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`全国中考数学压轴题精选
11.(08福建莆田)26.(14分)如图抛物线经过A(-3,0)、B(0,4)、C(4,0)三点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)已知AD=AB(D在线段AC上),有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度__;同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC__,经过t秒的__,线段PQ被BD垂直平分,求t的值;
(3)在
(2)的情况下,抛物线的对称轴上是否存在一点M,使MQ+MC的值最小?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由(注抛物线的对称轴为)、08福建莆田26题解析)26
(1)解法一设抛物线的解析式为y=ax+3x-4因为B(0,4)在抛物线上,所以4=a0+30-4解得a=-1/3所以抛物线解析式为HYPERLINKhttp://www.czsx.com.cnEMBEDEquation.DSMT4解法二设抛物线的解析式为,依题意得c=4且解得所以所求的抛物线的解析式为
(2)连接DRt△AOB中,所以AD=AB=5,AC=AD+CD=3+4=7,CD=AC-AD= 7–5=2因为BD垂直平分PQ,所以PD=QD,PQ⊥BD,所以∠PDB=∠QDB因为AD=AB,所以∠ABD=∠ADB,∠ABD=∠QDB,所以DQ∥AB所以∠CQD=∠CBA∠CDQ=∠CAB,所以△CDQ∽△CAB,所以AP=AD–DP=AD–DQ=5–=,所以t的值是3)答对称轴上存在一点M,使MQ+MC的值最小理由因为抛物线的对称轴为所以A(-3,0),C(4,0)两点关于直线对称连接AQ交直线于点M,则MQ+MC的值最小过点Q作QE⊥x轴,于E,所以∠QED=∠BOA=900DQ∥AB,∠BAO=∠QDE,△DQE∽△ABO即所以QE=,DE=,所以OE=OD+DE=2+=,所以Q(,)设直线AQ的解析式为则由此得所以直线AQ的解析式为联立HYPERLINKhttp://www.czsx.com.cnEMBEDEquation.DSMT4由此得HYPERLINKhttp://www.czsx.com.cnEMBEDEquation.DSMT4所以M则在对称轴上存在点M,使MQ+MC的值最小
2.(08甘肃白银等9市)28.(12分)如图20,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点B的坐标为(4,3).平行于对角线AC的直线m从原点O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N,直线m运动的时间为t(秒).1点A的坐标是__________,点C的坐标是__________;2当t=秒或秒时,MN=AC;3设△OMN的__为S,求S与t的函数关系式;4探求3中得到的函数S有没有最大值?若有,求出最大值;若没有,要说明理由.(08甘肃白银等9市28题解析)28.本小题满分12分解1(4,0),(0,3);2分22,6;4分3当0<t≤4时,OM=t.由△OMN∽△OAC,得,∴ON=,S=.6分当4<t<8时,如图,∵OD=t,∴AD=t-4.方法一由△DAM∽△AOC,可得AM=,∴BM=6-.7分由△BMN∽△BAC,可得BN==8-t,∴CN=t-4.8分S=矩形OABC的__-Rt△OAM的__-Rt△MBN的__-Rt△NCO的__=12--(8-t)(6-)-=.10分方法二易知四边形ADNC是平行四边形,∴CN=AD=t-4,BN=8-t.7分由△BMN∽△BAC,可得BM==6-,∴AM=.8分以下同方法一.4有最大值.方法一当0<t≤4时,∵抛物线S=的开口向上,在对称轴t=0的右边,S随t的增大而增大,∴当t=4时,S可取到最大值=6;11分当4<t<8时,∵抛物线S=的开口向下,它的顶点是(4,6),∴S<6.综上,当t=4时,S有最大值6.12分方法二∵S=∴当0<t<8时,画出S与t的函数关系图像,如图所示.11分显然,当t=4时,S有最大值6.12分说明只有当第
(3)问解答正确时,第
(4)问只回答“有最大值”无其它步骤,可给1分;否则,不给分.
3.(08广东广州)
25、(2008广州)(14分)如图11,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC=2cm,BC=4cm,在等腰△PQR中,∠QPR=120°,底边QR=6cm,点B、C、Q、R在同一直线l上,且C、Q两点重合,如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动,t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的__记为S平方厘米
(1)当t=4时,求S的值
(2)当,求S与t的函数关系式,并求出S的最大值(08广东广州25题解析)25.
(1)t=4时Q与B重合,P与D重合,重合部分是=
4.(08广东深圳)22.如图9,在平面直角坐标系中,二次函数的图象的顶点为D点,与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),OB=OC,tan∠ACO=.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)经过C、D两点的直线,与x轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点F,使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点,且以MN为直径的圆与x轴相切,求该圆半径的长度.
(4)如图10,若点G(2,y)是该抛物线上一点,点P是直线AG__的抛物线上一动点,当点P运动到什么位置时,△APG的__最大?求出此时P点的坐标和△APG的最大__.(08广东深圳22题解析)22.
(1)方法一由已知得C(0,-3),A(-1,0)…1分将A、B、C三点的坐标代入得……………………2分解得……………………3分所以这个二次函数的表达式为……………………3分方法二由已知得C(0,-3),A(-1,0)………………………1分设该表达式为……………………2分将C点的坐标代入得……………………3分所以这个二次函数的表达式为……………………3分(注表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分)
(2)方法一存在,F点的坐标为(2,-3)……………………4分理由易得D(1,-4),所以直线CD的解析式为∴E点的坐标为(-3,0)……………………4分由A、C、E、F四点的坐标得AE=CF=2,AE∥CF∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形∴存在点F,坐标为(2,-3)……………………5分方法二易得D(1,-4),所以直线CD的解析式为∴E点的坐标为(-3,0)………………………4分∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形∴F点的坐标为(2,-3)或(―2,―3)或(-4,3)代入抛物线的表达式检验,只有(2,-3)符合∴存在点F,坐标为(2,-3)………………………5分
(3)如图,
①当直线MN在x轴上方时,设圆的半径为R(R0),则N(R+1,R),代入抛物线的表达式,解得…………6分
②当直线MN在x轴__时,设圆的半径为r(r0),则N(r+1,-r),代入抛物线的表达式,解得………7分∴圆的半径为或.……………7分
(4)过点P作y轴的平行线与AG交于点Q,易得G(2,-3),直线AG为.……………8分设P(x,),则Q(x,-x-1),PQ.……………………9分当时,△APG的__最大此时P点的坐标为,.……………………10分
5.(08贵州贵阳)25.(本题满分12分)本题暂无答案某宾馆客房部有60个__供游客居住,当每个__的定价为每天200元时,__可以住满.当每个__每天的定价每增加10元时,就会有一个__空闲.对有游客入住的__,宾馆需对每个__每天支出20元的各种费用.设每个__每天的定价增加元.求
(1)__每天的入住量(间)关于(元)的函数关系式.(3分)
(2)该宾馆每天的__收费(元)关于(元)的函数关系式.(3分)
(3)该宾馆客房部每天的利润(元)关于(元)的函数关系式;当每个__的定价为每天多少元时,有最大值?最大值是多少?(6分)
6.(08湖北恩施)
六、本大题满分12分
24.如图11,在同__面内将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起,A为公共顶点,∠BAC=∠AGF=90°,它们的斜边长为2,若∆ABC固定不动,∆AFG绕点A旋转,AF、AG与边BC的交点分别为D、E点D不与点B重合点E不与点C重合设BE=m,CD=n.
(1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形,并选取其中一对进行证明.
(2)求m与n的函数关系式,直接写出自变量n的取值范围.
(3)以∆ABC的斜边BC所在的直线为x轴,BC边上的高所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系如图
12.在边BC上找一点D,使BD=__,求出D点的坐标,并通过计算验证BD+__=DE.
(4)在旋转过程中3中的等量关系BD+__=DE是否始终成立若成立请证明若不成立请说明理由.(08湖北恩施24题解析)
六、本大题满分12分
24.解:1∆ABE∽∆DAE∆ABE∽∆DCA1分∵∠BAE=∠BAD+45°∠CDA=∠BAD+45°∴∠BAE=∠CDA又∠B=∠C=45°∴∆ABE∽∆DCA3分2∵∆ABE∽∆DCA∴由依题意可知CA=BA=∴∴m=5分自变量n的取值范围为1n
2.6分3由BD=__可得BE=CD即m=n∵m=∴m=n=∵OB=OC=BC=1∴OE=OD=-1∴D1-07分∴BD=OB-OD=1--1=2-=__DE=BC-2BD=2-22-=2-2∵BD+__=2BD=22-=12-8DE=2-2=12-8∴BD+__=DE8分4成立9分证明:如图将∆A__绕点A顺时针旋转90°至∆ABH的位置则__=HBAE=AH∠ABH=∠C=45°旋转角∠EAH=90°.连接HD在∆EAD和∆HAD中∵AE=AH∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EADAD=AD.∴∆EAD≌∆HAD∴DH=DE又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°∴BD+HB=DH即BD+__=DE12分
7.(08湖北荆门)28.(本小题满分12分)已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上,与y轴的交点为B(0,1),且b=-4ac.1求抛物线的解析式;2在抛物线上是否存在一点C,使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A?若不存在说明理由;若存在,求出点C的坐标,并求出此时圆的圆心点P的坐标;3根据2小题的结论,你发现B、P、C三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系(08湖北荆门28题解析)28.解1由抛物线过B01得c=1.又b=-4ac顶点A-0∴-==2c=2.∴A20.………………………………………2分将A点坐标代入抛物线解析式,得4a+2b+1=0,∴ 解得a=b=-
1.故抛物线的解析式为y=x2-x+1.………………………………………4分另解:由抛物线过B01得c=1.又b2-4ac=0b=-4ac,∴b=-1.………2分∴a=故y=x-x+1.……………………………………………4分2假设符合题意的点C存在,其坐标为Cx,y 作CD⊥x轴于D连接AB、AC. ∵A在以BC为直径的圆上∴∠BAC=90°.∴△AOB∽△CDA. ∴OB·CD=OA·AD. 即1·y=2x-2,∴y=2x-4. ……………………6分由HYPERLINKhttp://www.czsx.com.cnEMBEDEquation.3解得x1=10x2=2. ∴符合题意的点C存在,且坐标为1016,或20.………………………8分∵P为圆心,∴P为BC中点. 当点C坐标为1016时,取OD中点P1,连PP1 则PP1为梯形OBCD中位线.∴PP1=OB+CD=.∵D100 ∴P150 ∴P5.当点C坐标为20时取OA中点P2,连PP2 则PP2为△OAB的中位线.∴PP2=OB=.∵A20 ∴P210∴P1. 故点P坐标为5或1. ……………………………………10分3设B、P、C三点的坐标为Bx1y1 Px2y2 Cx3y3,由2可知………………………………………12分
8.(08湖北荆州25题解析)(本题答案暂缺)25.(本题12分)如图,等腰直角三角形纸片ABC中,AC=BC=4,∠ACB=90º,直角边AC在x轴上,B点在第二象限,A(1,0),AB交y轴于E,将纸片过E点折叠使BE与EA所在直线重合,得到折痕EF(F在x轴上),再展开还原沿EF剪开得到四边形BCFE,然后把四边形BCFE从E点开始沿射线EA平移,至B点到达A点停止.设平移时间为t(s),__速度为每秒1个单位长度,平移中四边形BCFE与△AEF重叠的__为S.
(1)求折痕EF的长;
(2)是否存在某一时刻t使平移中直角顶点C经过抛物线的顶点?若存在,求出t值;若不存在,请说明理由;
(3)直接写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围.
9.(08湖北天门)(本题答案暂缺)24.本小题满分12分如图
①,在平面直角坐标系中,A点坐标为3,0,B点坐标为0,4.动点M从点O出发,沿OA方向以每秒1个单位长度的速度向终点A运动;同时,动点N从点A出发沿AB方向以每秒个单位长度的速度向终点B运动.设运动了x秒.1点N的坐标为________________,________________;用含x的代数式表示2当x为何值时,△AMN为等腰三角形?3如图
②,连结ON得△OMN,△OMN可能为正三角形吗?若不能,点M的运动速度不变,试改变点N的运动速度,使△OMN为正三角形,并求出点N的运动速度和此时x的值.
10.(08湖北武汉)(本题答案暂缺)
25.(本题12分)如图1,抛物线y=ax2-3ax+b经过A(-10),C
(32)两点,与y轴交于点D,与x轴交于另一点B.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若直线y=kx-1(k≠0)将四边形ABCD__二等分,求k的值;
(3)如图2,过点E(1,-1)作EF⊥x轴于点F,将△AEF绕平面内某点旋转180°后得△MNQ(点M,N,Q分别与点A,E,F对应),使点M,N在抛物线上,求点M,N的坐标.(08湖北武汉25题解析)
25.⑴HYPERLINKhttp://www.czsx.com.cnEMBEDEquation.DSMT4;⑵;⑶M(3,2),N(1,3)
11.(08湖北咸宁)24.(本题1~3小题满分12分,4小题为附加题另外附加2分)如图
①,正方形ABCD中,点A、B的坐标分别为(0,10),(8,4),点C在第一象限.动点P在正方形ABCD的边上,从点A出发沿A→B→C→D匀速运动,同时动点Q以相同速度在x轴上运动,当P点到D点时,两点同时停止运动,设运动的时间为t秒.1当P点在边AB上运动时,点Q的横坐标(长度单位)关于运动时间t(秒)的函数图象如图
②所示,请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度;2求正方形边长及顶点C的坐标;3在1中当t为何值时,△OPQ的__最大,并求此时P点的坐标.1附加题(如果有时间,还可以继续解答下面问题,祝你成功!)如果点P、Q保持原速度速度不变,当点P沿A→B→C→D匀速运动时,OP与PQ能否相等,若能,写出所有符合条件的t的值;若不能,请说明理由.(08湖北咸宁24题解析)24.解
(1)10-----------------------------1分点P运动速度每秒钟1个单位长度.-------------------------------3分2过点作BF⊥y轴于点,⊥轴于点,则=8,.∴.在Rt△AFB中,.----------------------------5分过点作⊥轴于点与的延长线交于点.∵∴△ABF≌△BCH.∴.∴.∴所求C点的坐标为(14,12).------------7分3过点P作PM⊥y轴于点M,PN⊥轴于点N,则△APM∽△ABF.∴..∴.∴.设△OPQ的__为平方单位∴0≤≤10------------------10分说明:未注明自变量的取值范围不扣分.∵0∴当时△OPQ的__最大.------------11分此时P的坐标为,.---------------------------------12分4当或时OP与PQ相等.---------------------------14分对一个加1分不需写求解过程.
12.(08湖南长沙)
26.如图,六边形ABCDEF内接于半径为r(常数)的⊙O,其中AD为直径,且AB=CD=DE=FA.
(1)当∠BAD=75时,求的长;
(2)求证BC∥AD∥FE;
(3)设AB=,求六边形ABCDEF的周长L关于的函数关系式,并指出为何值时,L取得最大值.(08湖南长沙26题解析)26.1连结OB、OC,由∠BAD=75,OA=OB知∠AOB=30,(1分)∵AB=CD,∴∠COD=∠AOB=30,∴∠BOC=120,(2分)故的长为.(3分)2连结BD,∵AB=CD,∴∠ADB=∠___,∴BC∥AD,(5分)同理EF∥AD,从而BC∥AD∥FE.(6分)3过点B作BM⊥AD于M,由2知四边形ABCD为等腰梯形,从而BC=AD-2AM=2r-2AM.(7分)∵AD为直径,∴∠ABD=90,易得△BAM∽△DAB∴AM==,∴BC=2r-,同理EF=2r-(8分)∴L=4x+22r-=HYPERLINKhttp://www.czsx.com.cnEMBEDEquation.3=,其中0<x<(9分)∴当x=r时,L取得最大值6r.(10分)13(08湖南益阳)
七、本题12分
24.我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”,如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点,那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图12,点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点,已知点D的坐标为0,-3,AB为半圆的直径,半圆圆心M的坐标为10,半圆半径为
2.1请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式,并写出自变量的取值范围;2你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗?试试看;3开动脑筋想一想,相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式.(08湖南益阳24题解析)
七、本题12分24.解1解法1根据题意可得A-10,B30;则设抛物线的解析式为a≠0又点D0,-3在抛物线上,∴a0+10-3=-3,解之得a=1∴y=x2-2x-33分自变量范围-1≤x≤34分解法2设抛物线的解析式为a≠0根据题意可知,A-10,B30,D0,-3三点都在抛物线上∴HYPERLINKhttp://www.czsx.com.cnEMBEDEquation.3,解之得∴y=x2-2x-33分自变量范围-1≤x≤34分2设经过点C“蛋圆”的切线__交x轴于点E,连结CM,在Rt△MOC中,∵OM=1,CM=2,∴∠CMO=60°OC=在Rt△M__中,∵OC=2,∠CMO=60°,∴ME=4∴点C、E的坐标分别为0,,-306分∴切线__的解析式为8分3设过点D0,-3,“蛋圆”切线的解析式为y=kx-3k≠09分由题意可知方程组HYPERLINKhttp://www.czsx.com.cnEMBEDEquation.3只有一组解即有两个相等实根,∴k=-211分∴过点D“蛋圆”切线的解析式y=-2x-312分图20图11Gyx图12OFEDCBAG图11FEDCBAFDHAGECBOxyA第28题图B第28题图OxyACBPP1DP2POCxAC1F1E1B1BFEyOMAxNBy图
①O__aaaaAxNBy图
②第24题图第24题图
①(第24题图
②)ABCDEFO·AOBMDC图12yxAOBMDC解图12yxEPAGE3eud教育网http://___.3edu.net教学资源集散地可能是最大的免费教育___!。