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专题十 综合性压轴题类型一函数中点的存在性问题xx·山东东营中考如图,抛物线y=ax-1x-3a>0与x轴交于A,B两点,抛物线上另有一点C在x轴下方,且使△OCA∽△OBC.1求线段OC的长度;2设直线BC与y轴交于点M,点C是BM的中点时,求直线BM和抛物线的表达式;3在2的条件下,直线BC下方抛物线上是否存在一点P,使得四边形ABPC面积最大?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【分析】1令y=0,求出x的值,确定出A与B坐标,根据已知相似三角形得比例,求出OC的长即可;2根据C为BM的中点,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OC=BC,确定出C的坐标,利用待定系数法确定出直线BC的表达式,把C坐标代入抛物线求出a的值,确定出二次函数的表达式即可;3过P作x轴的垂线,交BM于点Q,设出P与Q的横坐标为x,分别代入抛物线与直线表达式,表示出纵坐标,相减表示出PQ,四边形ACPB面积最大即为三角形BCP面积最大,三角形BCP面积等于PQ与B和C横坐标之差乘积的一半,构造为二次函数,利用二次函数性质求出此时P的坐标即可.【自主解答】1.xx·湖南衡阳中考如图,已知直线y=-2x+4分别交x轴、y轴于点A,B,抛物线经过A,B两点,点P是线段AB上一动点,过点P作PC⊥x轴于点C,交抛物线于点D.1若抛物线的表达式为y=-2x2+2x+4,设其顶点为M,其对称轴交AB于点N.
①求点M,N的坐标;
②是否存在点P,使四边形MNPD为菱形?并说明理由;2当点P的横坐标为1时,是否存在这样的抛物线,使得以B,P,D为顶点的三角形与△AOB相似?若存在,求出满足条件的抛物线的表达式;若不存在,请说明理由.类型二图形运动中的函数关系问题如图,在△ABC中,AB=6cm,AC=4cm,BC=2cm,点P以1cm/s的速度从点B出发沿边BA→AC运动到点C停止,运动时间为ts,点Q是线段BP的中点.1若CP⊥AB时,求t的值;2若△BCQ是直角三角形时,求t的值;3设△CPQ的面积为S,求S与t的关系式,并写出t的取值范围.【分析】1作CH⊥AB于H.设BH=x,利用勾股定理构建方程求出x,当点P与H重合时,CP⊥AB,此时t=2;2分两种情形求解即可解决问题;3分两种情形讨论,求出QM即可解决问题.【自主解答】2.xx·广东中考已知Rt△OAB,∠OAB=90°,∠ABO=30°,斜边OB=4,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°,如图1,连结BC.1填空∠OBC=°;2如图1,连结AC,作OP⊥AC,垂足为P,求OP的长度;3如图2,点M,N同时从点O出发,在△OCB边上运动,M沿O→C→B路径匀速运动,N沿O→B→C路径匀速运动,当两点相遇时运动停止,已知点M的运动速度为
1.5单位/秒,点N的运动速度为1单位/秒,设运动时间为x秒,△OMN的面积为y,求当x为何值时y取得最大值?最大值为多少?类型三点的运动中的计算说理问题xx·山东青岛中考已知如图,四边形ABCD,AB∥DC,CB⊥AB,AB=16cm,BC=6cm,CD=8cm,动点P从点D开始沿DA边匀速运动,动点Q从点A开始沿AB边匀速运动,它们的运动速度均为2cm/s.点P和点Q同时出发,以QA,QP为边作平行四边形AQPE,设运动的时间为ts,0<t<
5.根据题意解答下列问题1用含t的代数式表示AP;2设四边形CPQB的面积为Scm2,求S与t的函数关系式;3当QP⊥BD时,求t的值;4在运动过程中,是否存在某一时刻t,使点E在∠ABD的平分线上?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.【分析】1作DH⊥AB于H,则四边形DHBC是矩形,利用勾股定理求出AD的长即可解决问题;2作PN⊥AB于N.连结PB,根据S=S△PQB+S△BCP,计算即可;3当PQ⊥BD时,∠PQN+∠DBA=90°,∠QPN+∠PQN=90°,推出∠QPN=∠DBA,推出tan∠QPN==,由此构建方程即可解决问题;4存在.连结BE交DH于K,作KM⊥BD于M.当BE平分∠ABD时,△KBH≌△KBM,推出KH=KM,BH=BM=8,设KH=KM=x,在Rt△DKM中,6-x2=22+x2,解得x=,作EF⊥AB于F,则△AEF≌△QPN,推出EF=PN=10-2t,AF=QN=10-2t-2t,推出BF=16-[10-2t-2t],由KH∥EF,可得=,由此构建方程即可解决问题;【自主解答】解决点动产生的计算说理题,关键是抓住点,由点到线段再到图形.此类问题涉及计算与说理,计算时常常用到勾股定理、三角函数、面积计算等相关知识,说理时往往较综合,涉及几何图形的相关性质与判定方法等,有时需要借助函数解决.3.xx·浙江衢州中考如图,Rt△OAB的直角边OA在x轴上,顶点B的坐标为6,8,直线CD交AB于点D6,3,交x轴于点C12,0.1求直线CD的函数表达式;2动点P在x轴上从点-10,0出发,以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动,过点P作直线l垂直于x轴,设运动时间为t.
①点P在运动过程中,是否存在某个位置,使得∠PDA=∠B,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
②请探索当t为何值时,在直线l上存在点M,在直线CD上存在点Q,使得以OB为一边,O,B,M,Q为顶点的四边形为菱形,并求出此时t的值.类型四图形运动变化过程中的分类讨论问题xx·江苏淮安中考如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=-x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A,B两点.动点P从点A出发,在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动,到达点O停止运动,点A关于点P的对称点为点Q,以线段PQ为边向上作正方形PQMN.设运动时间为t秒.1当t=秒时,点Q的坐标是;2在运动过程中,设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S,求S与t的函数表达式;3若正方形PQMN对角线的交点为T,请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值.【分析】1先确定出点A的坐标,进而求出AP,利用对称性即可得出结论;2分三种情况,
①利用正方形的面积减去三角形的面积,
②利用矩形的面积减去三角形的面积,
③利用梯形的面积,即可得出结论;3先确定出点T的运动轨迹,进而找出OT+PT最小时的点T的位置,即可得出结论.【自主解答】图形运动中会产生不同的位置、形成不同的图形形状、对应关系也会随着图形的变化而改变,所以在解决此类问题时,要注意分类讨论,分类讨论可以根据点的位置不同、图形的形状、对应关系等为依据,但分类讨论容易遗漏,解题时要特别关注.4.xx·湖南衡阳中考如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4cm,动点P从点C出发以1cm/s的速度沿CA匀速运动,同时动点Q从点A出发以cm/s的速度沿AB匀速运动,当点P到达点A时,点P,Q同时停止运动,设运动时间为ts.1当t为何值时,点B在线段PQ的垂直平分线上?2是否存在某一时刻t,使△APQ是以PQ为腰的等腰三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;3以PC为边,往CB方向作正方形CPMN,设四边形QNCP的面积为S,求S关于t的函数关系式.参考答案类型一【例1】1由题可知当y=0时,ax-1x-3=0,解得x1=1,x2=3,即A1,0,B3,0,∴OA=1,OB=
3.∵△OCA∽△OBC,∴OC∶OB=OA∶OC,∴OC2=OA·OB=3,则OC=.2∵C是BM的中点,即OC为斜边BM的中线,∴OC=BC,∴点C的横坐标为.又OC=,点C在x轴下方,∴C,-.设直线BM的表达式为y=kx+b,把点B3,0,C,-代入得解得∴y=x-.又∵点C,-在抛物线上,代入抛物线表达式得a-1-3=-,解得a=,∴抛物线表达式为y=x2-x+
2.3存在,设点P坐标为x,x2-x+2,如图,过点P作PQ⊥x轴交直线BM于点Q,则Qx,x-,∴PQ=x--x2-x+2=-x2+3x-
3.当△BCP面积最大时,四边形ABPC的面积最大,S△BCP=PQ3-x+PQx-=PQ=-x2+x-,当x=-=时,S△BCP有最大值,四边形ABPC的面积最大,此时点P的坐标为,-.变式训练1.解1
①如图,∵y=-2x2+2x+4=-2x-2+,∴顶点M的坐标为,.当x=时,y=-2×+4=3,则点N的坐标为,3.
②不存在.理由如下MN=-3=.设P点坐标为m,-2m+4,则Dm,-2m2+2m+4,∴PD=-2m2+2m+4--2m+4=-2m2+4m.∵PD∥MN,当PD=MN时,四边形MNPD为平行四边形,即-2m2+4m=,解得m1=舍去,m2=,此时P点坐标为,1.∵PN==,∴PN≠MN,∴平行四边形MNPD不为菱形,∴不存在点P,使四边形MNPD为菱形.2存在.如图,OB=4,OA=2,则AB==
2.当x=1时,y=-2x+4=2,则P1,2,∴PB==.设抛物线的表达式为y=ax2+bx+4,把A2,0代入得4a+2b+4=0,解得b=-2a-2,∴抛物线的表达式为y=ax2-2a+1x+
4.当x=1时,y=ax2-2a+1x+4=a-2a-2+4=2-a,则D1,2-a,∴PD=2-a-2=-a.∵DC∥OB,∴∠DPB=∠OBA,∴当=时,△PDB∽△BOA,即=,解得a=-2,此时抛物线的表达式为y=-2x2+2x+4;当=时,△PDB∽△BAO,即=,解得a=-,此时抛物线的表达式为y=-x2+3x+
4.综上所述,满足条件的抛物线的表达式为y=-2x2+2x+4或y=-x2+3x+
4.类型二【例2】1如图1中,作CH⊥AB于H.设BH=x.∵CH⊥AB,∴∠CHB=∠CHA=90°,∴AC2-AH2=BC2-BH2,∴42-6-x2=22-x2,解得x=2,∴当点P与H重合时,CP⊥AB,此时t=
2.2如图2中,当点Q与H重合时,BP=2BQ=4,此时t=
4.如图3中,当CP=CB=2时,CQ⊥PB,此时t=6+4-2=6+4-
2.3
①如图4中,当0<t≤6时,S=PQ·CH=×t×4=t.
②如图5中,当6<t<6+4时,作BG⊥AC于G,QM⊥AC于M.易知BG=AG=3,CG=.MQ=BG=,∴S=PC·QM=××6+4-t=+6-t.综上所述,S=变式训练2.解1602如图,∵OB=4,∠ABO=30°,∴OA=OB=2,AB=OA=2,∴S△AOC=OA·AB=×2×2=
2.∵△BOC是等边三角形,∴∠OBC=60°,∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°,∴AC==2,∴OP===.3
①当0<x≤时,M在OC上运动,N在OB上运动,如图,过点N作NE⊥OC且交OC于点E.则NE=ON·sin60°=x,∴S△OMN=OM·NE=×
1.5x×x,∴y=x2,∴x=时,y有最大值,最大值为.
②当<x≤4时,M在BC上运动,N在OB上运动.如图,作MH⊥OB于H,则BM=8-
1.5x,MH=BM·sin60°=8-
1.5x,∴y=ON·MH=-x2+2x.当x=时,y取最大值,y<,
③当4<x≤
4.8时,M,N都在BC上运动,如图,作OG⊥BC于G.MN=12-
2.5x,OG=AB=2,∴y=·MN·OG=12-x,当x=4时,y有最大值,最大值接近于
2.综上所述,y有最大值,最大值为.类型三【例3】1如图,作DH⊥AB于H,则四边形DHBC是矩形,∴CD=BH=8,DH=BC=
6.∵AH=AB-BH=8,∴AD==10,∴AP=AD-DP=10-2t.2如图,作PN⊥AB于N,连结PB.在Rt△APN中,PA=10-2t,∴PN=PA·sin∠DAH=10-2t,AN=PA·cos∠DAH=10-2t,∴BN=16-AN=16-10-2t,S=S△PQB+S△BCP=×16-2t×10-2t+×6×[16-10-2t]=t2-t+
72.3当PQ⊥BD时,∠PQN+∠DBA=90°.∵∠QPN+∠PQN=90°,∴∠QPN=∠DBA,∴tan∠QPN==,∴=,解得t=.经检验,t=是分式方程的解,∴当t=s时,PQ⊥BD.4存在.理由如下连结BE交DH于K,作KM⊥BD于M.当BE平分∠ABD时,△KBH≌△KBM,∴KH=KM,BH=BM=8,设KH=KM=x,在Rt△DKM中,6-x2=22+x2,解得x=.如图,作EF⊥AB于F,则△AEF≌△QPN,∴EF=PN=10-2t,AF=QN=10-2t-2t,∴BF=16-[10-2t-2t].∵KH∥EF,∴=,∴=,解得t=.经检验,t=是分式方程的解,∴当t=s时,点E在∠ABD的平分线.变式训练3.解1设直线CD的表达式为y=kx+b,则有解得∴直线CD的表达式为y=-x+
6.2
①如图1中,作DP∥OB,则∠PDA=∠B.图1∵DP∥OB,∴=,∴=,∴PA=,∴OP=6-=,∴P,0,根据对称性可知,当AP=AP′时,P′,0,∴满足条件的点P坐标为,0或,0.
②如图2中,当OP=OB=10时,作PQ∥OB交CD于Q.图2∵直线OB的表达式为y=x,∴直线PQ的表达式为y=x+,由解得∴Q-4,8,∴PQ==10,∴PQ=OB.∵PQ∥OB,∴四边形OBQP是平行四边形.∵OB=OP,∴四边形OBQP是菱形,此时点M与P重合,满足条件,t=
0.如图3中,当OQ=OB时,设Qm,-m+6,图3则有m2+-m+62=102,解得m=,∴点Q的横坐标为或,设点M的横坐标为a,则有=或=,∴a=或.又∵点P从点-10,0开始运动,∴满足条件的t的值为或.如图4中,当点Q与C重合时,M点的横坐标为6,此时t=16,图4综上所述,满足条件的t的值为0或16或或.类型四【例4】14,02当点Q在原点O时,AQ=6,∴AP=AQ=3,∴t=3÷3=
1.
①当0<t≤1时,如图1,令x=0,图1∴y=4,∴B0,4,∴OB=
4.∵A6,0,∴OA=6,在Rt△AOB中,tan∠OAB===,由运动知AP=3t,∴P6-3t,0,∴Q6-6t,0,∴PQ=AP=3t.∵四边形PQMN是正方形,∴MN∥OA,PN=PQ=3t,在Rt△APD中,tan∠OAB===,∴PD=2t,∴DN=t.∵MN∥OA,∴∠DCN=∠OAB,∴tan∠DCN===,∴CN=t,∴S=S正方形PQMN-S△CDN=3t2-t×t=t
2.
②当1<t≤时,如图2,同
①的方法得DN=t,CN=t,图2∴S=S矩形OENP-S△CDN=3t×6-3t-t×t=-t2+18t.
③当<t≤2时,如图3,S=S梯形OBDP=2t+46-3t=-3t2+
12.图33如图4,由运动知P6-3t,0,Q6-6t,0,图4∴M6-6t,3t.∵T是正方形PQMN的对角线交点,∴T6-t,t,∴点T是直线y=-x+2上的一段线段,-3≤x<6.同理,点N是直线AG y=-x+6上的一段线段,0≤x≤6,∴G0,6,∴OG=
6.∵A6,0,∴AB=
6.∵T是正方形PQMN的对角线的交点,∴TN=TP,∴OT+TP=OT+TN,∴点O,T,N在同一条直线上,且ON⊥AG时,OT+TN最小,即OT+TN最小.∵S△OAG=OA·OG=AG·ON,∴ON==3,即OT+PT的最小值为
3.变式训练4.解1如图,连结BP.在Rt△ACB中,∵AC=BC=4,∠C=90°,∴AB=
4.∵点B在线段PQ的垂直平分线上,∴BP=BQ.∵AQ=t,CP=t,∴BQ=4-t,PB2=42+t2,∴4-t2=16+t2,解得t=8-4或8+4舍去,∴t=8-4s时,点B在线段PQ的垂直平分线上.2
①如图,当PQ=QA时,易知△APQ是等腰直角三角形,∠AQP=90°,则有PA=AQ,∴4-t=·t,解得t=.
②如图,当AP=PQ时,易知△APQ是等腰直角三角形,∠APQ=90°,则有AQ=AP,∴t=4-t,解得t=
2.综上所述,t=s或2s时,△APQ是以PQ为腰的等腰三角形.3如图,连结QC,作QE⊥AC于E,作QF⊥BC于F.则QE=AE,QF=EC,可得QE+QF=AE+EC=AC=4,∴S=S△QNC+S△PCQ=CN·QF+PC·QE=tQE+QF=2t0<t<4.。