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文本内容:
第二章平面向量
2.1向量的概念及表示备课时间
13、
5、7主备人肖崇祎审核高一数学组上课时间
13、
5、班级姓名【学习目标】
1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示;掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量;
2.通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别;
3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力【学习重难点】重点平行向量的概念和向量的几何表示;难点区分平行向量、相等向量和共线向量;【自主学习】
1.向量的定义__________________________________________________________;
2.向量的表示
(1)图形表示
(2)字母表示
3.向量的相关概念
(1)向量的长度(向量的模)_______________________记作______________
(2)零向量___________________,记作_____________________
(3)单位向量________________________________
(4)平行向量________________________________
(5)共线向量________________________________
(6)相等向量与相反向量_________________________思考
(1)平面直角坐标系中,起点是原点的单位向量,它们的终点的轨迹是什么图形?____
(2)平行向量与共线向量的关系____________________________________________
(3)向量“共线”与几何中“共线”有何区别__________________________________【合作探究】例
1.判断下例说法是否正确,若不正确请改正
(1)零向量是唯一没有方向的向量;
(2)平面内的向量单位只有一个;
(3)方向相反的向量是共线向量,共线向量不一定是相反向量;
(4)向量和是共线向量,,则和是方向相同的向量;
(5)相等向量一定是共线向量;例
2.已知是正六边形的中心,在图中标出的向量中
(1)试找出与共线的向量;
(2)确定与相等的向量;
(3)与相等吗?例
3.如图所示的为的方格纸(每个小方格都是边长为1的正方形),试问起点和终点都在小方格的顶点处且与向量相等的向量共有几个?与向量平行且模为的向量共有几个?与向量的方向相同且模为的向量共有多少个?【达标训练】
1.判断下列说法是否正确,若不正确请改正
(1)向量和是共线向量,则四点必在一直线上;
(2)单位向量都相等;
(3)任意一向量与它的相反向量都不想等;
(4)四边形是平行四边形当且仅当;
(5)共线向量,若起点不同,则终点一定不同;
2.平面直角坐标系中,已知,则点构成的图形是__________
3.四边形中,,则四边形的形状是_________
4.设,则与方向相同的单位向量是______________
5.若分别是四边形的边的中点求证【课堂小结】本节主要学习了什么知识点?还有什么疑惑?遵守交通,文明出行!
2.
2.1向量的加法备课时间
13、
5、7主备人肖崇祎审核高一数学组上课时间
13、、班级姓名【学习目标】
1.掌握向量加法的定义;
2.会用向量加法的三角法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量;
3.掌握向量加法的交换律和结合律,并会用它们进行向量计算【学习重难点】重点向量加法的三角法则、平行四边形则和加法运算律;难点向量加法的三角法则、平行四边形则和加法运算律;【自主学习】
1.向量的和、向量的加法已知向量和,______________________________________________________则向量叫做与的和,记作_____________________________________________________________________叫做向量的加法注意两个向量的和向量还是一个向量;
2.向量加法的几何作法
(1)三角形法则的步骤
①②③就是所做的
(2)平行四边形法则的步骤
①②③就是所做的注意向量加法的平行四边形法则,只适用于对两个不共线的向量相加,而向量加法的三角形法则对于任何两个向量都适用
3.向量加法的运算律
(1)向量加法的交换律_________________________________________
(2)向量加法的结合律_________________________________________思考如果平面内有个向量依次首尾相接组成一条封闭折线,那么这条向量的和是什么?________________【合作探究】例
1.如图,已知为正六边形的中心,作出下列向量
(1)
(2)
(3)例
2.化简下列各式
(1)
(2)
(3)
(4)例
3.在长江南岸某处,江水以的速度向东流,渡船的速度为,渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定?【达标训练】
1.已知,求作
(1)
(2)
2.已知是平行四边形的交点,下列结论正确的有_________
(1)
(2)
(3)
(4)
3.设点是内一点,若,则点为的______心;
4.对于任意的,不等式成立吗?请说明理由【课堂小结】本节主要学习了什么知识点?还有什么疑惑?遵守交通,文明出行!
2.
2.2向量的减法备课时间
13、
5、7主备人肖崇祎审核高一数学组上课时间
13、、班级姓名【学习目标】
1.理解向量减法的概念;
2.会做两个向量的差;
3.会进行向量加、减得混合运算
4.培养学生的辩证思维能力和认识问题的能力【学习重难点】重点三角形法则难点三角形法则,向量加、减混合运算【自主学习】
1.向量的减法
①与的差若__________________,则向量叫做与的差,记为__________
②向量与的减法求两个向量差的运算叫做向量的减法;注意向量的减法是向量加法的逆运算
2.向量的减法的作图方法作法
①_______________________________
②________________________________
③________________________________则
3.减去一个向量等于加上这个向量的相反向量
4.关于向量减法需要注意一下几点
①在用三角形法则做向量减法时,只要记住连接两向量的终点,箭头指向被减向量即可.
②以向量为邻边作平行四边形,则两条对角线的向量为,这一结论在以后应用还是非常广泛,应加强理解;
③对于任意一点,,简记“终减起”,在解题中经常用到,必须记住.【合作探究】例
1.已知向量,求作向量;思考如果,怎么做出?例
2.已知是平行四边形的对角线的交点,若试证明本题还可以考虑如__法
1.
(1)
(2)
2.任意一个非零向量都可以表示为两个不共线的向量和例
3.化简下列各式
(1)
(2)
(3)【达标训练】
1.在中,,,下列等式成立的有_____________
(1)
(2)
(3)
(4)
2.已知四边形的对角线与相交与点,且,求证四边形是平行四边形
3.如图,是一个梯形,,分别是的中点,已知试用表示和【课堂小结】本节主要学习了什么知识点?还有什么疑惑?遵守交通,文明出行!(编者尹欣)
2.
2.3向量的数乘
(1)备课时间
13、
5、8主备人肖崇祎审核高一数学组上课时间
13、、班级姓名【学习目标】
1.掌握向量数乘的定义,会确定向量数乘后的方向和模;
2.掌握向量数乘的运算律,并会用它进行计算;
3.通过本课的学习,渗透类比思想和化归思想【学习重难点】重点向量的数乘及运算律;难点向量的数乘及运算律;【自主学习】
1.向量的数乘的定义一般地,实数与向量的积是一个向量,记作_______;它的长度和方向规定如下
(1)
(2)当时,_______________________;当时,_______________________;当时,_______________________;______________________________叫做向量的数乘
2.向量的线性运算定义___________________________________________统称为向量的线性运算;
3.向量的数乘的作图已知作当时,把按原来的方向变为原来的倍;当时,把按原来的相反方向变为原来的倍;
4.向量的数乘满足的运算律设为任意实数,为任意向量,则
(1)结合律______________________________________
(2)分配律_______________________________________注意
(1)向量本身具有“形”和“数”的双重特点,而在实数与向量的积得运算过程中,既要考虑模的大小,又要考虑方向,因此它是数形结合的具体应用,这一点提示我们研究向量不能脱离它的几何意义;
(2)向量的数乘及运算性质可类比整式的乘法来理解和记忆【合作探究】例
1.已知向量,求作
(1)向量
(2)例
2.计算
(1)
(2)
(3)注意
(1)向量的数乘与实数的数乘的区别相同点这两种运算都满足结合律和分配律不同点实数的数乘的结果(积)是一个实数,而向量的数乘的结果是一个向量
(2)向量的线性运算的结果是一个向量,运算法则与多项式运算类似例
3.已知是不共线的向量,,试用表示例
4.已知中,为的中点,为的中点,相交于点,求证
(1)
(2)
(3)【达标训练】
1.计算
(1)
(2)
2.已知向量且求
3.在平行四边形中,为的中点,用来表示【课堂小结】本节主要学习了什么知识点?还有什么疑惑?遵守交通,文明出行!
2.
2.3向量的数乘
(2)备课时间
13、
5、8主备人肖崇祎审核高一数学组上课时间
13、、班级姓名【学习目标】
1.理解并掌握向量的共线定理;
2.能运用向量共线定理证明简单的几何问题;
3.培养学生的逻辑思维能力【学习重难点】重点向量的共线定理;难点向量的共线定理;【自主学习】
1.向量的线性表示若果,则称向量可以用非零向量线性表示;
2.向量共线定理思考向量共线定理中有这个限制条件,若无此条件,会有什么结果?【合作探究】例
1.如图,分别是的边的中点,
(1)将用线性表示;
(2)求证与共线;例
2.设是两个不共线的向量,已知,若三点共线,求的值变式设是两个不共线的向量已知求证三点共线(选做)例
3.如图,中,为直线上一点,求证思考
(1)当时,你能得到什么结论?
(2)上面所证的结论表明起点为,终点为直线上一点的向量可以用表示,那么两个不共线的向量可以表示平面上任意一个向量吗?例
4.已知向量其中不共线,向量,是否存在实数,使得与共线例
5.平面直角坐标系中,已知若点满足其中三点共线,求的值;【达标训练】
1.已知向量求证为共线向量;
2.设是两个不共线的向量,若是共线向量,求的值【课堂小结】本节主要学习了什么知识点?还有什么疑惑?遵守交通,文明出行!2.3.1平面向量基本原理备课时间
13、
5、8主备人肖崇祎审核高一数学组上课时间
13、、班级姓名【学习目标】1.了解平面向量的基本定理及其意义;2.掌握三点(或三点以上)的共线的证明方法3.提高学生分析问题、解决问题的能力【学习重难点】重点向量的基本定理;难点向量的基本定理;【预习指导】
1、平面向量的基本定理
2.、基底思考
(1)向量作为基底必须具备什么条件?
(2)一个平面的基底唯一吗?答
(1)______________________________________________________
(2)______________________________________________________
3、向量的分解、向量的正交分解一个平面向量用一组基底表示成=+的形式,我们称它为向量的分解,当互相垂直时,就称为向量的正交分解
4、点共线的证明方法___________________________________________【典例选讲】例1如图平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于一点M,==试用,表示和DCMAB例2设,是平面的一组基底,如果=3—2,=4+,=8—9,求证A、B、D三点共线例3如图,在平行四边形ABCD中,点M在AB的延长线上,且BM=AB,点N在BC上,且BN=BC,用向量法证明M、N、D三点共线DCNABM【达标训练】
1、若,是平面内所有向量的一组基底,则下面的四组向量中不能作为一组基底的()A、—2和+2B、与3C、2+3和-4—6D、+与
2、若,是平面内所有向量的一组基底,那么下列结论成立的是()A、若实数,使+=0,则==0B、空间任意向量都可以表示为=+,,RC、+,,R不一定表示平面内一个向量D、对于这__面内的任一向量,使=+的实数对,有无数对
3、若=-+3=4+2=-3+12写出用+的形式表示【课堂小结】本节主要学习了什么知识点?还有什么疑惑?遵守交通,文明出行!2.3.2向量的坐标表示1备课时间
13、
5、9主备人肖崇祎审核高一数学组上课时间
13、、班级姓名【学习目标】
1、能正确的用坐标来表示向量;
2、能区分向量的坐标与点的坐标的不同;
3、掌握平面向量的直角坐标运算;
4、提高分析问题的能力【学习重难点】重点向量的坐标表示;难点向量的坐标表示;【自主学习】
1、一般地,对于向量,当它的起点移至_______时,其终点的坐标称为向量的(直角)坐标,记作________________________
2、有向线段AB的端点坐标为,则向量的坐标为__________________________________________________
3、若=,+=_________________________________________________【合作探究】例1如图,已知O是坐标原点,点A在第一象限,,求向量的坐标例2已知A(-1,3),B(1,-3),C41D34求向量的坐标例3平面上三点A(-21),B(-13),C(3,4)求D点坐标,使ABCD这四个点构成平行四边形的四个顶点(选讲)例4已知P1(),P2(),P是直线P1P2上一点,且,求P的坐标【课堂练习】
1、与向量平行的单位向量为__________________________________
2、若O
(00)B-13且=3,则坐标是___________________
3、已知O是坐标原点,点A在第二象限,=2求向量的坐标
5、已知边长为2的正三角形ABC,顶点A在坐标原点,AB边在x轴上,点C在第一象限,D为AC的中点,分别求的坐标【课堂小结】本节主要学习了什么知识点?还有什么疑惑?遵守交通,文明出行!2.3.2向量的坐标表示
(2)备课时间
13、
5、9主备人肖崇祎审核高一数学组上课时间
13、、班级姓名【学习目标】
1、进一步掌握向量的坐标表示;
2、理解向量平行坐标表示的推导过程;
3、提高运用向量的坐标表示解决问题的能力【自主学习】
1、向量平行的线性表示是_____________________________
2、向量平行的坐标表示是设,,如果∥,那么_________________,反之也成立
3、已知A,B,C,O四点满足条件,当,则能得到________________________________________【合作探究】例1已知(,并且求证∥例2已知,当实数为何值时,向量与平行?并确定此时它们是同向还是反向【达标训练】
1.已知且∥,求实数的值
2.已知,平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A21,B-13,C34,求第四个顶点的D坐标
3.已知A0-2,B22,C34,求证A,B,C三点共线
4.已知向量,求与向量同方向的单位向量
5.若两个向量方向相同,求【课堂小结】本节主要学习了什么知识点?还有什么疑惑?遵守交通,文明出行!2.4.1向量的数量积
(1)备课时间
13、
5、10主备人肖崇祎审核高一数学组上课时间
13、、班级姓名【学习目标】
1.理解平面向量数量积的概念及其几何意义
2.掌握数量积的运算法则3了解平面向量数量积与投影的关系【学习重难点】重点向量的数量积的概念及__意义;难点向量的数量积的几何意义;【预习指导】
1.已知两个非零向量与,它们的夹角为,则把数量_________________叫做向量与的数量积(或内积)规定零向量与任何一向量的数量积为_____________
2.已知两个非零向量与,作,,则______________________叫做向量与的夹角当时,与___________,当时,与_________;当时,则称与__________
3.对于,其中_____________叫做在方向上的投影
4.平面向量数量积的性质若与是非零向量,是与方向相同的单位向量,是与的夹角,则
①;
②;
③;
④若与同向,则;若与反向,则;或
⑤设是与的夹角,则
5.数量积的运算律
①交换律________________________________
②数乘结合律_________________________
③分配律_____________________________注
①、要区分两向量数量积的运算性质与数乘向量,实数与实数之积之间的差异
②、数量积得运算只适合交换律,加乘分配律及数乘结合律,但不适合乘法结合律即不一定等于,也不适合消去律【合作探究】例1已知向量与向量的夹角为,=2,=3,分别在下列条件下求
(1)=135;
(2)∥;
(3)例2已知=4,=8,且与的夹角为120计算
(1);
(2)例3已知=4,=6,与的夹角为60,求
(1)、
(2)、
(3)、例4已知向量,=1,对任意tR恒有,则()A、B、(C、(D、(【达标训练】
1、已知=10,=12,且,则与的夹角为__________
2、已知、、是三个非零向量,试判断下列结论是否正确
(1)、若,则∥()
(2)、若,则()
(3)、若,则()
3、已知,则__________
4、四边形ABCD满足A=D则四边形ABCD是()A、平行四边形B、矩形C、菱形D、正方形
5、正边长为a,则__________【课堂小结】本节主要学习了什么知识点?还有什么疑惑?遵守交通,文明出行!2.4.1向量的数量积
(2)备课时间
13、
5、10主备人肖崇祎审核高一数学组上课时间
13、、班级姓名【学习目标】
1、能够理解和熟练运用模长公式,两点距离公式及夹角公式;
2、理解并掌握两个向量垂直的条件【学习重难点】重点向量的数量积的应用;难点向量的数量级的应用;【预习指导】
1、若则______________________________
2、向量的模长公式设则=cos=__________
3、两点间距离公式设A(B则__________
4、向量的夹角公式设=(,,与的夹角为,则有__________
5、两个向量垂直设=(,,____________________注意对零向量只定义了平行,而不定义垂直【典例选讲】例1已知=(2,,,求例2在中,设且为直角三角形,求的值例3设向量,其中=(1,0),=(0,1)
(1)、试计算及的值
(2)、求向量与的夹角大小【达标训练】
1、已知,求
2、已知向量,若与垂直,则实数=__________
3、已知若与平行,则__________
4、已知A、B、C是平面上的三个点,其坐标分别为.那么=__________,__________,的形状为__________
5、已知,且与的夹角为钝角,求实数的取值范围【课堂小结】本节主要学习了什么知识点?还有什么疑惑?遵守交通,文明出行!第三章三角恒等变换
3.
1.1两角和与差的余弦公式备课时间
13、
5、15主备人肖崇祎审核高一数学组上课时间
13、、班级姓名【学习目标】
1、理解向量法推导两角和与差的余弦公式并能初步运用解决具体问题;
2、应用公C式,求三角函数值.
3、培养探索和创新的能力和意见.【学习重点难点】向量法推导两角和与差的余弦公式【自主学习】
(一)预习指导探究cosα+β≠cosα+cosβ反例cos=cos+≠cos+cos问题cosα+βcosαcosβ的关系
(二)基本概念
1.解决思路探讨三角函数问题的最基本的工具是直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线
2.探究在坐标系中α、β角构造α+β角
3.探究作单位圆,构造全等三角形探究写出4个点的坐标P110PcosαsinαP3cosα+βsinα+βP4cos-βsin-β
5.计算,==
6.探究由=导出公式[cosα+β-1]2+sin2α+β=[cos-β-cosα]2+[sin-β-sinα]2展开并整理得所以可记为C
7.探究特征
①熟悉公式的结构和特点;
②此公式对任意α、β都适用
③公式记号C
8.探究cosα+β的公式以-β代β得公式记号C【合作探究】例1不查表,求下列各式的值.1cos105°
(2)cos15°3cos4cos80°cos20°+sin80°sin20°5cos215°-sin215°6cos80°cos35°+cos10°cos55°例2已知sinα=,α,cosβ=-β是第三象限角,求cos(α-β)的值.例3已知cos2α-β=-sinα-2β=且,求cosα+β的值.例4cosα-=-sin-β=且<α<π,0<β<,求cos的值.【达标训练】
1.求cos75°的值
2.计算cos65°cos115°-cos25°sin115°
3.计算-cos70°cos20°+sin110°sin20°
4.sinα-sinβ=-cosα-cosβ=α0β0求cosα-β的值.
5.已知锐角α,β满足cosα=cosα-β=-求cosβ.
6.已知cosα-β=求sinα+sinβ2+cosα+cosβ2的值.【课堂小结】本节主要学习了什么知识点?还有什么疑惑?遵守交通,文明出行!
2.
1.2两角和与差的正弦公式备课时间
13、
5、16主备人肖崇祎审核高一数学组上课时间
13、、班级姓名【学习目标】
1、掌握两角和与差的正弦公式及其推导方法
2、通过公式的推导,了解它们的内在__,培养逻辑推理能力并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形
3、掌握诱导公式 sin=cosα,sin=cosα sin=-cosαsin=-cosα【学习重点难点】掌握两角和与差的正弦公式及其应用【学习过程】
(一)预习指导两角和与差的余弦公式
(二)基本概念基本概念
1.两角和的正弦公式的推导sinα+β=sinα-β=sinαcosβ-sinαcosβ【合作探究】例1求值sin+60°+2sin-60°-cos120°-例2已知sin2α+β=3sinβtanα=1求tanα-β的值.例3已知sinα+β=sinα-β=求的值.例4(1)已知sinα-β=sinα+β=求tanα:tanβ的值.【达标训练】1.在△ABC中,已知cosA=co__=则cosC的值为
2.已知<α<,0<β<α,cos+α=-sin+β=求sinα+β的值.
3.已知sinα+sinβ=求cosα+cosβ的范围.
4.已知sinα+β=sinα-β=求的值.
5.已知sinα+sinβ=cosα+cosβ=求cosα-β
6.化简cos-sin解我们得到一组有用的公式
(1)sinα±sinα=sin=cos.
(3)sinαcosα=2sin=2cos
(4)αsinα+bcosα=sin(α+)=cosα-
7.化解cos
8.求证cos+sin=cos(-)
9.求证cosα+sinα=2sin().
10.已知,求函数у=cos()-cos的值域.
11.求的值.【课堂小结】本节主要学习了什么知识点?还有什么疑惑?遵守交通,文明出行!
2.
1.3两角和与差的正切公式备课时间
13、
5、17主备人肖崇祎审核高一数学组上课时间
13、、班级姓名【学习目标】
1.掌握两角和与差的正切公式及其推导方法
2.通过正式的推导,了解它们的内在__,培养逻辑推理能力
3.能正确运用三角公式,进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形【学习重点难点】 能根据两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式 进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形【学习过程】
(一)预习指导
1.两角和与差的正、余弦公式cosα+β=cosα-β=sinα+β=sinα-β=
2.新知tanα+β的公式的推导α+β≠0tanα+β注意1°必须在定义域范围内使用上述公式tanα,tanβtanα+β只要有一个不存在就不能使用这个公式,只能用诱导公式2°注意公式的结构,尤其是符号【合作探究】例1已知tanα=tanβ=-2求tanα+βtanα-βα+β的值,其中0°<α<90°,90°<β<180°例2求下列各式的值
(1)
(2)tan17°+tan28°+tan17°tan28°
(3)tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20°例3已知sin2α+β+2sinβ=0求证tanα=3tanα+β【达标训练】
1.若tantan=tan+tab+1,则cos+的值为.
2.在△ABC中,若0<tanA·tabB<1则△ABC一定是.
3.在△ABC中,tanA+tanB+tanC=3tan2B=tanAtanC则∠B等于.
4.=.
5.已知sinα+β=sinα-β=求的值.【课堂小结】本节主要学习了什么知识点?还有什么疑惑?遵守交通,文明出行!
3.
2.1二倍角的三角函数
(1)备课时间
13、
5、20主备人肖崇祎审核高一数学组上课时间
13、、班级姓名【学习目标】
1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式;
2.能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明【学习重点难点】重点
1.二倍角公式的推导;
2.二倍角公式的简单应用难点理解倍角公式,用单角的三角函数表示二倍角的三角函数【学习过程】
(一)预习指导
1.复习两角和与差的正弦、余弦、正切方式sinα+β=Scosα+β=Ctanα+β=Tαβα+β≠κπ+二基本概念
2.二倍角公式的推导在公式(S),(C),(T)中,当α=β时,得到相应的一组公式sin2α=Scos2α=Ctan2α=T注意1°在(T)中2α≠+α≠+2°在因为sin2α+cos2α=1,所以公式(C)可以变形为cos2α=或cos2α=C′公式(S),(C),(C′),(T)统称为二倍角的三角函数公式,简称二倍角公式【合作探究】
一、倍角公式的简单运用例1不查表,求下列各式的值12341+2例2求tan=3,求sin2-cos2的值例3已知sin0<<求cos2cos+的值
二、考虑sinαcosαsinα±cosαsinα·cosα之间的关系例4已知sin+cos=求coscos·cossin2cos2sincos的值
三、倍角公式的进一步运用例5求证例6求的值【合作探究】
1.若270°<α<360°,则等于
2.求值
(1)sin22°30’cos22°30’=
(2)2=
(3)=
(4)=
3.求值
(1)cos20°cos40°cos60°cos80°
(2)sin10°sin30°sin50°sin70°
4.已知sin,求sin2αcos2αtan2α的值
5.已知cossin且<α<π0<β<,求cos(α+β)的值
6.已知sin2α=<α<求sin4αcos4αtan4α的值
7.已知tan2α=求tanα的值【课堂小结】本节主要学习了什么知识点?还有什么疑惑?遵守交通,文明出行!
3.
2.1二倍角的三角函数
(2)备课时间
13、
5、20主备人肖崇祎审核高一数学组上课时间
13、、班级姓名【学习目标】
1.熟悉“倍角”与“二次”的关系(升角——降次,降角——升次)
2.特别注意公式的三角表达形式,且要善于变形,这两个形式今后常用要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明,增强灵活运用数学知识和逻辑推理能力【学习重点难点】重点理解倍角公式,用单角的三角函数表示二倍欠的三角函数难点灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式【学习过程】
(一)预习指导
1.有关公式
(1)=;
(2)=;
(3)=;
(二)典型例题选讲例1化简例2求证[sin1+sin+cos1+cos]×[sin1-sin+cos1-cos]=sin2例3求函数的值域例4求证的值是与α无关的定值例6求证例7利用三角公式化简sin50°1+【课堂练习】
1.若≤α≤,则等于.
2.的值等于.
3.sin6°cos24°sin78°cos48°的值为.
4.的值等于.
5.已知,则的值等于.
6.已知(0<α<)的值等于.
6.求值tan70°cos10°tan20°-
1.
8.求的值
9.已知,,求sin4α的值【课堂小结】本节主要学习了什么知识点?还有什么疑惑?遵守交通,文明出行!§
3.2 简单的三角恒等变换备课时间
13、
5、20主备人肖崇祎审核高一数学组上课时间
13、、班级姓名【学习目标】
1.能用二倍角公式导出半角公式,体会其中的三角恒等变换的基本思想方法,以及进行简单的应用
2.了解两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化积公式的基本方法理解方程思想、换元思想在整个变换过程中所起的作用3了解三角恒等变换的技巧、特点等【学习重点难点】灵活应用和、差、倍角等公式进行三角式化简、求值、证明恒等式【学习过程】知识__1.半角公式1S sin=__________;2__cos=________;3T tan=________________=________________=__________有理形式.2.辅助角公式asinx+bcosx=sinx+φ,cosφ=__________,sinφ=______________其中φ称为辅助角,它的终边所在象限由________决定.自主探究1.试用cosα表示sin
2、cos
2、tan
2.2.证明tan==.合作探究知识点一 半角公式的应用例1 已知sinθ=,且θ3π,求cos和tan的值.回顾归纳 在运用半角公式时,要注意根号前符号的选取,不能确定时,根号前应保持正、负两个符号.变式训练1 已知α为钝角,β为锐角,且sinα=,sinβ=,求cos.知识点二 利用辅助角公式研究函数性质例2 已知函数fx=sin+2sin2x∈R.1求函数fx的最小正周期;2求使函数fx取得最大值的x的__.回顾归纳 研究形如fx=asin2ωx+bsinωxcosωx+ccos2ωx的性质时,先化成fx=Asinω′x+φ+B的形式后,再解答.这是一个基本题型,许多题目化简后都化归为该题型.变式训练2 已知函数fx=sinx++sin+cosx+aa∈R.1求函数y=fx的单调增区间;2若函数fx在上的最大值与最小值的和为,求实数a的值.知识点三 三角函数在实际问题中的应用例3 如图所示,已知OPQ是半径为1,圆心角为的扇形,C是扇形弧上的动点,ABCD是扇形的内接矩形.记∠COP=α,求当角α取何值时,矩形ABCD的__最大?并求出这个最大__.回顾归纳 利用三角函数知识解决实际问题,关键是目标函数的构建,自变量常常选取一个恰当的角度,要注意结合实际问题确定自变量的范围.变式训练3 某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面,若扇形的半径长为1m,求割出的长方形桌面的最大__如图所示.1.学习三角恒等变换,不要只顾死记硬背公式,而忽视对思想方法的理解,要立足于在推导过程中记忆和运用公式.2.形如fx=asinx+bcosx,运用辅助角公式熟练化为一个角的一个三角函数的形式,即fx=sinx+φφ由sinφ=,cosφ=确定进而研究函数fx性质.如fx=sinx±cosx=sin,fx=sinx±cosx=2sin等.课时作业
一、选择题1.已知180°α360°,则cos的值等于 A.-B.C.-D.2.如果|cosθ|=,θ3π,那么sin的值为 A.-B.C.-D.3.设a=cos6°-sin6°,b=2sin13°cos13°,c=,则有 A.abcB.abcC.acbD.bca4.函数fx=sinx-cosxx∈[-π,0]的单调递增区间是 A.B.C.D.5.函数fx=cosxsinx+cosx的最小正周期为 A.2πB.πC.D.
二、填空题6.函数y=cosx+cos的最大值是________.7.若3sinx-cosx=2sinx+φ,φ∈-π,π,则φ的值是________.8.已知函数fx=sin[1-ax]+cos[1-ax]的最大值为2,则fx的最小正周期为________.第三章 章末检测
一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分
1.等于 A.-B.-C.D.2.sin45°·cos15°+cos225°·sin15°的值为 A.-B.-C.D.3.tan15°+等于 A.2B.2+C.4D.4.在△ABC中,tanAtanB=tanA+tanB+1,则C等于 A.45°B.135°C.150°D.30°5.已知θ是锐角,那么下列各值中,sinθ+cosθ能取得的值是 A.B.C.D.6.函数y=sin·cos+cos·sin的图象的一条对称轴方程是 A.x=B.x=C.x=πD.x=7.函数y=2sinxsinx+cosx的最大值为 A.+1B.-1C.D.28.已知tan2θ=-2,π2θ2π,则tanθ的值为 A.B.-C.2D.或-9.已知cos=,则cos的值是 A.-B.-C.D.10.已知sin45°+α=,则sin2α等于 A.-B.-C.D.11.函数y=sinx-cosx的图象可以看成是由函数y=sinx+cosx的图象平移得到的.下列所述平移方__确的是 A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位12.已知cosα-β=,sinβ=-,且α∈,β∈,则sinα等于 A.B.C.-D.-
二、填空题本大题共4小题,每小题5分,共20分13.方程sinx+cosx-a=0有解,则实数a的取值范围是________.
14.的值是________.15.已知α是第三象限角且sinα=-,则tan=________.
三、解答题本大题共6小题,共70分17.10分已知tanα,tanβ是方程6x2-5x+1=0的两根,且0α,πβ.求tanα+β及α+β的值.18.12分求值-.
19.12分在三角形ABC中,sinA-B=,sinC=,求证tanA=2tanB.20.12分求函数y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x的最大值与最小值.
21.12分已知函数fx=cos·cos,gx=sin2x-.1求函数fx的最小正周期;2求函数hx=fx-gx的最大值,并求使hx取得最大值的x的__.22.12分已知函数fx=2sin2-·cos2x.1求fx的周期和单调递增区间;2若关于x的方程fx-m=2在x∈上有解,求实数m的取值范围.。