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2010年全国各地高考数学真题分章节分类汇编立体几何
一、选择题:1(2010年高考全国卷I理科7)正方体ABCD-HYPERLINKhttp://www.ks5u.com/EMBEDEquation.DSMT4中,BHYPERLINKhttp://www.ks5u.com/EMBEDEquation.DSMT4与平面ACHYPERLINKhttp://www.ks5u.com/EMBEDEquation.DSMT4所成角的余弦值为AHYPERLINKhttp://www.ks5u.com/EMBEDEquation.DSMT4BHYPERLINKhttp://www.ks5u.com/EMBEDEquation.DSMT4CHYPERLINKhttp://www.ks5u.com/EMBEDEquation.DSMT4DHYPERLINKhttp://www.ks5u.com/EMBEDEquation.DSMT4D【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法,利用等体积转化求出D到平面ACHYPERLINKhttp://www.ks5u.com/EMBEDEquation.DSMT4的距离是解决本题的关键所在这也是转化思想的具体体现.【解析】因为BB1//DD1所以BHYPERLINKhttp://www.ks5u.com/EMBEDEquation.DSMT4与平面ACHYPERLINKhttp://www.ks5u.com/EMBEDEquation.DSMT4所成角和DD1与平面ACHYPERLINKhttp://www.ks5u.com/EMBEDEquation.DSMT4所成角相等设DO⊥平面ACHYPERLINKhttp://www.ks5u.com/EMBEDEquation.DSMT4,由等体积法得HYPERLINKhttp://www.ks5u.com/EMBEDEquation.DSMT4即HYPERLINKhttp://www.ks5u.com/EMBEDEquation.DSMT
4.设DD1=a则HYPERLINKhttp://www.ks5u.com/EMBEDEquation.DSMT4HYPERLINKhttp://www.ks5u.com/EMBEDEquation.DSMT
4.所以HYPERLINKhttp://www.ks5u.com/EMBEDEquation.DSMT4记DD1与平面ACHYPERLINKhttp://www.ks5u.com/EMBEDEquation.DSMT4所成角为HYPERLINKhttp://www.ks5u.com/EMBEDEquation.DSMT4则HYPERLINKhttp://www.ks5u.com/EMBEDEquation.DSMT4所以HYPERLINKhttp://www.ks5u.com/EMBEDEquation.DSMT
4.2(2010年高考全国卷I理科12)已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点,若AB=CD=2则四面体ABCD的体积的最大值为AHYPERLINKhttp://www.ks5u.com/EMBEDEquation.DSMT4BHYPERLINKhttp://www.ks5u.com/EMBEDEquation.DSMT4CHYPERLINKhttp://www.ks5u.com/EMBEDEquation.DSMT4DHYPERLINKhttp://www.ks5u.com/EMBEDEquation.DSMT4B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过CD作平面PCD,使AB⊥平面PCD交AB与P设点P到CD的距离为HYPERLINKhttp://www.ks5u.com/EMBEDEquation.DSMT4则有HYPERLINKhttp://www.ks5u.com/EMBEDEquation.DSMT4当直径通过AB与CD的中点时HYPERLINKhttp://www.ks5u.com/EMBEDEquation.DSMT4故HYPERLINKhttp://www.ks5u.com/EMBEDEquation.DSMT
4.3(2010年高考安徽卷理科8)一个几何体的三视图如图,该几何体的表__为A、280B、292C、360D、372C【解析】该几何体由两个长方体组合而成,其表__等于下面长方体的全__加上面长方体的4个侧__之和.【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知道是两个长方体的组合体,画出直观图,得出各个棱的长度.把几何体的表__转化为下面长方体的全__加上面长方体的4个侧__之和4(2010年高考四川卷理科11)半径为的球的直径垂直于平面,垂足为,是平面内边长为的正三角形,线段、分别与球面交于点M,N,那么M、N两点间的球面距离是(A)(B)w_w_w.k*s5*u.co*m(C)(D)解析由已知,AB=2RBC=R故tan∠BAC=w_w_w.k*s5*u.co*mcos∠BAC=连结OM,则△OAM为等腰三角形AM=2AOcos∠BAC=,同理AN=,且MN∥CDw_w_w.k*s5*u.co*m而AC=RCD=R故MN CD=AN:ACw_w_w.k*s5*u.co*mMN=,连结OM、ON,有OM=ON=R于是cos∠MON=所以M、N两点间的球面距离是w_w_w.k*s5*u.co*m答案A52010年全国高考宁夏卷10)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为,顶点都在一个球面上,则该球的表__为ABCD【答案】B解析如图,P为三棱柱底面中心,O为球心,易知,所以球的半径满足,故.6(2010年高考北京卷理科8)如图,正方体ABCD-的棱长为2,动点E、F在棱http://www.ks5u.com/上,动点P,Q分别在棱AD,CD上,若EF=1,E=x,DQ=y,DP=z(x,y,z大于零),则四面体PEFQ的体积 (A)与x,y,z都有关 (B)与x有关,与y,z无关 (C)与y有关,与x,z无关 (D)与z有关,与x,y无关【答案】D解析这道题目延续了北京高考近年8,14,20的风格,即在变化中寻找不变,从图中可以分析出,的__永远不变,为面__的,而当点变化时,它到面的距离是变化的,因此会导致四面体体积的变化
7、2010年高考全国2卷理数11)与正方体的三条棱、、所在直线的距离相等的点(A)有且只有1个(B)有且只有2个(C)有且只有3个(D)有无数个
8、2010年高考重庆市理科10到两互相垂直的异面的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是(A)直线(B)椭圆(C)抛物线(D)双曲线【答案】D解析排除法轨迹是轴对称图形,排除A、C,轨迹与已知直线不能有交点,排除B9(2010年高考辽宁卷理科12)有四根长都为2的直铁条,若再选两根长都为a的直铁条,使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架,则a的取值范围是A
(0)B
(1)C)D
(0)【答案】A
二、填空题
10、2010年高考数学湖北卷理科13)圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示,则球的半径是cm.【答案】4【解析】设球半径为r,则由可得解得r=
4.
11、2010年全国高考宁夏卷14)正视图为一个三角形的几何体可以是______(写出三种)【解析】三棱锥、三棱柱、圆锥等.
12、(2010年高考江西卷理科16)如图,在三棱锥中,三条棱,,两两垂直,且,分别经过三条棱,,作一个截面平分三棱锥的体积,截面__依次为,,,则,,的大小关系为.【答案】
15、(2010年高考__市理科12)如图所示,在边长为4的正方形纸片ABCD中,AC与BD相交于O剪去将剩余部分沿OC、OD折叠,使OA、OB重合,则以A、(B)、C、D、O为顶点的四面体的体积为【答案】
三、解答题16(2010年高考山东卷理科19)如图,在五棱锥P—ABCDE中,PA⊥平面ABCDE,AB∥CD,AC∥ED,AE∥BC,ABC=45°,AB=2,BC=2AE=4,三角形PAB是等腰三角形.(Ⅰ)求证平面PCD⊥平面PAC;(Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的大小;(Ⅲ)求四棱锥P—ACDE的体积.【解析】(Ⅰ)证明因为ABC=45°,AB=2,BC=4,所以在中,由余弦定理得,解得,所以,即,又PA⊥平面ABCDE,所以PA⊥,又PA,所以,又AB∥CD,所以,又因为,所以平面PCD⊥平面PAC;(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面PCD⊥平面PAC,所以在平面PAC内,过点A作于H,则,又AB∥CD,AB平面内,所以AB平行于平面,所以点A到平面的距离等于点B到平面的距离,过点B作BO⊥平面于点O,则为所求角,且,又容易求得,所以,即=,所以直线PB与平面PCD所成角的大小为;(Ⅲ)由(Ⅰ)知,所以,又AC∥ED,所以四边形ACDE是直角梯形,又容易求得,AC=,所以四边形ACDE的__为,所以四棱锥P—ACDE的体积为=【命题意图】本题考查了空间几何体的的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的体积计算问题,考查了同学们的空间想象能力以及空间思维能力
17、(2010年高考福建卷理科18)如图,圆柱内有一个三棱柱,三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形,且AB是圆O直径(Ⅰ)证明平面平面;(Ⅱ)设AB=,在圆柱内随机选取一点,记该点取自于三棱柱内的概率为(i)当点C在圆周上运动时,求的最大值;(ii)记平面与平面所成的角为,当取最大值时,求的值【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,以及几何体的体积、几何概型等基础知识,考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想【解析】(Ⅰ)因为平面ABC,平面ABC,所以,因为AB是圆O直径,所以,又,所以平面,而平面,所以平面平面(Ⅱ)(i)设圆柱的底面半径为,则AB=,故三棱柱的体积为=,又因为,所以=,当且仅当时等号成立,从而,而圆柱的体积,故=当且仅当,即时等号成立,所以的最大值是(ii)由(i)可知,取最大值时,,于是以O为坐标原点,建立空间直角坐标系(如图),则C(r,0,0),B(0,r,0),(0,r,2r),因为平面,所以是平面的一个法向量,设平面的法向量,由,故,取得平面的一个法向量为,因为,所以
18、2010年高考数学湖北卷理科18)如图在四面体ABOC中,OC⊥OAOC⊥OB∠AOB=120°,且OA=OB=OC=
1.Ⅰ设P为AC的中点.证明在AB上存在一点Q使PQ⊥OA并计算=的值;Ⅱ求二面角O-AC-B的平面角的余弦值.[来源:学科网ZXXK]..故平面与平面所成二面角的正弦值是.20(2010年高考全国卷I理科19)如图,四棱锥S-ABCD中,SDHYPERLINKhttp://www.ks5u.com/EMBEDEquation.DSMT4底面ABCD,AB//DC,ADHYPERLINKhttp://www.ks5u.com/EMBEDEquation.DSMT4DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱__上的一点,平面EDCHYPERLINKhttp://www.ks5u.com/EMBEDEquation.DSMT4平面__C.(Ⅰ)证明SE=2EB;(Ⅱ)求二面角A-DE-C的大小.【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,二面角等基础知识考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.【解析】解法一Ⅰ连接BD取DC的中点G,连接BG由此知即为直角三角形,故.又所以,.作,Ⅱ由知.故为等腰三角形.取中点F连接则.连接,则.所以,是二面角的平面角.连接AGAG=所以,二面角的大小为120°.解法二以D为坐标原点,射线为轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系,由得,故.令,则.22(2010年高考江苏卷试题16)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=9001求证PC⊥BC;2求点A到平面PBC的距离[解析]本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查几何体的体积,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力满分14分
(1)证明因为PD⊥平面ABCD,BC平面ABCD,所以PD⊥BC由∠BCD=900,得CD⊥BC,又PDDC=D,PD、DC平面PCD,所以BC⊥平面PCD因为PC平面PCD,故PC⊥BC
(2)(方法一)分别取AB、PC的中点E、F,连DE、DF,则易证DE∥CB,DE∥平面PBC,点D、E到平面PBC的距离相等又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍由
(1)知BC⊥平面PCD,所以平面PBC⊥平面PCD于PC,因为PD=DC,PF=FC,所以DF⊥PC,所以DF⊥平面PBC于F易知DF=,故点A到平面PBC的距离等于(方法二)体积法连结AC设点A到平面PBC的距离为h因为AB∥DC,∠BCD=900,所以∠ABC=900从而AB=2,BC=1,得的__由PD⊥平面ABCD及PD=1,得三棱锥P-ABC的体积因为PD⊥平面ABCD,DC平面ABCD,所以PD⊥DC又PD=DC=1,所以由PC⊥BC,BC=1,得的__由,,得,故点A到平面PBC的距离等于
23、2010年高考北京市理科16如图,正方形ABCD和四边形A__F所在的平面互相垂直,__⊥ACEF∥ACAB=,__=EF=
1.(Ⅰ)求证AF∥平面BDE;(Ⅱ)求证CF⊥平面BDE;(Ⅲ)求二面角A-BE-D的大小证明(I)设AC与BD交与点G因为EF//AG,且EF=1,AG=AC=
1.所以四边形AGEF为平行四边形.所以AF//平面EG,因为平面BDE,AF平面BDE,所以AF//平面BDE.(II)因为正方形ABCD和四边形A__F所在的平面相互垂直,且__AC,所以__平面ABCD.如图,以C为原点,建立空间直角坐标系C-.则C(0,0,0),A(,,0),B(0,,0).所以,,.所以所以.所以BDE.III由(II)知,是平面BDE的一个法向量.设平面ABE的法向量则,.即所以且令则.所以.从而因为二面角为锐角,所以二面角的大小为.ABCDA1B1C1D1O。