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2019-2020年高中物理第2章能的转化与守恒第3节能量守恒定律教学案鲁科版必修2
一、实验目的1.会用打点计时器打下的纸带计算物体的运动速度和位移2.探究自由落体运动物体的机械能守恒
二、实验原理让物体自由下落,在忽略阻力情况下,探究物体的机械能守恒,有两种方案探究物体的机械能守恒1以物体下落的起始点O为基准,测出物体下落高度h时的速度大小v,若mv2=mgh成立,则可验证物体的机械能守恒2测出物体下落高度h过程的初、末时刻的速度v
1、v2,若关系式mv22-mv12=mgh成立,则物体的机械能守恒
三、实验器材铁架台带铁夹电磁打点计时器、低压交流电流4~6V、重物、毫米刻度尺、纸带带夹子、复写纸片、导线
四、实验步骤1.安装置按图231将检查、调整好的打点计时器竖直固定在铁架台上,接好电路图2312.打纸带将纸带的一端用夹子固定在重物上,另一端穿过打点计时器的限位孔,用手提着纸带使重物静止在靠近打点计时器的地方先接通电源,然后再松开纸带,让重物带着纸带自由下落更换纸带,按上述要求再重复做3~5次3.选纸带分两种情况1应选点迹清晰且
1、2两点间距离小于或接近2mm的纸带若
1、2两点间的距离大于2mm,这是由先释放纸带,后接通电源造成的这样,第1个点就不是运动的起始点了,纸带上第1个点对应的动能就不等于零原理式mgh=mv2就不成立了2用mgΔh=mvB2-mvA2验证时,由于重力势能的相对性,处理纸带时,选择适当的点为基准点,这样纸带上打出的第
1、2两点间的距离是否为2mm就无关紧要了,所以只要后面的点迹清晰就可选用4.测距离用毫米刻度尺测出O点到
1、
2、3…各计数点的距离,求出重物对应于各点下落的高度h
1、h
2、h3…并将各点对应的高度填入设计的表格中
五、数据处理1.计算各点对应的瞬时速度记下第1个点的位置O,在纸带上从离O点适当距离开始选取几个计数点
1、
2、3…并测量出各计数点到O点的距离h
1、h
2、h3…再利用匀变速直线运动公式vn=,计算出
1、
2、
3、4…n点的瞬时速度v
1、v
2、v
3、v
4、…vn2.实验验证方法一利用起始点O和n个计数点,分别计算出各点对应的重力势能和动能设起始点O处的重力势能为零,则各计数点处的重力势能为-mghn,对应的动能为mvn2,如果在实验误差允许的范围内ghn=vn2,则机械能守恒方法二任意选取两点A、B,测出hAB,计算出ghAB;再计算出vA、vB、vB2-vA2的值,如果在实验误差允许的范围内ghAB=vB2-vA2,则机械能守恒图232方法三图像法从纸带上多选取几个计数点,测量出O点起始点到其余各计数点的距离物体下落的高度h,并计算出各点速度的平方v2,然后以v2为纵轴,以h为横轴,根据实验数据绘出v2h图线若在误差允许的范围内图像是一条过原点且斜率为g的直线,则验证了机械能守恒定律
六、误差分析1.系统误差在只有重力对物体做功时,物体的动能和重力势能可以相互转化,且动能和重力势能的总和保持不变但实验不可避免地存在阻力打点计时器与纸带间的摩擦阻力、空气阻力等,重物下落要克服阻力做功,部分机械能转化成内能,下落高度越大,机械能损失越多,所以实验数据出现了各计数点对应的机械能依次略有减小的现象改进的办法是改进器材,尽量减小阻力2.偶然误差在进行长度测量时,测量及读数不准造成误差减小误差的办法1测量距离时都必须从起始点O开始依次测量2多测几次,取平均值3.打点计时器产生的误差1由于交流电的周期不稳定,造成打点时间间隔变化而产生误差2振动片振动不均匀,打点过浅或过紧造成误差;纸带放置的方法不正确,计数点选取的不好,都会造成误差
七、注意事项1.尽量减小各种阻力而减小实验误差,可采取如下措施1物体选用体积小、密度大的重锤,且力求纸带下落前保持竖直,以减小系统误差2打点计时器必须稳固安装在铁架台上,并且两个限位孔的中线要严格在同一竖直线上,以减小纸带受到的摩擦阻力2.实验时,必须先接通电源,让打点计时器正常且稳定工作后,再松开纸带让重物下落3.对纸带进行测量时,应一次性测出各计数点到起始点O的距离,不能分阶段测量,为了减小测量值h的相对误差,选取的各个计数点要离起始点O尽量远一些,纸带也不易过长,有效长度可在60~80cm之间4.不必测量出物体的质量,只要验证ghn=vn2即可5.速度不能用v=gt或v=计算,因为只要认为加速度为g,机械能必然守恒,即相当于用机械能守恒定律验证机械能守恒定律,况且用v=gt计算出的速度比实际值要大,会得出机械能增加的错误结论,而因为摩擦阻力的影响,机械能应该减小,所以速度应从纸带上直接测量计算同样的道理,重物下落的高度h,也只能用刻度尺直接测量,而不能用h=gt2或h=计算得到[例1] 用落体法验证机械能守恒定律1从下列器材中选出实验必需的器材,其编号为____________A.打点计时器带纸带;B.重物;C.天平;D.毫米刻度尺;E.停表;F.小车2打点计时器的安装要求为____________________________;开始打点时应先__________________________,然后______________________3用公式________________________来计算某一点对应的速度4实验中产生系统误差的主要原因是__________________________________________,使重物获得的动能往往________填“大于”“小于”或“等于”减少的重力势能为了减小误差,悬挂在纸带下的重物应选择__________________________5如果以v2为纵轴,以h为横轴,根据实验数据绘出h图线是__________,该图线的斜率等于________[解析] 1用落体法验证机械能守恒定律时,由重物带着纸带下落,根据打点计时器打在纸带上的点测出重物下落的高度h,并根据纸带计算出此时重物的速度v,看是否满足mv2=mgh,由于质量m不变,所以只要满足v2=gh就可以了,所以必需的器材为A、B、D2打点计时器必须稳定且竖直地安装在铁架台上,开始打点时应先接通电源再放开纸带3在匀变速直线运动中,任一时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度,即v=,因此,物体自由下落时,可以用vn=来求打下某点时的瞬时速度4产生系统误差的主要原因是纸带受到摩擦力作用,所以重物获得的动能小于减少的重力势能;为减小误差,应该选择密度大、质量也较大的重物5由于mv2=mgh,则v2=gh,所以h图线是一条过原点的倾斜直线,其斜率表示重力加速度g[答案] 1ABD 2稳定且竖直 接通电源 放开纸带 3vn= 4纸带受摩擦阻力 小于 密度和质量都较大的 5一条过原点的倾斜直线 g[例2] 全国乙卷某同学用图233a所示的实验装置验证机械能守恒定律,其中打点计时器的电源为交流电源,可以使用的频率有20Hz、30Hz和40Hz打出纸带的一部分如图b所示图233该同学在实验中没有记录交流电的频率f,需要用实验数据和其他题给条件进行推算1若从打出的纸带可判定重物匀加速下落,利用f和图b中给出的物理量可以写出在打点计时器打出B点时,重物下落的速度大小为________,打出C点时重物下落的速度大小为________,重物下落的加速度大小为________2已测得s1=
8.89cm,s2=
9.50cm,s3=
10.10cm;当地重力加速度大小为
9.80m/s2,实验中重物受到的平均阻力大小约为其重力的1%由此推算出f为________Hz[解析] 1重物匀加速下落时,根据匀变速直线运动的规律得vB==fs1+s2vC==fs2+s3由s3-s1=2aT2得a=2根据牛顿第二定律,有mg-kmg=ma根据以上各式,化简得f=代入数据可得f≈40Hz[答案] 1fs1+s2 fs2+s3 f2s3-s1240[例3] 利用气垫导轨验证机械能守恒定律,实验装置示意图如图234所示图2341实验步骤
①将气垫导轨放在水平桌面上,桌面高度不低于1m,将导轨调至水平
②用游标卡尺测出挡光条的宽度l=
9.30mm
③由导轨标尺读出两光电门中心间的距离s=________cm
④将滑块移至光电门1左侧某处,待砝码静止不动时,释放滑块,要求砝码落地前挡光条已通过光电门2
⑤从数字计时器图中未画出上分别读出挡光条通过光电门1和光电门2所用的时间Δt1和Δt2
⑥用天平称出滑块和挡光条的总质量M,再称出托盘和砝码的总质量m2用表示直接测量量的字母写出下列物理量的表达式
①滑块通过光电门1和光电门2时,瞬时速度分别为v1=________和v2=________
②当滑块通过光电门1和光电门2时,系统包括滑块、挡光条、托盘和砝码的总动能分别为Ek1=________和Ek2=________
③在滑块从光电门1运动到光电门2的过程中,系统势能的减少量ΔEp=________重力加速度为g3如果ΔEp=________,则可认为验证了机械能守恒定律[解析] 1距离s=
80.30cm-
20.30cm=
60.00cm2
①由于挡光条宽度很小,因此可以将挡光条通过光电门时的平均速度当成瞬时速度,挡光条的宽度l可用游标卡尺测量,挡光时间Δt可从数字计时器读出,因此,滑块通过光电门1和光电门2的瞬时速度分别为v1=;v2=
②当滑块通过光电门1和光电门2时,系统的总动能分别为Ek1=M+mv12=M+m2;Ek2=M+mv22=M+m2
③在滑块从光电门1运动到光电门2的过程中,系统势能的减少量ΔEp=mgs3如果在误差允许的范围内ΔEp=Ek2-Ek1,则可认为验证了机械能守恒定律[答案]
160.00答案在
59.96~
60.04之间的,也正确2
①
②M+m2M+m2
③mgs 3Ek2-Ek11.多选下列关于“验证机械能守恒定律”实验的实验误差与操作正误的说法中,正确的是 A.重锤的质量称量不准会造成较大的误差B.重锤的质量选用大些,有利于减小误差C.重锤的质量选用小些,有利于减小误差D.先松开纸带让重物下落,再让打点计时器工作,会造成较大差错解析选BD 在“验证机械能守恒定律”实验中,我们只需比较gh与v2的值即可验证机械能守恒定律是否成立,与重锤的质量无关,所以选项A错误;若重锤的质量选得大些,则在重锤下落过程中,空气阻力可忽略不计,有利于减小相对误差,所以选项B正确,选项C错误;先松开纸带再打点,此时纸带上打第一个点的初速度已不为零,即打第一个点时已有了初动能,重锤动能的增量比重锤重力势能的减少量大,产生错误,选项D正确2.验证机械能守恒定律的实验步骤如下A.把打点计时器固定在铁架台上,并用导线将打点计时器接在低压交流电源上B.将连有重物的纸带穿过限位孔,用手提着纸带,让手尽量靠近打点计时器C.松开纸带,接通电源D.更换纸带,重复几次,选点迹清晰的纸带进行测量E.用天平测量物体的质量m 在上述实验步骤中错误的是________和________,多余的是________解析步骤B中应让重物尽量靠近打点计时器,而不是让手靠近打点计时器步骤C应先接通电源,后释放纸带步骤E多余,不需要测物体的质量答案B C E3.关于“验证机械能守恒定律”实验,下面列出一些实验步骤A.用天平称出重物和夹子的质量B.将重物系在夹子上C.将纸带穿过打点计时器,上端用手提着,下端夹在系有重物的夹子上,再把纸带向上拉,让夹子静止靠近打点计时器处D.把打点计时器接在学生电源的交流输出端,把输出电压调至6V电源暂不接通E.把打点计时器用铁夹固定到放在桌边的铁架台上,使两个限位孔在同一竖直线上F.在纸带上选取几个点,进行测量并记录数据G.用秒表测出重物下落时间H.接通电源,待打点计时器工作稳定后释放纸带I.切断电源J.更换纸带,重新进行两次实验K.在三条纸带中,选出较好的一条L.进行计算,得出结论,完成实验报告M.拆下导线,整理器材对于本实验,以上步骤中不必要的有________;正确步骤的合理顺序是_____________填写代表字母解析根据实验原理和操作步骤可知不必要的有A、G;正确步骤的合理顺序是E、D、B、C、H、I、J、K、F、L、M答案见解析
4.图235为验证机械能守恒定律的实验装置示意图现有的器材为带铁夹的铁架台、电磁打点计时器、纸带、带铁夹的重锤、天平回答下列问题1为完成此实验,除了所给的器材,还需要的器材有________填入正确选项前的字母图235A.米尺B.秒表C.0~12V的直流电源D.0~12V的交流电源2实验中误差产生的原因有______________________________________________________________________________________________________________写出两个原因解析1需要米尺来测量两点之间的距离,电磁打点计时器需用交流电源,故选A、D2
①纸带与电磁打点计时器之间存在摩擦阻力;
②测量两点之间距离时的读数有误差;
③计算势能变化时,选取的两点距离过近;
④交变电流频率不稳定选取两个原因即可答案1AD 2见解析5.在验证机械能守恒定律的实验中,使质量为m=200g的重物自由下落,打点计时器在纸带上打出一系列的点,选取一条符合实验要求的纸带如图236所示O为纸带下落的起始点,A、B、C为纸带上选取的三个连续点已知打点计时器每隔T=
0.02s打一个点,当地的重力加速度为g=
9.8m/s2,那么图2361计算B点瞬时速度时,甲同学用vB2=2gsOB,乙同学用vB=其中所选择方法正确的是________填“甲”或“乙”同学2丙同学想根据纸带上的测量数据进一步计算重物和纸带下落过程中所受的阻力,为此他计算出纸带下落的加速度为________m/s2,从而计算出阻力f=______N3若同学丁不慎将上述纸带从O、A之间扯断,他仅利用A点之后的纸带能否实现验证机械能守恒定律的目的?________填“能”或“不能”解析1利用vB2=2gsOB计算速度的依据就是机械能守恒,所以无法用来验证机械能守恒,因此利用vB=计算B点瞬时速度的方法正确2根据sBC-sAB=aT2可得a=
9.5m/s2,由牛顿第二定律可得mg-f=ma,解得f=
0.06N3根据ΔEp=ΔEk,即重物重力势能的减少量等于其动能的增加量可知,能实现验证机械能守恒定律的目的答案1乙
29.5
0.06 3能6.验证机械能守恒定律的实验常采用重锤自由下落的方法1应用公式mv2=mgh进行验证,对实验条件的要求是________________,为验证和满足此要求,所选择的纸带头两点间的距离应接近________2若实验中所用重锤的质量为m=1kg,当地的重力加速度为
9.8m/s2,打点纸带如图237所示,打点时间间隔为
0.02s,则记录B点时,重锤的速度vB=______m/s,重锤的动能EkB=________J,从开始下落起至B点重锤的重力势能的减少量是________J,由此可得出的结论是___________________________________________________________________________________________________________________________________________图2373根据纸带上的数据算出相关各点的速度v,测算出下落距离h,则以v2为纵轴,以h为横轴画出的图像是下列图中的________解析1根据自由落体运动规律,h=gt2,t取
0.02s,g取
9.8m/s2,可计算得h=
1.96mm≈2mm2由匀变速直线运动规律可知vB==
0.59m/s,EkB=mvB2=
0.17J,ΔEpB=mghOB=
0.17J,在实验误差允许的范围内,重锤动能的增加量等于重力势能的减少量,即重锤的机械能守恒3由mv2=mgh约去m,得v2=gh,图像应是一条过原点的倾斜直线,直线斜率的大小等于g,所以C图正确答案1初速度为零 2mm
20.59
0.17
0.17 重锤的机械能守恒 3C7.某同学根据机械能守恒定律,设计实验探究弹簧的弹性势能与压缩量的关系1如图238a,将轻质弹簧下端固定于铁架台,在上端的托盘中依次增加砝码,测量相应的弹簧长度,部分数据如下表由数据算得劲度系数k=________N/mg取
9.80m/s2砝码质量g50100150弹簧长度cm
8.
627.
636.66图2382取下弹簧,将其一端固定于气垫导轨左侧,如图b所示;调整导轨使滑块自由滑动时,通过两个光电门的速度大小________3用滑块压缩弹簧,记录弹簧的压缩量x;释放滑块,记录滑块脱离弹簧后的速度v释放滑块过程中,弹簧的弹性势能转化为________4重复3中的操作,得到v与x的关系如图c,由图可知,v与x成________关系由上述实验可得结论对同一根弹簧,弹性势能与弹簧的________成正比解析1由k==N/m=50N/m2要调整气垫导轨水平,使滑块自由滑动时,通过两个光电门的速度相等3根据机械能守恒定律,释放滑块后,弹簧的弹性势能转化为滑块的动能4由题图可知,x与v成正比,即v=kx,由Ep=Ek=mv2=mk2x2,因此弹簧的弹性势能与弹簧的压缩量的平方成正比答案150 2相等 3滑块的动能4正比 压缩量的平方第2课时 能量守恒定律
一、机械能守恒定律1.机械能物体的动能和势能之和图2392.推导如图239所示,如果物体只在重力作用下自由下落,重力做的功设为WG,由重力做功和重力势能的变化关系可知WG=mgh1-h2=Ep1-Ep2
①由动能定理得WG=mv22-mv12
②①②联立可得mgh1-mgh2=mv22-mv12,mgh1+mv12=mgh2+mv22,由机械能的定义得Ek1+Ep1=Ek2+Ep23.内容在只有重力做功的情况下,物体的动能和重力势能可以发生相互转化,但机械能的总量保持不变4.条件只有重力对物体做功,与运动方向和轨迹的曲、直无关5.表达式1mv12+mgh1=mv22+mgh2或Ek1+Ep1=Ek2+Ep22mgh1-mgh2=mv22-mv12即ΔEp减=ΔEk增
二、能量守恒定律1.机械能的变化除重力以外的其他力对物体做功时,物体的机械能就会发生变化2.能量的转化自然界中,能的表现形式是多种多样的,除了机械能外,还有电能、光能、内能、化学能、原子能等,这些能量间都可以相互转化3.能量守恒定律能量既不能凭空产生,也不能凭空消失,它只能从一种形式转化为另一种形式或从一个物体转移到另一个物体,在转化或转移的过程中其总量保持不变4.永动机不消耗任何能量却能持续不断地对外做功的机器,它违背了能量守恒原理,是不可能制成的1.自主思考——判一判1合力为零,物体的机械能一定守恒×2合力做功为零,物体的机械能一定守恒×3只有重力做功,物体的机械能一定守恒√4物体向上运动时,机械能也可能守恒√5任何能量之间的转化都遵循守恒定律√6能量永远不会增加或减少,只能转化或转移√2.合作探究——议一议1如图2310所示,两位小朋友在蹦床上玩得非常开心,试思考以下问题图2310
①右边的男孩离开蹦床后飞向空中的过程中,机械能守恒吗?
②左边的女孩若已落在蹦床上,使蹦床下陷,她的机械能守恒吗?提示
①守恒男孩离开蹦床后只受重力作用,只有重力做功,机械能守恒
②不守恒因为她的动能减少,重力势能也减少,她的机械能在减少,机械能不守恒2用细绳把铁锁吊在高处,并把铁锁拉到鼻子尖前释放,保持头的位置不动,铁锁摆回来时,会打到鼻子吗?试试看,并解释原因图2311提示不会打到鼻子联想伽利略的理想斜面实验,若没有阻力,铁锁刚好能回到初位置,遵循机械能守恒定律若存在阻力,机械能损失,铁锁速度为零时的高度低于开始下落时的高度,铁锁一定不能到达鼻子的位置机械能守恒条件的理解1.机械能守恒的条件机械能守恒的条件为只有重力或弹力做功1从做功的角度看,只有重力或弹力做功,机械能守恒
①只有重力做功,单个物体的动能和重力势能相互转化,物体的机械能守恒
②只有弹力做功,物体的动能和弹簧的弹性势能相互转化,物体与弹簧组成的系统机械能守恒
③只有重力和弹力做功,物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化,物体和弹簧组成的系统机械能守恒2从能量转化的角度看,只有系统内动能和势能的相互转化,无其他形式能量的转化,系统机械能守恒2.机械能守恒的判断1对单个物体,一般从做功的角度去分析,即若只有重力做功,其他力不做功或做功的代数和为零,则该物体的机械能守恒2对几个物体组成的系统,一般从能量转化的角度去分析,即若系统内不存在其他形式的能与机械能之间的相互转化,则该系统的机械能守恒1.多选如图中物体m机械能守恒的是均不计空气阻力 解析选CD 物块沿固定斜面匀速下滑,在斜面上物块受力平衡,重力沿斜面向下的分力与摩擦力平衡,摩擦力做负功,机械能减少;物块在固定斜面上在力F作用下上滑时,力F做正功,机械能增加;小球沿光滑半圆形固定轨道下滑,只有重力做功,小球机械能守恒;用细线拴住的小球绕O点来回摆动,只有重力做功,小球机械能守恒选项C、D正确2.下列说法正确的是 A.机械能守恒时,物体一定只受重力和弹力作用B.物体处于平衡状态时,机械能一定守恒C.物体所受合外力不为零时,其机械能可能守恒D.物体机械能的变化等于合外力对物体做的功解析选C 机械能守恒时,只有重力或弹力做功,但可以受其他外力作用,其他外力做功为零即可,故A错;匀速直线运动为一种平衡状态,但物体处于平衡状态时,机械能不一定守恒,如在竖直方向匀速上升的物体,其机械能一直增大,所以B错;若物体做自由落体运动,只受重力作用,则机械能守恒,故C正确;若外力中仅有重力对物体做功,如在光滑斜面上下滑的物体,不会引起物体机械能的变化,据功能关系知D错
3.多选如图2312所示,在两个质量分别为m和2m的小球a和b之间,用一根长为L的轻杆连接杆的质量不计,两小球可绕穿过杆中心O的水平轴无摩擦地转动现让轻杆处于水平位置,然后无初速度释放,重球b向下,轻球a向上,产生转动,在杆转至竖直的过程中 图2312A.b球的重力势能减少,动能增加B.a球的重力势能增加,动能增加C.a球和b球的总机械能守恒D.a球和b球的总机械能不守恒解析选ABC a、b两球组成的系统中,只存在动能和重力势能的相互转化,系统的机械能守恒,选项C正确,D错误其中a球的动能和重力势能均增加,机械能增加,轻杆对a球做正功;b球的重力势能减少,动能增加,总的机械能减少,轻杆对b球做负功,选项A、B正确机械能守恒定律的应用1.对机械能守恒定律的理解1机械能守恒定律的研究对象一定是系统因为重力势能是属于物体和地球组成的重力系统的,弹性势能是属于弹簧的弹力系统的,所以,机械能守恒定律的适用对象是系统另外,动能表达式中的v,也是相对于地面的速度2“只有重力或弹力做功”不等于“只受重力或弹力作用”在重力或弹力做功的过程中,物体可以受其他力的作用,只要这些力不做功,或所做的功的代数和为零,就可以认为是“只有重力或弹力做功”3总的机械能保持不变,是指在动能和势能相互转化的整个过程中,任何时刻、任何位置的机械能的总量保持恒定不变2.机械能守恒定律的不同表达式和特点表达式特点Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或E初=E末初状态的机械能等于末状态的机械能Ek2-Ek1=Ep1-Ep2或ΔEk=-ΔEp动能或势能的增加量等于势能或动能的减少量EA2-EA1=EB1-EB2或ΔEA=-ΔEB系统中,A物体机械能的增加量等于B物体机械能的减少量[典例] 如图2313所示,有一条长为L的均匀金属链条,一半长度在光滑斜面上,另一半长度沿竖直方向下垂在空中,斜面倾角为θ,当链条从静止开始释放后链条滑动,求链条刚好全部滑出斜面时的速度是多大?图2313[思路点拨] 解答本题时可按以下思路进行分析[解析] 设斜面的最高点所在的水平面为零势能参考面,链条的总质量为m,开始时斜面上的那部分链条的重力势能为Ep1=-·sinθ竖直的那部分链条的重力势能为Ep2=-·则开始时的机械能为E1=Ep1+Ep2=-·sinθ+=-1+sinθ当链条刚好全部滑出斜面时,重力势能为Ep=-mg·动能为Ek=mv2,则机械能为E2=Ep+Ek=mv2+=mv2-mgL因为只有重力做功,所以系统机械能守恒,则由机械能守恒定律得E1=E2,即-1+sinθ=mv2-mgL解得v=[答案] 应用机械能守恒定律解题的基本步骤1根据题意,选取研究对象物体或系统2明确研究对象的运动过程,分析研究对象在运动过程中的受力情况,弄清各力的做功情况,判断是否符合机械能守恒的条件3恰当地选取参考平面,确定研究对象的运动过程的初状态和末状态的机械能包括动能和势能4根据机械能守恒定律列方程求解
1.如图2314所示,质量m=50kg的跳水运动员从距水面高h=10m的跳台上以v0=5m/s的速度斜向上起跳,最终落入水中若忽略运动员的身高和受到的阻力,取g=10m/s2,求图23141运动员在跳台上时具有的重力势能以水面为参考平面;2运动员起跳时的动能;3运动员入水时的速度大小解析1以水面为零重力势能参考平面,则运动员在跳台上时具有的重力势能为Ep=mgh=5000J2运动员起跳时的速度为v0=5m/s,则运动员起跳时的动能为Ek=mv02=625J3运动员从起跳到入水过程中,只有重力做功,运动员的机械能守恒,则mgh+mv02=mv2,即v=15m/s答案15000J 2625J 315m/s2.如图2315所示,质量均为m的物体A和B,通过轻绳跨过定滑轮相连斜面光滑,倾角为θ,不计绳子和滑轮之间的摩擦开始时A物体离地的高度为h,B物体位于斜面的底端,用手托住A物体,使A、B两物体均静止现将手撤去图23151求A物体将要落地时的速度为多大?2A物体落地后,B物体由于惯性将继续沿斜面向上运动,则B物体在斜面上到达的最高点离地的高度为多大?解析1撤去手后,A、B两物体同时运动,并且速率相等,由于两物体构成的系统只有重力做功,故系统的机械能守恒设A物体将要落地时的速度大小为v,由机械能守恒定律得mgh-mghsinθ=m+mv2解得v=2A物体落地后,B物体由于惯性将继续沿斜面向上运动,此时绳子对其没有拉力,对B物体而言,只有重力做功,故机械能守恒设其到达的最高点离地高度为H,由机械能守恒定律得mv2=mgH-hsinθ解得H=答案1 2对能量守恒定律的理解1.功与能量的转化不同形式的能量之间的转化是通过做功实现的做功的过程就是各种形式的能量之间转化或转移的过程,且做了多少功,就有多少能量发生转化或转移因此,功是能量转化的量度2.功与能的关系由于功是能量转化的量度,某种力做功往往与某一种具体形式的能量转化相联系,具体功能关系如下功能量转化关系式重力做功重力势能的改变WG=-ΔEp弹力做功弹性势能的改变WF=-ΔEp合外力做功动能的改变W合=ΔEk除重力、系统内弹力以外的其他力做功机械能的改变W=ΔE机[典例] 多选如图2316所示,一固定斜面倾角为30°,一质量为m的小物块自斜面底端以一定的初速度,沿斜面向上做匀减速运动,加速度的大小等于重力加速度的大小g若物块上升的最大高度为H,则此过程中,物块的 图2316A.动能损失了2mgH B.动能损失了mgHC.机械能损失了mgHD.机械能损失了mgH[思路点拨] 解答本题时应把握以下两点1动能的损失量等于合外力做的功2机械能的损失量等于克服摩擦力做的功[解析] 由于上升过程中的加速度大小等于重力加速度,根据牛顿第二定律得mgsin30°+f=mg,解得f=mg由动能定理可得ΔEk=mgH+f·=2mgH,选项A正确,B错误;机械能的减少量在数值上等于克服摩擦力做的功,则Wf=f·=mgH,选项C正确,D错误[答案] AC分析能量转化守恒问题的四点技巧1做功的过程是能量转化的过程,功是能量转化的量度2物体动能的增量由合外力做的总功来量度3物体重力势能的增量由重力做的功来量度4在不涉及弹簧弹力的情况下,物体机械能的增量由重力以外的其他力做的功来量度
1.多选如图2317所示,楔形木块固定在水平面上,粗糙斜面ab和光滑斜面bc与水平面的夹角相同,顶角b处安装一定滑轮质量分别为M、mM>m的滑块,通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接,轻绳与斜面平行两滑块由静止释放后,沿斜面做匀加速运动若不计滑轮的质量和摩擦,在两滑块沿斜面运动的过程中 图2317A.两滑块组成的系统机械能守恒B.重力对M做的功等于M动能的增加量C.轻绳对m做的功等于m机械能的增加量D.两滑块组成的系统的机械能损失等于M克服摩擦力做的功解析选CD 由于M与ab面之间存在滑动摩擦力,故两滑块组成的系统机械能不守恒,选项A错误;合外力对M做的功等于M动能的增加量,选项B错误;对于m,除了重力对其做功外,只有轻绳对其做功,故轻绳对m做的功等于m机械能的增加量,选项C正确;对于两滑块组成的系统,在运动过程中克服摩擦阻力做功,系统的机械能转化为内能,故该系统机械能的损失等于M克服摩擦力做的功,选项D正确2.风沿水平方向以速度v垂直吹向一直径为d的风车叶轮上,设空气密度为ρ,假设风的动能有50%转化为风车的动能,风车带动水车将水提高h的高度,效率为80%,求单位时间内最多可提升的水的质量解析单位时间内转化为风车的动能ΔEk=ρ××v×v2×50%=,由能量守恒定律可知×80%=mgh,解得m=答案1.下列四个选项的图中,木块均在固定的斜面上运动,其中图A、B、C中的斜面是光滑的,图D中的斜面是粗糙的,图A、B中的F为木块所受的外力,方向如图中箭头所示,图A、B、D中的木块向下运动,图C中的木块向上运动,在这四个图所示的运动过程中机械能守恒的是 解析选C 图A、图B中,除重力外,力F对木块做功,机械能不守恒图C中只有重力做功,机械能守恒图D中除重力外,摩擦力对木块做功,机械能不守恒,故只有C项正确2.多选一物体在做自由落体运动过程中,重力做了2J的功,则 A.该物体重力势能减少2JB.该物体重力势能增加2JC.该物体动能减少2JD.该物体动能增加2J解析选AD 在自由下落过程中,重力做了2J的功,重力势能减少2J通过重力做功,重力势能转化为动能,则物体动能增加了2J,故A、D正确,B、C错误3.质量为1kg的物体从倾角为30°、长2m的光滑斜面顶端由静止开始下滑,若选初始位置为零势能点,那么,当它滑到斜面中点时具有的机械能和重力势能分别是g取10m/s2 A.0J,-5J B.0J,-10JC.10J5JD.20J,-10J解析选A 物体下滑时机械能守恒,故它下滑到斜面中点时的机械能等于在初始位置的机械能,下滑到斜面中点时的重力势能Ep=-mg·sin30°=-5J故选项A正确
4.伽利略曾设计如图1所示的一个实验,将摆球拉至M点放开,摆球会达到同一水平高度上的N点,如果在E或F处钉上钉子,摆球将沿不同的圆弧达到同一高度的对应点;反过来,如果让摆球从这些点下落,它同样会达到原水平高度上的M点,这个实验可以说明,物体由静止开始沿不同倾角的光滑斜面或弧线下滑时,其末速度的大小 图1A.只与斜面的倾角有关B.只与斜面的长度有关C.只与下滑的高度有关D.只与物体的质量有关解析选C 由题意知物体在运动过程中不受阻力,满足机械能守恒的条件,设下落的高度为H,则有mgH=mv2,v=,只与高度有关,C正确5.如图2所示的滑轮光滑轻质,阻力不计,M1=2kgM2=1kg,M1离地高度为H=
0.5mM1与M2从静止开始释放,M1由静止下落
0.3m时的速度为 图2A.m/sB.3m/sC.2m/sD.1m/s解析选A 对系统运用机械能守恒定律得,M1-M2gh=M1+M2v2,代入数据解得v=m/s,故A正确,B、C、D错误6.小球从一定高度处由静止下落,与地面碰撞后回到原高度再次下落,重复上述运动取小球的落地点为原点建立坐标系,竖直向上为正方向下列速度v和位置x的关系图像中,能描述该过程的是 解析选A 由题意知在运动过程中小球机械能守恒,设机械能为E,小球离地面高度为x时速度为v,则有mgx+mv2=E,可变形为x=-+,由此方程可知图像为开口向左、顶点在的抛物线,故选项A正确
7.多选如图3所示,同一物体沿倾角不同的光滑斜面AB和AC的顶端A点分别由静止开始下滑到底端,斜面固定,则下列说法中正确的是 图3A.两次运动重力对物体做功相同B.滑到底端时,两次重力的瞬时功率相同C.滑到底端时,两次物体的速度相同D.滑到底端时,两次物体的动能相同解析选AD 根据重力做功的公式W=mgh,可得两次运动中重力对物体做的功相同,A正确根据机械能守恒mgh=mv2,所以滑到底端时,两次物体的动能相同,速度大小相等,但方向不同故D正确,C错误根据公式P=Fvcosα,两次重力瞬时功率不同,故B错误
8.如图4所示,质量为m的物块从A点由静止开始下落,加速度是g,下落H到B点后与一轻弹簧接触,又下落h后到达最低点C,在由A运动到C的过程中,空气阻力恒定,则 图4A.物块机械能守恒B.物块和弹簧组成的系统机械能守恒C.物块机械能减少mgH+hD.物块和弹簧组成的系统机械能减少mgH+h解析选D 物块在未接触弹簧时加速度为,那么受空气的阻力为重力的一半,故机械能不守恒,选项A、B错;物块机械能减少量为弹簧弹力与空气阻力做功之和,应为mgH+h,选项C错;物块与弹簧组成的系统机械能的减少量为空气阻力所做的功,为mgH+h,选项D正确
9.如图5所示,在地面上以速度v0抛出质量为m的物体,抛出后物体落到比地面低h的海平面上若以海平面为零势能面,不计空气阻力,则下列说法中正确的是 图5A.物体到达海平面时的重力势能为mghB.重力对物体做的功为-mghC.物体在海平面上的动能为mv02+mghD.物体在海平面上的机械能为mv02解析选C 物体到达海平面时位于参考平面上,重力势能为零,A错;物体运动过程下落了h高度,重力做功mgh,B错;根据机械能守恒定律mgh+mv02=mv2,即物体在海平面上的机械能E2=mv2=mgh+mv02,C对,D错
10.如图6所示,A、B两球质量相等,A球用不能伸长的轻绳系于O点,B球用轻弹簧系于O′点,O与O′点在同一水平面上,分别将A、B球拉到与悬点等高处,使绳和轻弹簧均处于水平,弹簧处于自然状态,将两球分别由静止开始释放,当两球达到各自悬点的正下方时两球恰好仍处在同一水平面上,则 图6A.两球到达各自悬点的正下方时,两球动能相等B.两球到达各自悬点的正下方时,A球动能较大C.两球到达各自悬点的正下方时,B球动能较大D.两球到达各自悬点的正下方时,A球损失的重力势能较多解析选B A球下摆过程中,因机械能守恒,有mgL=mvA2
①B球下摆过程中,因机械能守恒,有mgL=Ep弹+mvB2
②由
①②得mvA2=Ep弹+mvB2,可见mvA2>mvB2,故B正确
11.如图7所示,一固定的楔形木块,其斜面的倾角θ=30°,另一边与地面垂直,顶上有一定滑轮,一柔软的细线跨过定滑轮,两端分别与物块A和B连接,A的质量为4m,B的质量为m开始时将B按在地面上不动,然后放开手,让A沿斜面下滑而B上升物块A与斜面间无摩擦,设当A沿斜面下滑l距离后,细线突然断了,求物块B上升的最大高度H图7解析设细线断时A、B的速度为v,由机械能守恒得4mglsin30°=mgl+mv2+·4mv2解得v=细线断后,B上升的高度为h由机械能守恒得mgh=mv2可得h=B物体上升的最大高度H=l+=l答案l
12.长为L的均匀链条,放在光滑的水平桌面上,且使其长度的垂在桌边,如图8所示,松手后链条从静止开始沿桌边下滑,取桌面为零势能面图81开始时两部分链条重力势能之和为多少?2刚离开桌面时,整个链条重力势能为多少?3链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为多大?解析1开始时链条的重力势能Ep1=×=-
①2刚滑离桌面时,链条的重力势能Ep2=mg×=-
②3设链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为v,根据机械能守恒定律Ep1=Ep2+mv2
③联立
①②③得v=答案1- 2- 3 功能关系和能量守恒问题1.多选质量为4kg的物体被人由静止开始向上提升
0.25m后速度达到1m/s,则下列判断正确的是 A.人对物体做的功为12JB.合外力对物体做的功为2JC.物体克服重力做的功为10JD.人对物体做的功等于物体增加的动能解析选ABC 人对物体做的功等于物体机械能的增加量,即W人=mgh+mv2=12J,选项A正确,D错误;合外力对物体做的功等于物体动能的增加量,即W合=mv2=2J,选项B正确;物体克服重力做的功等于物体重力势能的增加量,即W=mgh=10J,选项C正确2.多选竖直向上的恒力F作用在质量为m的物体上,使物体从静止开始运动升高h,速度达到v,在这个过程中,设阻力恒为F阻,则下列表述正确的是 A.F对物体做的功等于物体动能的增量,即Fh=mv2B.F对物体做的功等于物体机械能的增量,即Fh=mv2+mghC.F与F阻对物体做的功等于物体机械能的增量,即F-F阻h=mv2+mghD.物体所受合外力做的功,等于物体动能的增量,即F-F阻-mgh=mv2解析选CD 施加恒力F的物体是所述过程能量的总来源加速运动过程终结时,物体的动能、重力势能均得到增加除此之外,在所述过程中,因为有阻力的存在,还将有内能产生,其值为F阻h,可见Fh>mv2,同时,Fh>mv2+mgh,Fh=mgh+mv2+F阻h,经变形后,可得C、D正确C的含义为除重力、弹簧弹力以外,物体所受力对物体做的功等于物体机械能的增量D是动能定理的具体表述,虽说表述各有不同,但都是能量守恒的具体反映
3.如图1所示,木块m放在光滑的水平面上,一颗子弹水平射入木块中,子弹受到的平均作用力为f,射入深度为d,此过程中木块移动了s,则 图1A.子弹损失的动能为fsB.木块增加的动能为fs+dC.子弹动能的减少量等于木块动能的增加量D.子弹、木块组成的系统总机械能的损失为fd解析选D 以子弹为研究对象,所受合力为f,从射入木块到两者相对静止,子弹的位移为s+d,合外力做功W1=-fs+d,由动能定理,子弹动能的增量为ΔEk弹=-fs+d,即动能减少fs+d,以木块为研究对象,在整个过程中木块所受合力也为f,由动能定理可知,W2=fs=ΔEk木,即木块的动能增加fs,对于子弹和木块整体,机械能的变化ΔE=ΔEk弹+ΔEk末=-fd,即损失的机械能为fd,故A、B、C错误,D正确4.质量为M的物体,其初动能为100J,从倾角为θ的足够长的斜面上的A点向上匀减速滑行,到达斜面上的B点时物体的动能减少了80J,机械能减少了32J,若μ<tanθ,则当物体回到A点时具有的动能为 A.60J B.20JC.50JD.40J解析选B 机械能的减少量等于物体克服摩擦力所做的功,当物体上滑到最高点时动能减少了100J,机械能减少了×32J=40J,因物体沿斜面上滑和下滑过程中克服摩擦力做的功相等,由能量守恒定律可知物体回到A点时,具有的动能为100J-2×40J=20J故选项B正确
5.如图2所示,竖直向下的拉力F通过定滑轮拉位于粗糙斜面上的木箱,使之沿斜面加速向上移动在移动过程中,下列说法正确的是 图2A.木箱克服重力所做的功等于木箱增加的重力势能B.F做的功等于木箱克服摩擦力和克服重力所做的功之和C.F做的功等于木箱增加的动能与木箱克服摩擦力所做的功之和D.F做的功等于木箱增加的重力势能与木箱克服摩擦力做的功之和解析选A 根据功能关系可知,木箱重力势能的增加量在数值上等于木箱克服重力所做的功,因此,选项A正确;木箱沿斜面做加速运动,其动能增加,据动能定理可知,木箱动能的增加量等于合外力所做的功,木箱合外力所做的功等于力F、重力及摩擦力做功的和,力F做正功,重力和摩擦力都做负功,因此,力F所做的正功大于重力和摩擦力所做负功的代数和,故选项B、C、D都不正确
6.如图3所示,一物体从高为H的斜面顶端由静止开始滑下,滑上与该斜面相连的一光滑曲面后又返回斜面,在斜面上能上升到的最大高度为若不考虑物体经过斜面底端转折处的能量损失,当物体再一次滑回斜面时上升的最大高度为 图3A.0B.HC.H与H之间D.0与H之间解析选B 设斜面长为l,根据能量守恒定律知,机械能的减少量等于内能的增加量,因此mg×=f·,f=mg设再一次滑回斜面时的高度为h,则有mg=f,即h=选项B正确,其他选项均错7.多选全国甲卷如图4所示,小球套在光滑的竖直杆上,轻弹簧一端固定于O点,另一端与小球相连现将小球从M点由静止释放,它在下降的过程中经过了N点已知在M、N两点处,弹簧对小球的弹力大小相等,且∠ONM∠OMN在小球从M点运动到N点的过程中, 图4A.弹力对小球先做正功后做负功B.有两个时刻小球的加速度等于重力加速度C.弹簧长度最短时,弹力对小球做功的功率为零D.小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差解析选BCD 在M、N两点处,弹簧对小球的弹力大小相等,且∠ONM<∠OMN<,则小球在M点时弹簧处于压缩状态,在N点时弹簧处于拉伸状态,小球从M点运动到N点的过程中,弹簧长度先缩短,当弹簧与竖直杆垂直时弹簧达到最短,这个过程中弹力对小球做负功,然后弹簧再伸长,弹力对小球开始做正功,当弹簧达到自然伸长状态时,弹力为零,再随着弹簧的伸长弹力对小球做负功,故整个过程中,弹力对小球先做负功,再做正功,后再做负功,选项A错误在弹簧与杆垂直时及弹簧处于自然伸长状态时,小球加速度等于重力加速度,选项B正确弹簧与杆垂直时,弹力方向与小球的速度方向垂直,则弹力对小球做功的功率为零,选项C正确由机械能守恒定律知,在M、N两点弹簧弹性势能相等,在N点动能等于从M点到N点重力势能的减小值,选项D正确8.多选水平传送带匀速运动,速度大小为v,现将一小工件放到传送带上设工件初速度为零,当它在传送带上滑动一段距离后速度达到v而与传送带保持相对静止设工件质量为m,它与传送带间的动摩擦因数为μ,则在工件相对传送带滑动的过程中 A.滑动摩擦力对工件做的功为B.工件的机械能增量为C.工件相对于传送带滑动的路程大小为D.传送带对工件做功为零解析选ABC 工件相对传送带滑动的过程中,受到的合外力就是传送带施加的摩擦力,根据动能定理可知,摩擦力做的功等于工件增加的动能,工件的初速度为零,末速度为v,其动能增加为,则工件受到的滑动摩擦力对工件做的功为,选项A正确,而选项D错误;根据功能关系知,除了重力和弹力以外的其他力所做的功等于工件机械能的改变量,选项B正确;由动能定理可得μmgs1=mv2,则s1=,s1是工件相对地面的位移,该过程中,传送带相对地面的位移为s2=vt=v·=2s1,则工件相对于传送带的位移为s=s2-s1=,选项C正确9.蹦极是一项既惊险又刺激的运动,深受年轻人的喜爱如图5所示,原长L=16m的橡皮绳一端固定在塔架的P点,另一端系在蹦极者的腰部蹦极者从P点由静止跳下,到达A处时绳刚好伸直,继续下降到最低点B处,BP相距h=20m又知蹦极者的质量m=60kg,所受空气阻力f恒为体重的,蹦极者可视为质点,g=10m/s2图51求蹦极者到达A点时的速度2求橡皮绳的弹性势能的最大值3蹦极者从P下降到A、再从A下降到B机械能的变化量分别记为ΔE
1、ΔE2,则求ΔE1∶ΔE2解析1到达A点时,绳子刚好被拉直,因此,从开始下落到落至A点的过程中,根据动能定理得mg-fL=mvA2,则vA=16m/s2当蹦极者下降到最低点B处时,橡皮绳的形变量最大,橡皮绳的弹性势能最大根据能量守恒可知,蹦极者减少的机械能等于橡皮绳增加的机械能和克服空气阻力所做的功之和,则mgh=fh+Epmax,因此,橡皮绳的最大弹性势能为ΔEpmax=9600J3蹦极者从P下降到A的过程中,减少的机械能为ΔE1=fL,再从A下降到B的过程中减少的机械能为ΔE2=mgh-fL,因此,ΔE1∶ΔE2=fL∶mgh-fL=421答案116m/s 29600J 342110.如图6所示为一种摆式摩擦因数测量仪,可测量轮胎与地面间动摩擦因数,其主要部件有底部固定有轮胎橡胶片的摆锤和连接摆锤的轻质细杆摆锤的质量为m,细杆可绕轴O在竖直平面内自由转动,摆锤重心到O点的距离为L测量时,测量仪固定于水平地面,将摆锤从与O等高的位置处静止释放摆锤到最低点附近时,橡胶片紧压地面擦过一小段距离ss≪L,之后继续摆至与竖直方向成θ角的最高位置若摆锤对地面的压力可视为大小为F的恒力,重力加速度为g,求图61摆锤在上述过程中损失的机械能;2在上述过程中摩擦力对摆锤所做的功;3橡胶片与地面之间的动摩擦因数解析1取水平地面为零势能面,则摆锤在与O等高的位置时的机械能为E1=mgL,摆锤摆至与竖直方向成θ角位置时的机械能为E2=mgL1-cosθ故此过程中损失的机械能为ΔE=E1-E2=mgLcosθ2设摩擦力对摆锤做的功为Wf,根据功能关系有Wf=-ΔE故摩擦力对摆锤做的功为Wf=-mgLcosθ3摩擦力对摆锤做的功Wf=-μFs=-mgLcosθ解得动摩擦因数μ=答案1mgLcosθ 2-mgLcosθ
311.如图7所示,质量为m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连,弹簧的劲度系数为k,A、B都处于静止状态一条不可伸长的轻绳绕过轻质滑轮,一端连物体A,另一端连一轻挂钩开始时,各段绳都处于伸直状态,A上方的一段绳沿竖直方向现在挂钩上挂一个质量为m3的物体C,并从静止状态释放,已知它恰好能使B离开地面但不继续上升若将C换成另一个质量为m1+m3的物体D,仍从上述初始位置由静止状态释放,则B刚离地时D的速度大小是多少?已知重力加速度为g图7解析开始时,A、B静止,设弹簧压缩量为x1,有kx1=m1g
①挂上物体C并释放后,C向下运动,A向上运动,设B刚要离地时弹簧伸长量为x2,有kx2=m2g
②B不再上升,此时A和C的速度为零,C已降到其最低点此过程系统机械能守恒,与初始状态相比,弹簧弹性势能的增加量为ΔE=m3gx1+x2-m1gx1+x2
③C换成D后,当B刚离地时弹簧弹性势能的增量与前一次相同,B的速度为零,由能量关系得m1+m3v2+m1v2=m1+m3gx1+x2-m1gx1+x2-ΔE
④由
③④得2m1+m3v2=m1gx1+x2
⑤由
①②⑤得v=答案1.机械能守恒定律在只有重力做功的情况下,物体的动能与重力势能可以发生相互转化,但机械能的总量保持不变2.“只有重力做功”并不是只受重力作用,要保证重力之外的力不做功或做功代数和为零,这是机械能守恒的条件3.机械能守恒是指系统的机械能在每个时刻都不变化,能量转化只在系统内动能和势能之间进行,系统内外没有能量的交换4.“守恒”是一个动态概念,指在动能和势能相互转化的整个过程中的任何时刻、任何位置,机械能的总量总保持不变5.能量守恒定律能量既不能凭空产生,也不能凭空消失,它只能从一种形式转化为另一种形式,或从一个物体转移到另一个物体,在转化或转移的过程中其总量保持不变。