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文本内容:
第九课时导数的实际应用
(三)
一、教学目标
1、使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用;
2、提高将实际问题转化为数学问题的能力
二、教学重点利用导数解决生活中的一些优化问题.教学难点利用导数解决生活中的一些优化问题.
三、教学方法探究归纳,讲练结合
四、教学过程
(一)、创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.通过前面的学习,我们知道,导数是求函数最大(小)值的有力工具.这一节,我们利用导数,解决一些生活中的优化问题.
(二)、新课探究导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题,主要有以下几个方面
1、与几何有关的最值问题;
2、与物理学有关的最值问题;
3、与利润及其成本有关的最值问题;
4、效率最值问题解决优化问题的方法首先是需要分析问题中各个变量之间的关系,建立适当的函数关系,并确定函数的定义域,通过创造在闭区间内求函数取值的情境,即核心问题是建立适当的函数关系再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得以解决,在这个过程中,导数是一个有力的工具.利用导数解决优化问题的基本思路
(三)、典例分析例
1、磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上磁盘是带有磁性介质的圆盘,并有操作系统将其格式化成磁道和扇区磁道是指不同半径所构成的同心轨道,扇区是指被同心角分割所成的扇形区域磁道上的定长弧段可作为基本存储单元,根据其磁化与否可分别记录数据0或1,这个基本单元通常被称为比特(bit)为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必需大于,每比特所占用的磁道长度不得小于为了数据检索便利,磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数问题现有一张半径为的磁盘,它的存储区是半径介于与之间的环形区域.
(1)是不是越小,磁盘的存储量越大?
(2)为多少时,磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)?解由题意知存储量=磁道数×每磁道的比特数设存储区的半径介于与R之间,由于磁道之间的宽度必需大于,且最外面的磁道不存储任何信息,故磁道数最多可达由于每条磁道上的比特数相同,为获得最大存储量,最内一条磁道必须装满,即每条磁道上的比特数可达所以,磁盘总存储量×
(1)它是一个关于的二次函数,从函数解析式上可以判断,不是越小,磁盘的存储量越大.
(2)为求的最大值,计算.令,解得当时,;当时,.因此时,磁盘具有最大存储量此时最大存储量为例
2、汽油的使用效率何时最高我们知道,汽油的消耗量(单位L)与汽车的速度(单位km/h)之间有一定的关系,汽油的消耗量是汽车速度的函数.根据你的生活经验,思考下面两个问题
(1)是不是汽车的速度越快,汽车的消耗量越大?
(2)“汽油的使用率最高”的含义是什么?分析研究汽油的使用效率(单位L/m)就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值.如果用表示每千米平均的汽油消耗量,那么,其中,表示汽油消耗量(单位L),表示汽__驶的路程(单位km).这样,求“每千米路程的汽油消耗量最少”,就是求的最小值的问题.通过大量的统计数据,并对数据进行分析、研究,人们发现,汽车在行驶过程中,汽油平均消耗率(即每小时的汽油消耗量,单位L/h)与汽车行驶的平均速度(单位km/h)之间有如图所示的函数关系.从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题.因此,我们首先需要将问题转化为汽油平均消耗率(即每小时的汽油消耗量,单位L/h)与汽车行驶的平均速度(单位km/h)之间关系的问题,然后利用图像中的数据信息,解决汽油使用效率最高的问题.解因为这样,问题就转化为求的最小值.从图象上看,表示经过原点与曲线上点的直线的斜率.进一步发现,当直线与曲线相切时,其斜率最小.在此切点处速度约为90.因此,当汽车行驶距离一定时,要使汽油的使用效率最高,即每千米的汽油消耗量最小,此时的车速约为90.从数值上看,每千米的耗油量就是图中切线的斜率,即,约为L.例
3、在经济学中,生产x单位产品的成本称为成本函数同,记为Cx,出售x单位产品的收益称为收益函数,记为Rx,Rx-Cx称为利润函数,记为Px
(1)、如果Cx=,那么生产多少单位产品时,边际最低?边际成本生产规模增加一个单位时成本的增加量
(2)、如果Cx=50x+_____,产品的单价P=100-
0.01x,那么怎样定价,可使利润最大?变式已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q,__p与产量q的函数关系式为.求产量q为何值时,利润L最大?分析利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘__.由此可得出利润L与产量q的函数关系式,再用导数求最大利润.解收入,利润令,即,求得唯一的极值点答产量为84时,利润L最大
(四)、课堂练习在甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边A处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸40km的B处,乙厂到河岸的垂足D与A相距50km,两厂要在此岸边合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元,问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省?解析根据题意知,只有点C在线段AD上某一适当位置,才能使总运费最省,设C点距D点xkm则∵BD=40AC=50-x∴BC=又设总的水管费用为y元,依题意有y=305a-x+5a0<x<50y′=-3a+令y′=0解得x=30在050上,y只有一个极值点,根据实际问题的意义,函数在x=30km处取得最小值,此时AC=50-x=20km∴供水站建在A、D之间距甲厂20km处,可使水管费用最省
(五).回顾总结1.利用导数解决优化问题的基本思路2.解决优化问题的方法通过搜集大量的统计数据,建立与其相应的数学模型,再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得到解决.在这个过程中,导数往往是一个有利的工具
(六).布置作业
1、一书店预计一年内要销售某种书15万册,欲分几次订货,如果每次订货要付手续费30元,每千册书存放一年要耗库费40元,并假设该书均匀投放市场,问此书店分几次进货、每次进多少册,可使所付的手续费与库存费之和最少?【解】假设每次进书x千册,手续费与库存费之和为y元,由于该书均匀投放市场,则平均库存量为批量之半,即,故有y=×30+×40,y′=-+20,令y′=0,得x=15,且y″=,f″15>0,所以当x=15时,y取得极小值,且极小值唯一,故当x=15时,y取得最小值,此时进货次数为=10(次).即该书店分10次进货,每次进15000册书,所付手续费与库存费之和最少.
2、有甲、乙两城,甲城位于一直线形河岸,乙城离岸40千米,乙城到岸的垂足与甲城相距50千米,两城在此河边合设一水厂取水,从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和700元,问水厂应设在河边的何处,才能使水管费用最省?【解】设水厂D点与乙城到岸的垂足B点之间的距离为x千米,总费用为y元,则CD=.y=500(50-x)+700=25000-500x+700,y′=-500+700·x2+1600·2x=-500+,令y′=0,解得x=.答水厂距甲距离为50-千米时,总费用最省.【点评】当要求的最大(小)值的变量y与几个变量相关时,我们总是先设几个变量中的一个为x,然后再根据条件x来表示其他变量,并写出y的函数表达式f(x).
五、教后反思建立数学模型解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案建立数学模型解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案。