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2019-2020年高中数学苏教版选修2-3教学案第1章1-3 组合Word版含答案从1,3,5,7中任取两个数相除或相乘.问题1所得商和积的个数相同吗?提示不相同.问题2它们是排列吗?提示从1,3,5,7中任取两个数相除是排列,而相乘不是排列.问题3一个小组有7名学生,现抽调5人参加劳动.所抽出的这5人与顺序有关吗?提示无关.问题4你能举个这样的示例吗?提示从班里选7名同学组成班委会.一般地,从n个不同元素中取出mm≤n个元素并成一组,叫做从n个元素中取出m个不同元素的一个组合.从1,3,5,7中任取两个数相除.问题1可以得到多少个不同的商?提示A=4×3=12种.问题2如何用分步法理解“任取两个数相除”?提示第一步,从这四个数中任取两个元素,其组合数为C,第二步,将每一组合中的两个不同元素作全排列,有A种排法.问题3你能得出C的结果吗?提示因为A=CA,所以C=eq\fAA=
6.问题4试用列举法求得从1,3,5,7中任取两个元素的组合数?提示1,3;1,5;1,7;3,5;3,7;5,7共6种.组合数与组合数公式组合数定义从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数表示法用符号C表示组合数公式乘积形式C=阶乘形式C=性质C=C;C=C+C备注
①n,m∈N*且m≤n.
②规定C=11.组合的特点是只取不排组合要求n个元素是不同的,被取出的m个元素也是不同的,即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出.2.组合的特性元素的无序性,即取出的m个元素不讲究顺序,没有位置的要求.3.相同的组合根据组合的定义,只要两个组合中的元素完全相同不管顺序如何,就是相同的组合. [例1] 判断下列问题是排列问题还是组合问题?并计算出结果.1高三年级学生会有11人
①每两人互通一封信,共通了多少封信?
②每两人互握了一次手,共握了多少次手?2高二年级数学课外小组有10人
①从中选一名正组长和一名副组长,共有多少种不同的选法?
②从中选2名参加省数学竞赛,有多少种不同的选法?[精解详析] 1
①是排列问题,共通了A=110封信;
②是组合问题,共握手C=55次.2
①是排列问题,共有A=90种选法;
②是组合问题,共有C=45种选法.[一点通] 区分排列与组合的关键是看取出元素后是按顺序排列还是无序地组在一起.而区分有无顺序的方法是把问题的一个选择结果写出来,然后交换这个结果中任意两个元素的位置,看是否会产生新的变化.若有新变化,即说明有顺序,是排列问题;若无新变化,即说明无顺序,是组合问题.1.下列问题
①铁路线有5个车站,要准备多少车票?
②铁路线有5个车站,有多少种票价?
③有4个篮球队进行单循环比赛,有多少种冠亚军的情况?
④从a,b,c,d4名学生中选出2名学生,有多少种不同选法?
⑤从a,b,c,d4名学生中选出2名学生完成两件不同的工作有多少种不同选法?其中是组合问题的是________.将正确的序号填在横线上解析来往的车票是不同的,因为它具有方向性,即有序;而来往的票价是相同的,没有方向性;单循环是无序的,但冠亚军却有明显的顺序;从4名学生中选出2名学生无顺序;而2名学生完成两件不同的工作是有序的.答案
②④2.求出问题1中组合问题的组合数.解
②铁路线有5个车站,有C=10种不同的票价.
④从a,b,c,d4名学生中选出2名学生,有C=6种不同的选法. [例2] 1计算C-C·A;2解方程3C=5A.[思路点拨] 1直接利用公式计算;2由计算公式化为关于x的方程.[精解详析] 1原式=C-A=-7×6×5=210-210=
0.2由排列数和组合数公式,原方程可化为3·=5·,则=,即为x-3x-6=
40.所以,x2-9x-22=0,解之可得x=11或x=-
2.经检验知x=11是原方程的根,x=-2是原方程的增根.所以,方程的根为x=
11.[一点通] 组合数公式的乘积形式体现了组合数与相应排列数的关系,一般在计算具体的组合数时会用到.组合数公式阶乘形式的主要作用有1计算m,n较大时的组合数;2对含有字母的组合数的式子进行变形和证明.特别地,当m时计算C,用性质C=C转化,减少计算量.3.计算C+C=________.解析C+C=+=20+56=
76.答案764.计算下列各式的值.1C+C;2C+C+C+C.解1C+C=C+C=+200=
5150.2原式=C+C+C=C+C=C=C=
210.5.1求C+C的值;2求等式eq\fC+CC=3中的n值.解1∵即∴≤n≤.∵n∈N*,∴n=10,∴C+C=C+C=C+C=
466.2原方程可变形为eq\fCC+1=3,C=C,即=·,化简整理,得n2-3n-54=
0.解此二次方程得n=9或n=-6不合题意,舍去,故n=9为所求. [例3] 在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人去参加市级培训,在下列条件下,有多少种不同的选法?1任意选5人;2甲、乙、丙三人必须参加;3甲、乙、丙三人不能参加;4甲、乙、丙三人只能有1人参加.[思路点拨] 本题属于组合问题中的最基本问题,可根据题意分别对不同问题中的“含”与“不含”作出正确的判断,然后利用组合数公式解决.[精解详析] 1C=792种不同的选法.2甲、乙、丙三人必须参加,只需从另外的9人中选2人,共有C=36种不同的选法.3甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的9人中选5人,共有C=126种不同的选法.4甲、乙、丙三人只能有1人参加.分两步,先从甲、乙、丙中选1人,有C=3种选法,再从另外的9人中选4人有C种选法.共有CC=378种不同的选法.[一点通] 解简单的组合应用题时,要先判断它是不是组合问题,取出元素只是组成一组,与顺序无关则是组合问题;取出元素排成一列,与顺序有关则是排列问题.只有当该问题能构成组合模型时,才能运用组合数公式求出其组合数.在解题时还应注意两个计数原理的运用,在分类和分步时,注意有无重复或遗漏.6.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少有甲型与乙型电视机各1台,则不同的取法共有________种.解析抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有CC种;甲型2台乙型1台的取法有CC种.根据分类计数原理可得总的取法有CC+CC=40+30=70种.答案707.一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.1从口袋内取出3个球,共有多少种取法?2从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法?3从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法?解1由于与顺序、位置无关,是组合问题,由组合定义知有C==56种.2是组合问题,只需从7个白球中取2个即可,所以有C=21种.3是组合问题,只需从7个白球中取3个即可,所以有C=35种.1.区分一个问题是排列问题,还是组合问题,关键是看它有无“顺序”,有顺序就是排列问题,而无顺序就是组合问题.判断它是否有顺序的方法将元素取出来,看交换元素的顺序后对结果有无影响,有影响就是“有序”,也就是排列问题;没有影响就是“无序”,也就是组合问题.2.同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样,“组合”与“组合数”也是两个不同的概念.“组合”是指“从n个不同元素中取mm≤n个元素合成一组”,它不是一个数,而是具体的一件事;“组合数”是指“从n个不同元素中取出mm≤n个元素的所有不同组合的个数”,它是一个数.例如,从3个不同元素a,b,c中每次取出两个元素的组合为ab,ac,bc,其中每一种都叫一个组合,这些组合共有3个,则组合数为
3.课下能力提升
五一、填空题1.给出下面几个问题,其中是组合问题的是________.1从1,2,3,4中选出2个构成的集合;2由1,2,3组成两位数的不同方法;3由1,2,3组成无重复数字的两位数.解析由题意知1与顺序没有关系;23与顺序有关,故是排列问题.答案12.已知C=10,则n=________.解析C==10,解之得n=
5.答案53.男女学生共有8人,从男生中选取2人,从女生中选取1人,共有30种不同的选法,其中女生有________人.解析设男生有n人,则女生有8-n人,由题意可得CC=30,解得n=5或n=6,代入验证,可知女生有2人或3人.答案2或34.若C=C,则x=________.解析∵C=C,∴x=3x-8或x+3x-8=28,即x=4或x=
9.答案4或95.从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘,有m个不同的积;任取两个不同的数相除,有n个不同的商,则m∶n=________.解析∵m=C,n=A,∴m∶n=.答案
二、解答题6.列出从5个元素A,B,C,D,E中取出2个元素的所有组合.解从5个元素A,B,C,D,E中取出2个元素的所有组合有AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE共10个.7.计算A+A+A+…+A.解原式=CA+CA+C·A+…+C·A=C+C+C+…+C·A=C+C+C+C+…+C-C·A=C+C+C+…+C-C·A=C+C+…+C-C·A…=C-C·A=2C-2=
333298.8.现有10名教师,其中男教师6名,女教师4名.1现要从中选2名去参加会议,有多少种不同的选法?2选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种?3现要从中选出男、女老师各2名去参加会议,有多少种不同的选法?解1从10名教师中选2名去参加会议的选法种数,就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数,即有C==45种选法.2可把问题分两类情况第一类,选出的2名是男教师有C种方法;第二类,选出的2名是女教师有C种方法.根据分类计数原理,共有C+C=15+6=21种不同的选法.3分步首先从6名男教师中任选2名,有C种选法;再从4名女教师中任选2名,有C种选法;根据分步计数原理,所以共有C·C=90种不同的选法.第2课时 组合的应用 [例1] 课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各指定一名队长.现从中选5人主持某种活动,依下列条件各有多少种选法?1只有1名女生;2两名队长当选;3至少有1名队长当选.[思路点拨] 特殊元素特殊对待,特殊位置优先安排.[精解详析] 11名女生,4名男生,故共有C·C=350种.2将两名队长作为一类,其他11人作为一类,故共有C·C=165种.3至少有1名队长含有两类只有1名队长;2名队长,故共有选法C·C+C·C=825种,或采用间接法共有C-C=825种.[一点通] 解答组合应用题的总体思路1整体分类从集合的意义讲,分类要做到各类的并集等于全集,即“不漏”,任意两类的交集等于空集,即“不重”,计算结果时使用分类计数原理.2局部分步整体分类以后,对每类进行局部分步,分步要做到步骤连续,保证分步不遗漏,同时步骤要独立.1.从6名男生和2名女生中选出3名志愿者,其中至少有1名女生的选法共有________种.解析法一选出3名志愿者中含有1名女生2名男生或2名女生1名男生,共有CC+CC=2×15+6=36种选法;法二从8名学生中选出3名,减去全部是男生的情况,共有C-C=56-20=36种选法.答案362.有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有________种.解析从中选出2名男医生的选法有C=15种,从中选出1名女医生的选法有C=5种,所以不同的选法共有15×5=75种.答案753.设集合I={1,2,3,4,5}.选择集合I的两个非空子集A和B,若集合B中最小的元素大于集合A中最大的元素,则不同的选择方法共有多少种?解从5个元素中选出2个元素,小的给集合A,大的给集合B,有C=10种选择方法;从5个元素中选出3个元素,有C=10种选择方法,再把这3个元素从小到大排列,中间有2个空,用一个隔板将其隔开,一边给集合A、一边给集合B,方法种数是2,故此时有10×2=20种选择方法;从5个元素中选出4个元素,有C=5种选择方法,从小到大排列,中间有3个空,用一个隔板将其隔开,一边给集合A、一边给集合B,方法种数是3,故此时有5×3=15种选择方法;从5个元素中选出5个元素,有C=1种选择方法,同理隔开方法有4种,故此时有1×4=4种选择方法.根据分类计数原理,总计为10+20+15+4=49种选择方法. [例2] 平面上有9个点,其中有4个点共线,除此外无3点共线.1经过这9个点,可确定多少条直线?2以这9个点为顶点,可以确定多少个三角形?3以这9个点为顶点,可以确定多少个四边形?[思路点拨] 解答本题可用直接法或间接法进行.[精解详析] 法一直接法1可确定直线C+CC+C=31条.2可确定三角形CC+CC+C=80个.3可确定四边形CC+CC+C=105个.法二间接法1可确定直线C-C+1=31条.2可确定三角形C-C=80个.3可确定四边形C-C-CC=105个.[一点通] 解答几何组合应用题的思考方法与一般的组合应用题基本一样,只要把图形隐含的条件视为组合应用题的限制条件即可.计算时可用直接法,也可用间接法,要注意在限制条件较多的情况下,需要分类计算符合题意的组合数.4.正六边形的中心和顶点共7个点,以其中三个点为顶点的三角形共有________个.解析C-3=
32.答案325.平面内有两组平行线,一组有m条,另一组有n条,这两组平行线相交,可以构成__________个平行四边形.解析第一步,从m条中任选2条,C;第二步,从n条中任选2条C.由分步计数原理,得C·C.答案C·C6.已知平面α∥β,在α内有4个点,在β内有6个点.1过这10个点中的任意3点作一平面,最多可作多少个不同的平面?2以这些点为顶点,最多可作多少个三棱锥?3上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积?解1所作出的平面有三类
①α内1点,β内2点确定的平面,有C·C个;
②α内2点,β内1点确定的平面,有C·C个;
③α,β本身.所以所作的不同平面最多有C·C+C·C+2=98个.2所作的三棱锥有三类
①α内1点,β内3点确定的三棱锥,有C·C个;
②α内2点,β内2点确定的三棱锥,有C·C个;
③α内3点,β内1点确定的三棱锥,有C·C个.所以最多可作出的三棱锥有C·C+C·C+C·C=194个.3因为当等底面积、等高的情况下三棱锥的体积相等,又平面α∥β,所以体积不相同的三棱锥最多有C+C+C·C=114个.解有限制条件的组合应用题的基本方法是“直接法”和“间接法”排除法.1用直接法求解时,则应坚持“特殊元素优先选取”、“特殊位置优先安排”的原则.2选择间接法的原则是“正难则反”,也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大,不妨从反面问题入手,试一试看是否简捷些,特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此,此时,正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键.课下能力提升
六一、填空题1.某施工小组有男工7人,女工3人,现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队,不同的选法有________种.解析每个被选的人都无角色差异,是组合问题,分2步完成第1步,选女工,有C种选法;第2步,选男工,有C种选法.故有C·C=3×21=63种不同选法.答案632.上海某区政府召集5家企业的负责人开年终总结经验交流会,其中甲企业有2人到会,其余4家企业各有1人到会,会上推选3人发言,则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为________.解析若3人中有一人来自甲企业,则共有CC种情况,若3人中没有甲企业的,则共有C种情况,由分类计数原理可得,这3人来自3家不同企业的可能情况共有CC+C=16种.答案163.圆周上有20个点,过任意两点连结一条弦,这些弦在圆内的交点最多有________个.解析在圆内的交点最多,相当于从圆周上的20个点,任意选4个点得到的,故最多有C==4845个.答案
48454.如图所示的几何体是由一个正三棱锥PABC与正三棱柱ABCA1B1C1组合而成,现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色底面A1B1C1不涂色,要求相邻的面均不同色,则不同的染色方案共有________种.解析先涂三棱锥PABC的三个侧面,然后涂三棱柱的三个侧面,共有C×C×C×C=3×2×1×2=12种不同的涂法.答案125.20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒内的球数不小于它的编号数,求不同的放法种数为________.解析先在编号为2,3的盒内放入1,2个球,还剩17个小球,三个盒内每个至少再放入1个球,将17个球排成一排,有16个空隙,插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可,共C=120种方法.答案120
二、解答题6.一个口袋里装有7个白球和2个红球,从口袋中任取5个球.1共有多少种不同的取法?2恰有1个为红球,共有多少种取法?解1从口袋里的9个球中任取5个球,不同的取法为C=126种.2可分两步完成,首先从7个白球中任取4个白球,有C种取法,然后从2个红球中任取1个红球共有C种取法.所以,共有C·C=70种取法.7.某医科大学的学生中,有男生12名,女生8名,在某市人民医院实习,现从中选派5名参加青年志愿者医疗队.1某男生甲与某女生乙必须参加,共有多少种不同的选法?2甲、乙均不能参加,有多少种选法?3甲、乙两人至少有一人参加,有多少种选法?解1只需从其他18人中选3人即可,共有C=816种.2只需从其他18人中选5人即可,共有C=8568种.3分两类甲、乙两人中只有一人参加,则有C·C种选法;甲、乙两人都参加,则有C种选法.故共有C·C+C=6936种选法.8.甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程,甲公司承包3项,乙公司承包1项,丙、丁公司各承包2项,问共有多少种承包方式?解甲公司从8项工程中选出3项工程,有C种选法;乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程有C种选法;丙公司从甲、乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程有C种选法;丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程有C种选法.根据分步计数原理可得不同的承包方式有C×C×C×C=1680种。