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文本内容:
24.
2.2直线与圆的位置关系
(3)
一、夯实基础
1.如图已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD下底BC以及腰AB均相切切点分别是DCE.若半圆O的半径为2梯形的腰AB为5则该梯形的周长是 A.9B.10C.12D.
142.如图PAPB为☉O的切线AB分别为切点∠APB=60°点P到圆心O的距离OP=2则☉O的半径为 A.B.1C.D.
23.如图从☉O外一点P引圆的两条切线PAPB切点分别是AB如果∠APB=60°线段PA=10那么弦AB的长是 A.10B.12C.5D.
104.如图AC是☉O的直径∠ACB=60°连接AB过AB两点分别作☉O的切线两切线交于点P.若已知☉O的半径为1则△PAB的周长为 .
5.如图PAPB分别切☉O于AB并与☉O的切线分别相交于DC已知PA=7cm则△PCD的周长等于 .
6.如图在直角梯形ABCD中AB∥CD以AD为直径的☉O切BC于E连接OBOC试探究OB与OC有何位置关系
7.三角形的内切圆及内心
1.下列说法中不正确的是 A.三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C.垂直于半径的直线是圆的切线D.三角形的内心到三角形的三边的距离相等
8.如图正三角形的内切圆半径为1那么这个正三角形的边长为 A.2B.3C.D.
29.如图在△ABC中点P是△ABC的内心则∠PBC+∠PCA+∠PAB= °.
10.如图☉I是△ABC的内切圆切点分别为点DEF若∠DEF=52°则∠A= .
二、能力提升
11.如图已知☉O是△ABC的内切圆切点为DEF如果AE=2CD=1BF=3求内切圆的半径r.【解析】∵☉O是△ABC的内切圆切点为DEF∴AF=AEEC=CDDB=BF∵AE=2CD=1BF=3∴AF=2EC=1BD=3∴AB=BF+AF=5BC=BD+DC=4AC=AE+EC=3∴△ABC是直角三角形且∠C=90°∴AB+BC+ACr=AC×BC即6r=6r=
1.【错在哪?】作业错例课堂实拍如图△ABC中∠A=45°I是内心则∠BIC= °.1错因:.2纠错:.
12.xx·锦州中考有如下四个命题:1三角形有且只有一个内切圆.2四边形的内角和与外角和相等.3顺次连接四边形各边中点所得的四边形一定是菱形.4一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形.其中真命题的个数有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
13.如图已知△ABC的内切圆☉O与各边相切于点DEF则点O是△DEF的 A.三条中线的交点B.三条高的交点C.三条角平分线的交点D.三条边的垂直平分线的交点
14.如图O是△ABC的内心过点O作EF∥AB与ACBC分别交于点EF则 A.EFAE+BFB.EFAE+BFC.EF=AE+BFD.EF≤AE+BF
15.如图PAPB分别切☉O于AB两点C为劣弧AB上一点∠APB=30°则∠ACB= .
三、课外拓展
16.如图☉O与四边形各边均相切且AB=16CD=10则四边形的周长为 .
17.如图小敏家厨房一墙角处有一自来水管装修时为了美观准备用木板从AB处将水管密封起来互相垂直的两墙面与水管分别相切于DE两点经测量发现AD和BE的长恰是方程x2-25x+150=0的两根单位:cm则该自来水管的半径为 cmADBE.
18.如图△ABC中E是内心∠BAC的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.求证:DE=DB.
19.如图已知AB是☉O的直径DC是☉O的切线点C是切点AD⊥DC垂足为D且与圆O相交于点E.1求证:∠DAC=∠BAC.2若☉O的直径为5cmEC=3cm求AC的长.
20.如图在△ABC中已知∠ABC=90°在AB上取一点E以BE为直径的☉O恰与AC相切于点D若AE=2AD=
4.1求☉O的直径BE的长.2计算△ABC的面积.
四、中考链接
1.(xx·四川攀枝花)如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,D为BC边的中点,以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切,则⊙O的半径为 .2.(xx·山东省菏泽市·3分)如图,直角△ABC内接于⊙O,点D是直角△ABC斜边AB上的一点,过点D作AB的垂线交AC于E,过点C作∠ECP=∠AED,CP交DE的延长线于点P,连结PO交⊙O于点F.
(1)求证PC是⊙O的切线;
(2)若PC=3,PF=1,求AB的长.答案
1.【解析】选D.根据切线长定理得AD=AEBC=BE所以梯形的周长是5×2+4=
14.
2.【解析】选B.连接OA∵PA为☉O的切线∴PA⊥OA∵∠APO=∠APB=30°∴OA=2×=1∴☉O的半径为
1.
3.【解析】选A.∵PAPB都是☉O的切线∴PA=PB∵∠APB=60°∴△PAB是等边三角形∴AB=PA=
10.
4.【解析】∵AC是☉O的直径∴∠ABC=90°∠BAC=30°CB=1AB=.∵AP为切线∴∠CAP=90°∠PAB=60°.又∵AP=BP∴△PAB为正三角形∴周长为
3.答案:
35.【解析】设DC与☉O的切点为E∵PAPB分别是☉O的切线且切点为AB∴PA=PB=7cm;同理可得:DE=DACE=CB;则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=14cm故△PCD的周长是14cm.答案:14cm
6.【解析】∵AD为☉O的直径四边形ABCD为直角梯形∴ABCD为☉O的切线.∵☉O与BC相切∴∠ABO=∠CBO∠DCO=∠BCO.∵AB∥CD∴∠ABC+∠BCD=180°.∴∠OBE+∠OCE=90°.∴∠BOC=90°所以OB⊥OC.
7.【解析】选C.ABD都正确经过半径外端并且垂直于半径的直线是圆的切线垂直于半径的直线不一定是圆的切线.
8.【解析】选D.因为圆内切于正三角形如图连接AO及OD可知AD=CD根据半径是1可知AO=2根据勾股定理得AD=所以AC=
2.
9.【解析】∵点P是△ABC的内心∴PB平分∠ABCPA平分∠BACPC平分∠ACB∴∠PBC+∠PCA+∠PAB=90°.答案:
9010.【解析】连接IDIF∵☉I是△ABC的内切圆∴ID⊥ABIF⊥AC.又∵☉I中∠DIF=2∠DEF=104°四边形DIFA中∠IDA=∠IFA=90°∴∠A=180°-∠DIF=76°.答案:76°
11.【解析】1I是内心,不是外心,要理解内心和外心的区别.2∵∠A=45°∴∠ABC+∠ACB=180°-45°=135°∵I是△ABC的内心∴∠IBC=∠ABC,∠ICB=∠ACB,∴∠IBC+∠ICB=∠ABC+∠ACB=
67.5°,∴∠BIC=180°-
67.5°=
112.5°.答案
112.
512.【解析】选C.三角形有且只有一个内切圆1是真命题;四边形的内角和与外角和都是360°2是真命题;顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形不一定是菱形3是假命题;由一组对边平行且一组对角相等可证得两组对边分别平行所以四边形是平行四边形4是真命题.∴真命题的个数有3个.
13.【解析】选D.∵△ABC的内切圆☉O与各边相切于DEF∴OE=OF=OD则可知点O是DEDFEF垂直平分线上的点∴点O是△DEF的三边垂直平分线的交点.
14.【解析】选C.如图连接OAOB则OAOB分别是∠CAB与∠CBA的平分线则∠EAO=∠OAB又EF∥AB则∠EOA=∠OAB=∠EAO则EA=EO同理FO=FB∴EF=AE+FB.
15.【解析】如图连接AOOB∵PAPB分别切☉O于AB两点∴∠PAO=∠PBO=90°∴∠AOB=180°-∠P=150°设点E是优弧AB上一点由圆周角定理知∠E=75°由圆内接四边形的对角互补知∠ACB=180°-∠E=105°.答案:105°
16.【解析】如图四边形ABCD的边ABBCCDDA和☉O分别相切于点LMNP.由切线长定理得AL=APBL=BMCN=CMDN=PD因此四边形ABCD的周长为AL+AP+BL+BM+CM+CN+DN+DP可化简为2AB+2CD=2×16+10=
52.答案:
5217.【解析】设圆心为O连接ODOEx2-25x+150=0x-10x-15=0解得:x1=10x2=15∵ADBE∴AD=10BE=15设半径为r又AB=AD+BE=25∴AD+r2+BE+r2=AB2∴10+r2+15+r2=252解得r=
5.答案:
518.【证明】连接EBDB.∵E是△ABC的内心∴∠EBC=∠ABE∠BAD=∠CAD.∵∠CAD=∠CBD∴∠BAD=∠CBD.又∵∠BED=∠BAD+∠ABE∠DBE=∠EBC+∠CBD∴∠BED=∠DBE∴DE=DB.
19.【解析】1连接OC∵DC切☉O于C∴OC⊥DC∵AD⊥DC∴AD∥OC∴∠DAC=∠OCA∵OA=OC∴∠BAC=∠OCA∴∠DAC=∠BAC.2∵∠DAC=∠BAC∴EC=BC=3∵AB是直径∴∠ACB=90°.由勾股定理得AC==4答:AC的长是4cm.
20.【解析】1连接OD∴OD⊥AC∴△ODA是直角三角形设☉O半径为r∴AO=r+2∴r+22—r2=16解得:r=3∴BE=
6.2∵∠ABC=90°∴OB⊥BC∴BC是☉O的切线.∵CD切☉O于D∴CB=CD令CB=x∴AC=x+4AB=
8.∵x2+82=x+42∴x=6∴S△ABC=×8×6=
24.
四、中考链接
1.解过点0作OE⊥AB于点E,OF⊥BC于点F.∵AB、BC是⊙O的切线,∴点E、F是切点,∴OE、OF是⊙O的半径;∴OE=OF;在△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,∴由勾股定理,得BC=4;又∵D是BC边的中点,∴S△ABD=S△ACD,又∵S△ABD=S△ABO+S△BOD,∴AB•OE+BD•OF=CD•AC,即5×OE+2×0E=2×3,解得OE=,∴⊙O的半径是.故答案为.
2.解
(1)如图,连接OC,∵PD⊥AB,∴∠ADE=90°,∵∠ECP=∠AED,又∵∠EAD=∠ACO,∴∠PCO=∠ECP+∠ACO=∠AED+∠EAD=90°,∴PC⊥OC,∴PC是⊙O切线.
(2)延长PO交圆于G点,∵PF×PG=PC2,PC=3,PF=1,∴PG=9,∴FG=9﹣1=8,∴AB=FG=8.。