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绝密★启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学第I卷(选择题共60分)参考公式一组数据的方差其中为这组数据的平均数
一、选择题本大题共10小题,每小题5分,共50分在每小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的
(1)已知,函数为奇函数,则a=(A)0 (B)1 (C)-1 (D)±1
(2)圆的切线方程中有一个是(A)x-y=0 (B)x+y=0 (C)x=0 (D)y=0
(3)某人5次上班途中所花的时间(单位分钟)分别为x,y,10,11,
9.已知这组数据的平均数为10,方差为2,则|x-y|的值为(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
(4)为了得到函数的图像,只需把函数的图像上所有的点(A)向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)(B)向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)(C)向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)(D)向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
(5)的展开式中含x的正整数指数幂的项数是(A)0 (B)2 (C)4 (D)6
(6)已知两点M(-2,0)、N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足 =0,则动点P(x,y)的轨迹方程为(A) (B) (C) (D)
(7)若A、B、C为三个__,,则一定有(A) (B) (C) (D)
(8)设a、b、c是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立的是(A) (B)(C) (D)
(9)两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体,可放棱长为1的正方体内,使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行,且各顶点均在正方体的面上,则这样的几何体体积的可能值有(A)1个 (B)2个(C)3个 (D)无穷多个
(10)右图中有一个__源和五个______与__源在同一个串联线路中时,就能接收到__,否则就不能接收到__若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组,将右端的六个接线点也随机地平均分成三组,再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接,则这五个___能同时接收到__的概率是(A) (B)(C) (D)
二、填空题本大题共6小题,每小题5分,共30分不需要写出解答过程,请把答案直接填空在答题卡相应位置上
(11)在△ABC中,已知BC=12,A=60°,B=45°,则AC= ▲
(12)设变量x、y满足约束条件,则的最大值为 ▲
(13)今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列有 ▲种不同的方法(用数字作答)
(14)= ▲
(15)对正整数n,设曲线在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为,则数列的前n项和的公式是 ▲
(16)不等式的解集为 ▲
三、解答题本大题共5小题,共70分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
(17)(本小题满分12分,第一小问满分5分,第二小问满分7分) 已知三点P(5,2)、(-6,0)、(6,0).(Ⅰ)求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程;(Ⅱ)设点P、、关于直线y=x的对称点分别为、、,求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程
(18)(本小题满分14分) 请您设计一个帐篷它下部的形状是高为1m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示)试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时,帐篷的体积最大?
(19)(本小题满分14分,第一小问满分4分,第二小问满分5分,第三小问满分5分) 在正三角形ABC中,E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点,满足AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2(如图1)将△AEF沿EF折起到的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,连结A1B、A1P(如图2)(Ⅰ)求证A1E⊥平面BEP;(Ⅱ)求直线A1E与平面A1BP所成角的大小;(Ⅲ)求二面角B-A1P-F的大小(用反三角函数表示)
(20)(本小题满分16分,第一小问4分,第二小问满分6分,第三小问满分6分) 设a为实数,设函数的最大值为ga (Ⅰ)设t=,求t的取值范围,并把fx表示为t的函数mt(Ⅱ)求ga(Ⅲ)试求满足的所有实数a
(21)(本小题满分14分) 设数列、、满足,(n=123…), 证明为等差数列的充分必要条件是为等差数列且(n=123…)数学试题参考答案
一、选择题本题考查基本概念和基本运算每小题5分,满分50分
(1)A
(2)C
(3)D
(4)C
(5)B
(6)B
(7)A
(8)C
(9)D
(10)D
二、填空题本题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分30分
(11)
(12)18
(13)1260
(14)2
(15)2n+1
(16)
三、解答题
(17)本小题主要考查椭圆与双曲线的基本概念、标准方程、几何性质等基础知识和基本运算能力满分12分解(Ⅰ)由题意,可设所求椭圆的标准方程为其半焦距离c=6∴所以所求椭圆的标准方程为(Ⅱ)点P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线y=x的对称点分别为、、(0,6)设所求双曲线的标准方程为由题意知,半焦距c1=6,∴所以所求双曲线的标准方程为
(18)本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识,以及运用数学知识解决实际问题的能力,满分14分解设OO1为xm,则设题设可得正六棱锥底面边长为(单位m)于是底面正六边形的__为(单位m2)帐篷的体积为(单位m3)求导数,得令,解得(不合题意,舍去),x=2当为增函数;当为减函数所以当x=2时,最大答当OO1为2m时,帐逢的体积最大
(19)本小题主要考查线面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识,以及空间线面位置关系的证明、角和距离的计算等,考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力满分14分解法一不妨设正三角形ABC的边长为3(Ⅰ)在图1中,取BE的中点D,连结DF∵AE:EB=CF:FA=1:2,∵AF=AD=2,而∠A=60°,∴△ADF是正三角形又AE=DE=1,∴EF⊥AD在图2中,A1E⊥EF,BE⊥EF,∴∠A1EB为二面角A1—EF—B的平面角由题设条件知此二面角为直二面角,∴A1E⊥BE又BE∩EF=E,∴A1E⊥平面BEF,即A1E⊥平面BEP(Ⅱ)在图2中,∵A1E不垂直于A1B,∴A1E是平面A1BP的斜线又A1E⊥平面BEP,∴A1E⊥BP,从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影(三垂线定理的逆定理)设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q,且A1Q交BP于点Q,则∠EA1Q就是A1E与平面A1BP所成的角,且BP⊥A1Q在△EBP中,∵BE=BP=2,∠EBP=60°,∴△EBP是等边三角形,∴BE=EP又A1E⊥平面BEP,∴A1B=A1P,∴Q为BP的中点,且又A1E=1,在Rt△A1EQ中,∴∠EA1Q=60°所以直线A1E与平面A1BP所成的角为60°(Ⅲ)在图3中,过F作FM⊥A1P于M,连结QM,QF∵CF=CP=1,∠C=60°,∴△FCP是正三角形,∴PF=1又,∴PF=PQ
①∵A1E⊥平面BEP,∴A1F=A1Q;∴△A1FP≌△A1QP从而∠A1PF=∠A1PQ
②由
①②及MP为公共边知△FMP≌△QMP,∴∠QMP=∠FMP=90°,且MF=MQ,从而∠FMQ为二面角B—A1P—F的平面角在Rt△A1QP中,A1Q=A1F=2,PQ=1,∴∵MQ⊥A1P,∴在△FCQ中,FC=1,QC=2,∠C=60°,由余弦定理得QF=在△FMQ中,解法二不妨设正三角形ABC的边长为3(Ⅰ)同解法一(Ⅱ)如图1,由解法一知A1E⊥平面BEF,BE⊥EF建立如图4所示的空间直角坐标系,则E(0,0,0)、A1(0,0,1)B(2,0,0)、F(0,,0)在图1中,连结DP,∵AF=BP=2,AE=BD=1,∠A=∠B,∴△FEA≌△PDB,PD=EF=由图1知PF//DE且PF=DE=1,∴P(1,,0)∴∴对于平面A1BP内任一非零向量a,存在不全为零的实数、,使得∴∵直线A1E与平面A1BP所成的角是A1E与平面A1BP内非零向量夹角中最小者,∴可设,又的最小值为4,∴的最大值为,即与a夹角中最小的角为60°所以直线A1E与平面A1BP所成的角为60°(Ⅲ)如图4,过F作FM⊥A1P于M,过M作MN⊥A1P交BP于N,则∠FMN为二面角B—A1P—F的平面角设∵又∵A
1、M、P三点共线,∴存在,使得∵∴,从而代入
①得同理可得,从而∴所以二面角B—A1P—F的大小为
(20)本小题主要考查函数、方程等基本知识,考查分数讨论的数学思想方法和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力,满分16分解(Ⅰ)∵∴要使t有意义,必须∵
①∴t的取值范围是由
①得∴(Ⅱ)由题意知即为函数的最大值注意到直线是抛物线的对称轴,分以下几种情况讨论
(1)当a0,函数的图像是开口向上的抛物线的一段,由上单调递增∴
(2)当a=0时,mt=t,,∴
(3)当a0时,函数y=mt,的图像是开口向下的抛物线的一段若若若综上有(Ⅲ)解法一情形1当由解得矛盾情形2当,此时,矛盾情形3当,此时所以情形4当,此时矛盾情形5当,此时由矛盾情形6当a0时,,此时由综上知,满足的所有实数a为解法二当当,所以因此,当当,由当要使,必须有此时综上知,满足的所有实数a为
(21)本小题主要考查等数列、充要条件等基础知识,考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.证明必要性.设是公差为d1的等差数列,则所以)成立.又(常数)(n=1,2,3,…),所以数列为等差数列.充分性,设数列是公差d2的等差数列,且(n=1,2,3,…).证法一
①-
②得,,
③从而有
④④-
③得
⑤,∴由
⑤得由此不妨设(常数).由此,从而,两式相减得,因此,所以数列是等差数列.证法二令从而由得,即.
⑥由此得.
⑦⑥-
⑦得.
⑧因为,所以由
⑧得于是由
⑥得,
⑨从而⑩由
⑨和⑩得即所以数列是等差数列.注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1、本__共4页,包含选择题(第1题~第10题,共10题)、填空题(第11题~第16题,共6题)、解答题(第17题~第21题,共5题)三部分本次考试时间为120分钟考试结束后,请将本__和答题卡一并交回
2、答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的
0.5毫米签字笔填写在__及答题卡上
3、请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符
4、作答非选择题必须用书写黑色字迹的
0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其它位置作答一律无效作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其它答案
5、如有作图需要,可用2B铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚ADCB图1__源OO1图1图2图3
①②。