还剩55页未读，继续阅读
本资源只提供10页预览，全部文档请下载后查看！喜欢就下载吧，查找使用更方便
文本内容:
2019-2020年高中数学人教B版必修4教学案第一章1-2任意角的三角函数 预习课本P14～17，思考并完成以下问题1任意角的三角函数的定义是什么？ 2三角函数值的大小与其终边上的点P的位置是否有关？ 3如何求三角函数的定义域？ 4如何判断三角函数值在各象限内的符号？ 1．三角函数的定义1前提准备
①以角α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为x轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy，如图所示．
②设角α的终边上任一点Px，y，OP＝rr≠0．2定义
①余弦函数叫做角α的余弦，记作cosα，即cosα＝.
②正弦函数叫做角α的正弦，记作sinα，即sinα＝.
③正切函数叫做角α的正切，记作tanα，即tanα＝.
④正割函数角α的正割secα＝＝.
⑤余割函数角α的余割cscα＝＝.
⑥余切函数角α的余切cotα＝＝.[点睛] 三角函数也是函数，都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标坐标的比值为函数值的函数；三角函数值只与角α的大小有关，即由角α的终边位置决定．2．正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域三角函数定义域sinαRcosαRtanα3．三角函数值的符号如图所示正弦一二象限正，三四象限负；余弦一四象限正，二三象限负；正切一三象限正，二四象限负．简记口诀一全正、二正弦、三正切、四余弦．1．判断下列命题是否正确．正确的打“√”，错误的打“×”1三角函数也是函数，它们都是以角为自变量的，以比值为函数值的函数． 2若sinα＝sinβ，则α＝β. 3已知α是三角形的内角，则必有sinα
0. 答案1√ 2× 3√2．若sinα0，tanα0，则α在 A．第一象限 B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案C3．已知角α的终边与圆x2＋y2＝1的交点P，则sinα＋cosα＝ A.B．－C.D．－答案B4．sin＝________，cos＝________.答案 －三角函数的定义及应用[典例] 已知角α的终边经过点P－4a3aa≠0，求sinα，cosα，tanα的值．[解] r＝＝5|a|.若a＞0，则r＝5a，故sinα＝＝＝，cosα＝＝＝－，tanα＝＝＝－.若a＜0，则r＝－5a.同理可得sinα＝－，cosα＝，tanα＝－.利用三角函数的定义求值的策略1已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种法一先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．法二在α的终边上任选一点Px，y，P到原点的距离为rr0．则sinα＝，cosα＝.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．2当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． [活学活用]1．如果α的终边过点P2sin30°，－2cos30°，那么sinα的值等于 A. B．－C．－D．－解析选C 由题意知P1，－，所以r＝＝2，所以sinα＝－.2．已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sinα，cosα，tanα，secα，cscα，cotα的值．解直线x＋y＝0，即y＝－x，则直线通过第二和第四象限．
①在第二象限内取直线上的点－1，，则r＝＝2，所以sinα＝，则cscα＝＝；cosα＝－，则secα＝－2；tanα＝－，则cotα＝－.
②在第四象限内取直线上的点1，－，则r＝＝2，所以sinα＝－，则cscα＝－；cosα＝，则secα＝2；tanα＝－，则cotα＝－.三角函数值符号的运用[典例] 1若角θ同时满足sinθ0且tanθ0，则角θ的终边一定位于 A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2设α是第三象限角，且＝－cos，则所在象限是 A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析] 1由sinθ0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合．由tanθ0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．2∵α是第三象限角，∴2kπ＋πα2kπ＋，k∈Z.∴kπ＋kπ＋.∴在第
二、四象限．又∵＝－cos，∴cos
0.∴在第二象限．[答案] 1D 2B对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理． [活学活用]1．设△ABC的三个内角为A，B，C，则下列各组数中有意义且均为正值的是 A．tanA与cosBB．cosB与sinCC．sinC与tanAD．tan与sinC解析选D ∵0＜A＜π，∴0＜＜，∴tan＞0；又∵0＜C＜π，∴sinC＞
0.2．若角α是第二象限角，则点Psinα，cosα在第________象限．解析∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜
0.∴Psinα，cosα位于第四象限．答案四求三角函数的定义域[典例] 求函数fx＝的定义域．[解] 要使fx有意义，则所以解得2kπ＜x＜2kπ＋，k∈Z.所以原函数的定义域为.求三角函数定义域的方法1求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得．对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制．2要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以用取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集． [活学活用] 求下列函数的定义域1y＝；2y＝＋.解1要使函数式有意义，需tanx≠0，解得x≠kπk∈Z．要使tanx有意义，需x≠kπ＋k∈Z，解得x≠k∈Z．所以函数的定义域为.2由题意得由cosx≥0得x的终边在y轴上，或第一象限，或第四象限，或在x轴非负半轴上．由－tanx≥0，得tanx≤0，则角x的终边在第二象限，或第四象限，或在x轴上．综上，角x的终边在第四象限或x轴非负半轴上．所以函数的定义域为.层级一 学业水平达标1．若α＝，则α的终边与圆x2＋y2＝1的交点P的坐标是 A. B.C.D.解析选B 设Px，y，∵角α＝在第二象限，∴x＝－，y＝＝，∴P.2．若角α的终边上一点的坐标为1，－1，则cosα等于 A．1B．－1C.D．－解析选C ∵角α的终边上一点的坐标为1，－1，它与原点的距离r＝＝，∴cosα＝＝＝.3．若三角形的两内角α，β满足sinαcosβ0，则此三角形必为 A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上三种情况都可能解析选B ∵sinαcosβ0，α，β∈0，π，∴sinα0，cosβ0，∴β为钝角．4．代数式sin120°cos210°的值为 A．－B.C．－D.解析选A 利用三角函数定义易得sin120°＝，cos210°＝－，∴sin120°cos210°＝×＝－，故选A.5．若角α的终边在直线y＝－2x上，则sinα等于 A．±B．±C．±D．±解析选C 在α的终边上任取一点－12，则r＝＝，所以sinα＝＝＝.或者取P1，－2，则r＝＝，所以sinα＝＝－＝－.6．计算tan＝________，csc＝________.解析∵α＝，在α的终边上取一点Pa，a，∴r＝2a.∴tan＝，csc＝
2.答案 27．已知角α的终边过点P5，a，且tanα＝－，则sinα＋cosα＝________.解析∵tanα＝＝－，∴a＝－
12.∴r＝＝
13.∴sinα＝－，cosα＝.∴sinα＋cosα＝－.答案－8．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋＝________.解析当α在第二象限时，＋＝－＋＝0；当α在第四象限时，＋＝－＝
0.综上，＋＝
0.答案09．已知角θ终边上有一点P－，m，且sinθ＝mm≠0，试求cosθ与tanθ的值．解点P－，m到坐标原点O的距离r＝，由三角函数的定义，得sinθ＝＝＝m，解得m＝±.∴r＝
2.当m＝时，cosθ＝＝＝－，tanθ＝＝＝－.当m＝－时，cosθ＝＝＝－，tanθ＝＝＝.10．已知点M是圆x2＋y2＝1上的点，以射线OM为终边的角α的正弦值为－，求cosα和tanα的值．解设点M的坐标为x1，y1．由题意，可知sinα＝－，即y1＝－.∵点M在圆x2＋y2＝1上，∴x＋y＝1，即x＋2＝1，解得x1＝或x2＝－.∴cosα＝或cosα＝－，∴tanα＝－1或tanα＝
1.层级二 应试能力达标1．已知角α的终边经过点3a－9，a＋2，且cosα≤0，sinα0，则实数a的取值范围是 A．－23] B．－23C．[－23D．[－23]解析选A 由cosα≤0，sinα0可知，角α的终边落在第二象限内或y轴的正半轴上，所以有即－2a≤
3.2．设a0，角α的终边与圆x2＋y2＝1的交点为P－3a4a，那么sinα＋2cosα的值等于 A. B．－C.D．－解析选A ∵点P在圆x2＋y2＝1上，则|OP|＝
1.即＝1，解得a＝±.∵a0，∴a＝－.∴P点的坐标为.∴sinα＝－，cosα＝.∴sinα＋2cosα＝－＋2×＝.3．若tanx0，且sinx－cosx0，则角x的终边在 A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析选D ∵tanx0，∴角x的终边在第
二、四象限，又sinx－cosx0，∴角x的终边在第四象限．4．已知角α的终边经过点Pm，－6，且cosα＝－，则m＝ A．8B．－8C．4D．－4解析选B 由题意r＝|OP|＝＝，故cosα＝＝－，解得m＝－
8.5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P4，y是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝________.解析|OP|＝.根据任意角三角函数的定义得，＝－，解得y＝±
8.又∵sinθ＝－＜0及P4，y是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角，∴y＝－
8.答案－86．设0≤θ＜2π，若sinθ＜0且cos2θ＜0，则θ的取值范围是________．解析因为0≤θ＜2π且sinθ＜0，所以π＜θ＜2π.又cos2θ＜0，所以2kπ＋＜2θ＜2kπ＋，k∈Z，所以kπ＋＜θ＜kπ＋，k∈Z.因为π＜θ＜2π，所以k＝1，即θ的取值范围是＜θ＜.答案7．求下列函数的定义域1fx＝＋tanx；2fx＝.解1由题意得即解得0x或x≤4，所以原函数的定义域为∪.2若使函数有意义，则需满足cosx≥0，即2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.∴函数的定义域为，k∈Z.8．已知＝－，且lgcosα有意义．1试判断角α所在的象限．2若角α的终边上一点是M，且|OM|＝1O为坐标原点，求m的值及sinα的值．解1由＝－，所以sinα0，由lgcosα有意义，可知cosα0，所以α是第四象限角．2因为|OM|＝1，所以2＋m2＝1，得m＝±.又α为第四象限角，故m0，从而m＝－，sinα＝＝＝＝－.1．
2.2 单位圆与三角函数线预习课本P19～21，思考并完成以下问题1点的射影是如何定义的？ 2三角函数线是如何定义的？ 1．单位圆把半径为1的圆叫做单位圆．2．单位圆中角α的坐标角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．3．点的射影及三角函数线1点的射影2三角函数线1．判断下列命题是否正确．正确的打“√”，错误的打“×”1三角函数线的长度等于三角函数值． 2三角函数线的方向表示三角函数值的正负． 3对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线． 答案1× 2√ 3×2．已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边 A．在x轴上 B．在y轴上C．在直线y＝x上D．在直线y＝－x上答案B3．角α0α2π的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为 A.B.C.D.或答案D4．sin
1.5________sin
1.
2.填“”或“”答案三角函数线的作法[典例] 作出的正弦线、余弦线和正切线．[解] 在直角坐标系中作单位圆，如图，以Ox轴为始边作角，角的终边与单位圆交于点P，作PM⊥x轴，垂足为M，由单位圆与x轴正方向的交点A作x轴的垂线，与OP的反向延长线交于T点，则sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT，即的正弦线为，余弦线为，正切线为.三角函数线的作法1作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线．2作正切线时，应从A10点引单位圆的切线交角的终边于一点T，即可得到正切线，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来作正切线． [活学活用] 作出－的正弦线、余弦线和正切线．解如图所示，－的正弦线为，余弦线为，正切线为.三角函数线的应用题点一利用三角函数线比较大小1．利用三角函数线比较下列各组数的大小
①sin与sin；
②tan与tan.解如图所示，角的终边与单位圆的交点为P，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T，作PM⊥x轴，垂足为M，sin＝，tan＝；的终边与单位圆的交点为P′，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T′，作P′M′⊥x轴，垂足为M′，则sin＝，tan＝，由图可见，||＞||，且与都与y轴正方向相同，所以
①sin＞sin；||＞||，且与都与y轴正方向相反，所以
②tan＜tan.题点二利用三角函数线解不等式2．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合1sinα≥；2cosα≤－.解1作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域图
①阴影部分即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为.2作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域图
②中阴影部分即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为题点三利用三角函数线求函数的定义域3．求函数fx＝＋ln的定义域．解由题意，得自变量x应满足不等式组即则不等式组的解的集合如图阴影部分所示，即定义域为.1．利用三角函数线比较大小的两个关注点1三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值．2比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向．2．利用三角函数线解三角不等式的方法1正弦、余弦型不等式的解法．对于sinx≥b，cosx≥asinx≤b，cosx≤a，求解关键是恰当地寻求点，只需作直线y＝b或x＝a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围．2正切型不等式的解法．对于tanx≥c，取点1，c连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围．3．利用三角函数线求函数的定义域解答此类题目的关键在于借助于单位圆，作出等号成立时角α的三角函数线，然后运用运动的观点，找出符合条件的角的范围．在这个解题过程中实现了一个转化，即把代数问题几何化，体现了数形结合的思想． 层级一 学业水平达标1．角和角有相同的 A．正弦线 B．余弦线C．正切线D．不能确定解析选C 在同一坐标系内作出角和角的三角函数线可知，正弦线及余弦线都相反，而正切线相等．2．已知角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在 A．直线y＝x上B．直线y＝－x上C．直线y＝x上或直线y＝－x上D．x轴上或y轴上解析选C 由角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，得tanα＝±1，故角α的终边在直线y＝x上或直线y＝－x上．3．设a＝sin－1，b＝cos－1，c＝tan－1，则有 A．abcB．bacC．cabD．acb解析选C 如图，作出角α＝－1的正弦线、余弦线及正切线，显然b＝cos－1＝OM0，c＝tan－1＝AT0，a＝sin－1＝MP0，由图可知MPAT，∴cab.4．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则α的终边在 A．第一象限的角平分线上B．第四象限的角平分线上C．第
二、第四象限的角平分线上D．第
一、第三象限的角平分线上解析选C 作图图略可知角α的终边在直线y＝－x上，∴α的终边在第
二、第四象限的角平分线上，故选C.5．若α是第一象限角，则sinα＋cosα的值与1的大小关系是 A．sinα＋cosα1B．sinα＋cosα＝1C．sinα＋cosα1D．不能确定解析选A 作出α的正弦线和余弦线，由三角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知sinα＋cosα
1.6．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为______．解析若角α的余弦线长度为0，则α的终边落在y轴上，所以它的正弦线的长度为
1.答案17．用三角函数线比较sin1与cos1的大小，结果是___________________________________________________．解析如图，sin1＝MP，cos1＝OM.显然MPOM，即sin1cos
1.答案sin1cos18．若θ∈，则sinθ的取值范围是________．解析由图可知sin＝，sin＝－1，－1＜sinθ＜，即sinθ∈.答案9．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．1；2－.解1如图1所示，在单位圆中，，分别表示角的正弦线、余弦线、正切线．2如图2所示，在单位圆中，，分别表示－角的正弦线、余弦线、正切线．10．求下列函数的定义域．1y＝lg.2y＝.解1为使y＝lg有意义，则－sinx0，所以sinx，所以角x终边所在区域如图所示，所以2kπ－x2kπ＋，k∈Z.所以原函数的定义域是.2为使y＝有意义，则3tanx－≥0，所以tanx≥，所以角x终边所在区域如图所示，所以kπ＋≤xkπ＋，k∈Z，所以原函数的定义域是.层级二 应试能力达标1．下列三个命题
①与的正弦线相等；
②与的正切线相等；
③与的余弦线相等．其中正确命题的个数为 A．1 B．2C．3D．0解析选B 和的正弦线关于y轴对称，大小相等，方向相同；和两角的终边在同一条直线上，因而所作正切线相等；和的余弦线方向不同．2．若α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝，则这个三角形是 A．等边三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形解析选D 当0α≤时，由单位圆中的三角函数线知，sinα＋cosα≥1，而sinα＋cosα＝，∴α必为钝角．3．如果α，那么下列不等式成立的是 A．cosαsinαtanαB．tanαsinαcosαC．sinαcosαtanαD．cosαtanαsinα解析选A 如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线、余弦线、正切线，很容易地观察出||||||，且都与坐标轴的正方向相同．即cosαsinαtanα.4．使sinx≤cosx成立的x的一个变化区间是 A.B.C.D．[0，π]解析选A 如图，画出三角函数线sinx＝，cosx＝，由于sin＝cos，sin＝cos，为使sinx≤cosx成立，则由图可得－≤x≤.5．sin，cos，tan从小到大的顺序是________．解析由图可知cos0，tan0，sin
0.∵||||，且，与y轴正方向相同，∴sintan.故cossintan.答案cossintan6．若0α2π，且sinα，cosα.利用三角函数线，得到α的取值范围是________．解析利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB区域内，所以α的取值范围是∪.答案∪7．利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围．1sinθ－；2－≤cosθ.解1图
①中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即θ－＋2kπθ－＋2kπ，k∈Z.2图
②中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即θ2kπ－≤θ2kπ－或2kπ＋θ≤2kπ＋，k∈Z.8．若0α，证明sinααtanα.证明如图所示，连接AP，设弧AP的长为l，∵S△OAPS扇形OAPS△OAT，∴|OA|·|MP|l·|OA||OA|·|AT|，∴|MP|l|AT|，∴sinααtanα.1．
2.3 同角三角函数的基本关系式预习课本P22～24，思考并完成以下问题1同角三角函数的基本关系式有哪两种？ 2已知sinα，cosα和tanα其中的一个值，如何求其余两个值？ 同角三角函数的基本关系式1平方关系sin2α＋cos2α＝
1.2商数关系tan_α＝.这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切.[点睛] 同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里“同角”有两层含义一是“角相同”，二是对“任意”一个角在使函数有意义的前提下．关系式成立与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝
1.1．判断下列命题是否正确．正确的打“√”，错误的打“×”1对任意角α，sin2＋cos2＝1都成立． 2对任意角α，＝tan2α都成立． 3若cosα＝0，则sinα＝
1. 答案1√ 2× 3×2．已知α∈，sinα＝，则cosα＝ A. B．－C．－D.答案A3．已知cosα＝，且α是第四象限角，则sinα＝ A．± B．± C．－ D．－答案C4．已知sinα＝，α∈，则tanα＝________.答案－利用同角基本关系式求值[典例] 1已知sinα＝，并且α是第二象限角，求cosα和tanα.2已知sinα＋2cosα＝0，求2sinαcosα－cos2α的值．[解] 1cos2α＝1－sin2α＝1－2＝2，又α是第二象限角，所以cosα0，cosα＝－，tanα＝＝－.2由sinα＋2cosα＝0，得tanα＝－
2.所以2sinαcosα－cos2α＝＝＝＝－
1.1．求三角函数值的方法1已知sinθ或cosθ求tanθ常用以下方式求解2已知tanθ求sinθ或cosθ常用以下方式求解当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间象限讨论．2．已知角α的正切求关于sinα，cosα的齐次式的方法1关于sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，再代入求值．2若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值．[活学活用] 1已知cosα＝－，求sinα和tanα.2已知tanα＝2，试求的值．解1sin2α＝1－cos2α＝1－2＝2，因为cosα＝－0，所以α是第二或第三象限角，当α是第二象限角时，sinα＝，tanα＝＝－；当α是第三象限角时，sinα＝－，tanα＝＝.2由tanα＝2可得sinα＝2cosα，故＝＝＝.三角函数式的化简[典例] 1化简.2若角α是第二象限角，化简tanα.[解] 1原式＝＝＝＝
1.2原式＝tanα＝tanα＝×，因为α是第二象限角，所以sinα0，cosα0，所以原式＝×＝×＝－
1.三角函数式的化简技巧1化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．2对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．3对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． [活学活用] 化简1·；
2.解1原式＝·＝·＝·＝±
1.2原式＝＝＝＝
1.证明简单的三角恒等式[典例] 求证＝.[证明] 法一左边＝＝＝＝＝＝右边，∴原等式成立．法二右边＝＝＝＝＝＝左边，∴原等式成立．法三左边＝＝，右边＝＝＝＝＝，∴左边＝右边，原等式成立．法四∵－＝＝＝＝＝＝0，∴＝.法五∵tanα－sinαtanα＋sinα＝tan2α－sin2α＝tan2α－tan2α·cos2α＝tan2α1－cos2α＝tan2α·sin2α，∴＝.证明三角恒等式常用的方法1从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性．2左右归一法即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等．3综合法即由一个已知成立的等式如公式等恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想．4比较法即证左边－右边＝0或证＝
1. [活学活用] 求证21－sinα1＋cosα＝1－sinα＋cosα
2.证明法一左边＝2－2sinα＋2cosα－2sinαcosα＝1＋sin2α＋cos2α－2sinαcosα＋2cosα－sinα＝1＋2cosα－sinα＋cosα－sinα2＝1－sinα＋cosα2＝右边．法二∵左边＝2－2sinα＋2cosα－2sinαcosα，右边＝1＋sin2α＋cos2α－2sinα＋2cosα－2sinαcosα＝2－2sinα＋2cosα－2sinαcosα，∴左边＝右边.sinα±cosα型求值[典例] 已知sinθ＋cosθ＝0θπ，求sinθcosθ和sinθ－cosθ的值．[解] 因为sinθ＋cosθ＝0θπ，所以sinθ＋cosθ2＝，即sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝，所以sinθcosθ＝－.由上知，θ为第二象限的角，所以sinθ－cosθ0，所以sinθ－cosθ＝＝＝.已知sinα±cosα，sinαcosα求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式有
①sinθ＋cosθ2＝1＋2sinθcosθ；
②sinθ－cosθ2＝1－2sinθcosθ；
③sinθ＋cosθ2＋sinθ－cosθ2＝2；
④sinθ－cosθ2＝sinθ＋cosθ2－4sinθcosθ.上述三角恒等式告诉我们，已知sinθ＋cosθ，sinθ－cosθ，sinθcosθ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出． [活学活用]1．已知0θπ，且sinθ－cosθ＝，求sinθ＋cosθ，tanθ的值．解∵sinθ－cosθ＝，∴sinθ－cosθ2＝.解得sinθcosθ＝.∵0θπ，且sinθ·cosθ＝0，∴sinθ0，cosθ
0.∴sinθ＋cosθ＝＝＝＝.由得∴tanθ＝＝.2．若0θπ，sinθcosθ＝－，求sinθ－cosθ.解∵0θπ，sinθcosθ＝－0，∴sinθ0，cosθ
0.∴sinθ－cosθ
0.∴sinθ－cosθ＝＝＝＝＝.层级一 学业水平达标1．福建高考若sinα＝－，且α为第四象限角，则tanα的值等于 A. B．－C.D．－解析选D 因为sinα＝－，且α为第四象限角，所以cosα＝，所以tanα＝－，故选D.2．若α为第三象限角，则＋的值为 A．3B．－3C．1D．－1解析选B ∵α为第三象限角，∴原式＝＋＝－
3.3．下列四个结论中可能成立的是 A．sinα＝且cosα＝B．sinα＝0且cosα＝－1C．tanα＝1且cosα＝－1D．α是第二象限角时，tanα＝－解析选B 根据同角三角函数的基本关系进行验证，因为当α＝π时，sinα＝0且cosα＝－1，故B成立，而A、C、D都不成立．4．已知sinα＝，则sin4α－cos4α的值为 A．－B．－C.D.解析选A sin4α－cos4α＝sin2α＋cos2αsin2α－cos2α＝sin2α－1－sin2α＝2sin2α－1＝2×2－1＝－.5．若α是三角形的最大内角，且sinα－cosα＝，则三角形是 A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．等腰三角形解析选B 将sinα－cosα＝两边平方，得1－2sinαcosα＝，即2sinαcosα＝.又α是三角形的内角，∴sinα0，cosα0，∴α为锐角．6．若sinθ＝－，tanθ0，则cosθ＝________.解析由已知得θ是第三象限角，所以cosθ＝－＝－＝－.答案－7．化简＝________.解析原式＝＝＝|cos40°－sin40°|＝cos40°－sin40°.答案cos40°－sin40°8．已知tanα＝－，则＝________.解析＝＝＝＝＝＝－.答案－9．化简1；
2.解1原式＝＝＝＝＝
1.2原式＝＝＝cosθ.10．已知sinα＋cosα＝，求tanα＋及sinα－cosα的值．解将sinα＋cosα＝两边平方，得sinαcosα＝－.∴tanα＋＝＝－3，sinα－cosα2＝1－2sinαcosα＝1＋＝，∴sinα－cosα＝±.层级二 应试能力达标1．已知tanα＝，且α∈，则sinα的值是 A．－ B.C.D．－解析选A ∵α∈，∴sinα
0.由tanα＝＝，sin2α＋cos2α＝1，得sinα＝－.2．化简1－cosα的结果是 A．sinαB．cosαC．1＋sinαD．1＋cosα解析选A 1－cosα＝·1－cosα＝·1－cosα＝＝＝sinα.3．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝，则sinθcosθ的值为 A.B．－C.D．－解析选A 由sin4θ＋cos4θ＝，得sin2θ＋cos2θ2－2sin2θcos2θ＝.∴sin2θcos2θ＝.∵θ是第三象限角，∴sinθ＜0，cosθ＜0，∴sinθcosθ＝.4．已知＝2，则sinθcosθ的值是 A.B．±C.D．－解析选C 由条件得sinθ＋cosθ＝2sinθ－2cosθ，即3cosθ＝sinθ，tanθ＝3，∴sinθcosθ＝＝＝＝.5．已知sinαcosα＝，且πα，则cosα－sinα＝________.解析因为πα，所以cosα0，sinα
0.利用三角函数线，知cosαsinα，所以cosα－sinα0，所以cosα－sinα＝－＝－＝－.答案－6．若sinα＋cosα＝1，则sinnα＋cosnαn∈Z的值为________．解析∵sinα＋cosα＝1，∴sinα＋cosα2＝1，又sin2α＋cos2α＝1，∴sinαcosα＝0，∴sinα＝0或cosα＝0，当sinα＝0时，cosα＝1，此时有sinnα＋cosnα＝1；当cosα＝0时，sinα＝1，也有sinnα＋cosnα＝1，∴sinnα＋cosnα＝
1.答案17．已知＝，α∈.1求tanα的值；2求的值．解1由＝，得3tan2α－2tanα－1＝0，即3tanα＋1tanα－1＝0，解得tanα＝－或tanα＝
1.因为α∈，所以tanα0，所以tanα＝－.2由1，得tanα＝－，所以＝＝＝.8．求证－＝.证明左边＝＝＝＝＝＝右边．所以原等式成立．1．
2.4 诱导公式第一课时 诱导公式
一、
二、三预习课本P26～30，思考并完成以下问题1α与α＋k·2πk∈Z，－α，α＋2k＋1πk∈Z终边有何关系？ 2诱导公式
一、
二、三有哪些结构特征？ 诱导公式诱导公式一角α与α＋k·2πk∈Z的三角函数间的关系cosα＋k·2π＝cos_αk∈Z，sinα＋k·2π＝sin_αk∈Z，tanα＋k·2π＝tan_αk∈Z诱导公式二角α与－α的三角函数间的关系cos－α＝cos_α，sin－α＝－sin_α，tan－α＝－tan_α诱导公式三角α与α＋2k＋1πk∈Z的三角函数间的关系cos[α＋2k＋1π]＝－cos_α，sin[α＋2k＋1π]＝－sin_α，tan[α＋2k＋1π]＝tan_α，其中k∈Z[点睛] 利用诱导公式二和三，可得到角α与π－α的三角函数间的关系sinπ－α＝sin[π＋－α]＝－sin－α＝sinα，同样方法可得cosπ－α＝－cosα，tanπ－α＝－tanα.1．判断下列命题是否正确．正确的打“√”，错误的打“×”1诱导公式中角α是任意角． 2公式sin－α＝－sinα，α是锐角才成立． 3公式tanπ＋α＝tanα中，α＝不成立． 答案1× 2× 3√2．已知cosπ＋θ＝，则cosθ＝ A. B．－C.D．－答案B3．若sinπ＋α＝，则sinα等于 A.B．－C．3D．－3答案B4．已知tanα＝4，则tan－α＝________.答案－4给角求值问题[典例] 求下列三角函数值1sin－1200°；2tan945°；3cos.[解] 1sin－1200°＝－sin1200°＝－sin3×360°＋120°＝－sin120°＝－sin[180°＋－60°]＝sin－60°＝－sin60°＝－.2tan945°＝tan2×360°＋225°＝tan225°＝tan180°＋45°＝tan45°＝
1.3cos＝cos＝cos＝cos＝.利用诱导公式解决给角求值问题的步骤[活学活用] 求下列各式的值1sin315°sin－1260°＋cos570°sin－840°；2sin·cos·tan.解1原式＝sin360°－45°sin－4×360°＋180°＋cos360°＋210°sin－3×360°＋240°＝sin－45°sin180°＋cos180°＋30°sin180°＋60°＝－sin45°×0－cos30°·－sin60°＝cos30°sin60°＝×＝.2原式＝sin·cos·tan＝sin·cos·tan＝sin·cos·tan＝··tan＝－×－×1＝.化简求值问题[典例] 化简1；
2.[解] 1＝＝＝＝
1.2原式＝＝＝＝－
1.利用诱导公式化简应注意的问题1利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；2化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；3同时有切正切与弦正弦、余弦的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切． [活学活用] 化简下列各式1；2k∈Z．解1原式＝＝＝tanα.2当k＝2nn∈Z时，原式＝＝＝＝－1；当k＝2n＋1n∈Z时，原式＝＝＝＝－
1.综上，原式＝－
1.给值或式求值问题[典例] 已知cos＝，求cos的值．[解] 因为cos＝cos＝－cos＝－cos＝－.[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求1cos的值；2sin2的值．解1cos＝cos＝cos＝.2sin2＝sin2＝sin2＝1－cos2＝1－2＝.2．[变条件]若将本例中条件“cos＝”改为“sin＝，α∈”，求cos的值．解因为α∈，则α－∈.cos＝－cos＝－cos＝＝＝.3．[变条件，变设问]tan＝，求tan.解tan＝tan＝tan＝－tan＝－.解决条件求值问题的策略1解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．2可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． 层级一 学业水平达标1．sin600°的值是 A. B．－C.D．－解析选D sin600°＝sin360°＋240°＝sin240°＝sin180°＋60°＝－sin60°＝－.2．若sinπ＋α＝－，则sin4π－α的值是 A. B．－C．－D.解析选B 由题知，sinα＝，所以sin4π－α＝－sinα＝－.3．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P，则cosπ－θ的值为 A．－ B．－C.D.解析选C ∵r＝1，∴cosθ＝－，∴cosπ－θ＝－cosθ＝.4．已知tan＝，则tan＝ A.B．－C.D．－解析选B tan＝tan＝tan＝－tan＝－.5．设tan5π＋α＝m，则的值等于 A.B.C．－1D．1解析选A ∵tan5π＋α＝tan[4π＋π＋α]＝tanπ＋α＝tanα，∴tanα＝m，∴原式＝＝＝＝，故选A.6．求值1cos＝______；2tan－855°＝______.解析1cos＝cos＝cos＝cos＝－cos＝－.2tan－855°＝－tan855°＝－tan2×360°＋135°＝－tan135°＝－tan180°－45°＝tan45°＝
1.答案1－ 217．已知sinπ－α＝log8，且α∈，则tan2π－α的值为________．解析sinπ－α＝sinα＝log8＝－，又α∈，所以cosα＝＝，tan2π－α＝tan－α＝－tanα＝－＝.答案8．已知cos508°－α＝，则cos212°＋α＝________.解析由于cos508°－α＝cos360°＋148°－α＝cos148°－α＝，所以cos212°＋α＝cos360°＋α－148°＝cosα－148°＝cos148°－α＝.答案9．求下列各三角函数值1sin；2cos；3tan.解1sin＝sin＝sin＝sin＝－sin＝－.2cos＝cos＝cos＝cos＝.3tan＝tan＝tan＝.10．若cosα＝，α是第四象限角，求的值．解由已知cosα＝，α是第四象限角得sinα＝－，故＝＝.层级二 应试能力达标1．已知cosπ－α＝－，且α是第一象限角，则sin－2π－α的值是 A. B．－C．±D.解析选B ∵cosπ－α＝－cosα，∴cosα＝.∵α是第一象限角，∴sinα0，∴sinα＝＝＝.∴sin－2π－α＝sin－α＝－sinα＝－.2．设fx＝asinπx＋α＋bcosπx＋β，其中a，b，α，β∈R，若f2015＝5，则f2016等于 A．4B．3C．－5D．5解析选C ∵f2015＝asin2015π＋α＋bcos2015π＋β＝－asinα－bcosβ＝5，∴f2016＝asin2016π＋α＋bcos2016π＋β＝asinα＋bcosβ＝－
5.3．若α，β的终边关于y轴对称，则下列等式成立的是 A．sinα＝sinβB．cosα＝cosβC．tanα＝tanβD．sinα＝－sinβ解析选A 法一∵α，β的终边关于y轴对称，∴α＋β＝π＋2kπ或α＋β＝－π＋2kπ，k∈Z，∴α＝2kπ＋π－β或α＝2kπ－π－β，k∈Z，∴sinα＝sinβ.法二设角α终边上一点Px，y，则点P关于y轴对称的点为P′－x，y，且点P与点P′到原点的距离相等，设为r，则sinα＝sinβ＝.4．下列三角函数式
①sin；
②cos；
③sin；
④cos；
⑤sin.其中n∈Z，则函数值与sin的值相同的是 A．
①②B．
①③④C．
②③⑤D．
①③⑤解析选C
①中sin＝sin≠sin；
②中，cos＝cos＝sin；
③中，sin＝sin；
④中，cos＝cos＝－cos≠sin；
⑤中，sin＝sin＝－sin＝sin.5．化简的值是________．解析原式＝＝＝＝＝＝－
2.答案－26．已知fx＝则f＋f的值为________．解析因为f＝sin＝sin＝sin＝；f＝f－1＝f－2＝sin－2＝－－2＝－.所以f＋f＝－
2.答案－27．计算与化简1；2sin420°cos330°＋sin－690°cos－660°．解1原式＝＝＝tanθ.2原式＝sin360°＋60°cos360°－30°＋sin－2×360°＋30°cos－2×360°＋60°＝sin60°cos30°＋sin30°cos60°＝×＋×＝
1.8．已知＝3＋2，求[cos2π－θ＋sinπ＋θ·cosπ－θ＋2sin2θ－π]·的值．解由＝3＋2，得4＋2tanθ＝2＋2，所以tanθ＝＝，故原式＝cos2θ＋sinθcosθ＋2sin2θ·＝1＋tanθ＋2tan2θ＝1＋＋2×2＝2＋.第二课时 诱导公式四 预习课本P31～32，思考并完成以下问题1＋α的终边与α的终边有怎样的对称关系？ 2诱导公式四有何结构特征？ 诱导公式诱导公式四角α与α＋的三角函数间的关系cos＝－sin_α，sin＝cos_α诱导公式四的补充角α与－α的三角函数间的关系cos＝sin_α，sin＝cos_α[点睛] 诱导公式四不同于前面的三个诱导公式，原因是等号左右两边的函数名称发生了改变，正弦变成余弦，同样余弦也变成正弦，其他规则不变．1．判断下列命题是否正确．正确的打“√”，错误的打“×”1诱导公式四中的角α只能是锐角． 2sin90°＋α＝－cosα. 答案1× 2×2．已知sin＝，那么cosα＝ A．－ B．－C.D.答案C3．若cos＝，则cos＝ A．－B.C．－D.答案A4．化简sin＝________.答案－cosα利用诱导公式化简[典例] 化简＋.[解] ∵sin＝cosα，cos＝sinα，cosπ＋α＝－cosα，sinπ－α＝sinα，cos＝－sinα，sinπ＋α＝－sinα，∴原式＝＋＝－sinα＋sinα＝
0.用诱导公式进行化简的要求1化简后项数尽可能的少．2函数的种类尽可能的少．3分母不含三角函数的符号．4能求值的一定要求值．5含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等． [活学活用] 化简1·sincos；2sin－α－5πcos－sincosα－2π．解1原式＝·sin－sinα＝·－sinα＝·－cosα－sinα＝－cos2α.2原式＝sin－α－πcos＋cosα·cos[－2π－α]＝sin[－α＋π]cos＋cosαcos2π－α＝－sinα＋πsinα＋cosαcosα＝sin2α＋cos2α＝
1.利用诱导公式证明恒等式[典例] 求证＝.[证明] 左边＝＝＝＝＝＝.右边＝＝.∴左边＝右边，故原式成立．三角恒等式的证明策略对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归
一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． [活学活用] 求证·sinα－2π·cos2π－α＝sin2α.证明左边＝·[－sin2π－α]cosα＝[－－sinα]cosα＝·sinα·cosα＝sin2α＝右边，故原式成立.利用诱导公式求值[典例] 已知＝，求的值．[解] ∵＝＝＝，∴cosθ＝.∴＝＝＝＝.用诱导公式化简求值的方法1对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．2对于π±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名． [活学活用] 已知cos75°＋α＝，求cos105°－α－sin15°－α的值．解cos105°－α－sin15°－α＝cos[180°－75°＋α]－sin[90°－75°＋α]＝－cos75°＋α－cos75°＋α＝－.层级一 学业水平达标1．若sin0，且cos0，则θ是 A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析选B 由于sin＝cosθ0，cos＝sinθ0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.2．已知sinθ＝，则cos450°＋θ的值是 A.B．－C．－D.解析选B cos450°＋θ＝cos90°＋θ＝－sinθ＝－.3．已知cos＝，且|φ|，则tanφ等于 A．－B.C．－D.解析选C 由cos＝－sinφ＝，得sinφ＝－.又|φ|，∴φ＝－，∴tanφ＝－.4．已知tanθ＝2，则＝ A．2B．－2C．0D.解析选B ＝＝＝＝－
2.5．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是 A．cosA＋B＝cosCB．sinA＋B＝－sinCC．cos＝sinBD．sin＝cos解析选D ∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，∴cosA＋B＝－cosC，sinA＋B＝sinC，故A，B错．∵A＋C＝π－B，∴＝，∴cos＝cos＝sin，故C错．∵B＋C＝π－A，∴sin＝sin＝cos，故D正确．6．sin95°＋cos175°的值为________．解析sin95°＋cos175°＝sin90°＋5°＋cos180°－5°＝cos5°－cos5°＝
0.答案07．若sin＝，则cos2θ－sin2θ＝________.解析sin＝cosθ＝，从而sin2θ＝1－cos2θ＝，所以cos2θ－sin2θ＝－.答案－8．化简sin－α－7π·cos＝________.解析原式＝－sin7π＋α·cos＝－sinπ＋α·＝sinα·－sinα＝－sin2α.答案－sin2α9．已知sinπ＋α＝－.求1cos；2sin.解∵sinπ＋α＝－sinα＝－，∴sinα＝.1cos＝cos＝－sinα＝－.2sin＝cosα，cos2α＝1－sin2α＝1－＝.∵sinα＝，∴α为第一或第二象限角．
①当α为第一象限角时，sin＝cosα＝.
②当α为第二象限角时，sin＝cosα＝－.10．已知cos＝，求值＋.解原式＝＋＝－sinα－sinα＝－2sinα.又cos＝，所以－sinα＝.所以原式＝－2sinα＝.层级二 应试能力达标1．若sinπ＋α＋cos＝－m，则cos＋2sin6π－α的值为 A．－m B．－mC.mD.m解析选B ∵sinπ＋α＋cos＝－m，即－sinα－sinα＝－2sinα＝－m，从而sinα＝，∴cos＋2sin6π－α＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝－m.2．已知fx＝sinx，下列式子成立的是 A．fx＋π＝sinx B．f2π－x＝sinxC．f＝－cosxD．fπ－x＝－fx解析选C fx＋π＝sinx＋π＝－sinx；f2π－x＝sin2π－x＝sin－x＝－sinx；f＝sin＝－sin＝－cosx；fπ－x＝sinπ－x＝sinx＝fx，故选C.3．已知α为锐角，2tanπ－α－3cos＋5＝0，tanπ＋α＋6sinπ＋β－1＝0，则sinα的值是 A.B.C.D.解析选C 由已知可得－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tanα－6sinβ－1＝
0.∴tanα＝3，又tanα＝，∴9＝＝，∴sin2α＝，∵α为锐角，∴sinα＝，选C.4．已知cos60°＋α＝，且－180°α－90°，则cos30°－α的值为 A．－B.C．－D.解析选A 由－180°α－90°，得－120°60°＋α－30°，又cos60°＋α＝0，所以－90°60°＋α－30°，即－150°α－90°，所以120°30°－α180°，cos30°－α0，所以cos30°－α＝sin60°＋α＝－＝－＝－.5．tan45°＋θ·tan45°－θ＝________.解析原式＝·＝·＝＝
1.答案16．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＋sin290°的值为________．解析∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，sin2x°＋sin290°－x°＝sin2x°＋cos2x°＝11≤x≤44，x∈N，∴原式＝sin21°＋sin289°＋sin22°＋sin288°＋…＋sin244°＋sin246°＋sin290°＋sin245°＝45＋2＝.答案7．已知fα＝.1化简fα；2若α是第三象限的角，且cos＝，求fα的值．解1fα＝＝＝－cosα.2因为cos＝－sinα，所以sinα＝－.又α是第三象限的角，所以cosα＝－＝－.所以fα＝.8．已知sin3π－α＝cos，cosπ－α＝cosπ＋β，且0απ，0βπ，求sinα和cosβ的值．解由已知，得sinα＝sinβ，
①cosα＝cosβ，
②由
①2＋
②2，得sin2α＋3cos2α＝2，即sin2α＋31－sin2α＝2，所以sin2α＝.又0απ，则sinα＝.将sinα＝代入
①，得sinβ＝.又0βπ，故cosβ＝±.。
个人认证
优秀文档
获得点赞 0
