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文本内容:
立体几何中的数量问题二.重点、难点
1.角度
(1)两条异面直线所成角
(2)直线与平面所成角
(3)二面角
2.距离
(1)作垂线
(2)体积转化【典型例题】[例1]PA、PB、PC两两垂直,与PA、PB所成角为45°,60°,求与PC所成角解构造长方体[例2]正四棱锥S—ABCD中,AB=,SA=,M为SA中点,N为SC中点
(1)求BN,DM所成角的余弦值;
(2)P、Q在__、CA上,,求PQ与底面ABCD所成角的正切值解
(1)MEFDH为SN中点∴异面直线MD、BN所成角的余弦值为
(2)过P作PH//SO交BD于H∴PH⊥面ABCD∴∠PQH为PQ与底面所成角∴[例3]SA⊥面ABC,AB⊥BC,DE在面SAC内,垂直平分SC,交SC、AC于E、D,若SA=AB=1,BC=,求二面角
(1)B—SC—A的余弦值;
(2)E—BD—C解
(1)面DEB∴∠DEB为二面角A—SC—B的平面角面SAC∴∠EDC为二面角C—BD—E的平面角∴∵AB=SA=1AC=SC=2∴BE=1DE=CD=∴∵∴[例4]正方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=1,求
(1)D到面D1AC的距离;
(2)C到面AB1D1的距离;
(3)M为BB1中点,M到面D1AC的距离;
(4)AC1与BB1的距离解
(1)连BD∩AC=E过D作DF⊥D1E于F,∴DF为距离
(2)设C到面AB1D1的距离为h∴
(3)连DM交D1E于H,设M到面D1AC距离为∴
(4)[例5]四棱锥P—ABCD,底面ABCD为菱形,AB=2,∠BAD=60°,PB=PD,PA=PC=,求
(1)B到面PAD的距离;
(2)BC与PA的距离;
(3)AC与PD的距离解
(1)AC∩BD=H,连PHBF为所求PA=,AH,PH,PB=2∴BE=DE=,BD=2∴BF=另
(2)(BC,面PAD)=(B,面PAD)=
(3)过H作HM⊥PD于M为公垂线[例6]直二面角,AB∩,,AB与所成角为,AB与所成角为,求证证明过A作AC⊥于C,过B作BD⊥于D∴AC⊥BD⊥∠BAD=∠ABC=∴∴∴当且仅当C、D重合时,[例7]如图所示,已知直线AB⊥平面,线段BC,CD⊥BC且CD与平面成30°的角,设AB=BC=CD=2,__是CD在平面内的射影
(1)求证AD与BC是异面直线;
(2)求AC与DE之间距离;
(3)求AD与BC所成角的度数解析
(1)证明假设AD与BC在同一个平面内,∵AB⊥,BC∴AB⊥BC,又CD⊥BC,∴AB//CD,∴CD⊥,这与CD与成30°角矛盾∴AD与BC是异面直线
(2)∵__是CD在平面内的射影∴DE⊥,从而DE⊥__由BC⊥CD得BC⊥__,由AB⊥,__得__⊥AB∴__⊥平面ABC,AC平面ABC∴__⊥AC∴__是AC与DE的公垂线,CD=2,∠D__=30°∴__=
(3)延长DE到F,使EF=DE,则DFAB连接BF,则BFAD∴∠FBC是AD与BC所成的角∴∠FBC=45°[例8]如图所示,四面体ABCS中,SA、__、SC两两垂直,∠__A=45°,∠__C=60°,M为AB的中点,求
(1)BC与平面SAB所成的角;
(2)SC与平面ABC所成角的正切值解析
(1)∵CS⊥__,CS⊥SA∴SC⊥平面SAB∴BC在平面SAB上的射影为__∴∠__C为__与平面SAB所成的角,又∠__C=60°故BC与平面SAB所成的角为60°
(2)连结MC,在中,∠__A=45°∴__⊥AB又AB⊥SC∴AB⊥面__C∴面__C⊥面ABC过点S作SO⊥MC于点O∴SO⊥面ABC∴∠SCM为SC与平面ABC所成的角设__=,则__=,在△__C中,SC=__tan60°=∴[例9]如图,已知四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形,AB//DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=AB=1,M是PB的中点
(1)证明面PAD⊥面PCD;
(2)求AC与PB所成的角余弦值;
(3)求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值解析
(1)证明∵PA⊥面ABCD,CD⊥AD∴由三垂线定理得CD⊥PA因而,CD与面PAD内两条相交直线AD,PD都垂直∴CD⊥面PAD又CD面PCD∴面PAD⊥面PCD
(2)过点B作BE//CA,且BE=CA,则∠PBE是AC与PB所成的角(或为其补角)连结AE,可知AC=CB=BE=AE=,又AB=2所以四边形ACBE为正方形,由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°在中,BE=,PB=∴∴AC与PB所成角的余弦值为
(3)作AN⊥CM,垂足为N,连结BN在中,AM=MB,又AC=CB∴△AMC≌△BMC∴BN⊥CM,且BN=AN,故∠ANB为所求二面角的平面角∵CB⊥AC,由三垂线定理,得CB⊥PC在中,CM=MB,所以CM=AM在等腰三角形AMC中,∴∵AB=2∴故所求二面角余弦值为[例10]如图,在三棱锥S—ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=,M,N分别为AB,__的中点
(1)证明AC⊥__;
(2)求二面角N—CM—B的正切值;
(3)求点B到平面CMN的距离解析
(1)取AC中点D,连结SD,DB,∵SA=SC,AB=BC∴AC⊥SD且AC⊥BD∴AC⊥平面SDB,又__平面SDB∴AC⊥__
(2)∵AC⊥平面SDB,AC平面ABC∴平面__⊥平面ABC,过N作NE⊥DB于E,则NE⊥平面ABC;过E作EF⊥CM于F,连结NF,则NF⊥CM∴∠NFE为二面角N—CM—B的平面角∵平面SAC⊥平面ABC,SD⊥AC∴SD⊥平面ABC又∵NE⊥平面ABC∴NE//SD∵SN=NB∴,且ED=EB在正△ABC中,由平面几何知识可求得EF=MB=在中,
(3)在中,∴,设点B到平面CMN的距离为∵,NE⊥平面CMB∴∴即点B到平面CMN的距离为[例11]如图所示,正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为,E,F分别是BB1、CD的中点
(1)求证AD⊥D1F;
(2)求AE与D1F所成角的大小;
(3)求点F到平面A1D1E的距离解析
(1)证明∵ABCD—A1B1C1D1为正方体∴AD⊥平面D1DCC1∵D1F平面D1DCC1∴AD⊥D1F
(2)取AB的中点G,连结FG,AG,A1G与AE交于点M∵F为DC的中点∴FG//AD,且FG=AD∴FG//A1D1,且FG=A1D1∴四边形A1GFD1为平行四边形,GA1//D1F,A1G=D1F∴A1G与AE所成的角就是AE与D1F所成的角在正方形A1ABB1中,G、E分别为AB,BB1的中点∴△A1AG≌△ABE,∠AA1G=∠BAE∴∠A__1=90°∴AE与D1F所成的角为90°
(3)在
(2)中已证FG//A1D1∴FG//平面A1D1E∴__到平面A1D1E的距离就是F点到平面A1D1E的距离过点G作GH⊥A1E于点H,连结EG∵A1D1⊥平面A1ABB1∴A1D1⊥GH∴GH⊥平面A1D1E∴GH为所求距离∵∴,即F点到平面A1D1E的距离为[例12]如图,为60°的二面角,等腰直角三角形MPN的直角顶点P在上,,,且MP与所成的角等于NP与所成的角
(1)求证MN分别与、所成角相等;
(2)求MN与所成角
(1)证明作NA⊥于A,MB⊥于B,连接AP、PB、BN、AM,再作AC⊥于C,BD⊥于D,连接NC、MD∵NA⊥,MB⊥∴∠MPB、∠NPA分别是MP与所成角及NP与所成角∴∠MNB,∠N__分别是MN与,所成角∴∠MPB=∠NPA在Rt△MPB与Rt△NPA中,PM=PN,∠MPB=∠NPA∴△MPB≌△NPA∴MB=NA在Rt△MNB与Rt△N__中,MB=NA,MN是公共边∴△MNB≌△N__∴∠MNB=∠N__即
(1)结论成立
(2)解设∠MNB=,MN=,则PB=PN=,MB=NA=,NB=∵MB⊥,BD⊥,∴∴∠MDB是二面角的平面角∴∠MDB=60°,同理∠NCA=60°∴BD=AC=∵MB⊥,MP⊥PN∴BP⊥PN∵∠BPN=90°,∠DPB=∠CNP∴△BPD∽△PNC∴即∴整理得,解得或,或当时,不合理,舍去∴∴MN与所成角为30°【模拟试题】(答题时间60分钟)
1.二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,那么这两个半平面的二面角必定()A.相等B.互补C.相等或互补D.不能确定
2.已知边长为的菱形ABCD,∠A=60°,将菱形沿对角线BD折成120°的二面角,则AC的长为()A.B.C.D.
3.已知二面角为直二面角,A是内一定点,过A作直线AB交于B,若直线AB与二面角的两个半平面所成的两个角分别为40°,50°,则这样的直线最多有()A.1条B.2条C.3条D.4条
4.三棱锥A—BCD中,AB=AC=BC=CD=AD=,要使三棱锥A—BCD的体积最大,则二面角B—AC—D的大小为()A.B.C.D.
5.如图,AC1是正方体,M,N分别是棱A1D1和D1D的中点,过平行线MN与B1C作平面,得到截面MB1CN,设该截面与右侧面CB1C1所成的二面角为,则为()A.不存在B.C.D.
6.已知平面与所成的二面角为80°,P为,外一定点,过点P的一条直线与,所成的角都是30°,则这样的直线有且仅有()A.1条B.2条C.3条D.4条
7.已知二面角的大小为60°,为异面直线,且,则所成的角为()A.30°B.60°C.90°D.120°
8.如图,∠ACB=90°,平面ABC外有一点P,PC=4cm,点P到角的两边AC,BC的距离都等于,那么PC与平面ABC所成角的大小为()A.30°B.45°C.60°D.75°
9.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,O为AC,BD的交点,则C1O与A1D所成角为()A.60°B.90°C.D.
10.PA,PB,PC是从点P引出的三条射线,每两条射线的夹角均为60°,则直线PC与平面APB所成角的余弦值是()A.B.C.D.
11.把正方形ABCD沿对角线AC折起,当A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD与平面ABC所成的角的大小为()A.90°B.60°C.45°D.30°
12.如下图,△ABC是直角三角形,AB是斜边,三个顶点A,B,C在平面内的射影分别是A1,B1,C1如果△A1B1C1是等边三角形,且AA1=,BB1=,CC1=,并设平面ABC与平面所成的二面角为,则的值为()A.B.C.D.
13.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为,E是CC1的中点,则E到A1B的距离是()A.B.C.D.
14.△ABC中,AB=9,AC=15,∠BAC=120°,△ABC所在平面外一点P到三个顶点A,B,C的距离都是14,那么点P到平面的距离为()A.7B.9C.11D.
1315.在四面体P—ABC中,PA,PB,PC两两垂直,M是面ABC内一点,且点M到三个面PAB,PBC,PCA的距离分别为2,3,6,则点M到顶点P的距离是()A.7B.8C.9D.
1016.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为,则平面AB1D1与平面BC1D的距离为()A.B.C.D.
17.在正三棱柱ABC—A1B1C1中,若AB=2,AA1=1,则点A到平面A1BC的距离为()A.B.C.D.
18.如图,正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离为()A.B.C.D.
19.长方体ABCD—A1B1C1D1中,∠B1A1C1=∠BAB1=30°,AA1=1,则A1A与B1C间的距离为()A.1B.C.D.
220.已知长方体ABCD—A1B1C1D1中,棱A1A=5,AB=12,那么直线B1C1和平面A1BCD1的距离是()A.5B.C.D.
821.两个完全相同的长方体的长、宽、高分别是5cm,4cm,3cm,把它们重叠在一起组成一个新长方体,在这个新长方体中,最长的对角线的长度是()A.B.C.D.
22.如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,P是侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC与直线C1D1的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是()A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线
23.ABCD为正方形,P为平面ABCD外一点,PD⊥AD,PD=AD=2,二面角P—AD—C为60°,则P到AB的距离是()A.B.C.2D.
24.菱形ABCD的边长为,∠A=60°,E,F,G,H分别在AB,BC,CD,DA上,且BE=BF=DG=DH=沿EH和FG把菱形的两个锐角对折起来,使A,C两点重合,这时点A到平面EFGH的距离为()A.B.C.D.【____】
1.D
2.C
3.B
4.A
5.D
6.D
7.B
8.B
9.D
10.C
11.C
12.A
13.D
14.A
15.A
16.A
17.B
18.B
19.B
20.C
21.C
22.D
23.D
24.D。