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第19章 矩形、菱形与正方形
19.
2.
2.2菱形的判定定理21.用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形,作图痕迹如图所示,能得到四边形ABCD是菱形的依据是 A.一组邻边相等的四边形是菱形B.四条边相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形2.[聊城]如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,要判定四边形DBFE是菱形,还需要添加的条件是 A.AB=ACB.AD=BDC.BE⊥ACD.BE平分∠ABC3.[xx·龙东]如图,在平行四边形ABCD中,添加一个条件_____________,使平行四边形ABCD是菱形.4.[西宁]如图,在四边形ABCD中,AC、BD相交于点O,O是AC的中点,AD∥BC,AC=8,BD=
6.1求证四边形ABCD是平行四边形;2若AC⊥BD,求平行四边形ABCD的面积.5.[xx·三台县期中]如图,AE∥BF,AC平分∠BAD,且交BF于点C,BD平分∠ABC,且交AE于点D,连结CD,求证1AC⊥BD;2四边形ABCD是菱形.6.给出如下定义两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.如图,在筝形ABCD中,AB=AD,BC=DC,AC、BD相交于点O.在OC上截取OE=OA,连结BE、DE.1求证AC垂直平分BD;2判断四边形ABED的形状.7.如图,把两张等宽的纸条交叉重叠在一起,你能判断重叠部分的形状吗?说明你的理由. 8.[xx·北京]如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,对角线AC、BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,连结OE.1求证四边形ABCD是菱形;2若AB=,BD=2,求OE的长.9.[xx·郴州]如图,在ABCD中,作对角线BD的垂直平分线EF,垂足为O,分别交AD、BC于点E、F,连结BE、DF.求证四边形BFDE是菱形.10.如图,在ABCD中,点E、F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线,过点A作AG∥DB,交CB的延长线于点G.1求证DE∥BF;2若∠G=90°,求证四边形DEBF是菱形.参考答案1.B2.D3.AB=BC或AC⊥BD4.解1证明∵O是AC的中点,∴OA=OC.∵AD∥BC,∴∠ADO=∠CBO,在△AOD和△COB中,∴△AOD≌△COB,∴OD=OB,∴四边形ABCD是平行四边形.2∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形,∴S菱形ABCD=AC·BD=
24.5.证明1∵AE∥BF,∴∠BCA=∠CAD,∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠CAD,∴∠BCA=∠BAC,∴BA=BC,∴△BAC是等腰三角形.∵BD平分∠ABC,∴AC⊥BD.2∵△BAC是等腰三角形,∴AB=CB.∵∠CBD=∠ABD=∠BDA,∴△ABD是等腰三角形,∴AB=AD,∴DA=CB,∵BC∥DA,∴四边形ABCD是平行四边形.∵AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形.6.解1证明∵AB=AD,∴点A在线段BD的垂直平分线上.∵BC=CD,∴点C在线段BD的垂直平分线上.∴AC垂直平分BD.2四边形ABED是菱形,理由∵AC垂直平分BD,∴OB=OD.∵OE=OA,∴四边形ABED是平行四边形.又∵AB=AD,∴平行四边形ABED是菱形.7.解重叠部分为菱形.理由如下如答图所示,∵AB∥CD,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.分别作CD、BC边上的高AE、AF.∵两纸条相同,∴纸条宽度AE=AF,∴SABCD=AE·CD=BC·AF,∴CD=BC,∴平行四边形ABCD为菱形.8.解1证明∵AC平分∠BAD,∴∠DAC=∠BAC.∵AB∥DC,∴∠DCA=∠BAC,∴∠DAC=∠DCA,∴DA=DC.又∵AB=AD,∴AB=DC.又∵AB∥DC,∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AB=AD,∴平行四边形ABCD是菱形.2∵四边形ABCD是菱形,∴OA=OC,OB=OD=DB=1,AC⊥BD.在Rt△ABO中,由勾股定理,得OA===
2.∴AC=2OA=
4.∵CE⊥AE,OA=OC,∴OE=AC=
2.9.证明∵BD垂直平分EF,∴EO=FO,∠EOD=∠FOB=90°.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠EDO=∠FBO,∴△EOD≌△FOB,∴OD=OB.∵EO=FO,EF⊥BD,∴四边形BFDE是菱形.。