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高三数学理科试题第Ⅰ卷(选择题共42分)
一、选择题本大题共10小题,每小题5分,共50分在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.在复平面内复数、对应的点分别为、,若复数对应的点为线段的中点,则的值为( )A.B.C.D.
2.已知__,,那么()A.B.C.D.
3.已知、为双曲线的左、右焦点,点在上,,则()A.B.C.D.
4.已知、为命题,则“为真命题”是“为真命题”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件
5.一机构为调查某地区中学生平均每人每周零花钱X(单位元)的使用情况,分下列四种情况统计
①;
②;
③;
④.调查了_____名中学生,下图是此次调查中某一项的程序框图,其输出的结果是7300,则平均每人每周零花钱在元内的学生的频率是()A.B.C.D.
6.函数在区间内的图象是( )A.B.C.D.
7.已知满足线性约束条件,若,,则的最大值是()A.B.C.D.
8.数列的首项为,为等差数列且.若则,,则()A.B.C.D.
9.对于下列命题
①在△ABC中,若则△ABC为等腰三角形;
②已知a,b,c是△ABC的三边长,若,,则△ABC有两组解;
③设,,则;
④将函数图象向左平移个单位,得到函数图象.其中正确命题的个数是()A.B.C.D.
10.在平面直角坐标系中圆的方程为若直线上至少存在一点使得以该点为圆心1为半径的圆与圆有公共点则的取值范围是()A.B.或C.D.或第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡上.
11.设R向量,且,则.
12.已知,则的展开式中的常数项是(用数字作答).
13.函数的导函数的部分图像如图所示图象与轴交点与x轴正半轴的两交点为A、CB为图象的最低点则______.
14.将一张边长为12cm的纸片按如图1所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形,将余下部分沿虚线折成一个有底的正四棱锥模型,如图2放置.若正四棱锥的正视图是正三角形(如图3),则四棱锥的体积是___________.
15.函数.给出函数下列性质⑴函数的定义域和值域均为;⑵函数的图像关于原点成中心对称;⑶函数在定义域上单调递增;⑷(其中为函数的定义域);⑸、为函数图象上任意不同两点,则.请写出所有关于函数性质正确描述的序号.
三、解答题本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.把答案答在答题卡上.
16.本小题满分12分已知函数,(Ⅰ)求函数的最大值和最小正周期;(Ⅱ)设的内角的对边分别且,若求的值.
17.本小题满分12分在___射箭决赛中,参赛号码为1~4号的四名射箭运动员参加射箭比赛.(Ⅰ)通过抽签将他们安排到1~4号靶位,试求恰有两名运动员所抽靶位号与其参赛号码相同的概率;(Ⅱ)记1号、2号射箭运动员射箭的环数为(所有取值为0,1,2,3...,10)的概率分别为、.根据教练员提供的资料,其概率分布如下表:
01234567891000000.
060.
040.
060.
30.
20.
30.
0400000.
040.
050.
050.
20.
320.
320.02
①若1,2号运动员各射箭一次,求两人中至少有一人命中9环的概率;
②判断1号,2号射箭运动员谁射箭的水平高?并说明理由.
18.本小题满分12分已知函数(Ⅰ)当时求函数的图象在点处的切线方程;(Ⅱ)讨论函数的单调性;
19.本小题满分12分如图,四边形ABCD中,为正三角形,,,AC与BD交于O点.将沿边AC折起,使D点至P点,已知PO与平面ABCD所成的角为,且P点在平面ABCD内的射影落在内.(Ⅰ)求证平面PBD;(Ⅱ)若已知二面角的余弦值为,求的大小.
20.本小题满分13分设椭圆的左、右焦点分别为,上顶点为,离心率为,在轴负半轴上有一点,且(Ⅰ)若过三点的圆恰好与直线相切,求椭圆C的方程;(Ⅱ)在Ⅰ的条件下,过右焦点作斜率为的直线与椭圆C交于两点,在轴上是否存在点,使得以为邻边的平行四边形是菱形,如果存在,求出的取值范围;如果不存在,说明理由.
21.本小题满分14分在数列中,、,且.Ⅰ求、,猜想的表达式,并加以证明;Ⅱ设,求证对任意的自然数,都有.池州一中2013届高三“知识储备能力”检测数学(理科)答案
1、选择题题号12345678910答案CACBDDCBCA
8.【解析】由已知知由叠加法
9.【解析】
①,则或,∴,或,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形,故此命题错;
②由正弦定理知,∴显然无解,故此命题错;
③,,,∴;
④,正确.
10.【解析】∵圆C的方程可化为:∴圆C的圆心为半径为
1.∵由题意直线上至少存在一点以该点为圆心1为半径的圆与圆有公共点;∴存在使得成立即.∵即为点到直线的距离∴解得.
二、填空题题号1112131415答案⑵⑷
11.【解析】由由故.
12.【解析】,因而要求展开式中的常数项是,即求展开式中的的系数,由展开式的通项公式,则令,解得,从而常数项为
13.【解析】点P的坐标为0时,得,故,从而,则;
14.【解析】设正四棱锥的底面边长为2x则由其侧棱长为根据题意知所以此四棱锥的底边长为高为所以其体积为
15.【解析】由,解得或此时,如图所示则⑴错误;⑵正确;⑶错误;⑷正确(积分的几何意义知);⑸错误(),故填⑵⑷
三、解答题
16.解析
(1)…………….3分则的最大值为0,最小正周期是…………………6分
(2)则由正弦定理得
①………………………………9分由余弦定理得即
②由
①②解得………………………………………12分
17.【命制意图】本试题主要是考查了古典概型概率的运算,以及随机变量的分布列的求解和期望值的运用
(1)、4名运动员中任取两名,其靶位号与参赛号相同,有种方法,另2名运动员靶位号与参赛号均不相同的方法有1种,所以恰有一名运动员所抽靶位号与参赛号相同的概率为1/4
(2)由表可知,两人各射击一次,都未击中9环的概率为P=(1-
0.3)(1-
0.32)=
0.476至少有一人命中9环的概率为p=1-
0.476=
0.524,那么利用各个取值概率值表示得到期望值,并比较大小得到水平高低问题解(Ⅰ)从4名运动员中任取两名,其靶位号与参赛号相同,有种方法,另2名运动员靶位号与参赛号均不相同的方法有1种,所以恰有一名运动员所抽靶位号与参赛号相同的概率为(Ⅱ)
①由表可知,两人各射击一次,都未击中9环的概率为,∴至少有一人命中9环的概率为;
②所以2号射箭运动员的射箭水平高.
18.解(I)时于是所以函数的图象在点处的切线方程为,即.(II)=,∵,∴只需讨论的符号.ⅰ)当>2时,>0,这时>0,所以函数在(-∞,+∞)上为增函数.ⅱ)当=2时,≥0,函数在(-∞,+∞)上为增函数.ⅲ)当0<<2时,令=0,解得,.当变化时,和的变化情况如下表+0-0+↗极大值↘极小值↗∴在,为增函数,在为减函数;【备注题】(Ⅲ)是否存在实数,使当时恒成立?若存在,求出实数;若不存在,请说明理由.当∈(1,2)时,∈(0,1).由
(2)知在上是减函数,在上是增函数,故当∈(0,1)时,,所以当∈(0,1)时恒成立,等价于恒成立.当∈(1,2)时,,设,则,表明gt在(0,1)上单调递减,于是可得,即∈(1,2)时恒成立,因此,符合条件的实数不存在.
19.【解析】Ⅰ易知为的中点,则,又,又,平面,所以平面Ⅱ方法一以为轴,为轴,过垂直于平面向上的直线为轴建立如图所示空间直角坐标系,则,,易知平面的法向量为,设平面的法向量为则由得,解得,,令,则则解得,,即,即,又,∴,故.方法二作,连接,由Ⅰ知平面,又平面,∴,又,平面,∴平面,又平面,∴,∴即为二面角的平面角作于,由平面及平面知,又,平面,所以平面所以即为直线与平面所成的角,即在中,,由=知,,则,又,所以,故.
20.【解析】
(1)由题意,得,所以又由于,所以为的中点,所以所以的外接圆圆心为,半径…………………3分又过三点的圆与直线相切,所以解得,所求椭圆方程为……………………………………………………6分
(2)有
(1)知设的方程为将直线方程与椭圆方程联立整理得设交点为,因为则……………………………………8分若存在点,使得以为邻边的平行四边形是菱形,由于菱形对角线垂直,所以又又的方向向量是,故,则,即由已知条件知………………………11分,故存在满足题意的点且的取值范围是………………13分
21.【解析】解
(1)容易求得,----------------------(2分)故可以猜想,下面利用数学归纳法加以证明(i)显然当时,结论成立,-----------------(3分)(ii)假设当;时(也可以),结论也成立,即,--------------------------(4分)那么当时,由题设与归纳假设可知------------(6分)即当时,结论也成立,综上,对成立--------(7分)
(2)---(9分)所以---------(11分)所以只需要证明(显然成立)所以对任意的自然数,都有-------(14分)图1图2图3。