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文本内容:
立体几何【考点聚焦】考点1空间元素点、线、面之间的垂直与平行关系的判断;考点2空间线面垂直与平行关系的证明;简单几何体中的线面关系证明;
1、三个公理和三条推论
(1)公理1一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内这是判断直线在平面内的常用方法
(2)公理
2、两个平面有两个公共点,它们有无数个公共点,而且这无数个公共点都在同一条直线上这是判断几点共线(证这几点是两个平面的公共点)和三条直线共点(证其中两条直线的交点在第三条直线上)的方法之一
(3)公理3经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面推论1经过直线和直线外一点有且只有一个平面推论2经过两条相交直线有且只有一个平面推论3经过两条平行直线有且只有一个平面公理3和三个推论是确定平面的依据如
(1)在空间四点中,三点共线是四点共面的_____条件(答充分非必要);
(2)给出命题
①若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则lα;
②若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB;
③若lα ,A∈l,则Aα
④若A、B、C∈α,A、B、C∈β,且A、B、C不共线,则α与β重合上述命题中,真命题是_____(答
①②④);
(3)长方体中ABCD-A1B1C1D1中,AB=8,BC=6,在线段BD,A1C1上各有一点P、Q,在PQ上有一点M,且PM=MQ,则M点的轨迹图形的__为_______(答24)
2、空间直线的位置关系
(1)相交直线――有且只有一个公共点
(2)平行直线――在同__面内,没有公共点
(3)异面直线――不在同__面内,也没有公共点如
(1)空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是四边上的中点,则直线EG和FH的位置关系_____(答相交);
(2)给出下列四个命题
①异面直线是指空间既不平行又不相交的直线;
②两异面直线,如果平行于平面,那么不平行平面;
③两异面直线,如果平面,那么不垂直于平面;
④两异面直线在同__面内的射影不可能是两条平行直线其中正确的命题是_____(答
①③)
3、两直线平行的判定
(1)公理4平行于同一直线的两直线互相平行;
(2)线面平行的性质一条直线和一个平面平行,那经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行;
(3)面面平行的性质如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行;
(4)线面垂直的性质如果两条直线都垂直于同一个平面,那么这两条直线平行
4、两直线垂直的判定
(1)转化为证线面垂直;
5、直线与平面的位置关系
(1)直线在平面内;
(2)直线与平面相交其中,如果一条直线和平面内任何一条直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直注意任一条直线并不等同于无数条直线;
(3)直线与平面平行其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外如
(1)下列命题中,正确的是A、若直线平行于平面内的一条直线b则// B、若直线垂直于平面的斜线b在平面内的射影,则⊥b C、若直线垂直于平面直线b是平面的斜线,则与b是异面直线 D、若一个棱锥的所有侧棱与底面所成的角都相等,且所有侧面与底面所成的角也相等,则它一定是正棱锥(答D);
(2)正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,并且总保持AP⊥BD1,则动点P的轨迹是___________(答线段B1C)
6、直线与平面平行的判定和性质
(1)判定
①判定定理如果平面内一条直线和这个平面平面平行,那么这条直线和这个平面平行;
②面面平行的性质若两个平面平行,则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行
(2)性质如果一条直线和一个平面平行,那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行在遇到线面平行时,常需作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面,以便运用线面平行的性质如
(1)α、β表示平面,a、b表示直线,则a∥α的一个充分不必要条件是 A、α⊥β,a⊥β B、α∩β=b,且a∥b C、a∥b且b∥α D、α∥β且aβ(答D);
(2)正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,且CM=DN,求证MN∥面AA1B1B
7、直线和平面垂直的判定和性质
(1)判定
①如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直
②两条平行线中有一条直线和一个平面垂直,那么另一条直线也和这个平面垂直
(2)性质
①如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直
②如果两条直线都垂直于同一个平面,那么这两条直线平行如
(1)如果命题“若∥z,则”不成立,那么字母x、y、z在空间所表示的几何图形一定是_____(答x、y是直线,z是平面);
(2)已知a,b,c是直线,α、β是平面,下列条件中能得出直线a⊥平面α的是 A、a⊥b,a⊥c其中bα,cα B、a⊥b,b∥α C、α⊥β,a∥β D、a∥b,b⊥α(答D);
(3)AB为⊙O的直径,C为⊙O上的一点,AD⊥面ABC,AE⊥BD于E,AF⊥CD于F,求证BD⊥平面AEF
8、三垂线定理及逆定理
(1)定理在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直
(2)逆定理在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线,那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直其作用是证两直线异面垂直和作二面角的平面角
9、直线和平面所成的角
(1)定义平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫这条直线和这个平面所成的角
(2)范围;
10、平面与平面的位置关系
(1)平行――没有公共点;
(2)相交――有一条公共直线
11、两个平面平行的判定和性质
(1)判定一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行,则这两个平面平行
(2)性质如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行如
(1)是两个不重合的平面,在下列条件中,不能判定平面的条件是A、是内一个三角形的两条边,且 B、内有不共线的三点到的距离都相等 C、都垂直于同一条直线 D、是两条异面直线,,且(答B);
(2)给出以下六个命题
①垂直于同一直线的两个平面平行;
②平行于同一直线的两个平面平行;
③平行于同__面的两个平面平行;
④与同一直线成等角的两个平面平行;
⑤一个平面内的两条相交直线于另一个平面内的两条相交直线平行,则这两个平面平行;
⑥两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行,则这两个平面平行其中正确的序号是___________(答
①③⑤);
(3)正方体ABCD-A1B1C1D1中AB=
①求证平面AD1B1∥平面C1DB;
②求证A1C⊥平面AD1B1;
③求平面AD1B1与平面C1DB间的距离(答);
12、二面角
(1)二面角的三要素
①顶点在棱上;
②角的两边分别在两个半平面内;
③角的两边与棱都垂直
(2)二面角的范围;
13、两个平面垂直的判定和性质
(1)判定
①判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直
②定义法即证两个相交平面所成的二面角为直二面角;
(2)性质如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面如
(1)三个平面两两垂直,它们的交线交于一点O,P到三个面的距离分别为
3、
4、5,则OP的长为_____(答5);
(2)在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足___________时,平面MBD⊥平面PCD(答);
(3)过S引三条长度相等但不共面的线段SA、__、SC,且∠A__=∠ASC=60°,∠BSC=90°,求证平面ABC⊥平面BSC特别指出立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化,即如
(1)已知直线平面,直线平面,给出下列四个命题
①②;
③;
④其中正确的命题是_____(答
①③);
(2)设是两条不同直线,是两个不同平面,给出下列四个命题
①若则;
②若,则;
③若,则或;
④若则其中正确的命题是_____(答
①③④)
14、多面体有关概念棱柱棱柱的性质平行六面体棱锥的性质正棱锥侧__
15、体积
(1)棱柱
(2)棱锥体积=×底__×高如
(1)在正三棱锥A-BCD中,E、F是AB、BC的中点,EF⊥DE,若BC=,则正三棱锥A-BCD的体积为__(答);
(2)已知正三棱锥底面边长为,体积为,则底面三角形的中心到侧面的距离为___(答);
16、正多面体
17、球的截面的性质用一个平面去截球,截面是圆面;球心和截面圆的距离d与球的半径R及截面圆半径r之间的关系是r=提醒球与球面的区别(球不仅包括球面,还包括其内部)如
(1)在半径为10的球面上有三点,如果,则球心到平面的距离为______(答);
(2)已知球面上的三点A、B、C,AB=6,BC=8,AC=10,球的半径为13,则球心到平面ABC的距离为______(答12)
18、球的体积和表__公式V=如
(1)在球内有相距9cm的两个平行截面,__分别为49cm
2、400cm2,则球的表__为______(答);【典型考例】例1.如图,在五面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的对角线的交点,面CDE是等边三角形,棱(I)证明平面(II)设证明平面例2.如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AA1=4,AB=5点D是AB的中点,(I)求证AC⊥BC1;(II)求证AC1//平面CDB1;(III)设BD1的中点为F,求三棱锥B1-BEF的体积例2.已知ABCD是上.下底边长分别为2和6,高为的等腰梯形,将它沿对称轴OO1折成直二面角 (Ⅰ)证明AC⊥BO1;(Ⅱ)求点O1到平面AOC的距离(III)求四面体O1-ACO的体积例
3.如图,在底面为平行四边形的四棱锥中,,平面,且,点是的中点.(Ⅰ)求证;(Ⅱ)求证平面;(Ⅲ)求四面体B-AED的体积【考点小测】1.已知m、n是两条不重合的直线,α、β、γ是三个两两不重合的平面.给出下列的四个命题
①若,,则;
②若,,则;
③若,,,则;
④若m、n是异面直线,,,,,则,其中真命题是2.平面的斜线交于点,过定点的动直线与垂直,且交于点,则动点的轨迹是(A)一条直线(B)一个圆(C)一个椭圆(D)双曲线的一支3.关于直线与平面,有以下四个命题
①若且,则;
②若且,则;
③若且,则;
④若且,则;其中真命题的序号是A.
①②B.
③④C.
①④D.
②③4.若空间中有四个点,则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同__面上”的()(A)充分非必要条件;(B)必要非充分条件;(C)充要条件;(D)非充分非必要条件
5.如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是.
6.在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论中不成立的是()(A)BC//平面PDF(B)DF⊥平面PAE(C)平面PDF⊥平面ABC(D)平面PAE⊥平面ABC
7.给出下列关于互不相同的直线和平面的四个命题:1则与m不共面;、m是异面直线,;2若;若,则其中为假命题的是(C)(A)
①(B)
②(C)
③(D)
④8.已知a、b、c是直线,是平面,给出下列命题
①若
②若
③若;
④若a与b异面,且相交;
⑤若a与b异面,则至多有一条直线与a,b都垂直.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.49.如图,在四棱锥中,四边形为平行四边形,,,为上一点,且平面.⑴求证;⑵如果点为线段的中点,求证∥平面.
10.在三棱柱中1求证平面;2如果D为AB中点,求证11.如图,平行四边形中,,正方形所在的平面和平面垂直,是的中点,是的交点.⑴求证平面;⑵求证平面.12.如图,平面平面△是直角三角形,,四边形是直角梯形其中1求证;2求证:.ks.5u
13.如图,平面平面∥分别是的中点⑴求证∥平面;⑵求证平面平面.
14.如图边长为4的正方形所在平面与正所在平面互相垂直,分别为的中点
(1)求四棱锥的体积;
(2)求证平面;
(3)试问在线段上是否存在一点,使得平面平面?若存在,试指出点的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由15.已知正六棱柱的所有棱长均为2,G为AF的中点
(1)求证∥平面;
(2)求证平面⊥平面;
(3)求四面体的体积16.如图,在四棱锥中,∥,,,⊥,⊥,为的中点.求证
(1)∥平面;
(2)⊥平面.17.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA=PB.底面ABCD是菱形,且∠ABC=60°,点M是AB的中点,点E在棱QD上,满足DE=2PE.求证
(1)平面PAB⊥平面PMC;
(2)直线PB∥平面EMC.18.如图,在直三棱柱中,,,为的中点.(Ⅰ)求证∥平面;(Ⅱ)求证平面⊥平面.QPMDCBADCBAEP(第16题图)目DABCPEM。