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2010年高考数学试题分类汇编——不等式
一、选择题部分(2010__文数)
15.满足线性约束条件的目标函数的最大值是[答]()(A)
1.(B).(C)
2.(D)
3.解析当直线过点B11时,z最大值为2(2010浙江理数)
(7)若实数,满足不等式组且的最大值为9,则实数(A)(B)(C)1(D)2解析将最大值转化为y轴上的截距,将m等价为斜率的倒数,数形结合可知答案选C,本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题(2010全国卷2理数)
(5)不等式的解集为(A)(B)(C)(D)【答案】C【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.【解析】利用数轴穿根法解得-2<x<1或x>3,故选C(2010全国卷2文数)5若变量xy满足约束条件则z=2x+y的最大值为(A)1B2C3D4【解析】C本题考查了线性规划的知识∵作出可行域,作出目标函数线,可得直线与与的交点为最优解点,∴即为(1,1),当时(2010全国卷2文数)
(2)不等式<0的解集为(A)(B)(C)(D)【解析】A本题考查了不等式的解法∵,∴,故选A(2010江西理数)
3.不等式高☆考♂资♀源*的解集是()A.B.C.D.【答案】A【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身,值为负数.,解得A或者选择x=1和x=-1两个检验进行排除(2010安徽文数)
(8)设xy满足约束条件则目标函数z=x+y的最大值是(A)3(B)4(C)6(D)
88.C【解析】不等式表示的区域是一个三角形,3个顶点是,目标函数在取最大值6【规律总结】线性规划问题首先作出可行域,若为封闭区域(即几条直线围成的区域)则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值,求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最大值.(2010重庆文数)
(7)设变量满足约束条件则的最大值为(A)0(B)2(C)4(D)6解析不等式组表示的平面区域如图所示,当直线过点B时,在y轴上截距最小,z最大由B
(22)知4解析将最大值转化为y轴上的截距,可知答案选A,本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题(2010重庆理数)
(7)已知x0,y0x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是A.3B.4C.D.解析考察均值不等式,整理得即,又,(2010重庆理数)
(4)设变量x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为A.—2B.4C.6D.8解析不等式组表示的平面区域如图所示当直线过点B
(30)的时候,z取得最大值6(2010北京理数)
(7)设不等式组表示的平面区域为D,若指数函数y=的图像上存在区域D上的点,则a的取值范围是(A)13]B
[23]C12]D
[3]答案A(2010四川理数)
(12)设,则的最小值是(A)2(B)4(C)(D)5解析==≥0+2+2=4当且仅当a-5c=0ab=1aa-b=1时等号成立如取a=b=c=满足条件.答案B(2010四川理数)
(7)某__厂用某原料由甲车间__出A产品,由乙车间__出B产品.甲车间__一箱原料需耗费工时10小时可__出7千克A产品,每千克A产品获利40元,乙车间__一箱原料需耗费工时6小时可__出4千克B产品,每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的__,每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时,甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为(A)甲车间__原料10箱,乙车间__原料60箱(B)甲车间__原料15箱,乙车间__原料55箱(C)甲车间__原料18箱,乙车间__原料50箱(D)甲车间__原料40箱,乙车间__原料30箱解析设甲车间__原料x箱,乙车间__原料y箱则目标函数z=280x+300y结合图象可得当x=15y=55时z最大本题也可以将答案逐项代入检验.答案B(2010天津文数)2设变量x,y满足约束条件则目标函数z=4x+2y的最大值为(A)12(B)10(C)8(D)2【答案】B【解析】本题主要考查目标函数最值的求法,属于容易题,做出可行域,如图由图可知,当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点(2,1)时z取得最大值
10.(2010福建文数)(2010全国卷1文数)
(10)设则(A)(B)CD
10.C【命题意图】本小题以指数、对数为载体,主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用.【解析1】a=2=b=In2=而所以abc==而所以ca综上cab.【解析2】a=2=b=ln2=,;c=,∴cab(2010全国卷1文数)3若变量满足约束条件则的最大值为A4B3C2D
13.B【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.【解析】画出可行域(如右图),,由图可知当直线经过点A1-1时,z最大,且最大值为.(2010全国卷1理数)
(8)设a=2b=ln2c=则(A)abc(B)bca(C)cab(D)cba(2010全国卷1理数)(2010四川文数)
(11)设,则的最小值是(A)1(B)2(C)3(D)4解析==≥2+2=4当且仅当ab=1aa-b=1时等号成立如取a=b=满足条件.答案D(2010四川文数)
(8)某__厂用某原料由车间__出产品,由乙车间__出产品.甲车间__一箱原料需耗费工时10小时可__出7千克产品,每千克产品获利40元.乙车间__一箱原料需耗费工时6小时可__出4千克产品,每千克产品获利50元.甲、乙两车间每天功能完成至多70多箱原料的__,每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时,甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为(A)甲车间__原料10箱,乙车间__原料60箱(B)甲车间__原料15箱,乙车间__原料55箱(C)甲车间__原料18箱,乙车间__原料50箱(D)甲车间__原料40箱,乙车间__原料30箱解析解析设甲车间__原料x箱,乙车间__原料y箱则目标函数z=280x+300y结合图象可得当x=15y=55时z最大本题也可以将答案逐项代入检验.答案B(2010山东理数)(2010福建理数)8.设不等式组所表示的平面区域是平面区域是与关于直线对称对于中的任意一点A与中的任意一点B的最小值等于A.B.4C.D.2【答案】B【解析】由题意知,所求的的最小值,即为区域中的点到直线的距离的最小值的两倍,画出已知不等式表示的平面区域,如图所示,可看出点(1,1)到直线的距离最小,故的最小值为,所以选B
二、填空题部分(2010__文数)
2.不等式的解集是解析考查分式不等式的解法等价于(x-2)x+40所以-4x2(2010陕西文数)
14.设x,y满足约束条件,则目标函数z=3x-y的最大值为
5.解析不等式组表示的平面区域如图所示,当直线z=3x-y过点C
(21)时,在y轴上截距最小此时z取得最大值5(2010辽宁文数)
(15)已知且,则的取值范围是.(答案用区间表示)解析填.利用线性规划,画出不等式组表示的平面区域,即可求解.(2010辽宁理数)
(14)已知且,则的取值范围是_______(答案用区间表示)【答案】(3,8)【命题立意】本题考查了线性规划的最值问题,考查了同学们数形结合解决问题的能力【解析】画出不等式组表示的可行域,在可行域内平移直线z=2x-3y,当直线经过x-y=2与x+y=4的交点A(3,1)时,目标函数有最小值z=2×3-3×1=3;当直线经过x+y=-1与x-y=3的焦点A(1,-2)时,目标函数有最大值z=2×1+3×2=
8.(2010安徽文数)15若,则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是写出所有正确命题的编号.
①;
②;
③;
④;
⑤
15.
①,
③,
⑤【解析】令,排除
②②;由,命题
①正确;,命题
③正确;,命题
⑤正确(2010浙江文数)
(15)若正实数X,Y满足2X+Y+6=XY,则XY的最小值是答案18(2010山东文数)
(14)已知,且满足,则xy的最大值为.答案3(2010北京文数)
(11)若点p(m,3)到直线的距离为4,且点p在不等式<3表示的平面区域内,则m=答案-3(2010全国卷1文数)13不等式的解集是.
13.【命题意图】本小题主要考查不等式及其解法【解析】:,数轴标根得(2010全国卷1理数)13不等式的解集是.(2010湖北文数)
12.已知式中变量满足的束条件则z的最大值为______【答案】5【解析】同理科(2010山东理数)
1.(2010安徽理数)
2.(2010安徽理数)
13、设满足约束条件,若目标函数的最大值为8,则的最小值为________
13.4【解析】不等式表示的区域是一个四边形,4个顶点是,易见目标函数在取最大值8,所以,所以,在时是等号成立所以的最小值为
4.【规律总结】线性规划问题首先作出可行域,若为封闭区域(即几条直线围成的区域)则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值,求出直线交点坐标代入得,要想求的最小值,显然要利用基本不等式.
3.(2010湖北理数)
12.已知,式中变量,满足约束条件,则的最大值为___________.
12.【答案】5【解析】依题意,画出可行域(如图示),则对于目标函数y=2x-z,当直线经过A(2,-1)时,z取到最大值,.(2010湖北理数)
15.设a0b0称为a,b的调和平均数如图,C为线段AB上的点,且AC=a,CB=b,O为AB中点,以AB为直径做半圆过点C作AB的垂线交半圆于D连结OD,AD,BD过点C作OD的垂线,垂足为E则图中线段OD的长度是a,b的算术平均数,线段的长度是ab的几__均数,线段的长度是ab的调和平均数
15.【答案】CDDE【解析】在Rt△ADB中DC为高,则由射影定理可得,故,即CD长度为ab的几__均数,将OC=代入可得故,所以ED=OD-OE=,故DE的长度为ab的调和平均数.(2010江苏卷)
12、设实数xy满足3≤≤8,4≤≤9,则的最大值是▲[解析]考查不等式的基本性质,等价转化思想,,,的最大值是27
三、解答题部分(2010广东理数)
19.(本小题满分12分)某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是
2.5元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐?解设该儿童分别预订个单位的午餐和晚餐,共花费元,则可行域为12x+8y≥646x+6y≥426x+10y≥54x≥0,x∈Ny≥0,y∈N即3x+2y≥16x+y≥73x+5y≥27x≥0,x∈Ny≥0,y∈N作出可行域如图所示经试验发现,当x=4y=3时,花费最少,为=
2.5×4+4×3=22元.[来源:21世纪教育网KS(2010广东文数)
19.(本题满分12分)某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是
2.5元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?解设为该儿童分别预订个单位的午餐和个单位的晚餐,设费用为F,则F,由题意知画出可行域变换目标函数(2010湖北理数)
15.设a0b0称为a,b的调和平均数如图,C为线段AB上的点,且AC=a,CB=b,O为AB中点,以AB为直径做半圆过点C作AB的垂线交半圆于D连结OD,AD,BD过点C作OD的垂线,垂足为E则图中线段OD的长度是a,b的算术平均数,线段的长度是ab的几__均数,线段的长度是ab的调和平均数
15.【答案】CDDE【解析】在Rt△ADB中DC为高,则由射影定理可得,故,即CD长度为ab的几__均数,将OC=代入可得故,所以ED=OD-OE=,故DE的长度为ab的调和平均数.y0x704880701555xAL0Ay0x704880701555。