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第七章 图形变换
7.1 图形的平移、对称、旋转与位似学用P77[过关演练] 30分钟 80分
1.下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是A【解析】A是轴对称图形不是中心对称图形;B是中心对称图形不是轴对称图形;C和D既是轴对称图形又是中心对称图形.
2.小莹和小博士下棋小莹执圆子小博士执方子.如图棋盘中心方子的位置用-10表示右下角方子的位置用0-1表示.小莹将第4枚圆子放入棋盘后所有棋子构成一个轴对称图形.她放的位置是BA.-21B.-11C.1-2D.-1-2【解析】因为棋盘中心方子的位置用-10表示右下角方子的位置用0-1表示故可知最右边的圆子为坐标原点分别画出四个选项的图形可知B项正确.
3.xx·四川内江如图在平面直角坐标系中△ABC的顶点A在第一象限点BC的坐标分别为2161∠BAC=90°AB=AC直线AB交y轴于点P若△ABC与△ABC关于点P成中心对称则点A的坐标为AA.-4-5B.-5-4C.-3-4D.-4-3【解析】∵点BC的坐标分别为2161∠BAC=90°AB=AC∴△ABC是等腰直角三角形∴A43设直线AB解析式为y=kx+b则解得∴直线AB解析式为y=x-1令x=0则y=-1∴P0-1又∵点A与点A关于点P成中心对称∴点P为AA的中点设Amn则=0=-1∴m=-4n=-5∴点A的坐标为-4-
5.
4.xx·山西如图在Rt△ABC中∠ACB=90°∠A=60°AC=6将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△ABC此时点A恰好在AB边上则点B与点B之间的距离为DA.12B.6C.6D.6【解析】连接BB∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△ABC∴AC=ACAB=AB∠A=∠CAB=60°∴△AAC是等边三角形∴∠AAC=60°∴∠BAB=180°-60°-60°=60°∵∠ACA=∠BCB=60°BC=BC∴△BCB是等边三角形∴∠CBB=60°∵∠CBA=30°∴∠ABB=30°∴∠BBA=180°-60°-30°=90°∵∠ACB=90°∠A=60°AC=6∴AB=12∴AB=AB-AA=AB-AC=6∴BB=
6.
5.xx·辽宁阜新如图在平面直角坐标系中将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1依此方式绕点O连续旋转xx次得到正方形OAxxB2018Cxx如果点A的坐标为10那么点Bxx的坐标为DA.11B.0C.-0D.-11【解析】∵四边形OABC是正方形且OA=1∴B11连接OB由勾股定理得OB=由旋转得OB=OB1=OB2=OB3=…=∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45°∴B10B2-11B3-0…发现是8次一循环所以xx÷8=252……2∴点Bxx的坐标为-
11.
6.如图若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB则点P为△ABC的布洛卡点.三角形的布洛卡点Brocardpoint由法国数学家和数学教育家克洛尔A.L.Crelle1780—1855于1816年首次发现但他的发现并未被当时的人们所注意.1875年布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡Brocard1845—1922重新发现并用他的名字命名.问题:已知在等腰直角三角形DEF中∠EDF=90°.若点Q为△DEF的布洛卡点DQ=1则EQ+FQ的值为DA.5B.4C.3+D.2+【解析】把点Q绕点D顺时针旋转90°到点M连接MEMQMD则△MED≌△QFD∴ME=QFMD=QD∠MED=∠QFD∠MDE=∠QDF设∠QED=∠QFE=∠QDF=∠MDE=α在Rt△DMQ中由勾股定理得MQ=∵∠QED=∠QDF∠EDF=90°∴∠EQD=90°∵∠QFD+α=45°∴∠MED+α=45°∵∠MQD=45°∴∠EQM=90°-45°=45°∴△MQE是等腰直角三角形由勾股定理得QE=2又ME=MQ=则FQ=∴QE+QF=2+.
7.如图把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半若BC=则△ABC移动的距离是 . 【解析】由平移的性质得AB∥EH∴△CHE∽△CAB∴∴∵BC=∴EC=∴平移距离BE=BC-EC=.
8.xx·湖北随州如图在平面直角坐标系xOy中菱形OABC的边长为2点A在第一象限点C在x轴正半轴上∠AOC=60°若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°得到四边形OABC则点B的对应点B的坐标为 - . 【解析】作BH⊥x轴于H点连接OBOB如图∵四边形OABC为菱形∴∠AOC=180°-∠C=60°OB平分∠AOC∴∠AOB=30°∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至第四象限OABC的位置∴∠BOB=75°OB=OB=2∴∠AOB=∠BOB-∠AOB=45°∴△OBH为等腰直角三角形∴OH=BH=OB=∴点B的坐标为-.
9.如图在平面直角坐标系中△ABC的顶点坐标分别为A-11B0-2C
10.点P02绕点A旋转180°得到点P1点P1绕点B旋转180°得到点P2点P2绕点C旋转180°得到点P3点P3绕点A旋转180°得到点P4…按此作法进行下去则点Pxx的坐标为 2-4 . 【解析】由题意依次作出各点如图得P1-20P22-4P304P4-2-2P52-2P602发现点P6与点P重合即6次一个循环∵xx÷6=336……2∴点Pxx与点P2重合即点Pxx的坐标为2-
4.
10.9分如图在小正方形组成的网格中△ABC和△DEF的顶点都在格点上根据图形解答下列问题:1将△ABC向左平移4个单位长度再向下平移2个单位长度画出平移后的△A1B1C1;2将△DEF绕D点逆时针旋转90°画出旋转后的△DE1F
1.解:1如图所示△A1B1C1即为所求.2如图所示△DE1F1即为所求.
11.10分△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示.1作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C;2将△A1B1C向右平移4个单位作出平移后的△A2B2C2;3在x轴上求作一点P使PA1+PC2的值最小并写出点P的坐标.不写解答过程直接写出结果解:1如图△A1B1C为所作.2如图△A2B2C2为所作.3P点坐标为.
12.12分如图将△ABC沿着射线BC方向平移至△ABC使点A落在∠ACB的外角平分线CD上连接AA.1判断四边形ACCA的形状并说明理由;2在△ABC中∠B=90°AB=8cos∠BAC=求CB的长.解:1四边形ACCA是菱形理由:由平移的性质可得AA=CC且AA∥CC∴四边形ACCA是平行四边形由AA∥CC得∠AAC=∠ACB由题意得CD平分∠ACB∴∠ACA=∠ACB∴∠ACA=∠AAC∴AA=AC∴平行四边形ACCA是菱形.2在Rt△ABC中∠B=90°AB=8∴cos∠BAC=∴AC=10∴BC==6由平移的性质可得BC=BC=6由1得四边形ACCA是菱形∴AC=CC=10∴CB=CC-BC=10-6=
4.
13.10分xx·山东莱芜已知△ABC中AB=AC∠BAC=90°DE分别是ABAC的中点将△ADE绕点A按顺时针方向旋转一个角度α0°α90°得到△ADE连接BDCE如图
1.1求证:BD=CE;2如图2当α=60°时设AB与DE交于点F求的值.解:1∵AB=ACDE分别是ABAC的中点∴AD=BD=AE=EC.由旋转的性质可知∠DAD=∠EAE=αAD=ADAE=AE.∴AD=AE∴△BDA≌△CEA∴BD=CE.2连接DD.∵∠DAD=60°AD=AD∴△ADD是等边三角形.∴∠ADD=∠ADD=60°DD=DA=DB.∴∠DBD=∠DDB=30°∴∠BDA=90°.∵∠DAE=90°∴∠BAE=30°∴∠BAE=∠ABD又∵∠BFD=∠AFE∴△BFD∽△AFE∴.∵在Rt△ABD中tan∠BAD=∴.[名师预测]
1.在平面直角坐标系中点Pmn是线段AB上一点以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍则点P的对应点的坐标为BA.2m2nB.2m2n或-2m-2nC.D.【解析】点Pmn是线段AB上一点以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍则点P的对应点的坐标为m×2n×2或m×-2n×-2即2m2n或-2m-2n.
2.如图将△ABC绕点C顺时针旋转使点B落在AB边上的点B处此时点A的对应点A恰好落在BC的延长线上下列结论错误的是CA.∠BCB=∠ACAB.∠ACB=2∠BC.∠BCA=∠BACD.BC平分∠BBA【解析】根据旋转的性质得∠BCB与∠ACA都是旋转角则∠BCB=∠ACAA正确;∵CB=CB∴∠B=∠BBC又∵∠ACB=∠B+∠BBC∴∠ACB=2∠B∴∠ACB=2∠BB正确;∵∠ABC=∠B∴∠ABC=∠BBC∴BC平分∠BBAD正确.
3.有一张矩形纸片ABCD已知AB=3AD=2小明按下图步骤折叠纸片则线段DG的长为 . 【解析】根据题意∵Rt△DAE≌Rt△DAE∴DA=DA=2CA=DC-DA=1∵矩形AEBC折叠到矩形AEBC∴CA=CA=1∴DC=CA=1∵∠D=45°∠DCB=90°∴DG=DC=.
4.已知△ABC的三个顶点为A-1-1B-13C-3-3将△ABC向右平移mm0个单位后△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数y=的图象上则m的值为
0.5或4 . 【解析】设平移后的三角形为△ABC其中A-1+m-1B-1+m3C-3+m-3∴AB的中点坐标为-1+m1AC的中点坐标为-2+m-2BC的中点坐标为-2+m0当AB的中点落在反比例函数y=的图象上时3=1×-1+m解得m=4;当AC的中点落在反比例函数y=的图象上时3=-2×-2+m解得m=
0.5;当BC的中点落在反比例函数y=的图象上时3=0×-2+m方程无解.综上m的值为
0.5或
4.
5.如图在平面直角坐标系中△ABC各顶点的坐标分别为-2-2-4-1-4-
4.1作出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1;2作出点A关于x轴的对称点A.若把A向右平移a个单位后落在△A1B1C1的内部不包括顶点和边界求a的取值范围.解:1△A1B1C1如图.2点A如图所示a的取值范围是4a
6.
6.如图在平面直角坐标系中Rt△ABC的三个顶点都在格点上点ABC的坐标分别为A-13B-31C-
11.请解答下列问题:1画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1并写出点B1的坐标;2画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后得到的△A2B2C1并求出点A1走过的路径长.解:1△A1B1C1如图B1点坐标为
31.2△A2B2C1如图点A1走过的路径长为×2×π×2=π.
7.如图对折矩形纸片ABCD使AB与DC重合得到折痕MN将纸片展平;再一次折叠使点D落到MN上的点F处折痕AP交MN于点E;延长PF交AB于点G.求证:1△AFG≌△AFP;2△APG为等边三角形.解:1由折叠可得MN分别为ADBC的中点∵DC∥MN∥AB∴F为PG的中点即PF=GF由折叠可得∠PFA=∠D=∠AFG=90°在△AFP和△AFG中∴△AFP≌△AFGSAS.2∵△AFP≌△AFG∴AP=AG∵AF⊥PG∴∠2=∠3又由折叠可得∠1=∠2∴∠1=∠2=∠3=30°∴∠2+∠3=60°即∠PAG=60°∴△APG为等边三角形.。