徽高考公比为2的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,则a5= A.1B.2C.4D.8解析选A 因为a3a11=a,又数列{an}的各项都是正数,所以解得a7=4,由a7=a5·22=4a5,求得a5=
1.7.已知数列{an}中,a3=2,a7=1,又数列是等差数列,则a11等于 A.0B.C.D.-1解析选B 设数列{bn}的通项bn=,因{bn}为等差数列,b3==,b7==,公差d==,∴b11=b3+11-3d=+8×=,即得1+a11=,a11=.8.等比数列{an}的通项为an=2·3n-1,现把每相邻两项之间都插入两个数,构成一个新的数列{bn},那么162是新数列{bn}的 A.第5项B.第12项C.第13项D.第6项解析选C 162是数列{an}的第5项,则它是新数列{bn}的第5+5-1×2=13项.9.设数列{an}是以2为首项,1为公差的等差数列,{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列,则ab1+ab2+…+ab10等于 A.1033B.1034C.2057D.2058解析选A 由已知可得an=n+1,bn=2n-1,于是abn=bn+1,因此ab1+ab2+…+ab10=b1+1+b2+1+…+b10+1=b1+b2+…+b10+10=20+21+…+29+10=+10=
1033.10.我们把1361015,…这些数叫做三角形数,因为这些数目的点可以排成一个正三角形,如下图所示则第七个三角形数是 A.27B.28C.29D.30解析选B 法一∵a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,a5=15,a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,a5-a4=5,∴a6-a5=6,a6=21,a7-a6=7,a7=
28.法二由图可知第n个三角形数为,∴a7==
28.
二、填空题共4小题,每小题5分,共20分11.若数列{an}满足a1=1,an+1=2ann∈N*,则a5=________;前8项的和S8=________用数字作答.解析由a1=1,an+1=2ann∈N*知{an}是以1为首项,以2为公比的等比数列,由通项公式及前n项和公式知a5=a1q4=16,S8===
255.答案16 25512.数列{an}满足a1=1,an=an-1+nn≥2,则a5=________.解析由an=an-1+nn≥2,得an-an-1=n.则a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,a5-a4=5,把各式相加,得a5-a1=2+3+4+5=14,∴a5=14+a1=14+1=
15.答案1513.等比数列{an}中,a2+a4+…+a20=6,公比q=3,则前20项和S20=________.解析S偶=a2+a4+…+a20,S奇=a1+a3+…+a19,则=q,∴S奇===
2.∴S20=S偶+S奇=6+2=
8.答案814.在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,且S6<S7,S7>S8,有下列四个命题
①此数列的公差d<0;
②S9一定小于S6;
③a7是各项中最大的一项;
④S7一定是Sn中的最大项.其中正确的命题是________.填入所有正确命题的序号解析∵S7>S6,即S6<S6+a7,∴a7>
0.同理可知a8<
0.∴d=a8-a7<
0.又∵S9-S6=a7+a8+a9=3a8<0,∴S9<S
6.∵数列{an}为递减数列,且a7>0,a8<0,∴可知S7为Sn中的最大项.答案
①②③
三、解答题共4小题,共50分15.12分等比数列{an}中,已知a1=2,a4=16,1求数列{an}的通项公式;2若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项,试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.解1设{an}的公比为q,由已知得16=2q3,解得q=2,∴an=2n.2由1得a3=8,a5=32,则b3=8,b5=
32.设{bn}的公差为d,则有解得从而bn=-16+12n-1=12n-28,所以数列{bn}的前n项和Sn==6n2-22n.16.12分数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1n≥2,若an+Sn=n,cn=an-
1.1求证数列{cn}是等比数列;2求数列{bn}的通项公式.解1证明∵a1=S1,an+Sn=n
①,∴a1+S1=1,得a1=.又an+1+Sn+1=n+1
②,
①②两式相减得2an+1-1=an-1,即=,也即=,故数列{cn}是等比数列.2∵c1=a1-1=-,∴cn=-,an=cn+1=1-,an-1=1-.故当n≥2时,bn=an-an-1=-=.又b1=a1=,即bn=.17.12分已知{an}是公差不为零的等差数列,{bn}是各项都是正数的等比数列,1若a1=1,且a1,a3,a9成等比数列,求数列{an}的通项公式;2若b1=1,且b2,b32b1成等差数列,求数列{bn}的通项公式.解1由题意可设公差为d,则d≠0,由a1=1,a1,a3,a9成等比数列得=,解得d=1或d=0舍去,故数列{an}的通项公式为an=1+n-1×1=n.2由题意可设公比为q,则q>0,由b1=1,且b2,b32b1成等差数列得b3=b2+2b1,∴q2=2+q,解得q=2或q=-1舍去,故数列{bn}的通项公式为bn=1×2n-1=2n-
1.18.14分数列{an}满足a1=1,an+1=n∈N*.1证明数列{}是等差数列;2求数列{an}的通项公式an;3设bn=nn+1an,求数列{bn}的前n项和Sn.解1证明由已知可得=,即=+1,即-=
1.∴数列{}是公差为1的等差数列.2由1知=+n-1×1=n+1,∴an=.3由2知bn=n·2n.Sn=1·2+2·22+3·23+…+n·2n,2Sn=1·22+2·23+…+n-1·2n+n·2n+1,相减得-Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1=-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1,∴Sn=n-1·2n+1+
2.。